布朗運動: 從花粉的隨機行走到經濟學
psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/v27/453.doc
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布朗運動_ - Cocrun.com
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原子分子的存在乃氣體運動的基礎，而布朗運動則是證明分子存在的一種現象，故. 布期運勸 ... 由愛因斯坦(1905)的理論及Perrin (1908 年)的實驗證實為正確的。 J . Perrin（ .... μ 是由整個懸浮液系統，即懸浮粒子，液體及平衡溫度決定，可由實驗求得。
＋四、布朗運動(Brownian Motion )
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布朗運動(Brownian Motion)
編著者；張潔儀
【目的】 觀察懸浮粒子在平衡系中的隨機運動（random motion ) ，並求波茲曼常數
（ Boltzmann Constant , ） · 23 11.38 10 − −= × JKk
【簡介】 原子分子的存在乃氣體運動的基礎，而布朗運動則是證明分子存在的一種現象，故 布期運勸實驗在物理學的發展上有著重要的地位。 布朗乃 19 世紀初的一位植物學家，他於 1872 年在顯微鏡下觀察到懸浮於液體中的 花粉粒子有不規則的運動，後來更發覺此種現象亦發生於懸浮的無機物粒子上，故此種運 動並非生物體的自發性運動。通過觀察，他發現這些運動是完全不規則的，故不可能是由 於液體的對流；而粒子的速度會因液體黏性減小而增高；且粒子越小時，其運動速度亦越 大。布朗對此現象的解釋是：粒子受液體分子碰撞而作出不規則的運動。一個懸浮於液體 中的粒子，會不斷受液體分子的碰撞，由機率的觀點看來，粒子在瞬問中，左邊所受到液 體分子的撞擊數目跟右邊的會不一樣，故粒子會因左、右受力不平衡而產生運動。只要液 體分子的熱擾動繼續，懸浮粒子便會繼鎖顯出隨機運動，即所謂的布朗運動。此解釋，後 由愛因斯坦(1905)的理論及 Perrin (1908 年)的實驗證實為正確的。 J . Perrin（ 1908 年）做兩個實驗證實上述說法： (1) 實驗之一，於顯微鏡下，以時間 τ 的問距，觀察某一懸浮粒子的 x Δ 。(此即本實驗的方 法) (2) Perrin 的第二個實驗，係以顯微鏡觀察懸浮粒子在液體中垂直方向的分佈。（此即另一 實臉一一 Boltzmann 分佈的內容）
【原理】 (1) 波茲曼常數的測定： 現考慮一個受四周液體分子碰撞的粒子在經過時間 t 後，由於無規則行走
（random walk）所做成的位移向量R r
的一些性質：
NR v
：經過 N 次碰撞後與原點 O 之距離向量。
並假設每次碰撞後粒子移動的距離為等長 L v≡
⇒ R R L N N vvv = + −1
則由數學歸納法可證明 22 R NL N = ；粒子的均方位移與碰撞次數 成正比。 N 證明：Q ( ) ( ) R R R R L R L NNN NN vvvvvvv = ⋅ = + ⋅ + −− 11 2
R L R L NN vvvv = + + ⋅ −−1 2 2 1 2
對時間平均 R R L R L NNN vv = + + ⋅ −−1 22 1 2 2
Q作無規則行走 ∴ 0 1 ⋅ =− R L N vv
⇒ 22 1 2 R R L NN = + −
同理 22 2 2 1 R R L NN = + −−
22 3
2
2 R R L NN = + −−
M M
2 2 1
2 2 R R L = +
2 2 1 R L =
22 R NL N ⇒ = ( ) 1
又Q粒子受碰撞的次數與觀察時間 t 成正比，即N t ∝
R t N α ⇒ = 2 ( ) 2
由此，我們可定性地看出粒子的均方位移與觀察時問 t 成正比。接下來，我們 希望確實知道均方位移與時間 t 的關係，即 α 的數值。 以下所介紹的是 Langevin 於 1908 年發表的一個最簡淺的方法。假設：
(1) 懸浮粒子只受液體分子隨機的碰撞力 ext F v
，而沒有受其他外力作用。(此點假設是
適合實驗情況的，Q實驗中我們只觀察在某一水平面上作布朗運動的粒子，故此 沒有重力作用，亦不考慮實驗過程中所可能發生的實驗桌搖晃，此點於後再加以 解釋。 (2) 粒子在液體中運動時，液體的黏滯性會對粒子施加一 Stokes 型阻力，F vv v = • μ ，
v v：粒子速度 μ 是由整個懸浮液系統，即懸浮粒子，液體及平衡溫度決定，可由實驗求得。
而由流體力學(即所謂 Stokes 定律，一球形體在流體中所受的摩擦阻力： () F a v vv vv π η μ = ≡ 6 ( ) 3
：液體之黏滯係數，與溫度有關 η ：懸浮粒子的半徑a 此種摩擦阻力屬於不可逆損失（irreversible lose）。摩擦阻力在布朗運動中極其 重要，若沒有摩擦阻力，便不可能產生類似布朗運動的微動（fluctuation）。 由此，我們可寫出粒子的一維運動方程式： () xextF dt dx dt d x m v + = μ 2 2 ( ) 4 m：粒子的有效質量(即慣性係數)，並非實際質量，因粒子運動時，會帶動周圍的液 體分子做運動。 ( )由於我們的目的是求 2x 與 t 的關係，而 dt dx x x dt d 22 = ，我們考慮把(4)乘以x ⇒ () xextx F dt dx x dt d x mx v + = μ 2 2
且
2
2
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛−⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛=
dt dx
m
dt dx
x
dt d
m
dt d x mx
( )x extxx x x F dt d xv m v
dt d m = − +⇒ 22 2 1 μ
v ( ) 5
由於粒子作 random walk ,
0⇒ = xxv () 0 =xextx F v
⇒(5)變成
0
2 1 22 =− + x dt d m v x μ
( ) 6
且假設懸浮粒子問並沒有作用力，可以理想氣體分子視之，而作一維運動的理 想氣體之平均運動與溫度有如下關係：
KTmv 2 1
2 1 2 = ( ) 7
⇒ x KT dt d = 2 2 1 μ
μ KT
x
dt d 2 2 =
μ KT t
x
⋅
⇒ = 2 2 ( ) 8
考慮三維情形，
2222 R x y z = + +
且 22 2 x y z = =
22 3 R x ⇒ = ( ) 9
μ KT t
R
⋅
=∴ 6 2 ( ) 10
與(2)對比，我們發現
μ
α KT6= ( ) 11
實驗中，只觀察一維運動，故由(8)及(3)得
a t KT
x
πη 3 2 ⋅ = ( ) 12 K ：波茲曼常數 T ：達到熱平衡時之溫度（即室溫） t ：觀察時段 η ：液體之黏滯係數 a：球形粒子之半徑 實驗中，我們觀察若干粒子(約 100 個以上)，在時段 τ 內的位移，並取所有粒
子均於位移 2 x ，由於 η 、 、 a T 都已知，則由(12)
Tt a
K x
⋅
=
πη 32
，K 值可得。
至此，我們所做的事，便是觀察懸浮粒子在熱平衡下的微觀擾動，從而求得K 值，在物理學發展的歷史上，K 值的獲得有其重大的意義，由於K 值的測得，一莫 耳物質所含的粒子數目，即亞佛加厥數，才可測知。 由理想氣體方程，對一莫耳氣體，PV RT = ， 則 可由實驗測得， R
且 R N K 0=
當K 已知
K R
N ⇒ = 0 ( ) 13
由於 值的獲得，我們能夠對於物質分子，原子的大小有更進一步的瞭解。 0N
(2) 機率統計
由(12)式
a KTt
x
πη 3 2 =
其中 2 x 為一統計結果，即所觀察粒子的最有可能平方位移值，但仍有部份粒
子之平方位移為 ± Δ 2x 。若我們觀察若干個粒子（約 100 個以上）的位移 · 並作粒
子數目對位移的分佈圖 · 將會發現該分佈為高斯分佈。事實上，高斯分佈為所有無 規則現象的共通分佈形式。
在一維的無規則行走中，粒子的運動只有往左或往右兩種可能，或然率各為
2 1
。
假設一粒子在時間 τ
內作了 次無規則行走，往右的次數為 ，往左的次數為 ，每次行走距離皆為 ，並取往右為 n a b l x的正方向。
則 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + x ml m a b n a b ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −
=
+
=
2
2 n m
b
n m
a
在經歷時間 t 後，此粒子往右進行 m 次淨位移的機率為：
()
!
2
!
2
!
2 1 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ −×⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ +
= ⋅
n m n m n
P n n m ( ) 14
當 n 值很大時，由 Stirling Formula 對(14)作近似， () 2 1! 2 n e n n n n π −≅
2 1
2
2
2
2
2
!
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ + ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ +≅⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ +
+
+ − n m n m
e
n m
n m
n m
π
2 1
2
2
2
2
2
!
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ − ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ −≅⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ − − −
− n m n m
e
n m
n m
n m
π
⇒ ()
()
2 1
2 1
22
2 1
2
2
2
2
22
2
2 1 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ − ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ + ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ − ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ + = ⋅ +− n m n mn m n m n n P n m n m n nn m ππ π () ()() 2 1 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − = +− n m n m n m n m n n n mn m n ππ π
n m >>Q ， ⇒ n m n + ≅ n m n ≅−
⇒ ()
()()() 2 1 22 2 2 n m n m n n P n m n m n n m π +− + − =
()
22
2 1
2
2
n mn m
n m n
n m n
n
+− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ −
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛
+
= ⋅ π
() ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ ⋅ −⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + n m m m n n m m m n n m n m n 22 2 1 2 1 2 1 11 2 2 π
n m >>Q ⇒ 0 → n m
∴ e n m m n =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1
11 −=⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ − e n m m n
⇒ ()
() ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⋅ ⋅ n m m n m m n m e e n P 22 2 1 2 1 2 1 2 2 π
() ()
n m
n m e n P
2
2 1
2
2 − ⇒ = ⋅ π
( ) 15
x ml = ⇒
2
2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= l x m 且 ( ) l dm dx =2 Q
此處乘 2 是因為 可為正負，而 則只對應於 dx dm x往右之量。
⇒ ()
()
n l x
n x e nl P
2
2 1
22
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ −
= ⋅ π
() () e l n x nl 2 2 2 2 2 1 22 2 − = ⋅ π
( ) 16
指數項中， 2 的出現是由於推導過程中只針對往右方向的淨位移 ( ）， 而事實上，粒子的運動可左可右，故有 x ml ≡ 2 的出現。 則(16)可寫成
() eP l n x n x nl 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 2 − = ⋅ π
( ) 16'
()
()
e
x x 2
2
2
2 1
2
2
σ
π σ − −≡ ⋅ …… 高斯分佈
其中
nl t ασ = = 2 2 ( ) 17 0= ( ) 18 由(16)'我們可以看出一粒子以位移=0 的機率最大，此亦為無規則行走的特色， 經歷一段時問無規則行走後，粒子極有可能回到原位，亦即(18)式， 0 =x 的含意。由 (16)式可看出粒子的位移分佈會是以 0 =x 對稱，如圖示：並且此高斯分佈的標準差 () t a KT t πη σ α 3 3 12 = = ( ) 19 故此，若我們觀察足夠多的粒子，並作出其分佈，以電腦程式求出其高斯曲線， 則 使可獲得。由此可求得 2 σ K 波茲曼常數。 在理論推導過程中，所必須的條件為： (a) 懸浮液與周圍環境達熱平衡，故樣品標本必膩靜放置約 40 小時以上，以達熱 平衡。 (b) 觀察的粒子數目越多則機率統計的結果越接近理論推導，（因在理論推導中我們 曾假設 n 很大，才可應用 Stirling Formula ）故實驗中觀察粒子數目越多，結 果會越好，起碼的要求為數目在一百個以上。 (c) 推導過程中假設粒子可視作為理想氣體分子，即粒子間並沒有交互作用，故不 應有粒子碰撞的現象產生，故追蹤觀察粒子過程中，若發生粒子互撞的過程， 則此粒子應被放棄。 (d) 所觀察的為粒子在水平面上的運動，故我們要求樣品標本必須水平放置。 (e) 至於觀察結果是否受實驗桌的搖晃的影響？理論上應不會。因為樣品標本的製 造方法是在一個完全密封的空槽中填入懸浮液至滿。由於整個標本的不可壓縮 性，我們可將之視為一個剛體，而一般外力並不能影響到剛體內部分子的運動 情形。能對此剛體內局部地區分子運動發生影響的因素只有熱能的不平均分 佈，即非熱平衡狀態。
Ref ：費因曼的理學，（一下），中譯本，第四十一章。 吳大猷之熱物理中有關 Brownian 運動之一章。
【實驗儀器】 實驗儀器包括懸浮液標本及附有螺旋測微器的顯微鏡。懸浮標本的製備及所需往意 事項，請參閱 American Journal Physics Vol. 41 , p. 344 , March , 1973 . 實驗方法便是在顯微鏡下觀察達熱平衡的懸浮粒子的布朗運動，並以螺旋測微器追 蹤並記錄粒子在時問段 τ 內所作的位移 x Δ ，至於時段的長短則由實驗者視情況而定，不過 此時間段必需足夠長以把液體分子碰撞力的微動（flotation）平均掉，故通常取觀察時間 於 20 秒以上（一個單獨液體分子碰撞的次數高達每秒 次）。在觀察足夠多的粒子後， 便可作理論上的分析，以求出 k 值及作出位移的分佈圖。
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