从简谐振子说起

星空浩淼 · 发表于 2008-11-2 11:12:09

（由于超出本科范围，改发在这里）

机械媒质中传播平面波（理想说法，真正的平面波不存在）时，在媒质中一给定位置的媒质运动对应简谐振动。简谐振动的位移矢量可以由正弦（余弦）函数来表达。另一方面，由傅立叶分析我们知道，任何满足狄利克雷（Dirichlet）条件的函数，都可以用正弦和余弦函数的叠加表达出来（即用三角级数展开，其中周期函数只需用离散求和展开，而非周期函数需要用积分展开）。这意味着描述任何波动现象的函数，都可以表达成不同振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的叠加。因此，研究简谐振动是研究一切波动现象的基础。电磁波是一种波动现象，为了讲述电磁波的量子化和光子的相干态，对工科学生而言，常常从一维谐振子的量子力学谈起。简谐振子在现代物理学中扮演重要的基础角色。把它描述成有着等间距能级的定态，遵从位置－动量测不准原理时，它成为讲述一次量子化的经典案例（此时由求解微分方程的数理方法求解）；而把它通过粒子的产生和湮灭算符语言进行描述时，它又是工科教材中讲述二次量子化（场量子化）的常用引导（此时由代数方法求解）。对工科学生无法讲解严格的电磁场量子化理论，他们缺乏相应的基础。但是他们又需要掌握电磁场与物质相互作用的全量子理论（比如激光物理的全量子理论），此时，只能用简谐振子的二次量子化理论，通过类比诱导出电磁场的量子化理论。

把简谐振子的第n能级的激发态对应n个粒子态，或者说是n个能量量子态（对于机械波而言，能量量子称作声子），此时由简谐振子的量子状态矢量（state vector）构成的Hilbert空间称为Fock空间，又称作粒子数占有表象，它是由粒子数算符的本征态集合张成的空间。换句话说，对于简谐振子而言，它的一次量子化理论和二次量子化理论是重合的。在简谐振子的一次量子化方法求解中的波函数φ(x)，对应它的二次量子化方法求解中态矢|n>的位置空间表示：φ(x)＝<x|n>。具体来讲，将谐振子的第n能级的态矢记为|n>，谐振子的能量本征函数φ(x)是位置空间中的波函数，对应态矢|n>在位置算符的本征态矢|x>上的投影（标积）：φ(x)＝<x|n>。

以单频率电磁场为例，场的量子化正是建立在Fock空间之上的，此时，场对应某种简谐振动的无穷多个能量量子的集合——当然，在这里，满足简谐振子运动方程的是场的广义坐标。把场的广义坐标和广义动量替代机械简谐振子的坐标和动量，满足同样的对易关系，利用按照同样的方式定义产生算符和湮灭算符，就可以把简谐振子理论全部照搬过来就是。国内一些工科教材上说“（单模）电磁场场对应无穷多个简谐振子的集合”，纯属以讹传讹哈，一些教材作者自己只知道照抄，许多地方没有弄明白。这种错误，相当于把某一简谐振子的无穷多个能量量子跟无穷多个简谐振子混淆起来。

事实上，在给定频率的偶极辐射的情况下，与场对应的简谐振子，本质上就是描述电偶极矩的简谐运动，场对应这个简谐振子的能量激发。换句话说，位移矢量之于机械运动的简谐振子，就如同电偶极矩矢量之于与电磁场对应的简谐振子（具体描述上，只相差一常数因子）。BTW，在有些包含复杂的电磁相互作用场合（例如凝聚态物理中），存在一些称为准粒子的元激发，它是某种集体作用的综合结果。

简谐运动很优美。量子力学中，（广义）坐标空间和（广义）动量空间之间存在某种对偶性，坐标算符Q和动量算符P构成一对共轭量，满足基本的对易关系[Q, P]=i （自然单位制）。由于坐标和动量不能同时测准，根据需要了解哪一方面的信息，而采用哪个空间表象。坐标空间中的波函数，必定对应动量空间中波函数的无穷叠加（因为此时动量不确定，各种可能性都有），反之亦然，这就是傅立叶变换发挥作用的地方。简谐运动很优美，其运动“轨迹”对应相空间中的一个椭圆（可以通过重新标度变成一个圆），即坐标和动量对它而言是完全对偶的。

（未完待续）

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-11-2 11:19 编辑 ]

senew · 发表于 2008-11-2 13:57:51

另一方面，由傅立叶分析我们知道，任何满足狄利克雷（Dirichlet）条件的函数，都可以用正弦和余弦函数的叠加表达出来（即用三角级数展开，其中周期函数只需用离散求和展开，而非周期函数需要用积分展开）。
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这个我才知道，原以为所有的函数都可以。请问在哪里有比较详细点的说明呢？

blackhole · 发表于 2008-11-2 14:37:22

非数学专业的高数书上就有。

一直想思考 · 发表于 2008-11-2 17:53:35

原帖由 senew 于 2008-11-2 13:57 发表
另一方面，由傅立叶分析我们知道，任何满足狄利克雷（Dirichlet）条件的函数，都可以用正弦和余弦函数的叠加表达出来（即用三角级数展开，其中周期函数只需用离散求和展开，而非周期函数需要用积分展开）。
========================== ...

blackhole兄说了（以前没看到）

我感觉谐振子最重要的是势能2级近似正好是谐振子。这就对应着好多物理实在。

[ 本帖最后由一直想思考于 2008-11-26 22:52 编辑 ]

fantadox · 发表于 2008-11-26 11:10:24

这意味着描述任何波动现象的函数，都可以表达成不同振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的叠加。因此，研究简谐振动是研究一切波动现象的基础。

－－－－－－－－－－－－－－－－－
但是，任何一个满足一定条件的函数都可以展开成任何一个完备正交函数系的叠加表达，未必一定展开成傅立叶级数，所以这个理由似乎并不足以说明简谐振动是研究一切波动现象的基础。简谐振动的特殊地位似乎另有原因，例如简谐振动的Hamiltonian具有很高的对称性什么的，我现在也说不太清楚。

星空浩淼 · 发表于 2008-11-26 12:05:56

任何一个满足一定条件的函数都可以展开成任何一个完备正交函数系的叠加表达，未必一定展开成傅立叶级数
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当某个函数可以表达成其他正交完备函数系的展开时，你也可以用另一个角度来看待这个函数曲线。同一个对象，本来就有很多种不同的解释方式。例如，一条直线，可以看作是由无穷多条正弦曲线叠加而成，也可以由无穷多条其他类型的非线性非周期的曲线叠加而成。但是一般而言，我们宁愿采用优美的、周期性的正弦曲线来叠加，那样表达方式显得更简洁优美，我们就采用哪样，傅立叶级数就有这样的特点。对于本文的论题而言，我只需关心傅立叶展开。傅立叶级数展开，存在统一的规律或者说存在一般的描述形式，或者说，属于“算法的”。而有些展开的表达形式，因不同特例而不同，属于“非算法的”。通常我们常用的级数展开，就是泰勒级数展开和傅立叶级数展开。

说简谐振子有哪些特性是一回事，说它是波动现象的基础，又是另外一回事。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-11-26 12:09 编辑 ]

fantadox · 发表于 2008-11-26 13:16:57

但是一般而言，我们宁愿采用优美的、周期性的正弦曲线来叠加，那样表达方式显得更简洁优美，我们就采用哪样，傅立叶级数就有这样的特点。

这个看上去是一个主观标准。

对于本文的论题而言，我只需关心傅立叶展开。傅立叶级数展开，存在统一的规律或者说存在一般的描述形式，或者说，属于“算法的”。而有些展开的表达形式，因不同特例而不同，属于“非算法的”。通常我们常用的级数展开，就是泰勒级数展开和傅立叶级数展开。

这个“算法的”意思是？哪种完备正交函数系展开的形式会因不同的特例而不同？

星空浩淼 · 发表于 2008-11-26 15:43:30

为了避免无谓的争论，下面我直接概述如下：

我们说：平面波是所有各类复杂的波动现象的基础。如果你偏要争论说“一般波包也可以分解为某些更为复杂的、甚至非周期运动的叠加”，所以说“平面波是所有各类复杂的波动现象的基础”没有根据，这样的话你这物理学就没法学了。就好比人家说夸克、轻子和规范子是这世界物质的结构基础，同理，按照你的逻辑，你也可以反驳说：一个电子，也可以看作是多个相互作用的复杂物质构造出来的，比如一个电子＝5个正氢离子+6个负钠离子＝......，所以氢离子钠离子才是物质的结构基础......。

科学理论是建立在一些不言而喻的语境下。
如果可以把复杂的问题A分解为多个简单的问题a1,a2,a3,...之和，那么，我们可以说，问题ai（i=1,2,...）是问题A的基础。——这就是楼顶文章的语境。

事实上，常常有这种情形：Ai=B1+B2+B3+...；反过来也有：Bj=A1+A2+A3+...。这时，根据不同问题的需要，就有不同的说法：在前一种情形，Bj是分析Ai的基础；在后一种情形，Ai是分析Bj的基础。这两种说法都对。

fantadox · 发表于 2008-11-26 19:16:12

星空兄，我得说明一下：我从来没说平面波和简谐运动不基本。我说的是一个东西可以分解为平面波的叠加这件事情并不能用于说明平面波更基本，如果这样的理由有效的话，那就可以用于论证原子比电子基本了。如果说平面波处理起来更简单，那当然可以作为平面波更基本的理由。但另一方面，是不是只要不是平面波，就一定是比平面波更复杂？我觉得这个复杂性的衡量似乎也是很主观的事情。如果说我们很擅长处理平面波，而不擅长处理其他的形式，所以平面波才更基本，这我当然也就没意见了，但这确实是一种主观的标准（一种标准是主观的，并不是说这个标准有什么不好，但我觉得星空兄的意思似乎是想要说明平面波和简谐振动具有一些“本质”的基本之处，因此就不能用主观的标准来判断了）。

另外，我确实不明白你所提到的“算法的”和“非算法的”里面这个“算法”是什么意思，因为这和我所了解到的算法概念似乎差异很大。

[ 本帖最后由 fantadox 于 2008-11-26 19:36 编辑 ]

一直想思考 · 发表于 2008-11-26 22:10:41

晃晃兄能否把你的QQ号发我啊？(短消息）

龙珠雷达 · 发表于 2008-11-26 22:19:59

刚看到这篇好文。
楼上，光学里用平面波展开，是因为平面波刚好对应fourier变换的核。除了平面波，还经常用球面波展开，因为球面波方程刚好对应三维空间的格林函数，相应的公式叫“瑞利-索莫非衍射积分公式”。至于其他的广义Fourier变换，我还没见过。
楼主，小弟一事不明，请赐教，“对于简谐振子而言，它的一次量子化理论和二次量子化理论是重合的。”是什么意思？我印象中量子力学里就是求出谐振子能级用坐标和动量表示了，到了场论里就改成了产生和湮灭算符。你是不是想说，如果第二次量子化不是用能量本征值展开（比如相干态），就和第一次量子化坐标表象中的波函数表达式不一样？
“电磁场对应无穷多个简谐振子的集合”是不是指一个处于统计混合态的光场需要用密度矩阵表示？一个纯态的光场可以表示成一个波函数，当然可以在希尔伯特空间展开。一个统计混合态的光场需要用密度矩阵，表示成纯态波函数的相干叠加。

星空浩淼 · 发表于 2008-11-26 23:30:16

fantadox：
我觉得你很多时候是为争论而争论，而不是为了通过讨论弄清一个问题，因此常常有不少无谓的争论。例如你常常抓住一句话断章取义而完全不管上下文。我原文说“描述任何波动现象的函数，都可以表达成不同振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的（时空）叠加。因此，研究简谐振动是研究一切波动现象的基础”，如果你认为这句话有问题，物理教材在你眼里全都是问题（比如，如果有人骗你说那不是教材上的现成理论，而是他自己写的）。整天光钻研这些都钻研不完，不要说去学习物理搞物理了。
我提到“算法”一词是在引申的意义上说的。尽管如此，跟实际的含义也相差不远。

龙珠雷达：
直接解Schrodinger方程来获得简谐振子的量子力学内容，是它的一次量子化理论方法，这里采用了量子力学状态的位置空间表示；通过引入产生算子和湮灭算子，用代数方法求解来获得简谐振子的量子力学内容，是它的二次量子化理论方法，这里采用粒子数表象。两种方法等效，描述同一个量子力学内容，所以说二者“重合”。简谐振子同时是讲述一次量子化和二次量子化的经典案例。但是一般的量子力学问题，比如量子隧穿问题，就不是这样。一般情况下，一次量子化下的量子力学内容，跟二次量子化（或场量子化）下的量子场论内容，是不同的。

“电磁场对应无穷多个简谐振子的集合”这个说法不准确。对于单个频率的电磁场（单模场）而言，只对应一个简谐振子，而光子场，对应这个简谐振子激发的能量量子。能量量子可以有无穷多个，但是简谐振子只有一个（例如，在电偶极辐射下，它本质上是天线上做简谐振荡的电偶极子，光场则是天线辐射的能量量子）。

当然多模场（多个频率成份的叠加场）是对应多个不同频率的简谐振子集合。无论是多模的混合场还是单模的纯态场，都可以用密度矩阵来描述。混合系综不对应相干叠加，否则就不叫做“混合态”了。即使是单模场，也有热辐射的Planck统计分布的混合场（例如相位分布杂乱无章），也有步调一致、按照Poisson分布的相干场——激光场。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-11-26 23:32 编辑 ]

fantadox · 发表于 2008-11-27 01:19:56

原帖由 星空浩淼 于 2008-11-26 23:30 发表
fantadox：
fantadox：
我觉得你很多时候是为争论而争论，而不是为了通过讨论弄清一个问题，因此常常有不少无谓的争论。例如你常常抓住一句话断章取义而完全不管上下文。我原文说“描述任何波动现象的函数，都可以表达成不同振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的（时空）叠加。因此，研究简谐振动是研究一切波动现象的基础”，如果你认为这句话有问题，物理教材在你眼里全都是问题（比如，如果有人骗你说那不是教材上的现成理论，而是他自己写的）。整天光钻研这些都钻研不完，不要说去学习物理搞物理了。
我提到“算法”一词是在引申的意义上说的。尽管如此，跟实际的含义也相差不远。

晕，如果你觉得我的话很冒犯，那么我道歉好了。

我确实觉得，因为什么都可以展开为平面波所以就认为平面波基本，这个说法说不通。我指出这一点并不是为了争论而争论，仅仅是提出我的疑问而已。如果你的这句话只是一句描述性的说明，那么你直接告诉我重点不在这里就好了。但你后面给我的解释却认为我不承认平面波和谐振子很基本，这当然不是我的本意了。我就是想知道到底是哪种深刻的理由使简谐振子的运动有如此特殊的地位。't Hooft说过：“一个物理学家的职业道路就是不断地用更加抽象方式来描述简谐振子。”（大意如此吧），所以我对这个问题很感兴趣。

你如果觉得我“很多时候是为争论而争论”，不知道你指的是我之前的哪些争论。我对争论本身没有任何兴趣，不明白为什么我问个我想弄明白的问题就会引出这种评价。我确实喜欢计较一些不十分清晰的表述，因为它们让我困惑，如果它们真的是有意义的，就应该有办法澄清。

sage · 发表于 2008-11-27 02:18:48

There might be some misunderstanding here. however, I did not see anyone is arguing just for the sake of argument. I think fantadox might have asked some questions not in the totally straightforward way. But I think Xing1 Kong1 is not answering the real question either.

The reason for which plane-wave, or simple harmonic oscillator, expansion is very useful has nothing to do with the fact that it is beautiful. It is useful because most system we know are very weakly coupled, if not exactly free (or linear). Therefore, free states form a good basis for perturbation theory. We also have plenty of examples where the good basis to start is not plane-wave, since in this basis the system will be strongly coupled. For example, in AdS space with boundaries, the right basis to start is Bessel functions.

Therefore, whether plane-wave is more fundamental really depends on what system you are studying and what you mean by fundamental.

fantadox · 发表于 2008-11-27 03:02:04

多谢sage兄，这正是我特别想要知道的东东！

我想我应该一开头就直接问这些东西很基本很有用的更深层原因到底是什么，而不是通过质疑星空兄的描述性的说法来开始我的问题。

季候风 · 发表于 2008-11-27 06:13:34

平面波与其它正交基还是有区别的。很多正交基，比如正交多项式，只是 [tex] L^2[a,b] [/tex] 的基，而不是 $L^2(\mathbb R)$ 的基。而且由于其可数性，展开系数是级数，而不是积分变换的形式。

以简谐振动为基的展开是积分变换，这个变换不仅是 $L^2(\mathbb R)$ 到自身的同构，而且可以扩展到像常数函数和 delta 函数等一大类 “广义函数” 上面去，成为 “平缓广义函数” 空间到自身的同构。

平面波乘上函数，与对函数进行平移互为共轭运算，而平移的无穷小生成元是求导。

所以平面波的地位还是非常特殊的。

[ 本帖最后由季候风于 2008-11-27 06:18 编辑 ]

星空浩淼 · 发表于 2008-11-27 21:06:44

在物理学中，我们常会把一个复杂的东西分解为多个简单的东西进行研究，此时，我们常常会说，弄清这些简单的东西，是研究原来那个复杂问题的基础。

一般的波动现象（比如一个波包），可以分解为多个单频率成份的组合，每个单频率成份，对应一个平面波（当然也可以是球面波，这不改变问题的实质）。因此，我们完全可以说，单频率波，是多个频率构成的复杂波动现象的基础。一般的运动（包括直线运动，以及其他一些复杂的非周期运动），可以分解为多个不同频率、不同振幅和不同初相的简谐振动（或平面波）的线性组合，在这种意义上，我们可以把简谐振动（或平面波）看作是一般运动的基础。

星空浩淼 · 发表于 2008-11-27 21:13:57

fantadox：
说道歉就言重了，你没有冒犯我什么。只是看你过去常与人争得不可开交，我担心自己也转入其中，所以给你一个“打住”姿势。sage兄给你解释清楚了，我就不多说什么了

这段时间工作压力大，心情烦躁，可能这种情绪不小心带进了发帖子中。

fantadox · 发表于 2008-11-27 22:48:23

原帖由 星空浩淼 于 2008-11-27 21:13 发表
fantadox：
说道歉就言重了，你没有冒犯我什么。只是看你过去常与人争得不可开交，我担心自己也转入其中，所以给你一个“打住”姿势。sage兄给你解释清楚了，我就不多说什么了
这段时间工作压力大，心情烦躁，可能这种情绪不 ...

我确实是一个容易跟别人争得不可开交的人，但我从来都不以争胜为乐。我的毛病是在争论过程中对方变得以获胜为目的的情况下，还在不断地试图跟对方讨论对错，这当然很难达到目的。我这个毛病可能是很难改变的，如果所浪费的精力不严重影响我的生活，我也没有特别强烈的动力改正这个毛病，权且当作一种思维严密性的练习吧。

fantadox · 发表于 2008-11-28 00:48:53

原帖由 季候风 于 2008-11-27 06:13 发表
平面波乘上函数，与对函数进行平移互为共轭运算，而平移的无穷小生成元是求导。

多谢风兄！刚刚学了一点群论，看了你的话我才意识到平移的最小生成元是求导，虽然之前在量子力学中已经遇到过，豁然开朗啊

phymath999

Tuesday, December 24, 2013

平移的最小生成元是求导, plane-wave, or simple harmonic oscillator, It is useful because most system we know are very weakly coupled, if not exactly free (or linear)

从简谐振子说起

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