二次量子化是从自由单粒子波函数构造自由多粒子系统波函数的办法，即将自由单粒子波函数视为产生算符，连续作用于真空，得到多粒子态
我也觉得谐振子的代数解法只是 “量子化” 而不是 “二次量子化”。
我理解的二次量子化是从自由单粒子波函数构造自由多粒子系统波函数的办法，即将自由单粒子波函数视为产生算符，连续作用于真空，得到多粒子态。
谐振子描述 “一个粒子” 在某个特殊势能下的运动，自有其波函数，但首先，这个波函数不是 “自由粒子” 的波函数；其次，它虽然可以由貌似的 “产生算子” 连续作用于真空得到，但它并不描述 “多粒子态”，而只是 “一个粒子” 的不同能级的态
|
|
直接解Schrodinger方程来获得简谐振子的量子力学内容，是它的一次量子化理论方法，这里采用了量子力学状态的位置空间表示；通过引入产生算子和湮灭算子，用代数方法求解来获得简谐振子的量子力学内容，是它的二次量子化理论方法，这里采用粒子数表象。两种方法等效，描述同一个量子力学内容，所以说二者“重合”。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这个不对。不能凡看到产生和消灭算子就认为进入了二次量子化。谐振子中的这两种算子是由坐标和动量算符构成的，仍然是普通量子力学。当然可以承认这跟二次量子化有相似之处，但这不是原因。
季候风从数学角度谈到平面波的特殊性，这是成立的。但从物理应用上说，我仍然觉得平面波与其他正交函数组在地位上没有多大区别。从物理上看，甚至可以将傅立叶级数与傅立叶积分等同起来，都是平面波的叠加吗。当然，具体做运算时，必须注意二者的区别。
[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-11-28 12:40 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
这个不对。不能凡看到产生和消灭算子就认为进入了二次量子化。谐振子中的这两种算子是由坐标和动量算符构成的，仍然是普通量子力学。当然可以承认这跟二次量子化有相似之处，但这不是原因。
---------------------------------------------------------
如果你要自创另一种叫法也可以，不过这样不符合现有量子光学教材上的语言约定。
产生算符和湮灭算符，原本就是由坐标和动量算符重新作线性组合给出的，前者对应后者的正交变换。一般地，在Fock空间中完成的量子化，即有“粒子数算符”这些概念的，属于二次量子化范围。
例如在场量子化（可以看作是“二次量子化”的升级叫法）中，产生算符和湮灭算符，都可以由坐标和动量算符这样线性组合出来（在这里就对应连续求和，即积分了）。有点不同的是，场论中，要用拉格朗日量密度代替通常分析力学中的拉格朗日量，相应地，动量其实是动量密度。从分析力学的眼光看，正则坐标和正则动量共轭对，不管是那种广义坐标和广义动量，都是平权的，通常三维空间中粒子的位置坐标和动量形成的共轭对，不过是正则坐标－动量共轭对的一个特例。产生算符和湮灭算符之间的对易关系，是由广义坐标和广义动量之间满足的对易关系推导出来的。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 01:26 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
我也觉得谐振子的代数解法只是 “量子化” 而不是 “二次量子化”。
我理解的二次量子化是从自由单粒子波函数构造自由多粒子系统波函数的办法，即将自由单粒子波函数视为产生算符，连续作用于真空，得到多粒子态。
谐振子描述 “一个粒子” 在某个特殊势能下的运动，自有其波函数，但首先，这个波函数不是 “自由粒子” 的波函数；其次，它虽然可以由貌似的 “产生算子” 连续作用于真空得到，但它并不描述 “多粒子态”，而只是 “一个粒子” 的不同能级的态。
星空如果坚持这是二次量子化，能否指出谐振子中的 “产生算符” 对应到哪个自由粒子的波函数？ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
季兄这里有个混淆：你把简谐振子和简谐振子激发产生的能量量子混为一谈了。谐振子的能量是量子化的，是由一份份组成的，每个能量单元就是一个能量量子，所谓“粒子”或者“粒子数”，指的是能量量子和能量量子数，而不是指简谐振子，简谐振子只是一个产生量子场的源。简谐振子只有一个，它的能量量子可以有无穷多个。
可能类比一下你更好理解：电偶极矩做简谐振动，构成一个简谐振子（跟机械的简谐振子相比，这里是用电偶极矩矢量随时间的变化来描述，而机械振动那里是用位移矢量的时间变化来描述）；它所激发的能量量子，就是电磁场的能量量子，即光子。对工科学生讲述的电磁场量子化，就是先讲简谐振子的二次量子化理论，然后在直接移植到电磁场的量子化理论中来。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-28 23:05 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
“电磁场对应无穷多个谐振子” 的意思，应该是说在每个空间点有一个振子，
 = A(\mathbf{x})\,e^{iEt} "A(\mathbf{x},t) = A(\mathbf{x})\,e^{iEt}")
这个说法不够准确，因为 Hamiltonian
^2 +\frac12 (\nabla\phi(x))^2+ \frac12 m^2\phi(x)^2 "\int d^3\mathbf{x}\; \frac12 \pi(\mathbf{x})^2 +\frac12 (\nabla\phi(x))^2+ \frac12 m^2\phi(x)^2")
不是严格地与离散自由度的谐振子 Hamiltonian 具有相同形式。
但这种说法也不是谬误。
[ 本帖最后由 季候风 于 2008-11-28 23:59 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
回复 24# 的帖子
我很清楚你说的这一点。
我的意思是，在二次量子化中，有一个单粒子波动方程，它的解被作为产生算符。如果把谐振子视为二次量子化，那么相应的单粒子波动方程是什么？ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
| 我在原文中是反驳“电磁场对应无穷多个谐振子”这一说法的，这正是把谐振子跟谐振子激发的能量量子混为一谈的说法 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
回26楼：
可能你对这个理解得狭义了一点，二次量子化在概念上跟单粒子波动方程什么的无关。你只能说，一些满足单粒子波动方程的体系，可以对之二次量子化。
事实上，这跟你所想的，其实恰好是反过来的：不是以是否有单粒子波动方程作为“标准”，而是以是否满足简谐振子方程作为“标准”。在二次量子化中，一些满足波动方程的体系，其状态波函数（更一般地说，场量）可以用广义坐标表达出来（用其时间导数构造广义动量），这个广义坐标满足简谐振子的方程，然后，让广义坐标和广义动量变成算符，满足坐标－动量之间的对易关系，就完成了量子化过程。产生算子和湮灭算子，可以用广义坐标算符和广义动量算符给出。换句话说，在这种处理下，每一种有待二次量子化的体系，都变成了一个简谐振子体系，再按照简谐振子量子化方法进行二次量子化。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
这么说吧，你我的意思可以总结为一句话，
一个谐振子的态空间，同构于零自旋玻色子的自由多粒子态空间。 或者， 这个断言非常有问题，见后面我的回帖
对谐振子做 “量子化” 得到的 Hilbert 空间，同构于对自由玻色子做 “二次量子化” 得到的 Hilbert 空间。 这个断言非常有问题，见后面我的回帖
你我的分歧在于 “二次量子化” 的定义。你认为 “二次量子化” 就是使用产生湮灭算符，而我认为 “二次量子化” 应该建议在 “一次量子化” 的基础之上。不过，本来这种概念上的精细区分也是无所谓的事，是我过于执着了。
[ 本帖最后由 季候风 于 2008-11-28 23:44 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
例如在场量子化（可以看作是“二次量子化”的升级叫法）中，产生算符和湮灭算符，都可以由坐标和动量算符这样线性组合出来（在这里就对应连续求和，即积分了）。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
现在我终于比较清醒地明白sage所说的二次量子化和一次量子化没有本质区别、甚至称呼其“二次”有误导嫌疑之类的话了。（应该是sage所说的吧？）场量子化中组成产生算符和湮灭算符的也是坐标和动量，\psi就是此时的坐标。这一点我虽然知道，但并不是我的第一反应。我的第一反应是：\psi首先是波函数，然后被视为场算符。这个观点根深蒂固。只在具体谈论的时候，才能说出\psi就是坐标的话来。现在我意识到，首先想到的必须是“\psi就是坐标”，而“\psi首先是波函数，然后被视为场算符”确实是次要的，二次量子化的“二次”确实是有一定误导嫌疑的。
然而，这不能说我对楼主的纠正不对。楼主是经常谈论二次量子化的，当然我也这样（但以后会多想想了）。在此前提下，就必须找到被视为算符的那个波函数是什么。但通常的谐振子的代数解法中是找不到这个东西的。
所谓“粒子”或者“粒子数”，指的是能量量子和能量量子数，而不是指简谐振子，简谐振子只是一个产生量子场的源。简谐振子只有一个，它的能量量子可以有无穷多个。
～～～～～～～～～～～～～～～～
这是对的。但我想问一句：直接解Schrodinger方程来获得的谐振子的能量本征函数\psi_n(x)能否认为是有n个能量量子？
“电磁场对应无穷多个谐振子” 的意思，应该是说在每个空间点有一个振子。这个说法不够准确，因为 Hamiltonian不是严格地与离散自由度的谐振子 Hamiltonian 具有相同形式。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
嗯，是不够准确，因为这种谐振子不但具有能量，还具有动量。而通常离散自由度的（换成以前，我会说通常量子力学中的，意指一次量子化）谐振子只具有能量。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
回复 29# 的帖子
恩，我这里的断言非常有问题。一个谐振子的态空间还是比玻色子二次量子化的态空间小太多了。
一个谐振子的第 n 能级只有一个态，而 n 个玻色子的自由系统有无穷多个态。
这正好支持了我的论点，谐振子的 Fock 表象不能称为二次量子化。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
我明白你的意思，其实你原来的理解不算错。
二次量子化之所以称作“二次”量子化，大致是这样的：把色散关系中的经典力学量换成力学量算符，等号两边同时作用于同一个波函数，得到Schrodinger方程，解方程可给出量子力学内容，这是一次量子化。在一次量子化中，力学量换成算符，而波函数仍然是c数。到了二次量子化那里，进一步把波函数看作Fock空间中的算符，把波函数用产生算符和湮灭算符表达出来，这样完成二次量子化。
但是，从广义坐标－广义动量的观点看，可以把二次量子化统一到一次量子化中来（对场而言，就是场量子化）。因为一次量子化的程序，就是把坐标和动量换成算符，它们满足一个对易关系。而引入广义坐标广义动量概念之后，从经典力学（经典场论）到量子力学（量子场论），是让广义坐标和广义动量换成对应的算符，并且让它们满足的Poisson括号换成量子括号。在这里，就不存在“二次量子化”了。简谐振子，正是把二次量子化和一次量子化统一到一起的经典范例。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
| blackhole兄原来的理解也不算错，因为科学发展的历史的确经历了这么一个过程，人们的认识经历了这么一个过程。恰好国内的有些教材比较老化，你我也就跟随历史走过这么一个认识过程。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
嗯，是不够准确，因为这种谐振子不但具有能量，还具有动量。而通常离散自由度的（换成以前，我会说通常量子力学中的，意指一次量子化）谐振子只具有能量。
嗯，这里的差别
)^2 "\frac12 (\nabla\phi(\mathbf{x}))^2")
的确造成了 Fock 空间的第 n 级有无穷多个态，使得它严重区别于谐振子。
看来，“场是无穷多个谐振子” 的观点，反而是建立在把二次量子化（更一般的，场量子化）视为谐振子量子化的观点之上。星空兄和我都有一点逻辑问题，星空兄持后一观点而反对前一观点，而我反对后一观点但支持前一观点。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
回31楼：
你这里又混淆了。
1）我32楼写的，这里不重复。
2）简谐振子在这里不能只理解为机械振子。某个质点的位移矢量满足简谐振动方程时，构成一个机械的简谐振子，其能量量子是声子；某个电偶极矩矢量满足简谐振动方程时，构成一个天线的简谐振子，其能量量子是光子。声子是无自旋的标量Bose粒子；光子是自旋为1的Bose粒子，后者因此还多出极化自由度（自旋自由度），所以相应的态矢量有更多的自由度指标。
3）单模（即单频率）的自由电磁场，相当于一个简谐振子激发的光子场；多模（多频率）的自由电磁场，相当于同时由多个不同振动频率的简谐振子激发的光子场。
不考虑极化方向（例如让偏振方向在X轴上），则单模电磁场的状态，可以用粒子数算符本征态|n>来描述；设|n(s)>表示第s模场的光子数本征态，则|n(1)>|n(2)>...|ns>..表示多模场的光子数本征态。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
回复 35# 的帖子
我没有混淆啊，是你混淆吧，
换句话说，对于简谐振子而言，它的一次量子化理论和二次量子化理论是重合的。在简谐振子的一次量子化方法求解中的波函数φ(x)，对应它的二次量子化方法求解中态矢|n>的位置空间表示：φ(x)＝<x|n>。
我反对你这一句。我的观点是，谐振子没有二次量子化。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
但我想问一句：直接解Schrodinger方程来获得的谐振子的能量本征函数\psi_n(x)能否认为是有n个能量量子？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
是的，因为能量的本征态仍然是
E_n=ħω(n+1/2)，n=0,1,2...
而波函数Ψ_n(x)=<x|n>，是粒子数本征态|n>在位置本征态|x>上的投影，即是粒子数本征态|n>的位置空间表示。同理，产生算符和湮灭算符，此时也就有了具体的表示——事实上，季兄以前在谈几何量子化时，谈到的，就是位置空间中的具体表示。 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
原帖由 季候风 于 2008-11-29 00:14 发表 ![]()
我反对你这一句。我的观点是，谐振子没有二次量子化。
如果你认为这世界上不曾有二次量子化这回事，那我同意你的这一说法。即如我在32楼所说的，由于二次量子化可以统一到一次量子化的框架中去，所以说谐振子没有二次量子化。如果你不是这个意思，那么你的看法肯定是有问题的。
通常对简谐振子的量子化，是把简谐振子的总能量表达式中的坐标与位置换成算符，总能量变成简谐振子的哈密顿算符，再作用于波函数，得到简谐振子的Schrodinger方程。这就是用一次量子化方法完成的简谐振子量子化理论；反之，如果引入产生算符和湮灭算符，把简谐振子的总能量用粒子数算符表达出来，其中可以证明粒子数算符的本征值是非负的整数。这就是用二次量子化方法完成的简谐振子量子化理论。为了把后一种方法区别于前一种方法，我们仍然不得不起用“二次量子化”这个称呼。对简谐振子采用一次量子化方法时，其坐标和动量是位置本征态构成的Hilbert空间中的算符；采用二次量子化方法时，坐标和动量则是Fock空间中的算符。这两种量子化方法，给出同一个物理内容。
在量子力学水平上，一次量子化和二次量子化的区分还是用得着的。毕竟，一次量子化下，波函数是c数；二次量子化下，原来的c数波函数进一步变成了Fock空间中的算符。这个时候，你不得不用“二次量子化”这个词来描述，以示与一次量子化之间的区别。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 00:48 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
|
|
反之，如果引入产生算符和湮灭算符，把简谐振子的总能量用粒子数算符表达出来，其中可以证明粒子数算符的本征值是非负的整数。这就是用二次量子化方法完成的简谐振子量子化理论。
我之前已经说过了，如果你要坚持产生和湮灭算符的出现就代表二次量子化的话也没办法，那你肯定不会认同我的观点。但根据表示理论，量子力学里几乎所有的对称性都可以有所谓 “最高权” 表示，也就是说，所有量子体系都可以用产生湮灭算符的方法构造 Hilbert 空间。如果按你的标准，所有一次量子化都可以叫做二次量子化，那前人何必要用 “二次” 这个词来加以区分呢？ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
见我38楼编辑之后的回答。
你39楼说的完全正确，所以后来人们觉得没有必要再持“二次量子化”这种看法，因为二次量子化可以统一到一次量子化的框架中去。但是在历史上，人们并不是一开始就认清了这一点。你说的表示理论，那时后来理论走向成熟了，人们从更深的层次上去理解去研究的结果，更具一般性和严格性。
跟季兄、blackhole兄共同讨论的结果：
简谐振子的所谓一次量子化和二次量子化方法，其实是对同一对象的量子化在不同表示空间中的不同表示而已。前者是在位置本征态张成的Hilbert空间中的表示，后者是在粒子数本征态张成的Hilbert空间中的表示（粒子数本征态张成的Hilbert空间，常称作Fock空间）。为了以示区别，人们才沿用老的叫法称呼第二种方法为“二次量子化方法”。而实际上，经由广义坐标和广义动量的概念，Fock空间中完成的二次量子化（场量子化）可以统一到一次量子化的框架中去。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 01:08 编辑 ] |
|
|
|
|
|
| |
С|手机版|繁星客栈 
GMT+8, 2013-12-25 13:04 , Processed in 0.086783 second(s), 9 queries , Apc On.
江西省南昌市
发表于 2008-11-28 12:18:47 
Astoria
No comments:
Post a Comment