，光子又有各种频率，能量就随频率而异。光子的产生数与湮灭数不一定相等。但平衡辐射场的总能量是恒定的，如腔壁吸收一个圆频率是2
的光子，辐射场的能量减少了2
，但腔壁可以发射2个圆频率是的光子，辐射场的能量又增加了2，总能量维持恒定，但光子数却不恒定。这就是光子气体中光子数不守恒的原因第八章玻色统计和费米统计
jw1.nwnu.edu.cn/jpkc/wdxy/rlxtjwl/scoure/jy/3.pdf
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统计物理的方法研究平衡辐射场的基本问题
学生 张佳瑢 指导教师 范建忠
摘要 平衡辐射场问题作为近代物理的热点问题一直受到人们的关注。本文旨在系统论述平衡辐射场基本问题的统计物理研究这一课题，特别是着眼于有逻辑的理论推导，使用玻色统计法推导出普朗克公式，并讨论它与维恩公式、瑞利—琼斯公式的关系，使读者更容易建立起本课题的基本框架。
关键词 玻色统计法
平衡辐射场
能量密度
巨配分函数
普朗克辐射公式
0引言
19世纪中后期开始，在麦克斯韦、玻耳兹曼、吉布斯等几代杰出物理学家的努力下，建立在概率原理基础上的统计物理方法日趋成熟。特别是进入20世纪以后，伴随着量子力学的产生，一种新的统计物理方法——量子统计法也迅速建立并发展起来。这种新的统计法，以间断性的量子态代替经典物理中连续态的概念。并且由于相同粒子的全同性，相同粒子交换并不产生新的量子态，以及是否遵守泡利不相容原理，而产生了与经典统计法完全不同的两种量子法，即玻色统计法和费米统计法[1]。其中玻色统计法用来研究由大量玻色子组成的系统，例如：光子系统等；费米统计法则用来研究由大量费米子组成的系统，例如：电子系统等。
同时，在19世纪后半叶，人们对热辐射的规律性，尤其是对黑体辐射能量波长的分布函数产生了浓厚的兴趣。至此之后，空腔辐射场、平衡辐射场相继成为人们的研究重点。在研究空腔辐射中的平衡辐射场时，现在一般有两种思考方式，一种是波动的观点，即把辐射场分解成一系列单色平面波的叠加；另一种是粒子的观点，即把空腔内的辐射场看作是光子的集合。
统计物理方法在研究由大量微观物质粒子组成的宏观系统方面显示了它强大的生命力，它架起了系统宏观性质与其微观机理之间的大桥。而平衡辐射场问题作为近代物理的热点问题一直受到人们的关注。过去，对这一问题的研究人们往往从热力学的角度出发进行简单的推导。后来，当人们发现可以将空腔辐射场看作一团光子气体处理[2]时，用统计物理的方法来研究平衡辐射场就自然成为可能。但是纵观许多的相关著作，它们或是太过笼统，不够细致，或是只为论述其它问题而单方面研究其中的一两个问题，不够系统。特别是其中许多概念例如：平衡辐射场、空腔辐射、黑体辐射等交错出现，使初学者很难弄明白。本文旨在系统论述平衡辐射场基本问题的物理研究这一课题，细致界定这些概念，建立起各个问题例如：辐射压强、能量密度、普朗克公式等之间的联系。特别是着眼于有逻辑的理论推导，使用玻色统计法推导出普朗克公式，并讨论它与维恩公式、瑞利—琼斯公式的关系，使读者更容易建立起本课题的基本框架。
1玻色统计法
1.1玻色气体
由全同的玻色子组成的气体称为玻色气体。一般说来，玻色子是遵循量子力学规律的。因而在研究玻色气体时也应使用量子统计法。但是，具体讨论时，我们通常把满足经典极限条件（也叫非简并条件）
(1)
或 (2)
(2)
的玻色气体当作经典气体来处理。而只有当玻色气体不满足上述条件时，由粒子不可分辨所产生的量子统计效应才起到重要的作用，才使用量子统计法。因而像这样的不满足经典极限条件的玻色气体又被称为简并玻色气体。
对于理想玻色气体，实际上是一种理想模型，即忽略简并玻色气体粒子间的相互作用势能，完全遵循量子力学规律的理想气体。它根据粒子数的情况可分为两类：第一类是粒子数不固定，这种玻色气体的粒子随时可以产生和湮没，其化学势μ恒为零，如光子气体、固体中声子气体.第二类是粒子数固定不变，其化学势μ<(表示粒子的最低能级)如4He.其中第一类玻色气体不发生凝聚现象，比较简单.第二类玻色气体当温度处于临界温度时，会发生所谓的Bose-Einstein凝聚现象[3]。
(表示粒子的最低能级)如4He.其中第一类玻色气体不发生凝聚现象，比较简单.第二类玻色气体当温度处于临界温度时，会发生所谓的Bose-Einstein凝聚现象[3]。
1.2光子气体
如前所述，光子是一种玻色子，而光子气体是由大量光子组成的，由于光子的特点，可被看作理想玻色气体，具体模型如下[2]：
1、光子的自旋量子数s=1,光子与光子之间相互独立，所以光子气体可以看成是理想玻色气体；
2、光子的静止质量是m0=0，光子的速度即光速c是常数。因为达到光速，所以对于光子，牛顿力学不成立，应该用相对论的结果，在相对论中的能量公式为：
(3)
由此可知，对于光子有： 
(4)
(4)
3、光子与其它物质相互作用是靠发射和吸收光子进行的，所以在光子气体中，光子的粒子数不是恒定的。
4、光子满足德布罗意关系
具有一定的波矢
和圆频率
的单色平面波与具有一定的动量
和能量
的光子相对应，动量与波矢量，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系：
和圆频率的单色平面波与具有一定的动量和能量的光子相对应，动量与波矢量，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系：
(5)
1.3玻色统计法
玻色统计法是指用于研究玻色子系统的统计物理方法。对于满足经典极限条件（1）或（2），由大量全同的近独立玻色子组成的孤立系统，在平衡状态下是服从玻耳兹曼分布的，也就是说可以用经典统计物理方法来研究。而不满足经典极限条件的，由大量全同的近独立玻色子组成的孤立系统，在平衡状态下，就需要考虑粒子的全同性，此时，系统即理想玻色系统是服从玻色—爱因斯坦分布的。即：{
}满足
}满足
(6)
其中
、
由下面的两式确定：
、由下面的两式确定：
(7)
如果把、和y看作已知的参量，引入一个函数，名为巨配分函数[4]，其定义为
、和y看作已知的参量，引入一个函数，名为巨配分函数[4]，其定义为
(8)
取对数得: 
(9)
(9)
则系统的平均总粒子数
，可通过
表示为： 
(10)
，可通过表示为： (10)
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值： 
(11)
(11)
类似地可将
通过表为: 
(12)
通过表为: (12)
外界对系统的广义作用力Y是
的统计平均值： 
(13)
的统计平均值： (13)
可将Y通过表为： 
(14)
表为： (14)
上式的一个重要特例是： 
(15)
(15)
由式(10)-(14)得 
注意上面引入的是、、y的函数，其全微分为: 
是、、y的函数，其全微分为:
故有：
上式指出是
的积分因子。在热力学中，曾学到过
有积分因子
，使:
是的积分因子。在热力学中，曾学到过有积分因子，使:
比较可知: 
(16)
(16)
所以: 
积分得: 
(17)
(17)
由此可知，如果知道粒子的能级和能级的简并度，并将式（9）的求和计算出来，就可以求得巨配分函数的对数作为、、y的函数，再由式(10)(12)(14)(15)和(17)求得理想玻色系统的基本热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。
、、y的函数，再由式(10)(12)(14)(15)和(17)求得理想玻色系统的基本热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。
以上方法推导出的结论与吉布斯系综统计法得出的结论是完全一致的。虽然系综统计法是用于研究粒子间具有相互作用不可忽略的开放系统的，但它的结论也依然适用于全同的近独立粒子组成的孤立系统，这里就不再缀述。
2平衡辐射场
2.1平衡辐射场
当空腔与内部的辐射场处于平衡，即腔壁单位面积所发射的能量和它所吸收的能量相等时，此时腔内的场称为平衡辐射场[5]。
2.2空腔辐射
假设有一个封闭的空腔，腔壁保持恒定的温度T，由于腔壁不断发射和吸收辐射能，经过一定的时间后，空腔内的电磁辐射场将与腔壁达到平衡，形成空腔辐射，即平衡辐射场，具有共同的温度T。空腔辐射是形成平衡辐射场的最佳装置。研究平衡辐射场往往是从研究空腔辐射开始的，从某种意义上讲，空腔辐射等同于平衡辐射场[6]。
2.3黑体辐射
绝对黑体，就是指在任何温度下能够完全吸收外来的辐射而不进行反射和透射的理想物体。自然界中没有真正的黑体，但可以制造具有绝对黑体的装置。如果是一人造黑体，空腔开有小孔，通过小孔射入空腔的电磁波，需要经过腔壁多次反射才有可能从小孔射出。由于每一次反射腔壁都要吸收一部分电磁波，经过多次反射后从小孔射出的电磁波将全部被空腔所吸收。因此可以把带有小孔的空腔看作一个绝对黑体。这个空腔中的电磁辐射也称为黑体辐射。绝对黑体的辐射有一个最大的优点，就是这种辐射只取决于黑体的温度，而与黑体的物质材料无关。这样一来，整个辐射的研究就可以简化为黑体辐射的研究。绝对黑体其实可以看作是物理中的一个理想化模型，因为它是实际中空腔辐射的最简单的模式。就像实际气体之于理想气体一样，对黑体辐射的研究成果同样对实际研究有很强的指导作用。
我们知道，0K以上的任何物体都以电磁波形式向外辐射能量。在研究空腔辐射时，其内的平衡辐射场可以看成是一系列单色平面波的叠加，而由于微观粒子的波动与微粒性的统一，根据爱因斯坦粒子的观点[3]，具有一定同频率、波矢和圆偏振的平面波与具有一定能量、动量和自旋的光子相对应，因而空腔辐射也可以看成是一箱子光子气体。
光子与其它物质的相互作用，导致光子的湮灭与产生。当光子与腔壁碰撞时，光子可以被腔壁吸收；腔壁也可以辐射出光子，光子的能量
，光子又有各种频率，能量就随频率而异。光子的产生数与湮灭数不一定相等。但平衡辐射场的总能量是恒定的，如腔壁吸收一个圆频率是2的光子，辐射场的能量减少了2
，但腔壁可以发射2个圆频率是的光子，辐射场的能量又增加了2，总能量维持恒定，但光子数却不恒定。这就是光子气体中光子数不守恒的原因。
，光子又有各种频率，能量就随频率而异。光子的产生数与湮灭数不一定相等。但平衡辐射场的总能量是恒定的，如腔壁吸收一个圆频率是2的光子，辐射场的能量减少了2，但腔壁可以发射2个圆频率是的光子，辐射场的能量又增加了2，总能量维持恒定，但光子数却不恒定。这就是光子气体中光子数不守恒的原因。
3用玻色统计法研究平衡辐射场的基本问题
把空腔内的平衡辐射场看作是一团光子气体,根据光子气体的特征,应用玻色统计法,我们可以得到:
3.1光子气体的统计分布
由于光子气体中光子数不守恒,(7)式中的条件不存在.因而只应引进一个拉氏乘子,这样光子气体的统计分布为
的条件不存在.因而只应引进一个拉氏乘子,这样光子气体的统计分布为
(18)
这意味着:
，
，
，，
3.2光子的量子态数
光子的自旋量子数为s=1,自旋在动量方向的投影可取两个可能值,相当于左右圆偏振.在六维笛卡儿坐标空间中,考虑到光子自旋的两个投影,可知在体积为V和空腔内,在P到P+dP的动量范围内(取球坐标系),光子的量子态数为:
再对
和
积分，由0积分到
, 由0积分到2:
和积分，由0积分到, 由0积分到2: 
最终得： 
将(4)(5)二式代入上式,可得在体积为V的空腔内,在到
的圆频率范围内,光子的量子态数为 
(19)
到的圆频率范围内,光子的量子态数为 (19)
即为该范围内的能级简并度。
3.3巨配分函数
根据(9)式有：，再将(5)、(19)式代入得：
，再将(5)、(19)式代入得：
引入变量
，可将上式化为：
，可将上式化为：
应用分部积分法： 
上式右方第一项为零，因此： 
求出积分（[8]附录C），得： 
(20)
(20)
3.4内能、能量密度
据（12）（20）式可得： 
(21)
(21)
(22)
3.5辐射压强
据（15）式可得： 
(23)
(23)
比较（22）（23）两式可得： 
3.6熵
3.7焓、自由能、吉布斯函数
平衡辐射场的焓、自由能、吉布斯函数可以根据热力学函数的计算公式以及上面的辐射压强和熵值一一计算得出，这里不再缀述。
4普朗克公式
4.1普朗克公式的统计物理法推导
辐射场的一个重要性质，就是辐射场的能量密度按频率有确定的分布。即由普朗克黑体辐射公式给出。将黑体辐射看作是一团光子气体时，总能量维持恒定，而光子数却不守恒。下面根据这一性质，应用玻色—爱因斯坦统计法，重新推导出普朗克黑体辐射公式。
根据前面3.1和3.2的结果，将（19）式代入（18）式可得到频率在到的范围内平均光子数为
到的范围内平均光子数为
所以辐射场的能量按频率分布为： 
(25)
(25)
上式就是著名的普朗克（Planck）公式。1900年普朗克在维恩公式和瑞利—琼斯公式的基础上通过内插法得到了它。当时推导出的普朗克（Planck）公式，只是在数学上比较精确地符合实验数据。然而，在普朗克的努力下，能量量子化的概念被引入并用于给出该公式的物理意义。这一概念的引入成为量子力学的开始，它给出了平衡辐射时能量按频率的分布。虽然平衡辐射时，单位体积内有多少光子数不能确定，但分布在某一频率范围内的单位体积平均光子数是确定的。单位体积的能量是确定的。如果湮灭了某一圆频率范围
的光子
个，但可以产生另一圆频率范围
的光子
个，它们的光子数虽不同，却不改变系统的总能量。
的光子个，但可以产生另一圆频率范围的光子个，它们的光子数虽不同，却不改变系统的总能量。
也可以表示为能量密度按波长的分布。将(25)式改写为： 
(25)*
由波长、频率与光速的关系:
得到： 
由此式可找到T一定时能量密度最大值对应的最可几波长
，由极值条件可得到: 
，由极值条件可得到:
令
，并代入上式有 
,
，并代入上式有 ,
整理得： 
解得[6]
。
,等于常数。
。 ,等于常数。
由此看出随着温度的升高，最可几波长向着短波方向转移，即温度越高，能量越是集中在高频区。这个结论称之为维恩位移定律。
4.2瑞利—琼斯公式、维恩公式和普朗克公式三者之间的关系
4.2.1瑞利—琼斯公式
对(25)*式，在低频高温
的极限下，
。(25)*近似为
的极限下， 。(25)*近似为
(26)
该式就是瑞利—琼斯公式。瑞利—琼斯（1905年）曾经用电磁波概念与玻尔兹曼统计理论推得（26）式，它只在低频部分与实验结果相符合。
4.2.2维恩公式
对(25)*式，在高频低温
的极限下，(25)*可简化为
的极限下，(25)*可简化为
(27)
该式就是维恩公式。维恩1896年曾用半经验方法(热力学的方法)得到(27)式，它只在高频部分与实验相符合。由该式看出，在
时，U(
,T)随着的增加迅速趋于零，这表明在温度为T的平衡态下不存在高频（）光子，也就是说温度为T的腔壁发射高频光子的几率为零。
时，U(,T)随着的增加迅速趋于零，这表明在温度为T的平衡态下不存在高频（）光子，也就是说温度为T的腔壁发射高频光子的几率为零。
4.2.3 三者之间的关系
虽然在历史上，是先有维恩公式和瑞利——琼斯公式，而后由普朗克在它们基础上推导出普朗克公式的。但是，随着理论的不断完善，我们可以知道维恩公式、瑞利——琼斯公式分别是普朗克公式在高频低温和低频高温极限下的近似，以上的推导过程就正是这样的。维恩公式和瑞利—琼斯公式都是用经典方法推导得出的，而普朗克公式则给出的量子化的概念，它们有本质上的不同。但是，在一定的条件下，量子效应并不明显，此时，就可以用经典理论代替较为复杂的量子理论而得到与实际也同样比较吻合的结果，就正如维恩公式、瑞利——琼斯公式在高频低温和低频高温极限下一样。
同时，高频范围时的维恩公式反映了黑体平衡辐射有较强的粒子性；而低频范围时的瑞利—琼斯公式反映了黑体平衡辐射有较强的波动性。由此可见，在黑体平衡辐射问题上，波动与微粒的统一是在量子论和量子统计法的基础上获得的，在经典理论中这两种看法是矛盾的，是无法统一的。
结束语
本文在分析大量文献、进行许多理论推导的基础上，系统论述了用统计物理的方法研究平衡辐射场的基本问题这一课题。并且给出了普朗克公式的统计物理法推导，这完全不同于普朗克的内插法。最后讨论了普朗克公式与维恩公式、瑞利——琼斯公式三者之间的关系。给人以完整的认知，特别是其中对容易混淆概念间的明确辨析，是初学者很容易理解。
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Statistical Physics Theory in the Basic Problems of Equilibrium Radiation
Field
Student Zhang Jiarong Supervisor
Teacher Fan Jianzhong
Abstract: The
basic problems of equilibrium radiation field continuously receives people's attention
as the modern physics hot topic. This
article aims to describe the basic
problems of equilibrium radiation field
in Statistical
physics method systematically,specially
focusing on logical theory infer ential reasoning.I will use Bose-Einstein
statistics theory to infer
Planck’s radiation formula, and discusses it with Wein formula, Rayleigh
- Jones formula.Through that,it would be easy to establish the bare bone about
the topic.
Key
words: Bose-Einstein statistics theory
Equilibrium radiation field Energy density Macro canonical partition function Planck's
radiation formula
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