在爱因斯坦１００年前创立的无规行走扩散理论中，行走是一个不连续过程，即假设在每个 节拍振荡时间内，粒子随机跳跃一次。而连续时间无规行走引入了两次成功跳跃之间有一个 等待时间分布，且等待时间分布的一次距和跳跃长度分布的二次距中有一个是发散的。其揭 示欠扩散对应于长的等待时间，由分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程来描写；而超扩散则意味着粒子存 在长跳跃的物理机制，Ｌｅｖｙ飞行就属于此类，这种运动也可以通过长尾分布的非高斯噪声激 励来产生。布朗运动的高斯解是中心极限定理的必然结果。便于数值模拟有势中的反常输运 的当属含非Ｏｈｍｉｃ记忆摩擦的广义 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程。系统长时间动力学行为取决于噪声功率 谱的低频分布，因此当热色噪声的低频被滤掉，导致系统的有效摩擦消失，自由粒子呈现热扩 散的极限情形：弹道扩散。在这一过程中，Ｋｕｂｏ第二涨落耗散定理被满足，但系统的稳定态部 分依赖于它的初始速度分布，各态历经性和平衡态被破坏。
分数布朗运动和反常扩散
包景东 （北京师范大学物理系，北京 １００８７５）
摘 要： 本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们 在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。 关键词：分数布朗运动；反常扩散；连续时间无规行走；广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程；弹道扩散 中图分类号：Ｏ４１５．６ 文献标识码：Ａ ０ 引言 历史上，布朗运动现象追源于ＪａｎＩｎｇｅｎｈａｕｓｚ在１７８５年观测木炭粉末在酒表面的运动；后 来ＲｏｂｅｒｔＢｒｏｗｎ在１８２８年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散；１９０５年ＡｌｂｅｒｔＥｉｎｓｔｅｉｎ用随 机行走解释流体分子的热运动；１９２６年 ＪｅａｎＰｅｒｒｉｎ因为测量 Ａｖｏｇａｄｒｏ常数获 Ｎｏｂｅｌ物理奖。 整整一百年前，伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章［１］，建立了布朗运动的扩散理 论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动，粒子每隔τ时间被撞击一次而移动距离 ｌ，每次撞 击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻 ｔ，粒子已受到了 ｎ＝ｔ／ τ次撞击。爱因斯坦证得：粒子的平均位移为零，〈ｘ（ｔ）〉＝０；方均位移写作〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｄｔ，这里Ｄ＝ｌ ２／ （２τ）。其实这是扩散方程 ｔ Ｐ（ｘ ，ｔ ）＝Ｄ ２ ｘＰ（ｘ ，ｔ）的高斯分布函数解的前两次 距，也是中心极限定理的直接结果
上世纪４０年代以后，布朗运动的动力学研究开始兴起［２， ３］。两个等价的方程是 Ｌａｎｇｅｖｉｎ 方程和ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程 ［４］，前者是关于粒子轨道的随机微分方程；后者是关于分布函数随 时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本，因为在有些情况下写不出精确的 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，例如色噪声和记忆阻尼。Ｋｕｂｏ认为布朗运动可以看成一个系统受到外界 随机扰动的响应，提出了第一和第二涨落耗散定理［５］。站在更广义的角度上，用纯粹的微观 理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的，因为哪里包含了大 量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自
由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转 换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动
反常扩散的描述方法
１．１ 连续时间无规行走（ＣＴＲＷ） ＣＴＲＷ模型［７～１０］中有两个基本要素：一次跳跃的长 度和两次跳跃之间的等待时间。两者均是随机变量，分 别由跳跃分布密度函数（ｐｄｆ ）φ（ｘ ，ｔ）所定义。那么跳 跃长度的ｐｄｆ为λ（ｘ ）＝∫ ∞ ０ｄｔ φ（ｘ ，ｔ），等待时间的 ｐｄｆ为 ｗ（ｔ ）＝∫ ∞ －∞ｄｘ φ（ｘ ，ｔ）。其物理意义分别是：λ（ｘ）ｄｘ表 示在间隔（ｘ ，ｘ＋ｄｘ）跳跃长度的几率；ｗ（ｔ ）ｄｔ表示在间 隔（ｔ ，ｔ＋ｄｔ）一次等待时间的几率。如果跳跃长度和等 待时间是独立的，那么 φ（ｘ ，ｔ ）＝ｗ（ｔ ）λ（ｘ）。不同的
６０３ 物 理 学 进 展 ２５卷
ＣＴＲＷ过程是以平均等待时间Ｔ＝∫ ∞ ０ｄｔｗ（ｔ ）ｔ和跳跃长度的方均∑２＝∫ ∞ －∞ｄｘ λ（ｘ ）ｘ ２是否收敛 和发散来分类的。对于标准的布朗运动，两者都是确定的；而对于反常扩散，两者之一必发散。 令Ｗ（ｘ ，ｔ）代表发现无规行走者在ｔ时刻处于ｘ位置的分布密度函数，它满足一个广义主 方程 Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝∫ ∞ －∞ｄｘ′∫ ∞ ０ ｄｔ′Ｗ（ｘ′ ，ｔ′ ）φ（ｘ－ｘ′ ，ｔ－ｔ′ ）＋Ψ（ｔ ）δ （ｘ ） （１） 式中Ψ（ｔ ）＝１－∫ ｔ ０ｄｔ′ｗ（ｔ′）为（０，ｔ）时间段内粒子等待不跳的几率。 对方程（１）进行空间Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和时间 Ｌａｐｌａｃｅ变换，则 Ｗ（ｘ ，ｔ）的 ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换 满足以下的代数方程 Ｗ（ｋ ，ｕ）＝１－ｗ（ｕ） ｕ Ｗ０（ｋ ） １－φ（ｋ ，ｕ） （２） 这里Ｗ０（ｋ）是初始条件Ｗ０（ｘ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。 让我们考虑一个泊松等待时间分布ｗ（ｔ ）＝τ－１ｅｘｐ（－ｔ／ τ）［Ｔ＝τ］和高斯跳跃长度分布λ （ｘ ）＝（４πσ ２）－１／ ２ｅｘｐ（－ｘ ２／ （４σ ２））［∑２＝２σ ２］。对于初始条件 Ｗ０（ｘ）＝δ（ｘ），传播子的 ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为Ｗ（ｋ ，ｕ）＝（ｕ＋Ｋ １ｋ ２）－１，这里 Ｋ １＝σ ２／ τ。变回到（ｘ ，ｔ）空间，得到著名 的高斯传播子解：Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝（４πＫ １ｔ ）－１／ ２ｅｘｐ（－ｘ ２／ （４Ｋ １ｔ ））。事实上，只要Ｔ和∑２同时是有限 的，就可以给出相同的结果。 接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度∑２有限的情况，即一个长尾等待 时间分布
接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度∑２有限的情况，即一个长尾等待 时间分布。其分布密度函数的渐近表达式为ｗ（ｔ ）≈Ａ α（τ／ｔ ）１＋α（０＜α＜１），它的Ｌａｐｌａｃｅ变换 是ｗ（ｕ）≈１－（ｕτ） α。那么跳跃密度函数Ｗ（ｘ ，ｔ）的ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为 Ｗ（ｋ ，ｕ）＝ Ｗ０（ｋ ）／ｕ １＋Ｋ αｕ －αｋ ２ （３） 使用分数积分的Ｌａｐｌａｃｅ变换规则：Ｌ｛ ０Ｄ－Ｐ ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ）｝＝ｕ －ＰＷ（ｘ ，ｕ），ｐ ≥０，我们有分数扩散方程 Ｗ ｔ＝０Ｄ １－α ｔ Ｋ α ２ ｘ ２Ｗ（ｘ ，ｔ ） （４） 式中，ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ分数导数（积分）被定义成［１１］ ０Ｄ １－α ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝ １ Γ（α） ｔ ∫ ｔ ０ｄｔ′Ｗ（ｘ ，ｔ′ ） （ｔ－ｔ′ ） １－α （５） 进而给出自由粒子方均位移的渐进表示式 〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｋ αΓ （１＋α）ｔ α， ０＜α＜１ （６） 这里广义扩散系数Ｋ α≡σ ２／ τ α。 让我们来考查分数导数和积分的算例［６］与意义。常数 Ｃ的 １／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ Ｃ＝Ｃ／ π槡 ｘ，而１／２阶积分为０Ｄ－１／ ２ ｘ Ｃ＝２Ｃ ｘ／ 槡 π；ｘ的１／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ ｘ＝２ ｘ／ 槡 π，而１／２阶积分 为０Ｄ－１／ ２ ｘ ＝４ｘ ３／ ２／ ３槡π。分数速度定义成 ν＝ｄ μ／ ｄｔ μｘ（ｔ），则粒子的轨道写作 ｘ（ｔ ）＝Γ－１（μ） ∫ ｔ ０ｄｔ′ ν （ｔ′）（ｔ－ｔ′ ） μ－１。扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微的曲线，对于 这个曲线，粒子的轨道是速度的一个功率权重的平均。事实上，它是由粒子的速度记忆效应引 起的，对于分数路径，瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动
接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度∑２有限的情况，即一个长尾等待 时间分布。其分布密度函数的渐近表达式为ｗ（ｔ ）≈Ａ α（τ／ｔ ）１＋α（０＜α＜１），它的Ｌａｐｌａｃｅ变换 是ｗ（ｕ）≈１－（ｕτ） α。那么跳跃密度函数Ｗ（ｘ ，ｔ）的ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为 Ｗ（ｋ ，ｕ）＝ Ｗ０（ｋ ）／ｕ １＋Ｋ αｕ －αｋ ２ （３） 使用分数积分的Ｌａｐｌａｃｅ变换规则：Ｌ｛ ０Ｄ－Ｐ ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ）｝＝ｕ －ＰＷ（ｘ ，ｕ），ｐ ≥０，我们有分数扩散方程 Ｗ ｔ＝０Ｄ １－α ｔ Ｋ α ２ ｘ ２Ｗ（ｘ ，ｔ ） （４） 式中，ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ分数导数（积分）被定义成［１１］ ０Ｄ １－α ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝ １ Γ（α） ｔ ∫ ｔ ０ｄｔ′Ｗ（ｘ ，ｔ′ ） （ｔ－ｔ′ ） １－α （５） 进而给出自由粒子方均位移的渐进表示式 〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｋ αΓ （１＋α）ｔ α， ０＜α＜１ （６） 这里广义扩散系数Ｋ α≡σ ２／ τ α。 让我们来考查分数导数和积分的算例［６］与意义。常数 Ｃ的 １／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ Ｃ＝Ｃ／ π槡 ｘ，而１／２阶积分为０Ｄ－１／ ２ ｘ Ｃ＝２Ｃ ｘ／ 槡 π；ｘ的１／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ ｘ＝２ ｘ／ 槡 π，而１／２阶积分 为０Ｄ－１／ ２ ｘ ＝４ｘ ３／ ２／ ３槡π。分数速度定义成 ν＝ｄ μ／ ｄｔ μｘ（ｔ），则粒子的轨道写作 ｘ（ｔ ）＝Γ－１（μ） ∫ ｔ ０ｄｔ′ ν （ｔ′）（ｔ－ｔ′ ） μ－１。扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微的曲线，对于 这个曲线，粒子的轨道是速度的一个功率权重的平均。事实上，它是由粒子的速度记忆效应引 起的，对于分数路径，瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动。
６１３ ４ 期 包景东：分数布朗运动和反常扩散
一般阻尼和有势情况下，分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程表为 Ｗ（ｘ ，ν ，ｔ ） ｔ ＋ν Ｗ ｘ＋ｆ （ｘ ）ｍ Ｗ（ｘ ，ν ，ｔ ） ｖ ＝γ α０Ｄ １－α ｔ Ｌ ＾ ＦＰＷ（ｘ ，ν ，ｔ ） （７） ＦＰ算子是Ｌ ＾ ＦＰ＝ νｖ＋ｋ ＢＴ ｍ ２ ν ２。这里分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程仅能描述欠扩散（０＜α＜１），物理 上适合于长等待系统。但并不依赖于等待时间和跳跃分布的密度函数，它的推导以及线性和 简谐势场的解见文献［９，１０］
２ Ｌｅｖｙ飞行 与上述分数扩散给出的分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程的情形相反，我们考虑一个长跳跃过程， 即Ｌｅｖｙ飞行。它具有有限的等待时间但跳跃长度分布的二次距发散，后者一种可能的Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换是λ（ｋ ）＝ｅｘｐ（－σ μ｜ ｋ｜ μ）≈１－σ μ｜ ｋ｜ μ，这里１＜μ＜２，其对应的跳跃分布的渐进形式为λ （ｘ ）≈Ａ μσ－μ｜ ｘ｜－１－μ。自由粒子的扩散方程写作 ｔ Ｗ＝Ｋ μ －∞Ｄ μ ｘＷ（ｘ ，ｔ），其解是一个Ｆｏｘ函数［７］ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝ １ μ｜ｘ｜Ｈ １， １ ２， ２ ｜ｘ｜ （Ｋ μｔ ） １／ μ （１， １／ μ），（１， １／ ２） （１， １），（１， １／ ２[ ] ） （１０） 自由粒子（甚至简谐势中的粒子）方均位移发散，〈ｘ ２（ｔ）〉 →∞。但我们应该关注的是Ｌｅｖｙ飞行分布的宽度而不是 二次距，那么前者定义为〈ｘ ２（ｔ）〉 Ｌ＝∶∫ Ｌ １／ μｔ －Ｌ １／ μｔ ｄｘｘ ２Ｗ（ｘ ，ｔ ） ≈ｔ ２／ μ，是一种超扩散［１３，１４］。这种运动还可以用满足 Ｌｅｖｙ 统计的噪声 η（ｔ）驱动的 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程 ｘ · （ｔ ）＝Ｆ（ｘ）／ （γｍ）＋η（ｔ）来描述，其中 η（ｔ）分布密度函数的 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换是 ｐ （ｋ ）＝∫ ｄηｅｘｐ（－ｉｋ η）ｐ （η）＝ｅｘｐ（－Ｄ｜ｋ｜ μ） （１１） 式中０＜μ＜２。方程（１１）所对应的描写超扩散的分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程为
６２３ 物 理 学 进 展 ２５卷
ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝－ ｘ
Ｆ（ｘ ）Ｗ（ｘ ，ｔ ） γ( ) ｍ ＋ＤμＷ（ｘ ，ｔ ） （１２） 这里Ｒｉｅｓｚ分数算符μ由它的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换来确定，即μ＝－（２π）－１∫ｄｋｅｘｐ（ｉｋ
第２５卷 第４期 物 理 学 进 展 Ｖｏｌ．２５，Ｎｏ．４ ２００５年１２月 ＰＲＯＧＲＥＳＳＩＮＰＨＹＳＩＣＳ Ｄｅｃ．，２００５ 文章编号：１００００５４２（２００５）０４０３５９９
收稿日期：２００５１０２８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０２３５０２０，１００７５００７）；教育部跨世纪优秀人才基金项目；高等学校博 士点专项科研基金（２００５００２７００１）
分数布朗运动和反常扩散
包景东 （北京师范大学物理系，北京 １００８７５）
摘 要： 本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们 在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。 关键词：分数布朗运动；反常扩散；连续时间无规行走；广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程；弹道扩散 中图分类号：Ｏ４１５．６ 文献标识码：Ａ ０ 引言 历史上，布朗运动现象追源于ＪａｎＩｎｇｅｎｈａｕｓｚ在１７８５年观测木炭粉末在酒表面的运动；后 来ＲｏｂｅｒｔＢｒｏｗｎ在１８２８年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散；１９０５年ＡｌｂｅｒｔＥｉｎｓｔｅｉｎ用随 机行走解释流体分子的热运动；１９２６年 ＪｅａｎＰｅｒｒｉｎ因为测量 Ａｖｏｇａｄｒｏ常数获 Ｎｏｂｅｌ物理奖。 整整一百年前，伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章［１］，建立了布朗运动的扩散理 论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动，粒子每隔τ时间被撞击一次而移动距离 ｌ，每次撞 击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻 ｔ，粒子已受到了 ｎ＝ｔ／ τ次撞击。爱因斯坦证得：粒子的平均位移为零，〈ｘ（ｔ）〉＝０；方均位移写作〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｄｔ，这里Ｄ＝ｌ ２／ （２τ）。其实这是扩散方程 ｔ Ｐ（ｘ ，ｔ ）＝Ｄ ２ ｘＰ（ｘ ，ｔ）的高斯分布函数解的前两次 距，也是中心极限定理的直接结果。 上世纪４０年代以后，布朗运动的动力学研究开始兴起［２， ３］。两个等价的方程是 Ｌａｎｇｅｖｉｎ 方程和ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程 ［４］，前者是关于粒子轨道的随机微分方程；后者是关于分布函数随 时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本，因为在有些情况下写不出精确的 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，例如色噪声和记忆阻尼。Ｋｕｂｏ认为布朗运动可以看成一个系统受到外界 随机扰动的响应，提出了第一和第二涨落耗散定理［５］。站在更广义的角度上，用纯粹的微观 理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的，因为哪里包含了大 量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自
由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转 换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动。 近几年来，在破缺媒介及非大数定理统计下的反常扩散现象引起了人们的极大关注［６～８］， 例如在湍流、等离子体、渗透媒介、生长表面和细胞等环境中的系统就表现出偏离布朗运动的 特征。一个自由粒子的方均位移在长时间后正比于时间的分数次幂，称为分数布朗运动： 〈ｘ ２（ｔ）〉∝ｔ δ，其中０＜δ＜１为欠扩散；δ＝１是正常扩散；１＜δ＜２为超扩散；δ＝２系弹道扩散。 从数学上看，反常扩散来自于时间和空间上的非局域性，而描写这一运动的主要手段有：连续 时间无规行走（ＣＴＲＷ），分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，Ｌｅｖｙ飞行，Ｔｓａｌｌｉｓ统计，广义 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程 等。现在反常扩散和输运的研究才刚刚起步，仅自由场、线性场和简谐势可以获得精确解。由 于数值求解分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程的困难，人们知道的有势系统的信息还很有限，目前的理 论研究大都是从唯象观点出发，导出分布函数或粒子轨道满足的方程，其中反常指数为一个自 由参数。 玻耳兹曼建立了各态历经理论，即长时间后可观测量的系综平均等于时间平均；各态历 经系统具有唯一的定态分布，分布函数在等能量面上为一常数。这也是统计物理的基础，也 就是微正则系统的等概率法则。该理论的目的在于在相空间理解不可逆的起源。其实这个问 题很重要，构成了平衡态统计物理和大部分非平衡态统计物理的基础，但很少有好的例子表明 在孤立系统（自由粒子）各态历经被破坏。近年来，分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问 题的研究打开了话题。众所周知，平衡态统计物理侧重于统计分布，非平衡态统计物理侧重于 动力学。我们感兴趣于两者的结合，也就是在什么动力学规律支配下，系统从不同的初始条件 出发，所达到的渐近稳定态有别于平衡态，而是介于牛顿确定性力学和朗之万随机力学之间。 这不仅需考虑耦合方式的非线性，而且更应该深入探讨热浴的结构。
图１ 连续时间无规行走（ＣＴＲＷ）模型的 图示。粒子在某一晶格位置上的 等待时间长短用一个圆圈表征，其 中等待时间正比于圆的直径
本文第１节评述了几种描写分数布朗运动和反常扩散现象的数学手段，并与正常的布朗 运动做了比较；第２节报告了我们最近关于弹道扩散的工作，包括产生的条件，可能的物理起 源以及在这一过程中Ｋｕｂｏ第一和第二涨落耗散定理的 适用性；小结被最后写在第３节。 １ 反常扩散的描述方法
１．１ 连续时间无规行走（ＣＴＲＷ） ＣＴＲＷ模型［７～１０］中有两个基本要素：一次跳跃的长 度和两次跳跃之间的等待时间。两者均是随机变量，分 别由跳跃分布密度函数（ｐｄｆ ）φ（ｘ ，ｔ）所定义。那么跳 跃长度的ｐｄｆ为λ（ｘ ）＝∫ ∞ ０ｄｔ φ（ｘ ，ｔ），等待时间的 ｐｄｆ为 ｗ（ｔ ）＝∫ ∞ －∞ｄｘ φ（ｘ ，ｔ）。其物理意义分别是：λ（ｘ）ｄｘ表 示在间隔（ｘ ，ｘ＋ｄｘ）跳跃长度的几率；ｗ（ｔ ）ｄｔ表示在间 隔（ｔ ，ｔ＋ｄｔ）一次等待时间的几率。如果跳跃长度和等 待时间是独立的，那么 φ（ｘ ，ｔ ）＝ｗ（ｔ ）λ（ｘ）。不同的
６０３ 物 理 学 进 展 ２５卷
ＣＴＲＷ过程是以平均等待时间Ｔ＝∫ ∞ ０ｄｔｗ（ｔ ）ｔ和跳跃长度的方均∑２＝∫ ∞ －∞ｄｘ λ（ｘ ）ｘ ２是否收敛 和发散来分类的。对于标准的布朗运动，两者都是确定的；而对于反常扩散，两者之一必发散。 令Ｗ（ｘ ，ｔ）代表发现无规行走者在ｔ时刻处于ｘ位置的分布密度函数，它满足一个广义主 方程 Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝∫ ∞ －∞ｄｘ′∫ ∞ ０ ｄｔ′Ｗ（ｘ′ ，ｔ′ ）φ（ｘ－ｘ′ ，ｔ－ｔ′ ）＋Ψ（ｔ ）δ （ｘ ） （１） 式中Ψ（ｔ ）＝１－∫ ｔ ０ｄｔ′ｗ（ｔ′）为（０，ｔ）时间段内粒子等待不跳的几率。 对方程（１）进行空间Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和时间 Ｌａｐｌａｃｅ变换，则 Ｗ（ｘ ，ｔ）的 ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换 满足以下的代数方程 Ｗ（ｋ ，ｕ）＝１－ｗ（ｕ） ｕ Ｗ０（ｋ ） １－φ（ｋ ，ｕ） （２） 这里Ｗ０（ｋ）是初始条件Ｗ０（ｘ）的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。 让我们考虑一个泊松等待时间分布ｗ（ｔ ）＝τ－１ｅｘｐ（－ｔ／ τ）［Ｔ＝τ］和高斯跳跃长度分布λ （ｘ ）＝（４πσ ２）－１／ ２ｅｘｐ（－ｘ ２／ （４σ ２））［∑２＝２σ ２］。对于初始条件 Ｗ０（ｘ）＝δ（ｘ），传播子的 ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为Ｗ（ｋ ，ｕ）＝（ｕ＋Ｋ １ｋ ２）－１，这里 Ｋ １＝σ ２／ τ。变回到（ｘ ，ｔ）空间，得到著名 的高斯传播子解：Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝（４πＫ １ｔ ）－１／ ２ｅｘｐ（－ｘ ２／ （４Ｋ １ｔ ））。事实上，只要Ｔ和∑２同时是有限 的，就可以给出相同的结果。 接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度∑２有限的情况，即一个长尾等待 时间分布。其分布密度函数的渐近表达式为ｗ（ｔ ）≈Ａ α（τ／ｔ ）１＋α（０＜α＜１），它的Ｌａｐｌａｃｅ变换 是ｗ（ｕ）≈１－（ｕτ） α。那么跳跃密度函数Ｗ（ｘ ，ｔ）的ＦｏｕｒｉｅｒＬａｐｌａｃｅ变换为 Ｗ（ｋ ，ｕ）＝ Ｗ０（ｋ ）／ｕ １＋Ｋ αｕ －αｋ ２ （３） 使用分数积分的Ｌａｐｌａｃｅ变换规则：Ｌ｛ ０Ｄ－Ｐ ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ）｝＝ｕ －ＰＷ（ｘ ，ｕ），ｐ ≥０，我们有分数扩散方程 Ｗ ｔ＝０Ｄ １－α ｔ Ｋ α ２ ｘ ２Ｗ（ｘ ，ｔ ） （４） 式中，ＲｉｅｍａｎｎＬｉｏｕｖｉｌｌｅ分数导数（积分）被定义成［１１］ ０Ｄ １－α ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝ １ Γ（α） ｔ ∫ ｔ ０ｄｔ′Ｗ（ｘ ，ｔ′ ） （ｔ－ｔ′ ） １－α （５） 进而给出自由粒子方均位移的渐进表示式 〈ｘ ２（ｔ）〉＝ ２Ｋ αΓ （１＋α）ｔ α， ０＜α＜１ （６） 这里广义扩散系数Ｋ α≡σ ２／ τ α。 让我们来考查分数导数和积分的算例［６］与意义。常数 Ｃ的 １／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ Ｃ＝Ｃ／ π槡 ｘ，而１／２阶积分为０Ｄ－１／ ２ ｘ Ｃ＝２Ｃ ｘ／ 槡 π；ｘ的１／２阶导数是０Ｄ １／ ２ ｘ ｘ＝２ ｘ／ 槡 π，而１／２阶积分 为０Ｄ－１／ ２ ｘ ＝４ｘ ３／ ２／ ３槡π。分数速度定义成 ν＝ｄ μ／ ｄｔ μｘ（ｔ），则粒子的轨道写作 ｘ（ｔ ）＝Γ－１（μ） ∫ ｔ ０ｄｔ′ ν （ｔ′）（ｔ－ｔ′ ） μ－１。扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微的曲线，对于 这个曲线，粒子的轨道是速度的一个功率权重的平均。事实上，它是由粒子的速度记忆效应引 起的，对于分数路径，瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动。 ６１３ ４ 期 包景东：分数布朗运动和反常扩散
一般阻尼和有势情况下，分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程表为 Ｗ（ｘ ，ν ，ｔ ） ｔ ＋ν Ｗ ｘ＋ｆ （ｘ ）ｍ Ｗ（ｘ ，ν ，ｔ ） ｖ ＝γ α０Ｄ １－α ｔ Ｌ ＾ ＦＰＷ（ｘ ，ν ，ｔ ） （７） ＦＰ算子是Ｌ ＾ ＦＰ＝ νｖ＋ｋ ＢＴ ｍ ２ ν ２。这里分数ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程仅能描述欠扩散（０＜α＜１），物理 上适合于长等待系统。但并不依赖于等待时间和跳跃分布的密度函数，它的推导以及线性和 简谐势场的解见文献［９，１０］。 另外，从系统分布密度函数随时演化的角度，一些作者［１２］引入了非线性媒质中的过阻尼 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程，即 Ｗ（ｘ ，ｔ ） ｔ ＝ ｘ［Ｕ′ （ｘ ）Ｗ（ｘ ，ｔ）］＋Ｄ ２ ｘ ２［Ｗ（ｘ ，ｔ）］ ν （８） 它对应一个在Ｉｔｏ意义下的态有关的乘性Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程 ｘ · （ｔ ）＝－Ｕ′ （ｘ ）＋ ２ 槡Ｄ［Ｗ（ｘ ，ｔ）］ （ν－１）／ ２η（ｔ ） （９） 这里η（ｔ）是一个均值为零，方差是１的高斯白噪声。 方程（８）已被应用到多孔媒介中的气体渗透问题，薄液体膜中的传播问题，Ｍａｒｓｈａｋ波的 热传播 以 及 表 面 生 长。其 稳 定 解 为 Ｗｓｔ（ｘ）＝［１－（ν－１）βＶ（ｘ）］ １／ （ν－１） ＋ ／Ｚ，这 里 ［ｆ ］＋＝ｍａｘ ｛ｆ ， ０｝，Ｚ是归一化常数，β＝Ｚ ν－１／ （ν Ｄ），Ｖ（ｘ）＝Ｕ（ｘ）－Ｕ ０，Ｕ ０是势的极小值。自 由粒子的方均位移为〈ｘ ２（ｔ）〉∝ｔ ２／ （ν＋１），ν＜１为超扩散；ν＞１为欠扩散；ν＝１系正常扩散。
图２ 具有相同跳跃步数的布朗运动 （左）与 μ＝１．５的 Ｌｅｖｙ飞 行 （右）的比较
１．２ Ｌｅｖｙ飞行 与上述分数扩散给出的分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程的情形相反，我们考虑一个长跳跃过程， 即Ｌｅｖｙ飞行。它具有有限的等待时间但跳跃长度分布的二次距发散，后者一种可能的Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换是λ（ｋ ）＝ｅｘｐ（－σ μ｜ ｋ｜ μ）≈１－σ μ｜ ｋ｜ μ，这里１＜μ＜２，其对应的跳跃分布的渐进形式为λ （ｘ ）≈Ａ μσ－μ｜ ｘ｜－１－μ。自由粒子的扩散方程写作 ｔ Ｗ＝Ｋ μ －∞Ｄ μ ｘＷ（ｘ ，ｔ），其解是一个Ｆｏｘ函数［７］ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝ １ μ｜ｘ｜Ｈ １， １ ２， ２ ｜ｘ｜ （Ｋ μｔ ） １／ μ （１， １／ μ），（１， １／ ２） （１， １），（１， １／ ２[ ] ） （１０） 自由粒子（甚至简谐势中的粒子）方均位移发散，〈ｘ ２（ｔ）〉 →∞。但我们应该关注的是Ｌｅｖｙ飞行分布的宽度而不是 二次距，那么前者定义为〈ｘ ２（ｔ）〉 Ｌ＝∶∫ Ｌ １／ μｔ －Ｌ １／ μｔ ｄｘｘ ２Ｗ（ｘ ，ｔ ） ≈ｔ ２／ μ，是一种超扩散［１３，１４］。这种运动还可以用满足 Ｌｅｖｙ 统计的噪声 η（ｔ）驱动的 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程 ｘ · （ｔ ）＝Ｆ（ｘ）／ （γｍ）＋η（ｔ）来描述，其中 η（ｔ）分布密度函数的 Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换是 ｐ （ｋ ）＝∫ ｄηｅｘｐ（－ｉｋ η）ｐ （η）＝ｅｘｐ（－Ｄ｜ｋ｜ μ） （１１） 式中０＜μ＜２。方程（１１）所对应的描写超扩散的分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程为
６２３ 物 理 学 进 展 ２５卷
ｔ Ｗ（ｘ ，ｔ ）＝－ ｘ
Ｆ（ｘ ）Ｗ（ｘ ，ｔ ） γ( ) ｍ ＋ＤμＷ（ｘ ，ｔ ） （１２） 这里Ｒｉｅｓｚ分数算符μ由它的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换来确定，即μ＝－（２π）－１∫ｄｋｅｘｐ（ｉｋ μ）｜ ｋ｜ μ［１３］。 １．３ Ｔｓａｌｌｉｓ统计
在标准的统计物理中，可以假设一个泛函使它在一定条件下的极值函数正好是一个满足 中心极限定理的分布密度，这个泛函就是熵。例如一个粒子的 ＢｏｌｔｚｍａｎｎＧｉｂｂｓＳｈａｎｎｏｎ熵写 作Ｓ［ｑ ］＝－ｋ Ｂ∫ｄｘｐ（ｘ ）ｌｎ［σｐ（ｘ）］，这里 σ是一个特征长度。在条件∫ｄｘｐ（ｘ）＝１和〈ｘ ２〉＝ ∫ｄｘｘ ２ｐ （ｘ ）＝σ ２约束下，通过引入乘子，对熵泛函求极值，可得到分布密度函数：ｐ （ｘ ）＝ｅｘｐ（－ βｘ ２）／Ｚ，且能确定乘子β＝１／ （２σ ２）＝１／ｋ ＢＴ。 Ｔｓａｌｌｉｓ ［１５］最近引入了一个如下的广义ｑ熵 Ｓ ｑ［ｐ （ｘ ，ｖ）］＝ １－∫ ｐ ｑ（ｘ ，ｖ ）ｄｘ ｄｖ ｑ－１ （１３） 约束条件是 ∫ ｐ （ｘ ，ｖ ）ｄｘ ｄｖ＝１， ∫ ｐ ｑ（ｘ ，ｖ ）Ｅ（ｘ ，ｖ ）ｄｘ ｄｖ＝Ｕ （１４） 当ｑ →１，Ｓ ｑ恢复到通常的Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ熵。这里ｐ （ｘ ，ｖ）和Ｅ（ｘ ，ｖ）分别是粒子分布密度函数和能 量。通过引入Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子，对熵泛函求极值，得到粒子在简谐势中的稳定分布 ｐ ｑ（ｘ ，ｖ ）≈ １－（１－ｑ ）β ２［ω ２ｘ ２＋ｍｖ ２( ) ］ １／ （１－ｑ ） （１５） 应该指出的是，Ｔｓａｌｌｉｓ熵引发了关于非广延性统计的广泛研究，特别地，它被应用到折叠 蛋白质的重组、宇宙射线流、湍流、正负电子湮灭以及金融领域。但是，正如我们熟知的那样， 具有相同渐进形式的两个分布并不一定系同一分布。Ｔｓａｌｌｉｓ分布下的噪声就与 Ｌｅｖｙ分布下 的噪声不同，并且产生的机制也不一样，前者是由于依赖分布密度函数有关的扩散系数导致 的，而后者的长尾分布实际上是来自于一个无穷的二次距造成的。 １．４ 非Ｏｈｍｉｃ摩擦 系统的运动方程由如下的广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程所描述： ｍｘ ¨（ｔ ）＋ｍ∫ ｔ ０γ（ｔ－ｓ ）ｘ · （ｓ ）ｄｓ＋Ｕ′ （ｘ ）＝ξ （ｔ ） （１６） 式中的无规力ξ （ｔ）服从高斯分布，其系综平均为零，关联满足Ｋｕｂｏ第二涨落耗散定理 〈ξ （ｔ ）ξ （ｔ′）〉＝ｍｋ ＢＴ γ（ｔ－ｔ′ ）＝２ｍｋ ＢＴ∫ ∞ ０ ｄω πＪ （ω）ｃｏｓ ω（ｔ－ｔ′ ） （１７） 这里ｋ Ｂ是 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ常数，Ｔ是热浴温度，热浴振子的谱密度 Ｊ（ω）为非 Ｏｈｍｉｃ形式［１６］，即 Ｊ （ω）＝γ δ（ω／ ω ｒ ） δ－１，其中ω ｒ是一个使ｍγ δ具有时间倒数量纲的参考频率。 对于不存在势的情况，方程（１６）的解能用Ｌａｐｌａｃｅ变换法获得，粒子速度的平均和关联为 〈ｖ （ｔ）〉＝ｖ ０Ｅ ２－α［－（ω αｔ ） ２－α］ （１８） 和
６３３ ４ 期 包景东：分数布朗运动和反常扩散
〈ｖ （ｔ ）ｖ （ｔ′）〉＝ｋ ＢＴ ｍＥ ２－α［－（ω α｜ｔ－ｔ′｜ ） ２－α］＋ ｖ ２ ０－ｋ ＢＴ( )ｍ Ｅ ２－α［－（ω αｔ ） ２－α］Ｅ ２－α［－（ω αｔ′ ） ２－α］ （ １９） 式中ω２－α α ＝γ α槇 ω１－αｓｉｎ－１（απ／ ２），Ｅ α（ｘ）是 ＭｉｔｔａｇＬｅｆｆｌｅｒ函数，特别地，当 α＝１，Ｅ １（ｘ）退化为 指数函数ｅ ｘ。从方程（１９）可以看出，二次速度关联函数包含了稳定和老化部分。对于等时间 情况，粒子的均方位移写作 〈ｘ ２（ｔ）〉＝２ｋ ＢＴ ｍｔ ２Ｅ ２－α， ３［－（ω αｔ ） ２－α］ （２０） 在长时间极限下，〈ｘ ２（ｔ）〉≈２ｋ ＢＴ ｍω－２ α （ω αｔ ） α Γ（１＋α）。
图３ １００Ｍｏ＋１００Ｍｏ反应核系统的熔合几 率随质心能量的变化，其中黑点是 实验结果
１．５ 应用 我们现在应用非 Ｏｈｍｉｃ摩擦模型到一个典型的重 核熔合系统：１００Ｍｏ＋１００Ｍｏ ［１７］，计算其熔合几率 Ｐｆｕｓ作为 质心能量Ｅｃｍ的函数，结果见图３。势被选成一个倒谐振 子势：Ｕ（ｘ ）＝－１ ２ｍω ２ ｂｘ ２，我们用双中心核表面模型和 墙加窗一体耗散机制获得形变势能、惯性和摩擦张量， 核在鞍点的温度定义为ａＴ ２＝Ｅｃｍ－Ｕ ｂ，其中能级密度参 数ａ＝Ａ／１０（Ａ是复合核核子数），Ｕ ｂ为鞍点势能。从图 中可见，正常扩散给出的熔合几率随质心能量变化较 快，而用 δ＝０．７的欠扩散所计算的结果与实验值较好 地符合。这是因为复合核大形变状态，其颈部窗口近似 闭合，那么混沌修正核单体耗散使其大为降低，导致能量耗散变弱。我们认为需考虑欠扩散机 制，以符合重核熔合几率随质心能量缓慢变化这一实验结果。 总之，连续时间无轨行走（ＣＴＲＷ）模型和 Ｔｓａｌｌｉｓ熵与统计模型在理论上极大地扩展了标 准的统计物理，在观念上非常吸引人；但从考虑复杂的有势层面上来看，非 Ｏｈｍｉｃ摩擦框架下 的广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程更容易获得反常输运的数值结果。 ２ 推广的热布朗运动：弹道扩散 采用Ｌａｐｌａｃｅ变换法，我们可以给出广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程（１６）在无势情况的解 ｘ （ｔ ）＝ｘ ０＋ｖ ０Ｈ（ｔ ）＋１ ｍ∫ ｔ ０Ｈ（ｔ－ｔ′ ）ξ （ｔ′ ）ｄｔ′ ｖ （ｔ ）＝ｖ ０Ｈ · （ｔ ）＋１ ｍ∫ ｔ ０Ｈ · （ｔ－ｔ′ ）ξ （ｔ′ ）ｄｔ′ （２１） 这里ｘ ０和ｖ ０是粒子的初始位置和速度，响应函数Ｈ（ｔ）为 ＾ Ｈ（ｓ ）＝［ｓ ２＋ｓ ＾ γ（ｓ）］－１的逆 Ｌａｐｌａｃｅ 变换，＾ γ为阻尼核函数γ（ｔ）的Ｌａｐｌａｃｅ变换。响应函数导数的一般形式可写为Ｈ · （ｔ ）＝ｂ＋∑ ｊｒｅｓ
６４３ 物 理 学 进 展 ２５卷
［ Ｈ ＾ （ｓ）］ｅｘｐ（ｓ ｊ ，ｔ），其中ｂ＝（１＋ｌｉｍｓ →０＾ γ（ｓ ）／ｓ ）－１，ｓ ｊ是特征方程ｓ＋＾ γ（ｓ ）＝０的非零根。 在长时间极限下，我们有 ｛〈ｖ ２（ｔ→∞）〉｝＝ｋ ＢＴ ｍ ＋ｂ ２ ｛ｖ ２ ０｝－ｋ ＢＴ( )ｍ ｛〈ｘ ２（ｔ→∞）〉｝＝ ｂｋ ＢＴ ｍ ＋ｂ ２ ｛ｖ ２ ０｝－ｋ ＢＴ( )[ ] ｍ ｔ ２ （２２） 式中〈…〉和｛…｝分别代表对系综和初始态的平均。这表明：粒子方均位移正比于时间的平 方，呈现出弹道扩散，这是超扩散的极限［１８］。若粒子的初始分布不是在平衡态，则可引入一个 系统的有效温度Ｔｅｆｆ＝Ｔ＋ｂ ２（Ｔ ０－Ｔ），这里Ｔ ０＝∶｛ｖ ２ ０｝ｍ／ｋ Ｂ，Ｔｅｆｆ＝∶〈ｖ ２（ｔ →∞）〉ｍ／ｋ Ｂ。这也 意味着系统具有非唯一的定态，也就是说对如此的非马尔科夫布朗动力学，各态历经性被破 坏，Ｋｕｂｏ第一涨落耗散定理被破坏。其原因在于 ＾ γ（ｓ ）＝∫ ∞ ０γ（ｔ ）ｄｔ＝０，即系统的有效阻尼消 失。产生弹道扩散的一个等价条件是热色噪声的低频部分被滤掉［１８］。 为了探讨弹道扩散的物理起源，我们推广熟知的系统加热库（环境）模型，前者处理为布 朗粒子，两者的耦合提供了布朗粒子所受到的无规力和阻尼。总的Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ量写作 Ｈ＝１ ２ｍ ｘ ２＋Ｕ（ｘ ）＋∑ Ｎ ｊ＝１ ｍｊ ２（ ｑ ２ ｊ＋ω ２ ｊｑ ２ ｊ）＋ｇ（ｘ ， ｘ ，ｑ ｊ ， ｑ ｊ[ ] ） （２３） 这里ｘ和ｑ ｊ分别是系统和环境振子的坐标。通常人们仅考虑坐标坐标耦合，即 ｇ＝－ｃ ｊ ｘｑ ｊ＋ ｃ ２ ｊｘ ２／ （２ｍｊω ２ ｊ），而认为速度有关的耦合通过变换可以等价于坐标坐标耦合。但我们发现：虽 然绝热积分环境振子的坐标后所得到的关于系统坐标的广义 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程形式上相同，但两 者的热噪声谱有很大的不同［１９，２０］。速度有关的耦合可以在量子超导干涉仪，带电粒子在辐射 场运动和磁场中涡旋扩散中发现。例如，如果假设热库振子的频率具有简谐分布（噪声的阻 尼和频率参数分别是Γ和Ω），则系统坐标和热库坐标耦合所产生的热色噪声（简谐噪声）谱 密度函数为 Ｓ（ω）＝ ２γ ０Ω ４ｋ ＢＴ （ω ２－Ω ２） ２＋Γ２ω ２ （２４） 式中γ ０是系统的阻尼强度。而对于系统坐标（速度）和热库速度（坐标）耦合情况，耦合项为ｇ ＝－ｄ ｊ ｘ ｑ ｊ （－ｄ ｊ ｘｑ ｊ ），其所产生的热色噪声（简谐速度噪声［２１］）谱密度函数是 Ｓ（ω）＝ ２γ ０Γ２ω ２ｋ ＢＴ （ω ２－Ω ２） ２＋Γ２ω ２ （２５） 显然，对（２５）式而言，Ｓ（ω＝０）＝０，则 ｂ＝（１＋γ ０ΓΩ－２）－１；而对（２４）式而言 Ｓ（０）＝２γ ０ｋ ＢＴ， 则ｂ＝０。 现对无势系统添加上一个常数力Ｆ，则长时间后，粒子出现一个耗散加速度 ａ＝Ｆ ｍｂ，这里 ０≤ｂ ≤１。对通常的布朗运动、欠扩散和超扩散情况，ｂ＝０，即长时间后外力被摩擦阻力平衡； 但对弹道扩散过程，由于系统的有效阻尼为零，则外力仅被部分平衡。此外，粒子的渐进平均 速度为〈ｖ （ｔ →∞）〉＝ｖ ０ｂ，粒子对其的初始状态保留着部分记忆。所以我们称这一结果为介于 牛顿力学和朗之万随机力学之间的动力学［２２］。另外，我们还研究了在热简谐速度噪声驱动下 的粒子在无界势和不对称周期势中运动的行为［２３］。结果发现，一个闪烁棘轮整流弹道扩散所 ６５３ ４ 期 包景东：分数布朗运动和反常扩散
给出的定向流远大于整流正常扩散的。
图４ 在热简谐速度噪声作用下被广义Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程描述的自由粒子的速度（ａ）和坐 标（ｂ）的二次距。其中热浴温度Ｔ＝１． ０ ３ 结语 在爱因斯坦１００年前创立的无规行走扩散理论中，行走是一个不连续过程，即假设在每个 节拍振荡时间内，粒子随机跳跃一次。而连续时间无规行走引入了两次成功跳跃之间有一个 等待时间分布，且等待时间分布的一次距和跳跃长度分布的二次距中有一个是发散的。其揭 示欠扩散对应于长的等待时间，由分数 ＦｏｋｋｅｒＰｌａｎｃｋ方程来描写；而超扩散则意味着粒子存 在长跳跃的物理机制，Ｌｅｖｙ飞行就属于此类，这种运动也可以通过长尾分布的非高斯噪声激 励来产生。布朗运动的高斯解是中心极限定理的必然结果。便于数值模拟有势中的反常输运 的当属含非Ｏｈｍｉｃ记忆摩擦的广义 Ｌａｎｇｅｖｉｎ方程。系统长时间动力学行为取决于噪声功率 谱的低频分布，因此当热色噪声的低频被滤掉，导致系统的有效摩擦消失，自由粒子呈现热扩 散的极限情形：弹道扩散。在这一过程中，Ｋｕｂｏ第二涨落耗散定理被满足，但系统的稳定态部 分依赖于它的初始速度分布，各态历经性和平衡态被破坏。 作者感谢与德国Ａｕｇｓｂｕｒｇ大学的 ＰｅｔｅｒＨａｎｇｇｉ教授，中国原子能科学研究院的卓益忠研 究员和中国科学院力学研究所的赵江林博士进行过的有益讨论和交流。
参考文献 ［１］ＥｉｎｓｔｅｉｎＡ．ＡｎｎＰｈｙｓ（Ｌｅｉｐｚｉｇ），１９０５，１７：５４９． ［２］ＫｒａｍｅｒｓＨＡ．Ｐｈｙｓｉｃａ ，１９４０，７：２８４． ［３］ＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒＳ．ＲｅｖＭｏｄＰｈｙｓ ，１９４３，１５： １；ＷａｎｇＭＣ，ＵｈｌｅｎｂｅｃｋＧＥ．ＲｅｖＭｏｄＰｈｙｓ ，１９４５，１７：３２３． ［４］ＲｉｓｋｅｎＨ．ＴｈｅＦｏｋｋｅｒｐｌａｎｃｋＥｑｕａｔｉｏｎ（Ｓｐｒｉｎｇｅｒ ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９８９）． ［５］ＴｏｄａＭ，ＫｕｂｏＲ，ＳａｉｔｏＮ．ＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓⅡ（ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇ ，ＳｅｃｏｎｄＣｏｒｒｅｃｔｅｄＰｒｉｎｔｉｎｇ ，１９９５）． ［６］ＫｌａｆｔｅｒＪ ，ＳｈｌｅｓｉｎｇｅｒＭＦ，ＺｕｍｏｆｅｎＧ．Ｐｈｙｓ．Ｔｏｄａｙ ，１９９６，Ｆｅｂｒｕａｒｙ ：３３；ＳｏｋｏｌｏｖＩ ，ＫｌａｆｔｅｒＪ ，ＢｌｕｍｅｎＡ． Ｐｈｙｓ．Ｔｏｄａｙ ，２００２，Ｎｏｖｅｍｂｅｒ ：４８． ［７］ＭｅｔｚｌｅｒＲ，ＫｌａｆｔｅｒＪ．ＰｈｙｓＲｅｐ，２０００，３３９：１． ［８］ＭｅｔｚｌｅｒＲ，ＫｌａｆｔｅｒＪ．ＪＰｈｙｓ ，２００４，Ａ３７：Ｒ１６１．
６６３ 物 理 学 进 展 ２５卷
［９］ＢａｒｋａｉＥ．ＣｈｅｍＰｈｙｓ ，２００２，２８４：１３． ［１０］ＢａｒｋａｉＥ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００１，Ｅ６３：０４６１１８；ＢａｒｋａｉＥ，ＳｉｌｂｅｙＲＪ．ＪＰｈｙｓＣｈｅｍ，２０００，Ｂ１０４：３８６６． ［１１］ＰｏｄｌｕｂｎｙＩ．ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ ，１９９９）． ［１２］ＬｅｎｚｉＥＫ，ＡｎｔｅｎｅｏｄｏＣ，ＢｏｒｌａｎｄＬ．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ ，２００１，Ｅ６３：０５１１０９；ＢｏｒｌａｎｄＬ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，１９９８，Ｅ５７： ６６３４． ［１３］ＪｅｓｐｅｒｓｅｎＳ，ＭｅｔｚｌｅｒＲ，ＦｏｇｅｄｂｙＨＣ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，１９９９，Ｅ５９：２７３６． ［１４］ＢａｏＪＤ，ＷａｎｇＨＹ，ＪｉａＹ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００５，Ｅ７２：０５１１０５． ［１５］ＴｓａｌｌｉｓＴ，ＭｅｎｄｅｓＲＳ，ＰｌａｓｔｉｎｏＡＲ．Ｐｈｙｓｉｃａ ，１９９８，Ａ２６１：５３４． ［１６］ＷｅｉｓｓＵ．ＱｕａｎｔｕｍＤｉｓｓｉｐａｔｉｖｅＳｙｓｔｅｍｓ（ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ，Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ ，１９９９）． ［１７］ＢａｏＪＤ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００３，Ｃ６７：０６４６０６；ＺｈａｏＪＬ，ＢａｏＪＤ．Ｐｈｙｓｉｃａ ，２００５，Ａ３５６：５１７． ［１８］ＢａｏＪＤ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖＬｅｔｔ ，２００３，９１：１３８１０４． ［１９］ＢａｏＪＤ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００５，Ｅ７１：０１０１０２（Ｒ）． ［２０］ＢａｉＺＷ，ＢａｏＪＤ，ＳｏｎｇＹＬ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００５，Ｅ７２：０６ｘｘｘｘ． ［２１］ＢａｏＪＤ，ＳｏｎｇＹＬ，ＪｉＱ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖ２００５，Ｅ７２：０１１１１３． ［２２］ＢａｏＪＤ，ＨａｎｇｇｉＰ，ＺｈｕｏＹＺ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００５，Ｅ７２；０６ｘｘｘｘ． ［２３］ＢａｏＪＤ．ＰｈｙｓＲｅｖ ，２００４，Ｅ６９：０１６１２４． ＦＲＡＣＴＩＯＮＡＬＢＲＯＷＮＩＡＮＭＯＴＩＯＮ ＡＮＤＡＮＯＭＡＬＯＵＳＤＩＦＦＵＳＩＯＮ ＢＡＯＪｉｎｇｄｏｎｇ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ ： ＴｈｅｐｈｅｎｏｍｅｎａｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎａｎｄａｎｏｍａｌｏｕｓｄｉｆｆｕｓｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅｗａｙｓｉｎｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｒｅｒｅｖｉｅｗｅｄａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｏｕｒｗｏｒｋｓｆｏｒｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｏｒｉｇｉｎ ａｎｄｄｙｎａｍｉｃａｌｅｆｆｅｃｔｓｏｆｂａｌｌｉｓｔｉｃｄｉｆｆｕｓｉｏｎａｒｅｒｅｐｏｒｔｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ： ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｂｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎ；ａｎｏｍａｌｏｕｓｄｉｆｆｕｓｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌａｎｇｅｖｉｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｎｏｎｏｈｍｉｃｆｒｉｃｔｉｏｎ；ｂａｌｌｉｓｔｉｃｄｉｆｆｕｓｉｏｎ
第07章扩散_百度文库
wenku.baidu.com/view/ef689e4fe518964bcf847c88.html
轉為繁體網頁
第四章点缺陷和扩散(2)_百度文库
wenku.baidu.com/view/270c9c4569eae009581bec07
轉為繁體網頁
[PDF]
高速率沉积磁控溅射技术制备Ge点的退火生长研究 - 物理学报
wulixb.iphy.ac.cn/EN/article/downloadArticleFile.do?...
轉為繁體網頁
由 Z Xin-Xin 著作
其中, 化学势的起伏为表面原子从高化学势向. 低化学势区域的迁移提供了主要动力. 常规制备Ge 量子点通常选用分子束外延. (MBE)、CVD和PVD等低沉积速率(速率 ...【交流】上坡扩散的驱动力是化学势吗？-回答合理有金币- 金属- 小木虫 ...
2010年8月31日 - 17 篇文章 - 14 位作者
我觉得这位仁兄理解可能存在偏差，从化学势的计算公式看出原子的偏析 ... 高浓度向低浓度的迁移并一定会使总的自由能降低，反而又可能会升高！
[DOC]
固体是凝聚体，质点以一定方式堆积，质点迁移必须越过势垒，扩散速率较低， ... b)、
第十章扩散与固相反应
jpkc.hgzyxy.com/gwh/doc/dz10.doc
轉為繁體網頁
Chinese - Google
www.google.com/patents/CN102325910A?cl=zh - 轉為繁體網頁
[PPT]
扩散现象：由于热或其他原因导致的原子运动，物质从系统的这一部分迁移至另 ... 故：扩散是由于体系内原子或离子存在有化学势或电化学势梯度（由温度、浓度等因素 ...
无机材料物理化学 固体中的扩散*
cc.scu.edu.cn/G2S/eWebEditor/.../20121211163455002.p...
轉為繁體網頁
材料腐蚀与控制 - 第 332 頁 - Google 圖書結果
books.google.com.hk/books?isbn=7302093172 - 轉為繁體網頁
2005 - Corrosion and anti-corrosives
如果某种元素从某一合金中迁移,则在系统的热区,原子必须通过表面扩散,然后进人溶液。而后这些 ... A 和 B 的固相化学势差越大,质量迁移的驱动力就越大。质量迁移 ...
的浓度分布。在扩散区内和
轴正交的两个相邻原子面Ⅰ和Ⅱ上分别有
和
个A原子(单位面积上A原子的浓度)。若A原子每次可以任意向＋
或-
方向跳跃，跃迁距离沿
轴的分量为
，跃迁频率为
,则每秒自Ⅰ跳到Ⅱ的A原子数为
为每单位体积中的A原子数;
在体积元d
内，A原子的积聚速率为
表示。 
是随几漫步（无浓度梯度）的扩散系数,叫做真扩散系数。 
(
,0)已知,若能测出扩散热处理
秒后的浓度再分布
(
,
)，可以根据具体的初始条件和边界条件，用式(4)或(5)解出扩散系数
。 
和浓度无关,可用式(5)求解。实验时在长棒一端面上(
＝0),镀一极薄层总量为
的放射性同位素,扩散热处理
秒后切成很多薄片，测出每片的放射性活度(正比于浓度
),每片中心至端面的距离为
初始条件
＝0:
＝
,当
0；
＝0,当
0
≤1mm
试棒长度
这样的实验条件,叫做一维的半无限大扩散(平面源),有边界条件
0:
＝0,当
＝＋
[即
(4
)
]
作图，得一直线,
,可求
。 
。一个经典的方法是玻耳兹曼俣野(Boltzmann-
＝
/
，将
(
，
)变换成
(
)，式(4)成： 
＝
)和纯金属B(
＝0)焊成扩散偶，扩散热处理
秒后,
)
扩散偶长度，即成为一维无限大扩散偶，测得扩散区的浓度分布曲线如图3
点的浓度取0.2
" class=image>所示
此时的边界条件(
0):扩散区之外(|
|
(4
)
，
＝-
，
＝
，d
/d
＝0；
＝+
，
＝0，d
/d
＝0。用俣野图解法求
，将(4a)变换回
坐标,并以浓度积分无限大扩散的边界条件给出： 
＝0平面的位置,此平面(俣野界面)左边流出之A原子数，等于流入界面右边的A原子数（图
点的浓度取0.2
" class=image>中界面两边划斜线的两块面积相等）
图解法积分后,浓度为
的扩散系数： 
点的切线斜率的倒数,
已知, 故由式(7)可求出任一浓度
的扩散系数
(
)。 
条跃迁途径,则立方晶系的扩散系数可表示为： 
为跃迁途径的长度;
、
与晶体种类、扩散原子品种和扩散机制有关。实验证明，固态金属中有两种扩散机制： 
＝4，跃迁距离
为晶胞边长，所以
＝12),相距
＝
。立方晶系的各种扩散系数，都列于表
" class=image>。立方晶系的
是标量,所以此时扩散是各向同性的。 
，是扩散时必须越过的势垒，此能量须由热骚动供给。若原子的振动频率为
,其中振动热能每秒超过
的次数为
exp(-
/
),此即为扩散原子跃迁的频率
。在填隙杂质的扩散中，
便是扩散激活能
，故 
＝
exp(-
/
) (9) 
的双势垒。 
和
为空位形成熵和形成能，扩散系数
为 
，包括空位形成能
和空位迁移能
,面心立方金属的空位机制扩散系数D的表达式和上式相同。 
和
都不同。有两个扩散系数，平行于c轴的
和正交于c轴的
，
＝
。事实上密排六方金属的
，所以一般
。 
、缩短
和
,改变为伸长
、缩短
和
,即改变了四方对称轴的取向，以适应自身挤入两种八面体间隙，过程中还含着缺陷近邻原子的弛豫。扩散原子跃迁的频率
＝
exp(-
/
),已知
＝10
s
，设
＝1eV，则当
＝500K时,
≈10
s
，即填隙原子每振动10
次,其中只有一次能冲过势垒顶进入C位。所以原子在连续两次跳跃之间，相隔着10
次振动,足够清除它原先在A位的记忆。下一次自C位起跳时，该原子跳入四个最近邻间隙的几率均等，足见连续两次跳跃的方向是不关联的。 
次的位移均方值，和A原子跳
次的位移均方值相等,即空位的扩散系数,等于A原子的真扩散系数
在纯金属A上做扩散实验,可从A
的放射性活度分布中，求得A
的扩散系数
-
1,交叉项
|
|
|,而
+
+
＝0,
所以二元合金互扩散时,组元的分扩散系数(即本征扩散系数)不相同。从扩散实验测出组元的浓度分布，可用上节玻耳兹曼-俣野法,求出各种浓度梯度及其相应的化学扩散系数
,
+
，
是浓度的函数,式中
各为锌、铜的摩尔分数浓度,
+
=1;
各为锌
铜的本征扩散系数
可以看出,上节解法中虚拟的俣野界面,以恒定速率向黄铜一边推移,相应于标桩移动的速率
和
，可以用上面公式解出本征扩散系数
和
。 
/
,而是化学势梯度
/
，热平衡时合金中化学势处处相等，否则原子要从高势能区扩散入低势能区。多元合金中组元i的化学势 
为阿伏伽德罗常数,
＝
,
为组元
的摩尔分数；右边第二项由混合熵引起，组元
的化学势： 
1，第二项恒为负值。 
/
比贫A区低，在较低温度下，式(12)第二项二区的差别小，这就有可能使富A区的
比在贫A区小，此时A原子趋于富集, 即A原子自贫区扩散到富区
这样的扩散,称为上坡扩散(up-hill diffusion)。固溶体的共析分解(见固态相变),必含有上坡扩散过程。 
的本征扩散系数
＝
×
为组元
的迁移率,即在单位驱动力的作用下,
原子的扩散速率；
为组元
的活度系数
上坡扩散的条件是
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