这儿的S1和S0是两个 ‘纯本征态’。这个‘纯’字，是相对于‘叠加’而言的。就是说，
一个粒子的‘叠加态’，可以写成两个‘本征态’的线性混合叠加
类似于1个粒子的情形，这4种定态可以线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类：纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成各自粒子状态的（张量）乘积的话，就是非纠缠态
非纠缠态例子 = A0B0 - A0B1 + A1B0 - A1B1 = (A0 + A1)*( B0 - B1)
因为它可以写成第一个粒子的叠加态：(A0 + A1)，
和第二个粒子的叠加态：(B0 - B1)，之乘积形式。
提醒一下，在上面的几个表达式中，我们略去了几率归一化的系数a和b等，以后也都略去不写。
现在，如果我们研究下面这几种双粒子叠加态：
纠缠1 = A0B1 - A1B0 （8.2）
纠缠2 = A0B1 + A1B0 （8.3）
纠缠3 = A1B1 - A0B0 （8.4）
纠缠4 = A1B1 + A0B0 （8.5）
就会发现，它们在数学上无法表达成单个粒子状态的乘积。也就是说，两粒子的物理状态纠缠在一起，不可分开。一个的状态决定了另一个的状态。
以上面的‘纠缠1’为例来说明这种多粒子复合态如何纠缠
以上面的‘纠缠1’为例来说明这种多粒子复合态如何纠缠。首先，这是一个由两个定态：A0B1、A1B0组成的叠加态，在测量之前，按照正统诠释的说法，叫做：“既是A0B1，又是A1B0”。一旦测量任何一个，比如测量A，A的状态立即塌缩成0，或者1，几率各半。然而，测量A的瞬时，怪事发生了：B没有被测量，但却同时塌缩到与A相反的状态，即使这个时候A、B已经相距很远很远。
除了前述的4种纠缠态之外，还有很多种纠缠态。纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式。上面（8.2）-（8.5）所列的4种特殊纠缠态，被称之为贝尔态。
仍然考虑纠缠1，它对应的量子态又叫做自旋单态。根据量子力学，如果在夹角为θ的两个不同方向上对这个自旋单态粒子对进行观测，理论预言的关联函数平均值将会是（-cosθ）。这个结果的推导过程需要用到量子力学自旋的计算，在此不表。但是，我们可以利用这个结论，加上几步简单的代数运算，来检验量子力学的理论是否符合贝尔不等式。
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在谈到实验之前，还得顺便提一句，我们在此系列文章中，所谈到的量子纠缠，以及推导贝尔不等式的过程，用的都是EPR佯谬简化了的波姆版。也就是说，我们使用了两个不同的自旋（‘上↑’和‘下↓’）来表述量子态，这使得问题叙述起来简化很多，因为在这种只有2个离散变量的情况下，单个粒子的量子态，只对应于2维的希尔伯特空间，（注：希尔伯特空间可理解为维数可以扩展到包括无穷大的欧几里德空间。） 两个粒子的纠缠态，只对应于4维的希尔伯特空间。在爱因斯坦等人的原始文章中，他们是用两个粒子的位置及动量来描述粒子之间的‘纠缠’。如果使用EPR原文的那种方法，描述和推导都非常地复杂，因为位置或动量对应的是连续变量，即无穷维希尔伯特空间的情况。不过，在实际的物理理论和实验中，两种说法都会用到，分别被称为：‘离散变量’和‘连续变量’的纠缠态。我们在此简要地说明了一下它们的区别，以使读者今后在文献中碰到这两个词汇时，能感觉更少一些的云遮雾障。
在这篇文章中，为简单起见，大多数时候都用电子自旋来描述量子态。回头看看前面的几节，我们已经用文字介绍了‘叠加态’和‘纠缠态’，恐怕现在应该是用点简单的数学符号来重新整理这些概念的时候了。
上面我们说到：“一个粒子的自旋量子态，对应于2维的希尔伯特空间”。这个希尔伯特2维空间与我们生活中的2维空间不一样，它是表示量子态的空间。一个量子态对应于希尔伯特空间的一个矢量。著名的英国物理学家狄拉克为量子态空间定义了一套十分优雅的符号系统，比如说，狄拉克用下面两个符号来表示粒子自旋的两个基本状态：|+>和|->。
不过，笔者在准备这节文章时，发现非物理专业的人士对这种符号（|>、<|）很反感，说是看见就晕，不想看下去。所以，为了照顾大多数人的情绪，只好损失几个象牙塔里人物的品味，暂时舍弃狄拉克算符，用更通俗的数学语言，来叙述量子态。
现在，我们用两个不同的符号：S1和S0，来表示两个不同的量子态。比如说，用它们分别表示刚才所提到的‘上’、‘下’这两种不同的基本自旋态。
这儿的S1和S0是两个 ‘纯本征态’。这个‘纯’字，是相对于‘叠加’而言的。就是说，
一个粒子的‘叠加态’，可以写成两个‘本征态’的线性混合叠加：
叠加态 = a*S1 + b*S0 （8.1）
这里的a、b，是任意满足（|a|**2+|b|**2=1）的复数，他们对应于两个本征态在叠加态中所占的比例系数。当a=0，或者b=0时，叠加态就简化成两个本征态。两个比例系数的平方：|a|**2或|b|**2，分别代表测量时，测得粒子的状态是S1或S0的几率。
比如，在杨氏双缝实验中，电子或光子位置的叠加态可以写成：
双缝态 = a*缝1 + b*缝2
薛定谔理想实验中的猫，也可以写成叠加态的形式：
猫态 = a*活猫 + b*死猫
还可以把这个例子再具体化一些。比如，如果在实验中我们知道：a=0.8，b=0.6，那么，打开盖子时，活猫的几率是0.8**2=0.64，而死猫的几率是0.6**2=0.36。或者说，实验者有百分之六十四的概率看见一只活蹦乱跳的猫，而只有百分之三十六的概率看见一只死猫。感谢上帝，他不会看到一只可怖的又死又活的猫！那种‘猫态’只有可能存在于打开盖子之前，薛定谔及爱因斯坦认为那种猫可怕，但波尔一派怎么说呢？波尔说：打开盖子前，猫根本不存在，不用去想它是什么状态，毫无意义的问题！
在上述两个例子中的状态，诸如：缝1、缝2、活猫、死猫，都是‘本征态’。根据上面的公式（8.1），可看出：叠加态是普遍的大多数，而‘本征态’只代表（a=1,b=0）或者(a=0,b=1)的少数极端情况。还可以看出，如果一个粒子处于本征态，那么，它的测量结果是确定的（几率=1）。因此，‘本征态’又被称做‘定态’。
定态是确定性的，只有叠加态才表现出量子力学‘既在这儿、又在那儿’的诡异特征。现在，我们从简单的数学表述，更为深刻地理解了本文第一节中的一段话：“叠加态的存在，是量子力学最大的奥秘，是量子现象给人以神秘感的根源，是我们了解量子力学的关键。”
那么，使用刚才的符号，‘纠缠态’又应该如何表示呢？我们从最简单的两个粒子的纠缠说起。首先，现在有了两个粒子A和B，它们分别都有两种定态0、1（A1 、A0和B1 、B0）。因此，它们的单粒子定态可以组成4种双粒子定态：
A1B1、A1B0、A0B1、A0B0。
类似于1个粒子的情形，这4种定态可以线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类：纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成各自粒子状态的（张量）乘积的话，就是非纠缠态，比如下面是一个非纠缠态的例子：
非纠缠态例子 = A0B0 - A0B1 + A1B0 - A1B1 = (A0 + A1)*( B0 - B1)
因为它可以写成第一个粒子的叠加态：(A0 + A1)，
和第二个粒子的叠加态：(B0 - B1)，之乘积形式。
提醒一下，在上面的几个表达式中，我们略去了几率归一化的系数a和b等，以后也都略去不写。
现在，如果我们研究下面这几种双粒子叠加态：
纠缠1 = A0B1 - A1B0 （8.2）
纠缠2 = A0B1 + A1B0 （8.3）
纠缠3 = A1B1 - A0B0 （8.4）
纠缠4 = A1B1 + A0B0 （8.5）
就会发现，它们在数学上无法表达成单个粒子状态的乘积。也就是说，两粒子的物理状态纠缠在一起，不可分开。一个的状态决定了另一个的状态。
以上面的‘纠缠1’为例来说明这种多粒子复合态如何纠缠。首先，这是一个由两个定态：A0B1、A1B0组成的叠加态，在测量之前，按照正统诠释的说法，叫做：“既是A0B1，又是A1B0”。一旦测量任何一个，比如测量A，A的状态立即塌缩成0，或者1，几率各半。然而，测量A的瞬时，怪事发生了：B没有被测量，但却同时塌缩到与A相反的状态，即使这个时候A、B已经相距很远很远。
除了前述的4种纠缠态之外，还有很多种纠缠态。纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式。上面（8.2）-（8.5）所列的4种特殊纠缠态，被称之为贝尔态。
回到薛定谔的猫的故事，实际上，薛定谔的猫态并不是简单的死猫和活猫的叠加态，而应该写成‘猫’和实验中‘放射性原子’两者的纠缠态：
猫和原子纠缠态 = 活猫*原子未衰变 + 死猫*原子衰变了
我们再次重复量子论的正统解释。上面表达式的意思是说：薛定谔的猫与原子组成的两体系统，处于两个定态的混合：
定态1 = 原子未衰变、活猫；
定态2 = 原子衰变了、死猫。
盒子打开之前，总状态不确定，是定态1和定态2的混合。盒子打开，总状态塌缩到两个定态之一，几率各半（不同于前面a=0.8、b=0.6的情况）。
现在再回到贝尔不等式。大家还记得，在上一节中，我们是用经典概率方法导出这个不等式的。所以，经典孙悟空的行动一定会受限于这个不等式。量子孙悟空又如何呢？会不会遵循这个不等式？简单的理论推导可以证明：量子孙悟空的行为是违背贝尔不等式的。
仍然考虑纠缠1，它对应的量子态又叫做自旋单态。根据量子力学，如果在夹角为θ的两个不同方向上对这个自旋单态粒子对进行观测，理论预言的关联函数平均值将会是（-cosθ）。这个结果的推导过程需要用到量子力学自旋的计算，在此不表。但是，我们可以利用这个结论，加上几步简单的代数运算，来检验量子力学的理论是否符合贝尔不等式。
从上一节得出的贝尔不等式：|Pxz-Pzy|≤ 1+Pxy，其中的x、y、z不一定需要构成3维空间的正交系。比如说，可以取位于同一个平面上的三个方向，依次成60度的角。这样就有：
Pxz = Pxy = -cos（60度） = -1/2，
Pzy = -cos（120度） = 1/2，
代人贝尔不等式左边，则为：|-1/2-1/2| = 1，
代人贝尔不等式右边，则为：1-1/2 = 1/2，
因此，对量子力学的这种情况，贝尔不等式不成立。
刚才的例子说明量子理论已经违背了贝尔不等式，实验结果又如何呢？尽管纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式，但是，要在实验室中得到‘好’的纠缠态，可不是那么容易的。有了纠缠度高、效率高，稳定可靠的纠缠态，才有可能在实验室中来验证我们在上一节中说到的贝尔不等式，作出爱因斯坦和量子力学谁对谁错的判决。也才有可能将量子纠缠态实际应用到通讯和计算机工程技术中，实现我们在本系列文章中将要谈到的‘量子传输’及‘量子计算机’等等，那些激动人心的高科技中的高科技。
上世纪的70年代早期，一个年轻人走进了哥伦比亚大学‘吴夫人’（美籍华人物理学家吴健雄）的实验室，向吴夫人请教20多年前，她和萨科诺夫第一次观察到纠缠光子对的情况，那是在正负电子湮灭时产生的一对高能光子。当时的吴夫人没有太在意年轻学生提出的这个问题，只让他和她的研究生卡斯蒂谈了谈。
这位年轻人名叫克劳瑟，出生于加里福利亚的物理世家，因为他的父亲、叔叔、及家中几个亲戚都是物理学家，克劳瑟从小就听家人们在一起探讨争论深奥的物理问题，后来，他进了加州理工大学，受到费曼的影响，开始思考量子力学基本理论中的关键问题，他把一些想法和费曼讨论，并告诉费曼说，他决定要用实验来测试贝尔不等式和EPR佯谬。据他自己后来半开玩笑地描述当时费曼的激烈反应：“费曼把我从他的办公室里扔了出去！”
贝尔定理和贝尔不等式被誉为“物理学中最重要的进展”之一。之后，贝尔不等式被一个紧紧纠缠在一起的美国物理学家四人小组（CHSH）的工作所改良，称为CHSH不等式。这四个人的名字是：克劳瑟、霍恩、西摩尼、霍尔特。上面提到的克劳瑟是其中之一。
后来，克劳瑟及其合作者，果然成为CHSH-贝尔不等式实验验证的第一人。
http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-538253.html 此文来自科学网张天蓉博客，转载请注明出处。
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- [14]陆绮
- 我注意到你用**表示平方，其实可以用^.
x^2 相当于你的x**2，即平方（二次方）。
不过你不用更改：） - 博主回复(2015-6-25 19:53)：谢谢你的建议。
- [13]李维纲
- 关于从经典物理理论可以导出同样关联函数的论证，我已经撰写短文，发布在个人博客。欢迎批评砥砺。
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1352526&do=blog&id=894799&cid=4071940&goto=new
- [12]李维纲
- 博主回复(2012-2-22 08:46)：在夹角为a的两个方向观察自旋时，关联函数=-cos（a），是从量子力学中自旋的性质得出的结论。
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在经典条件下，也可以得出同样的结论！这很容易通过偏振光经典理论和实验检验。所以，李铭老师提出的质疑是需要认真思考的。
- [11]李维纲
- 从上一节得出的贝尔不等式：|Pxz-Pzy|≤ 1+Pxy，其中的x、y、z不一定需要构成3维空间的正交系。
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在正交坐标系，三个坐标的取值是线性无关的；在变换为同一平面上的三个坐标轴时，三个轴上的取值是线性相关的！您前面博文中的推导仍然继续有效吗？高度怀疑。
- [10]Jeffwh
- 博主你好，我不是物理专业的，但我有一个很简单的问题请教下：在杨氏双缝干涉实验中或者单缝衍射试验中，为什么没有考虑物质界面微观场的变化，微观场变也许受界面物质的影响，成规律排布，导致上述两实验的结果呢？希望博主能耐心回答我的问题，感激~
- 博主回复(2012-3-3 22:29)：不知你所谓的‘微观场’是什么场？对电子来说，有静电场，但是双缝实验的结果对其他不带电的微观粒子也是一样的，所以与静电场无关。
- [9]杜关祥
- 没有bra 和ket，也看得懂，不担心
- [8]王喜军
- 量子情况下，为何不满足贝尔不等式，是个较难理解的点。
- [7]李铭
- 你废弃狄拉克符号没必要，读你的文章必须有一点点量子力学基础，否则，无论你废弃不废弃，都是读不下去的。
- 博主回复(2012-2-22 08:49)：呵呵，我还以为这个科普是写给大多数没有量子力学基础的人看的咧，看来是科普读物，众口难调了，不过还是谢谢你的意见。
- [6]李铭
- 另外，你也没解释 Pxz = Pxy = -cos（60度）的物理意义。
- 博主回复(2012-2-22 08:46)：在夹角为a的两个方向观察自旋时，关联函数=-cos（a），是从量子力学中自旋的性质得出的结论。
- [5]李铭
- 不好了，博主先生，你上一篇的X,Y,Z取三维直角坐标，才把空间简化成那8个格子，推导出那个贝尔不等式。现在你说它们不一定直角，那么你前一篇的8个格子的简化就不成立了。
- 博主回复(2012-2-22 08:42)：如果xyz不正交，但只要不在一个平面上，空间照样可以分成8个部分，上次的证明过程仍然成立。如果在一个平面上，证明需要修改一下。无论如何，那只是一个相当粗糙的证明。谢谢。
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