超扩散则意味着粒子存 在长跳跃的物理机制，Ｌｅｖｙ飞行 长尾分布的非高斯噪声激 励来产生

在爱因斯坦１００年前创立的无规行走扩散理论中，行走是一个不连续过程，即假设在每个 节拍振荡时间内，粒子随机跳跃一次。而连续时间无规行走引入了两次成功跳跃之间有一个 等待时间分布，且等待时间分布的一次距和跳跃长度分布的二次距中有一个是发散的。其揭 示欠扩散对应于长的等待时间，由分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程来描写；而超扩散则意味着粒子存 在长跳跃的物理机制，Ｌｅｖｙ飞行就属于此类，这种运动也可以通过长尾分布的非高斯噪声激 励来产生。布朗运动的高斯解是中心极限定理的必然结果。便于数值模拟有势中的反常输运 的当属含非Ｏｈｍｉｃ记忆摩擦的广义 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程。系统长时间动力学行为取决于噪声功率 谱的低频分布，因此当热色噪声的低频被滤掉，导致系统的有效摩擦消失，自由粒子呈现热扩 散的极限情形：弹道扩散。在这一过程中，Ｋｕｂｏ第二涨落耗散定理被满足，但系统的稳定态部 分依赖于它的初始速度分布，各态历经性和平衡态被破坏。

分数布朗运动和反常扩散
包景东 （北京师范大学物理系，北京 １００８７５）
摘　要： 　本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们 在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。 关键词：分数布朗运动；反常扩散；连续时间无规行走；广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程；弹道扩散 中图分类号：Ｏ４１５．６　　　　　　　文献标识码：Ａ ０　引言 历史上，布朗运动现象追源于ＪａｎＩｎｇｅｎｈａｕｓｚ在１７８５年观测木炭粉末在酒表面的运动；后 来ＲｏｂｅｒｔＢｒｏｗｎ在１８２８年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散；１９０５年ＡｌｂｅｒｔＥｉｎｓｔｅｉｎ用随 机行走解释流体分子的热运动；１９２６年 ＪｅａｎＰｅｒｒｉｎ因为测量 Ａｖｏｇａｄｒｏ常数获 Ｎｏｂｅｌ物理奖。 整整一百年前，伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章［１］，建立了布朗运动的扩散理 论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动，粒子每隔τ时间被撞击一次而移动距离 ｌ，每次撞 击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻 ｔ，粒子已受到了 ｎ＝ｔ／ τ次撞击。爱因斯坦证得：粒子的平均位移为零，〈ｘ（ｔ）〉＝０；方均位移写作〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｄｔ，这里Ｄ＝ｌ ２／ （２τ）。其实这是扩散方程 ｔ Ｐ（ｘ ，ｔ ）＝Ｄ ２ ｘＰ（ｘ ，ｔ）的高斯分布函数解的前两次 距，也是中心极限定理的直接结果


上世纪４０年代以后，布朗运动的动力学研究开始兴起［２， ３］。两个等价的方程是 Ｌａｎｇｅｖｉｎ 方程和ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程 ［４］，前者是关于粒子轨道的随机微分方程；后者是关于分布函数随 时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本，因为在有些情况下写不出精确的 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，例如色噪声和记忆阻尼。Ｋｕｂｏ认为布朗运动可以看成一个系统受到外界 随机扰动的响应，提出了第一和第二涨落耗散定理［５］。站在更广义的角度上，用纯粹的微观 理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的，因为哪里包含了大 量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自
由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转 换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动