力學: 牛頓力學, 彈性、液體和熱力學 - 第 302 頁 - Google 圖書結果
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所以在 I 的任何位置,波出現的機率都一樣,即式〈 5 - 32 〉是空間一維的平面波〈正弦
長久以來，不確定性原理與另一種類似的物理效應（稱為觀察者效應）時常會被混淆在一起。[5][7]觀察者效應指出，對於系統的測量不可避免地會影響到這系統。為了解釋量子不確定性，海森堡的表述所援用的是量子層級的觀察者效應。[8] 之後，物理學者漸漸發覺，肯納德的表述所涉及的不確定性原理是所有類波系統的內秉性質，它之所以會出現於量子力學完全是因為量子物體的波粒二象性，它實際表現出量子系統的基礎性質，而不是對於當今科技實驗觀測能力的定量評估。[9] 在這裏特別強調，測量不是只有實驗觀察者參與的過程，而是經典物體與量子物體之間的相互作用，不論是否有任何觀察者參與這過程。[10]
根據德布羅意假說，物體是物質波，這性質稱為波粒二象性。粒子的位置可以用波函數
描述。假設這波函數的空間部分
是單色平面波，以方程式表示
；
其中，
是波數，
是動量。
玻恩定則（Born rule）表明，波函數可以用來計算機率，在位置
與
之間找到粒子的機率
為
是波數，是動量。玻恩定則（Born rule）表明，波函數可以用來計算機率，在位置
與之間找到粒子的機率為![P[a \leq x \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x](http://upload.wikimedia.org/math/b/e/f/befd81592bea2006cde1fb616fe73464.png)
。
；
其中，係數
是動量為
的粒子模態的貢獻。
取連續性極限，波函數是所有可能模態的積分：
是動量為的粒子模態的貢獻。取連續性極限，波函數是所有可能模態的積分：
；
其中，
是這些連續性模態的數值，稱為動量空間的波函數。
以數學術語表達，的傅立葉變換是，位置
與動量
是共軛對偶。將這些平面波疊加在一起的副作用是動量的不確定性變大，是很多不同動量的平面波組成的混合波。標準差
定量地描述位置與動量的不確定性。粒子位置的機率密度函數
可以用來計算其標準差。使用更多平面波，可以減低位置的不確定性，即減低
，但也因此增加動量的不確定性，即增加
。這就是不確定性原理的概念。
是這些連續性模態的數值，稱為動量空間的波函數。以數學術語表達，
的傅立葉變換是，位置與動量是共軛對偶。將這些平面波疊加在一起的副作用是動量的不確定性變大，是很多不同動量的平面波組成的混合波。標準差定量地描述位置與動量的不確定性。粒子位置的機率密度函數可以用來計算其標準差。使用更多平面波，可以減低位置的不確定性，即減低，但也因此增加動量的不確定性，即增加。這就是不確定性原理的概念。
列夫·朗道曾經開玩笑說：「違反能量-時間不確定性很容易，我只需很精確地測量能量，然後緊盯著我的手錶就行了！」[25] 儘管如此，愛因斯坦和波耳很明白這關係式的啟發性意義：一個只能暫時存在的量子態，不能擁有明確的能量；為了要擁有明確的能量，必須很準確地測量量子態的頻率，這連帶地要求量子態持續很多週期。[25]
例如，在光譜學裏，激發態（excited state）的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的平均能量是量子態的理論能量，可是，能量分佈的峰寬是有限值，稱為自然線寬（natural linewidth）。衰變快的量子態線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。[26] 衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔（microwave cavity）來減緩衰變率[27]。這線寬效應，使得對於測量衰變快粒子靜止質量的工作，也變得很困難。粒子衰變越快，它的質量的測量越不確定。[28]:80
關於能量與時間的不確定性原理時常會被錯誤地表述：假若，測量一個量子系統的能量至不確定性至多為
，那麼，需要的測量時間間隔為
。[26] 這表述與蘭道的評論所提到的表述類似。亞基爾·阿哈羅諾夫和戴維·玻姆指出這表述不成立。[29] 時間間隔
是系統維持大致不變、不受到擾動的時間間隔；而不是實驗儀器開啟關閉的測量時間間隔。
另外還有一種常見的錯誤概念，即能量-時間不確定性原理允許物理系統暫時違背能量守恆，物理系統可以從宇宙中暫時借用能量，只要能在短時間內全數還回就行。雖然這符合相對論性量子力學的精髓，但這是基於錯誤公理──在所有時間宇宙能量是完全已知參數。更正確地說，假若事件發生的時間間隔很短，則這事件的能量不確定性很大。因此，假設量子場論的計算涉及到暫時電子正子偶，這並不表示能量守恆被違背，而是量子系統的能量的不確定性並不能狹窄限制其物理行為。這樣，所有可能物理行為與相關影響都必須納入量子計算，包括那些具有能量比能量分佈平均值大很多或小很多的物理行為。[28]:56真實系統的能量與無擾動系統的能量不同，不應混淆在一起。[26]
例如，在光譜學裏，激發態（excited state）的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的平均能量是量子態的理論能量，可是，能量分佈的峰寬是有限值，稱為自然線寬（natural linewidth）。衰變快的量子態線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。[26] 衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔（microwave cavity）來減緩衰變率[27]。這線寬效應，使得對於測量衰變快粒子靜止質量的工作，也變得很困難。粒子衰變越快，它的質量的測量越不確定。[28]:80
關於能量與時間的不確定性原理時常會被錯誤地表述：假若，測量一個量子系統的能量至不確定性至多為
，那麼，需要的測量時間間隔為。[26] 這表述與蘭道的評論所提到的表述類似。亞基爾·阿哈羅諾夫和戴維·玻姆指出這表述不成立。[29] 時間間隔是系統維持大致不變、不受到擾動的時間間隔；而不是實驗儀器開啟關閉的測量時間間隔。另外還有一種常見的錯誤概念，即能量-時間不確定性原理允許物理系統暫時違背能量守恆，物理系統可以從宇宙中暫時借用能量，只要能在短時間內全數還回就行。雖然這符合相對論性量子力學的精髓，但這是基於錯誤公理──在所有時間宇宙能量是完全已知參數。更正確地說，假若事件發生的時間間隔很短，則這事件的能量不確定性很大。因此，假設量子場論的計算涉及到暫時電子正子偶，這並不表示能量守恆被違背，而是量子系統的能量的不確定性並不能狹窄限制其物理行為。這樣，所有可能物理行為與相關影響都必須納入量子計算，包括那些具有能量比能量分佈平均值大很多或小很多的物理行為。[28]:56真實系統的能量與無擾動系統的能量不同，不應混淆在一起。[26]
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