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三维 Ising 模型
祁永晖 2001012521 清华大学物理系
一．关于选题的说明 1．我选的题目是：统计力学三维 isingmodel。这个题目是当作期末考试论文交的。 2．另外，我又做了非线性方程-- kdv 孤子的传播和非线性方程—Sine-Gordan 孤子的振 动。
二．关于程序的说明 （一）三维 isingmodel 1． 算法：Metropplis 算法 简述：假想有一个随机行走者在三维空间运动，相继两步的终点产生出点子的一个序 列。行走越长，它连接的点子就越接近真实的分布。 规则：从 Xn 走出试探步 Xt, 这个新点可以用任意方法产生，例如可以在 Xn点周围的一
个边长为δ很小的多维体中均匀地随机的选取。然后按照比值，
() () i t wx
r
wx = 决定是接受还是
拒绝这一步，如果
r >1, 那么接受这一步，即取 Xn+1 = Xt ,如果
r< 1,则以概率
r 接受这一
步，这时要再产生一个[0,1]之间的随机数η，若η< r ,就接受这一步，否则不接受，并取 Xn+1 = Xn ,然后从新的 Xn+1 出发，产生 Xn+2。任意一点 X0 都可以作为随机行走的起始点。
2．原程序：具体说明看 M-file isingmodel3D.m
重点说明：
（1）c=sign(0.5-rand(ny,nx,nz)); %建立三维自旋矩阵 S
（2）只考虑同前一个位形仅相差一个自旋反转的试探位形 －> ，它们只有一个自旋
反转了方向。已知权函数
S t S
,, ijk SS α = ( ) ( ) () () tH S H StS re S ω ω −+= 试探点值 ＝＝ 出发点值 ，求得
。 2 ( )e S Jf Br α −+=
（3）R(1:7,2)=(exp(-2*(JJ*(2*(1:7)-8)+B)))' 例如：B=1T,JJ=0.1 时，R(1:7,2)= 0 0.4493 0 0.3012 0 0.2019 0 0.1353 0 0.0907 0 0.0608 0 0.0408
共 7 行 2 列。因为 只能取 7 个不同值
（0， ， ， ）。R(1:7,1)=1./R(1:7,2)，第二列为决定反转的备查表。
1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 i j k i j k i j k i j k i j k i j k f S S S S S S + − + − + =+++++−
2± 4 ± 6 ± 在扫描函数 c=swep(nx,ny,nz,c,R,im,jm,km,ip,jp,kp)中， f=c(ip(i),j,k)+c(im(i),j,k)+c(i,jp(j),k)+c(i,jm(j),k)+c(i,j,kp(k))+c(i,j,km(k)),
（4）抽样间隔 size 大，统计不确定估值小（更精确）。
（5）实现边界条件的语句：由于三维伊辛模型要用列阵。 ss=c.*cat( 3, cat(1,c(ny,:,nz),c(1:ny-1,:,nz))+cat(2,c(:,nx,nz),c(:,1:nx-1,nz)), cat(1,c(ny,:,1:nz-1),c(1:ny-1,:,1:nz-1))+ cat(2,c(:,nx,1:nz-1),c(:,1:nx-1,1:nz-1)) ) 这是本程序的难点所在。（用此方法很容易推广到高维情形）
（6）扫描函数 c 中。 if rn(i,j,k)<R(4+f/2,(3+c(i,j,k))/2) c(i,j,k)=-c(i,j,k) %反转 4+f/2=1，2，3，4，5，6，7。(3+c(i,j,k))/2=1，2。
三．心得与体会
1．以前学二维伊辛模型解析解（见铁磁相变理论 Ising Model 中的矩阵方法），相当数 学化，并且是外磁场为 0 时才有解析解。杨振宁先生解决了有外磁场情况下某类特殊晶体的 二维伊辛模型解析解，相当困难（但结果却很漂亮），杨先生说（见《杨振宁文选》）那是他 一生中最费时的计算，共用了 3 个月时间。 2．三维伊辛模型是没有解析解的。四维及以上有解析解，比二维还容易。 3．现在我用计算机实现了三维伊辛模型数值解，并且是可有外磁场的情况。虽然不能 给出精确计算结果（1。需要量子 Metropplis 方法，2。计算机没法实现无限大边界条件）， 但用图像已经很好的反映了物理内涵，不由得感到颇有成就感。 4．通过编程序，对 Metropplis 算法有了进一步理解。 我是很赞同老师的教学方法的：不但要学习计算方法，算法，还要会编程，只有真正 编出程序实现了需要的功能，才算是掌握了计算物理。否则只是学习一些形而上的理论而不 付诸实现，那只是一个空头理论家。实际上，编出了程序更能让学生领会到计算物理的精神。 5．最后对彭老师本学期的热心工作和对学生们的理解表示感谢。
四．可视化思路与计算结果
用切片的方法对三维 isingmodel 标量场（四维数据组）进行横纵切割。并随时旋转。 (1) 打开一个新的界面
实验结果与讨论： （2）一般情况：B=0.02T,JJ=-0.02,ngroup=50.
磁化率与比热出现峰值：（注意比二维伊辛模型相应数值大得多）
讨论：理论上讲，若 ，则 ngroup→∞ v C M
→∞ →∞
实际上，格子的有限大小平缓了热力学可观测量的奇异性。 （3）无外磁场，无耦合情况：B=0,JJ=0,ngroup=60. 自旋分布保持不变。
能量与磁化强度保持不变。
磁化率与比热没有出现峰值：
（4）弱磁场，极端强铁磁耦合情况：B=0.02,JJ=2,ngroup=30.
讨论：极端强铁磁耦合下自旋均同向平行
注意：极端强铁磁耦合下自旋均同向平行，这时的磁化率。
（5）弱磁场，强铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=0.44,ngroup=40.
讨论：强铁磁耦合下自旋部分同向平行
注意：强铁磁耦合下自旋大部分均同向平行，这时的磁化率。
(6)弱磁场，强反铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=－0.44,ngroup=40.
讨论：强反铁磁耦合下自旋相互反平行，很少部分自旋平行。
注意：强反铁磁耦合下自旋相互反平行，很少部分自旋平行，这时的磁化率。
（7）弱磁场，极端强反铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=－2,ngroup=30.
讨论：极端强反铁磁耦合下自旋相互反平行。
注意：极端强反铁磁耦合下自旋均相互反平行，这时的磁化率。
（8）强磁场，弱铁磁耦合情况：B=2,JJ=0.02,ngroup=40.
注意：磁化强度很大。
（9）当采样很大时，奇异性显著 ngroup=100，size＝20
铁磁相变理论 Ising Model 中的 Osage&Kanfman 解
祁永晖 2001012521
摘要：相变的理论描述是困难的，Ising-Model 是少有的几个可在统计力学框架上不用大量 数值计算来处理的模型之一。Bragg-Williams,Bethe-Peierls 等采用级数展开的方法（平均场 近似）逐项进行求解，Kramers 和 Wannier 做出了与众不同的矩阵方法求 Ising-Model（见引 文 1）。Osager第一次成功计算了无外场条件下二维 Ising Model 的配分函数的严格表达式（见 引文 2），解析解是可能的并显示了相变。B.Kanfman 将矩阵方法较清晰说明（见引文 3）， 故这种方法又叫做 Osage&Kanfman 解（引文 4）。后来杨振宁用同样的方法计算了外场条件 下某些特殊晶体的严格解，并指出任何其他想要获取严格表达式的尝试都归于失败（见引文 5）。
Osager 主要采用的步骤是将 矩阵变成 22 n × n 22 nn × 矩阵，然后再把之变为周期矩阵或准周
期矩阵。作为一种数学技巧是值得借鉴的。我们将用一维 Ising-Model 进行完整的统计力学 求解，高维模型基本步骤是相似的，只是需要更多的数学准备。我们将通过无外场条件下的 二维 Ising-Model 给出详细的矩阵求解方法。目前，三维 Ising-Model 还没有解析解。
正文：Ising-Model:
(,)
{} iij ij i E S S S B Si ε μ =− ∑ − ∑
配分函数：
1 ( , ) exp{ { }} i i S Z TB ES β =± = ∑ −
一维 Ising-Model
每个格点有自旋 1 iS =± ，，则
{} iij ij i E S S S B Si ε μ ≤ =− ∑ − ∑
B 是磁场，晶格间的相互作用能
ε − （ 0 ε > ） ij ≤ ∑ 表对相邻晶格求和，
i ∑ 表对所有晶格求和。
配分函数：
1 ( , ) exp{ { }} i ij i Siji Z TB S S B S β εμ =± ≤ = ∑ ∑ + ∑
其中 0 1 1 2 2 3ij ij S S S S S S S S ≤ ∑=+++ L
考虑到 Ising 链的无限结构，应用循环求和技巧，把无限长链变成环链（见上图），把求和写 对称化
11 11 1 {} ( ) 2 NN iiii ii E S S S B S S εμ ++ == =− ∑ − ∑ + i
则
12
11
1 1 1 1
1 ( , ) exp{ [ ( )]} 2N N Nii S S S i Z T B S S B S S β ε μ ++ =± =± =± = = ∑ ∑ ∑ ∑ + + L ii
在自旋空间（2 矩阵）定义一算符 ，矩阵元为 2× ˆ P
w＝ 11 1 1ˆ | | exp{ [ ( )]} 2 N ii i i i i i S P S S S B S S β ε μ ++ = 〈 〉 = ∑ + +1 +
不妨令自旋 1 k σ =+ 对应于单位矢量 ， 1 0 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠
1k σ =− 对应于单位矢量 ，可得： 0 1 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠
1
11
1, 1 ˆˆ | | | | (| 1 1|) (| 1 1|) (| 1 1|) (| 1 1|) ii i i i i SS P S S P S S w w w w + ++ =± =± = ∑ 〉〈 〉〈 = + 〉 〈+ + − 〉 〈+ + + 〉 〈− + − 〉 〈−
( ) ( ) ( ) ( ) ()() () () 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 10 01 0 0 1 1 1 B BB e e e e e βεμ β ε β ε βεμ βεμ + − − − +⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ = + + + + ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
()
()
B
B ee ee βεμ β ε β ε β ε μ +− −− ⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠
令 x e
β ε = ， B y e β μ = 得
1 ˆ
1
xy
x
P
x x y
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠
12
1 2 1 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ(,) | | | | | | N N N S S S 1Z TB S P S S P S S P S =± =± =± ∴ = ∑ ∑ ∑ 〈 〉〈 〉 〈 LL 〉
因为状态 形成一完整系，闭合关系 |1 ±〉
1
10
| | |1 1| | 1 1| 01i ii
S
SS I
=±
⎛⎞ ∑ 〉〈 = 〉〈 + − 〉〈− = = ⎜⎟ ⎝⎠ ，
( ) ( )11
1
10 ˆ ˆ ˆ( , ) | | 1 0 0 1 01i N N N
N
S ˆ NZ T B S P S P P TraceP =± ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∴ = ∑ 〈 〉 = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 由迹对正交变换的不变性，得
1
12
2 ˆ(,) NN N
N Z T B traceP tr λ
λ λ
λ ⎛⎞ = = = + ⎜⎟ ⎝⎠ 1,2 ,其中 λ
为 两特征值。 ˆ P
† ˆ P =Q ˆ P ，所以 为对称阵，可化为对角阵。 ˆ P
求 特征值： ˆ P 2
1
1 ( )( )
1
xy
xx xy x yx xy λ λλ λ − ⇒ − − − = − 0
22 2 1 () x xy x yx λλ ⇒ − + + − =0
22 1,2 2 11 [( ) ( ) 4( )] 2 xx xy xy x y yx λ ⇒ = + ± + − −
2 2 2 1,2 cosh( ) sinh ( ) e B e B e β εβ ελβ μ β μ −⇒ = ± + β ε
令Y
β ε = ， X B β μ = ，则
22 1,2( , ) cosh sinh YY2YX Y e X e X e λ − = ± +
而自由能 12 ( , , ) ln ( , ) ln( ) NN N F N B T kT Z T B kT λ λ =− =− +
能量 2 ( , , ) ( ) F E N B T kT T kT ∂ =− ∂
热容量 (,,) B
E
C N B T
T ∂
= ∂
总磁矩 , 1 (,,) ( ) N zi i F M N B T S B μ = TN ∂ = <∑ >=− ∂
1 2 .
12 42 12
( , , ) ln( )|
sinh sinh
NN zT
NN
NNY
M N B T
X
X
N
eX
μ λ λ
λλ
μ
λλ −
N ∂ =+ ∂ −
=
++
讨论：1.去掉自旋相互作用后，自旋链应显示出顺磁质性质。
， 0Y = 12 12 1 NN NN λλ λλ − = + ， ( ,0) tanh ZM XN X μ = ，相当于顺磁质。
而 2 1,2( ,0) cosh sinh 1 XXX + 2cosh 0 λ =± X⎧ =⎨ ⎩
( ,0) ln(2cosh ) F X NkT X∴ =− 与由经典玻尔兹曼统计得到的结果一致。
2．变化外磁场，极端情况。
（1） , ,B →±∞ X →±∞ 1 M →±
（2） , , 0B → 0 X → 1,2(,) X Y λ Q 有限， ， sinh 0 X →
0 lim ( , ) 0 ZX M X Y → ∴ = 。
结论：没有磁场，磁矩也就消失，虽有自旋相互作用，也没有自发剩余磁化强度。
3.若相互作用比 大的多， kT , Y →∞
1,2( , 1) cosh sinh YYYXX Y e X e X e λ ± ≈±=
( , 1) tanhZM X Y N NX μ ∴ ≈
所以，对很强得自旋相互作用或很低得温度（ ）,比顺磁质要小得多的磁场 （ ），就足够达到饱和磁化强度。 0T → 0Y = 结论：一维 Ising-Model（ 1 N ）铁磁相变发生在 0 cT = 时。
4．铁磁质 ， 0 εε ↑↑=− < 0 εε ↓↓= >
0, 0 HT = = 时，磁化强度出现跳跃. 0 , 1 0 , 1 HM HM + − →→ →→ + −
物理上表示自旋向上与自旋向下的混合。 二维 Ising-Model 二维空间晶格数 ，见下图： LN × l=L …… l+1 l …… l=2 l=1 l=0 1 2 3 …… i i+1 … N 用与一维 Ising-Model 相似的数学技巧：把四边形对边相互粘连，直观上形成一“救生圈”，
把无限求和化为循环求和. 定义：
12 ( , ); l l l l N S S S S ≡ L ， 共有 个值。 1liS =± l S 2N
第 0 列=第 N 列： 0, ll N SS =
配分函数：
2 ( , ) exp{ } LN lm l LN i j iZ BT S S B S β ε β μ × × = ∑ + ∑ ∑
定义： 11 1 1 exp{ } N l l l ii i S M S S S βε ++ = ≡∑l
N
，
相邻行间最近邻晶格的相互作用能量矩阵元， 个； 22 N ×
2 1 exp{ } N ll l l ii i SMS S S βε + = ≡∑1 ，同行最近邻晶格相互作用能量矩阵元， 个； 2N
3
1 exp{ } N ll i i S M S B S βμ = ≡∑ l
l i
，晶格自有能量矩阵元，2 个； N
则 123 ( , ) ( ) L LN Z B T trace M M M × =
证明： ( , )( , ) {} llm iij i j l m ES S S B S εμ =− ∑ − ∑
0
ε ε ε = ↑↓=− ↑↑> ， 1 l iS +±
22 ( , ) exp{ { }} mm LN LN ABl LN iZ BT E S x y β ×× × = − = ∑∑
令 , B x e y e β εβ == μ
li A S S S S − +
其中
1
1
1
01 () mN l l l l m i i i i + == = ∑ ∑ + 1 01 mN
l mi li ， S − == B = ∑∑
0 ll N SS =
定义：矩阵元
1 2 1 0 mm m ABm m S S S S P S x y − ≡∑ L
1m = 时，
1 0 0 0 11 1 () N i i i i i A S S S S + = =∑ + ， 0 1 1 N i i B S = =∑
1 0 0 0 0 1 1111 () 10 1 11 NN i i i i i ii S S S S S AB S P S x y x y S M M M S + == ∑ + ∑ = = = 023
10 1 2 3
, lm
l l m m
SS S M S S M S S M S=∑ ，必要求 0 ml = = ，
0
1 00 3 N
i
i
S S M S y = ∑ =
00 1
1 00 2 N
ii
i
SS S M S x + = ∑ =
10
1 10 1 N
ii
i
SS S M S x = ∑ = 2m = 时，
2 1 1 1 1 1 1111 1 () 20 1 0 2 21 NN i i i i i ii S S S S S AB S S P S x y x y S P S S P P S + == ∑ + ∑ = =∑ =⋅011
2 21 PP∴ =
1 1 2 () LL
L P P M M M3∴ ==
00 0(,) mm LL LL NN AB L LN L SS SS Z B T x y S P S × == == ∑∑Q
0
0 123 123 ( , ) ( ) ( ) LL N LL LN SS Z B T S M M M S trace M M M × = L∴ == ∑
当 它的本征值是解 , L L N →∞ × →∞× , N N 22 N × 矩阵的本征值问题。
11 1 1 exp{ } N l l l ii i S M S S S βε ++ = ≡∑Q l
x
e e x x 1
11
1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
x x x xI x e e e x x β ε β ε γ
M
σ
β ε β ε σα −− −− −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ = = = + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （最后一个 等号为设参数 γ）
其中 201,1 10 xx σσ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠
求矩阵函数： 1,20 1 ( ) ( 1)( xA Imx λ σ λ − = ⇒ =± ⇒ = + −1) xx
21 12 1 2 1 2 11 ( ) ( ) ( ) 22 xx x x p x f f e e ββλ λλλ λ λ λ λ −−− + − = + = − −−
1
cosh sinh
()
sinh cosh22 xx ee II M p x e e ee β ε β ε γγ β ε β ε γγσσ α γγ − − − ⎛⎞ ⎛⎞+− ∴ = = − = =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
得
2 2 2 2 cosh , sinh tanh , ee e e e β εβ ε β εβ ε α γ α γ γα − −− == = = − β ε
注释：这儿用到矩阵分析中的矩阵谱知识，这儿是直接套用拉格朗日多项式公式求解。一般 而言，求解矩阵谱要先化为若当标准型（参见一般高等代数书）。
定义：矩阵直乘 A 是 矩阵， ll × () ij AA = ，B 是mm × 矩阵， () ,s tB B= 则 矩阵由
矩阵组成：
AB ×
( ) ( l m l m ⋅ × ⋅) , ()is jt ij st A B A B × ≡ ×
证明：
' ' ' '
'' ' ' ' ' ' ' ,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( is kl kl jt ik sl kj lt ik kj sl lt ij st A B A B A A B B A B A B A B A B A A B B A A B B × ⋅ × = ⋅ × ⋅ × ⋅ × = = = ⋅ ⋅左= )
⎞ ⎟
引入泡利矩阵：
0 1 0 1 0 ,, 1 0 0 0 1 x y z i i σ σ σ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N
定义：
()
22
() xi x N zi z I I I I I I I I I I σσ σσ = × × × × × ×⎫ ×⎬= × × × × × × ⎭ LL LL
项，
令 ,, YXB β ε β μ ==有
1
11
1
()()
1
1
[( ) ( ) ( ) ( ) ]
2
()
3
N
xi
xi i
z N z z N z N
N
zi
i
N
N
i
Y
X
M e e
Me
Me
γσγσ
σ σ σ σ
σ
αα
= −
= ∑
=
++ ∑ =∏ = =
=
L
证明：（1） 1N =
1
0
() () () !!
x
NN xx N N even N odd
Me
NN γσ γσ γσ α α α ∞∞∞ =∈∈ = = ∑ = ∑ + ∑ 而
1,
,
evev
x odd x x σ σ σ ⎧ = ⎨ =⎩
1 cosh sinh xMI α γ α σ γ ∴ =+ 2N =
12 ( ) ,( ) z z z II z σ σσ = × = × σ
l l l S S S =
l l l S S S ++ =
12 ( , ) , 1, l iS =±
1 1 1 12 (,), + 1 1, l iS + =±
11 1 1 1 11 1 ( )( ) l l l l YS S YS Sll S M S e e +++ ,∴ =
12 ( ) ( )2
1
x x x M e e e e γ σ γ σ γ σ γ σ ααα =×= x
, NN =
得 1 () 1 N xi iN Me γσ α = ∑ =
（2）N=1 时， ，有 10 01z σ ⎛⎞ =⎜⎟ − ⎝⎠
1
1 0 1
()
0 1
1
z
zz
z
I
σ
σσ
σ
⎛⎞ ⎜⎟ − ⎛⎞⎜⎟ = × = = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟ − ⎝⎠ 2
1
1
()
1
1
zz I σσ
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟= × = ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠
12
1
12 2 2 1
1 0 1 ( ) ( ) , 0 1 1 llz SS ll zz z
x
x
S M S x M
x
x
σ
σσ
σ − −
⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟== ≡ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟− −⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
12
1
22 1 , ll SS ll
x
x
S M S x M
x
x − −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟≡= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠
, NN =
得 1 2 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 z z z z z N z z N z N YMx e σ σ σ σ σ σ σ σ − +++ == LL
（3）
Q
1
2
3
() () () zz zz zz I I I I I I I I I III σ σ σσ σσ = × × × × × = × × × × × = × × × × × L L L ，利用此直乘关系，得
1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) m l m l m l ml zi z z S S S S S S S S I σ σ σ = L
11 ( ) , ml m l l z SS S S S σδ =
22() ml m l l z SS S S S σδ = ,
33 ( ) , ml m l l z SS S S S σδ =
其中 12 1 2 ( , , ), ( , , m m m m l l l l NN S S S S S S S S == LL )
1
()
3
N
z i
i
X Me σ = ∑ ∴ = 定义： 矩阵 Γ
1
2
3
4
5
1
21
2
1
21
2
21
z
y
xz
xy
xxz
r
r x x x z
r x x x y
N
N x x x z
N x x x y
N x x x y
I I I I I I II II I
I I I I
σ σ σσ σσ σσσ
σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − −
+
Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × ×
Γ ≡ × × × × × × × Γ ≡ × × × × × × ×
Γ ≡ × × × × Γ≡×××× Γ ≡ × × × ×
L L L L L
LL
6447448 LL LL
LL
6447448 L L L Γ矩阵有以下性质： (1){ , } 2 i j i j j i i j δ Γ Γ =ΓΓ +Γ Γ =
Q
23
32
, ,
y x z
x y z
I I
σ σσ σ σ σ Γ Γ = × × × Γ Γ = × × × L L
，而 y x x y z i σ σ σ σ σ =− =− ，
2 3 3 2∴ Γ Γ =−Γ Γ
又 ， 2 1 i Γ=
{ , } 2 ij∴ Γ Γ =
†(2) ii Γ =Γ，Γ矩阵是 Herrmmit 矩阵.
2 1 1 2 3 2(3) N NN i+ Γ = Γ Γ Γ Γ L
1 2 3 2 21
2 1 1 2 3 2
() ()
z y x
N
NN N x x x x x N
N NN
i
i i i i i
i
σ σσ
σ σ σ σ σ
+
+
=−
∴Γ Γ Γ Γ =− ×− × − = − × × = − Γ ∴Γ = Γ Γ Γ Γ
Q
644474448 L L L L
简化：考虑外磁场为 0， ，行间相互作用关系为 3 1M = 12 M M 。
定理：（略证见引文 3）
12 21 21 [(1 ) (1 ) ] 2 N NNM MM α M+ ++ = +Γ + −Γ− ，其中
1 2 3 4 2 1 2 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1exp[ ( )] exp[ ( )]NN N N NMi iY γ ± − − = Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ × Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ LL − m
正交变换：矩阵 在正交变换 iΓ R 下变为 ', iΓ () ijR R= 是22 NN × 矩阵。
则变换后 性质： 2 ' 1 N i ij j R = Γ = ∑ Γj
N
''''' 2 1 1 2 3 2 21 '' (1) det (2){ , } 2 ,1 2 1,1 2 1. NN NN i j ij i i R i N j N δ ++ Γ =− Γ Γ Γ Γ = ⋅Γ Γ Γ = ≤ ≤ + ≤ ≤ + L
定理：对每一个22 NN × 维的正交变换矩阵 , R 一定有一个22 NN × 维的矩阵 满足： ( ), SR
2 '1
1
1 2 1 2
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( ).
N
i ij j i j R S R S R S R S R S R R − = Γ = ∑ Γ = Γ =
定理：任何一个22 NN × 空间的正交矩阵 , R 都可通过相似变换变成准对角阵。即总可找到
矩阵 ，使得 ,T 1, R TDT− = 其中 为准对角阵，而 D , TT I =% 准对角阵形式：（略证）
11
11
22
22
cos sin sin cos
cos sin sin cos
D
θθ θθ
θθ θθ −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − =⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ O
用 T 把 R 变成准对角阵 1, R TDT− = ,则 1 ( ) ( ) ( ) ( ) S R S T S D S T− = 。
所以 的本征值就是 的本征值。 () SR () SD
12 1 2 3 4 2 1 2
1
()
22 2 2()
N
N
i x iNN i i S D e e θθθ θσ − = −∑Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ == L
对于 Ising-model，M± 是某种R± 的 ( S S R) ±= ，
21 [ , ] NM ±+ Γ=Q 0 ， 2 1 2 1 (1 )(1 ) 0 NN ++ +Γ −Γ =又
21 21 [(1 ) (1 ) ] 0 NN MM + + + −∴ +Γ + −Γ =
可将 21 (1 ) N M +++Γ ， 21 (1 ) N M +−Γ −同时对角化。 21 N+Γ 与所有的Γ及M± 都对易，
21
1
1
0
1
1
1
0
1
N+
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟Γ= ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ O O
它表示 21 1 (1 ) 2 N M +±Γ ±的本征值： 21 21
1
1 N
N
M
λ
±+
+
Γ ±⎧ =⎨ Γ ⎩ m 的本征值，若 ＝ 0，若 ＝
即 21 12 21 1 1 N N M MM M + + Γ⎧ ⎨ Γ ⎩ ＋ － 的本征值，若 ＝＋ 的本征值＝ 的本征值，若 ＝－
∴求 就是要解 12 MM的本征值 22 NN × 的矩阵M± 。
1 2 3 4 2 1 2 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1 ()]() ()NN N N N iiYM ee γ −−− ΓΓ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ ± ± =≡ LLm SR
Y
⎞ ⎟ ⎠
cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
cosh2 sinh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
sinh2 cosh2
i
i
i
RD
i
Yi Y i Y i Y Y Y i Y i Y Y
iY Y
γγ γγ
γγ γγ
± −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − == × ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ± ⎝⎠ O m O
令
cosh2 sinh2 cosh2 0 ,, sinh2 cosh2 0 cosh2 0 0 0 sinh2 , sinh2 0 0 0 iY AB iY iY CC iY γγ γγ + − ⎛⎞⎛ == ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 故R± 化为
AB AC AC
BC C
AC AB AC
A C B C
AC AB
A
R
BC
AB AC
A C B C
AC AB AC
CCB AC AC AB
+
+
+
+
+
±
+
+
+
+
⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎜⎟ ⎝⎠ Lm Lm O MO O M m m
本征值方程R const ±± ± Φ = Φ
令 () 2 T N λ ξ λ ξ λ ξ ± Φ= L ，其中 λ 为常数， 1 2 ξ ξ ξ ⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ ，则
2
23
1
() ()
()
N
NN
AB AC AC AC AB AC
R
AC AC AB
λ λλξ λ λ λ ξ
λ λλ
+
+
±±
−+
⎛⎞ + ⎜⎟ + ⎜⎟Φ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ m m L m ξ ，取 1 N λ =m ，则
1
12
1
() ()
() N
AB AC AC AB AC AC
R
AB AC AC
λ λλ ξ λ λλ ξ
λ λλ
−+
−+
±±
−+
⎛⎞ ++ ⎜⎟ ++ ⎜⎟Φ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ L ξ
取
1,3, 2 1, 0,2, 2 2,
r
i
N
rn
e
rn
π
λ
+ − =−⎧ = ⎨ =− ⎩ L L R R ，只需解 2×2 矩阵即可：
1 cosh2 sinh2
sinh2 cosh2
r
i rr N ii NN r r i N Y ie Y W AB AC AC AB e AC e AC A ie Y Y π ππ πλλ − −−+ + ⎛⎞ ⎜⎟= + + = + + = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠
22 det det (cosh 2 sinh 2 ) 1 r W A Y Y = ⋅ − =
两个本征值：
r
r
r
e
W
e
θ
θ − ⎧
=⎨ ⎩
11 cosh (cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 ) 22
cosh2 cosh2 cosh( )sinh2 sinh2
rr ii NN
rr traceW Y e Y Y e Y r YY N ππ θ γ γ γ π γγ − = = − + − =− γ
13 2 1
1 e x p ( ( )) 2 N
M
θ θ θ + − ± ± ± ± L的本征值=
02 2 2
1 e x p ( ( )) 2 N
M
θ θ θ − − ± ± ± ± L的本征值=
21 N+ΓQ 与 M± 对易，即 ， 21 [ , ] N M +± Γ= 0M± ∴ 的所有本真矢，也是 的本征矢。 21 N+Γ
21 21 11 (1 ) (1 ) 22 NNM MM ++ + = +Γ + −Γ − 。
进一步的讨论：
1．规定 0 2( ) Y θ γ =− ,（见引文 3）
则 21 1 (1 ) 2 N+ +Γ 只选取M+ 的本征值 1 3 2 1 1 () 2 Ne θ θ θ −±±±± L 中有偶数个“－1”符号的那些值；
21
1
(1 ) 2 N+ −Γ 只选取M− 的本征值 0 2 2 2 1 () 2 Ne θ θ θ −±±±± L 中有偶数个“－1”符号的那些值。
推论：（1） 0 0 0 0 0 2 ,, i i iN i θ θ θ θ θ θ ≠ ≠ ≠ →− → = −
（2）sinh2 sinh2 1 Y γ =
证明：
22
2
tanh
2tanh 1
sinh2
1 tanh sinh2 sinh2 sinh2 1
Y ee
Y
Y
βεγ γ γ γ γ −− ==
== −
∴ =
Q
（3）定义：sinh2 1 c γ ≡
2.若sinh2 sinh2Y γ = ，就定出了临界温度 ，出现相变。 cT
当 ，Y ， 0T = =∞ 0 γ = ;又 c TT = ， c Y γ γ = = ，sinh2 1 c γ ≡ 。
∴ 0 0 , 2( ) , 2( ) c c T T Y T T Y θγ θγ > = − <⎧ ⎨ < = − > ⎩ 0 0
∴ 0 2( ) Y θ γ =−是一条直线； 0 r θ ≠ 曲线是对称的。
3．对于物理上的晶体 . NL →∞
当 , N →∞ 1 1 cosh cosh (cosh ) sin( )sinh2 sinh2 ( ) r r r r YO NN N π π θ θ θ γ + − ≡Δ ≅
（1）若 ，则 0 rN ≤< (cosh ) 0, r θ Δ>012 N θ θ θ θ ∴ <<< L ，上凹曲线不断上升。
（2）若 ，上凹曲线不断上升下降。 rN ≥
Q
1 3 2 1
0 2 2 2
1 exp[ ( )] 2 1 exp[ ( )] 2 N N Mm Mm θ θ θ θ θ θ ++ −− ⎧ +++ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ +++ ⎪ ⎩ L L 的最大本征值 = 的最大本征值 = − −
∴所以 0 1 2 3 2 2 2 1 1 exp{ [( ) ( ) ( )]} 2 NN m m θ θ θ θ θ θ − −− + = − + + L －－
2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2
2 3 4 5 2 2 2 1
()
()
NN
NN
O
N
O
N
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
−−
−−∴ ∑+
Q
L
1
（ － ）＋（ － ）＝（ － ）＋（ － ）＝( － ）－( － ）
1
=（ － ）+（ － ） （ － ）
∴当 ,0 N →∞∑→ 01 1 exp[ ( )] 2 m m θ θ − + →−
高温时： 00 1 , 2( ) 0,lim exp( ) 1; 2c N m T T Y m θγ θ − →∞ + > = − < → <
低温时： 001 , 2( ) 0, ( ),limc N m T T Y O Nm θ γ θ θ − →∞ + < = − > − = 1 1.
当 时， 3 , , 0( N L B M →∞ →∞ = =1)
Q 123 ( , ) ( ) L LN Z B T trace M M M × = ∴对于无外场条件下，二维 Ising-Model 的配分函数为：
(0, )LNZ T× 12 21 21 ( ) ( [(1 ) (1 ) 2 N LL NNtrace M M trace M M α + + + − = = +Γ + −Γ ])
2, () , NL L NL L L c NL L c m T T mm m T T α α α + +− + ⎧ < = + = ⎨ >⎩
ln (0, ) ln ln LNZ T NL L m α ×+∴ =+。
则得到 Onsager 方程：
1 3 2 1 ln (0, ) 1 1 1 ln ln ln ln{exp[ ( )]} ln 22 2 LN Nr r odd ZT m NL N N N 1 α αθθ θ α × +− ∈ = + = + + + + = + ∑ L θ
令 , r N π ω = 则 2 (2 rr NN ) π π ω Δ = Δ = Δ = Q ( , ) ln ( , )NL NL F B T kT Z T B =−Q
当 方程变为： ,N →∞
2
0
ln ( , )(0, ) 1 1 lim lim (ln ) ln ( ) 24 LN rNL NL r odd Z T BFT d kT NL N π α θ α θ ω π × →∞ →∞ ∈ ω ∴− = = + ∑ = + ∫
（计算此积分还要更多的数学准备，需要引入一些特殊函数，见引文 2） 以下直接给出计算结果：
自由能 (0.9296) cc F F kT − →− =
熵 (0, ) ln(1.385) c V F S T S k T ∂ =− → = ∂
能量 2 (0, ) ( ) F E T kT T kT ∂ =− ∂ 比热 222 (0, ) (ln ) [ln 1 ] 84 1 B B c E C T k ctg T kT kT π π π εε ∂ = → × − ∂ −+ −
当 1 ckT kT εε − + =0 时，出现奇异点。
参考文献：
1. H. A. Kramers and G. H. Wanner, Phys. Rev. 60, 252, 263 (1941) . 2. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944) [SPIRES]. 3. B. Kaufman, Phys. Rev. 76, 1232 (1949) . 4. B. Kaufman and L. Onsager, Phys. Rev. 76, 1244 (1949) . 5. C. N. Yang，Phys. Rev. 85, 808-816 (1952)
祁永晖 2001012521 清华大学物理系
一．关于选题的说明 1．我选的题目是：统计力学三维 isingmodel。这个题目是当作期末考试论文交的。 2．另外，我又做了非线性方程-- kdv 孤子的传播和非线性方程—Sine-Gordan 孤子的振 动。
二．关于程序的说明 （一）三维 isingmodel 1． 算法：Metropplis 算法 简述：假想有一个随机行走者在三维空间运动，相继两步的终点产生出点子的一个序 列。行走越长，它连接的点子就越接近真实的分布。 规则：从 Xn 走出试探步 Xt, 这个新点可以用任意方法产生，例如可以在 Xn点周围的一
个边长为δ很小的多维体中均匀地随机的选取。然后按照比值，
() () i t wx
r
wx = 决定是接受还是
拒绝这一步，如果
r >1, 那么接受这一步，即取 Xn+1 = Xt ,如果
r< 1,则以概率
r 接受这一
步，这时要再产生一个[0,1]之间的随机数η，若η< r ,就接受这一步，否则不接受，并取 Xn+1 = Xn ,然后从新的 Xn+1 出发，产生 Xn+2。任意一点 X0 都可以作为随机行走的起始点。
2．原程序：具体说明看 M-file isingmodel3D.m
重点说明：
（1）c=sign(0.5-rand(ny,nx,nz)); %建立三维自旋矩阵 S
（2）只考虑同前一个位形仅相差一个自旋反转的试探位形 －> ，它们只有一个自旋
反转了方向。已知权函数
S t S
,, ijk SS α = ( ) ( ) () () tH S H StS re S ω ω −+= 试探点值 ＝＝ 出发点值 ，求得
。 2 ( )e S Jf Br α −+=
（3）R(1:7,2)=(exp(-2*(JJ*(2*(1:7)-8)+B)))' 例如：B=1T,JJ=0.1 时，R(1:7,2)= 0 0.4493 0 0.3012 0 0.2019 0 0.1353 0 0.0907 0 0.0608 0 0.0408
共 7 行 2 列。因为 只能取 7 个不同值
（0， ， ， ）。R(1:7,1)=1./R(1:7,2)，第二列为决定反转的备查表。
1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1 i j k i j k i j k i j k i j k i j k f S S S S S S + − + − + =+++++−
2± 4 ± 6 ± 在扫描函数 c=swep(nx,ny,nz,c,R,im,jm,km,ip,jp,kp)中， f=c(ip(i),j,k)+c(im(i),j,k)+c(i,jp(j),k)+c(i,jm(j),k)+c(i,j,kp(k))+c(i,j,km(k)),
（4）抽样间隔 size 大，统计不确定估值小（更精确）。
（5）实现边界条件的语句：由于三维伊辛模型要用列阵。 ss=c.*cat( 3, cat(1,c(ny,:,nz),c(1:ny-1,:,nz))+cat(2,c(:,nx,nz),c(:,1:nx-1,nz)), cat(1,c(ny,:,1:nz-1),c(1:ny-1,:,1:nz-1))+ cat(2,c(:,nx,1:nz-1),c(:,1:nx-1,1:nz-1)) ) 这是本程序的难点所在。（用此方法很容易推广到高维情形）
（6）扫描函数 c 中。 if rn(i,j,k)<R(4+f/2,(3+c(i,j,k))/2) c(i,j,k)=-c(i,j,k) %反转 4+f/2=1，2，3，4，5，6，7。(3+c(i,j,k))/2=1，2。
三．心得与体会
1．以前学二维伊辛模型解析解（见铁磁相变理论 Ising Model 中的矩阵方法），相当数 学化，并且是外磁场为 0 时才有解析解。杨振宁先生解决了有外磁场情况下某类特殊晶体的 二维伊辛模型解析解，相当困难（但结果却很漂亮），杨先生说（见《杨振宁文选》）那是他 一生中最费时的计算，共用了 3 个月时间。 2．三维伊辛模型是没有解析解的。四维及以上有解析解，比二维还容易。 3．现在我用计算机实现了三维伊辛模型数值解，并且是可有外磁场的情况。虽然不能 给出精确计算结果（1。需要量子 Metropplis 方法，2。计算机没法实现无限大边界条件）， 但用图像已经很好的反映了物理内涵，不由得感到颇有成就感。 4．通过编程序，对 Metropplis 算法有了进一步理解。 我是很赞同老师的教学方法的：不但要学习计算方法，算法，还要会编程，只有真正 编出程序实现了需要的功能，才算是掌握了计算物理。否则只是学习一些形而上的理论而不 付诸实现，那只是一个空头理论家。实际上，编出了程序更能让学生领会到计算物理的精神。 5．最后对彭老师本学期的热心工作和对学生们的理解表示感谢。
四．可视化思路与计算结果
用切片的方法对三维 isingmodel 标量场（四维数据组）进行横纵切割。并随时旋转。 (1) 打开一个新的界面
实验结果与讨论： （2）一般情况：B=0.02T,JJ=-0.02,ngroup=50.
磁化率与比热出现峰值：（注意比二维伊辛模型相应数值大得多）
讨论：理论上讲，若 ，则 ngroup→∞ v C M
→∞ →∞
实际上，格子的有限大小平缓了热力学可观测量的奇异性。 （3）无外磁场，无耦合情况：B=0,JJ=0,ngroup=60. 自旋分布保持不变。
能量与磁化强度保持不变。
磁化率与比热没有出现峰值：
（4）弱磁场，极端强铁磁耦合情况：B=0.02,JJ=2,ngroup=30.
讨论：极端强铁磁耦合下自旋均同向平行
注意：极端强铁磁耦合下自旋均同向平行，这时的磁化率。
（5）弱磁场，强铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=0.44,ngroup=40.
讨论：强铁磁耦合下自旋部分同向平行
注意：强铁磁耦合下自旋大部分均同向平行，这时的磁化率。
(6)弱磁场，强反铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=－0.44,ngroup=40.
讨论：强反铁磁耦合下自旋相互反平行，很少部分自旋平行。
注意：强反铁磁耦合下自旋相互反平行，很少部分自旋平行，这时的磁化率。
（7）弱磁场，极端强反铁磁耦合情况：B=0.08,JJ=－2,ngroup=30.
讨论：极端强反铁磁耦合下自旋相互反平行。
注意：极端强反铁磁耦合下自旋均相互反平行，这时的磁化率。
（8）强磁场，弱铁磁耦合情况：B=2,JJ=0.02,ngroup=40.
注意：磁化强度很大。
（9）当采样很大时，奇异性显著 ngroup=100，size＝20
铁磁相变理论 Ising Model 中的 Osage&Kanfman 解
祁永晖 2001012521
摘要：相变的理论描述是困难的，Ising-Model 是少有的几个可在统计力学框架上不用大量 数值计算来处理的模型之一。Bragg-Williams,Bethe-Peierls 等采用级数展开的方法（平均场 近似）逐项进行求解，Kramers 和 Wannier 做出了与众不同的矩阵方法求 Ising-Model（见引 文 1）。Osager第一次成功计算了无外场条件下二维 Ising Model 的配分函数的严格表达式（见 引文 2），解析解是可能的并显示了相变。B.Kanfman 将矩阵方法较清晰说明（见引文 3）， 故这种方法又叫做 Osage&Kanfman 解（引文 4）。后来杨振宁用同样的方法计算了外场条件 下某些特殊晶体的严格解，并指出任何其他想要获取严格表达式的尝试都归于失败（见引文 5）。
Osager 主要采用的步骤是将 矩阵变成 22 n × n 22 nn × 矩阵，然后再把之变为周期矩阵或准周
期矩阵。作为一种数学技巧是值得借鉴的。我们将用一维 Ising-Model 进行完整的统计力学 求解，高维模型基本步骤是相似的，只是需要更多的数学准备。我们将通过无外场条件下的 二维 Ising-Model 给出详细的矩阵求解方法。目前，三维 Ising-Model 还没有解析解。
正文：Ising-Model:
(,)
{} iij ij i E S S S B Si ε μ =− ∑ − ∑
配分函数：
1 ( , ) exp{ { }} i i S Z TB ES β =± = ∑ −
一维 Ising-Model
每个格点有自旋 1 iS =± ，，则
{} iij ij i E S S S B Si ε μ ≤ =− ∑ − ∑
B 是磁场，晶格间的相互作用能
ε − （ 0 ε > ） ij ≤ ∑ 表对相邻晶格求和，
i ∑ 表对所有晶格求和。
配分函数：
1 ( , ) exp{ { }} i ij i Siji Z TB S S B S β εμ =± ≤ = ∑ ∑ + ∑
其中 0 1 1 2 2 3ij ij S S S S S S S S ≤ ∑=+++ L
考虑到 Ising 链的无限结构，应用循环求和技巧，把无限长链变成环链（见上图），把求和写 对称化
11 11 1 {} ( ) 2 NN iiii ii E S S S B S S εμ ++ == =− ∑ − ∑ + i
则
12
11
1 1 1 1
1 ( , ) exp{ [ ( )]} 2N N Nii S S S i Z T B S S B S S β ε μ ++ =± =± =± = = ∑ ∑ ∑ ∑ + + L ii
在自旋空间（2 矩阵）定义一算符 ，矩阵元为 2× ˆ P
w＝ 11 1 1ˆ | | exp{ [ ( )]} 2 N ii i i i i i S P S S S B S S β ε μ ++ = 〈 〉 = ∑ + +1 +
不妨令自旋 1 k σ =+ 对应于单位矢量 ， 1 0 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠
1k σ =− 对应于单位矢量 ，可得： 0 1 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠
1
11
1, 1 ˆˆ | | | | (| 1 1|) (| 1 1|) (| 1 1|) (| 1 1|) ii i i i i SS P S S P S S w w w w + ++ =± =± = ∑ 〉〈 〉〈 = + 〉 〈+ + − 〉 〈+ + + 〉 〈− + − 〉 〈−
( ) ( ) ( ) ( ) ()() () () 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 10 01 0 0 1 1 1 B BB e e e e e βεμ β ε β ε βεμ βεμ + − − − +⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ = + + + + ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
()
()
B
B ee ee βεμ β ε β ε β ε μ +− −− ⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠
令 x e
β ε = ， B y e β μ = 得
1 ˆ
1
xy
x
P
x x y
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠
12
1 2 1 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ(,) | | | | | | N N N S S S 1Z TB S P S S P S S P S =± =± =± ∴ = ∑ ∑ ∑ 〈 〉〈 〉 〈 LL 〉
因为状态 形成一完整系，闭合关系 |1 ±〉
1
10
| | |1 1| | 1 1| 01i ii
S
SS I
=±
⎛⎞ ∑ 〉〈 = 〉〈 + − 〉〈− = = ⎜⎟ ⎝⎠ ，
( ) ( )11
1
10 ˆ ˆ ˆ( , ) | | 1 0 0 1 01i N N N
N
S ˆ NZ T B S P S P P TraceP =± ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∴ = ∑ 〈 〉 = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 由迹对正交变换的不变性，得
1
12
2 ˆ(,) NN N
N Z T B traceP tr λ
λ λ
λ ⎛⎞ = = = + ⎜⎟ ⎝⎠ 1,2 ,其中 λ
为 两特征值。 ˆ P
† ˆ P =Q ˆ P ，所以 为对称阵，可化为对角阵。 ˆ P
求 特征值： ˆ P 2
1
1 ( )( )
1
xy
xx xy x yx xy λ λλ λ − ⇒ − − − = − 0
22 2 1 () x xy x yx λλ ⇒ − + + − =0
22 1,2 2 11 [( ) ( ) 4( )] 2 xx xy xy x y yx λ ⇒ = + ± + − −
2 2 2 1,2 cosh( ) sinh ( ) e B e B e β εβ ελβ μ β μ −⇒ = ± + β ε
令Y
β ε = ， X B β μ = ，则
22 1,2( , ) cosh sinh YY2YX Y e X e X e λ − = ± +
而自由能 12 ( , , ) ln ( , ) ln( ) NN N F N B T kT Z T B kT λ λ =− =− +
能量 2 ( , , ) ( ) F E N B T kT T kT ∂ =− ∂
热容量 (,,) B
E
C N B T
T ∂
= ∂
总磁矩 , 1 (,,) ( ) N zi i F M N B T S B μ = TN ∂ = <∑ >=− ∂
1 2 .
12 42 12
( , , ) ln( )|
sinh sinh
NN zT
NN
NNY
M N B T
X
X
N
eX
μ λ λ
λλ
μ
λλ −
N ∂ =+ ∂ −
=
++
讨论：1.去掉自旋相互作用后，自旋链应显示出顺磁质性质。
， 0Y = 12 12 1 NN NN λλ λλ − = + ， ( ,0) tanh ZM XN X μ = ，相当于顺磁质。
而 2 1,2( ,0) cosh sinh 1 XXX + 2cosh 0 λ =± X⎧ =⎨ ⎩
( ,0) ln(2cosh ) F X NkT X∴ =− 与由经典玻尔兹曼统计得到的结果一致。
2．变化外磁场，极端情况。
（1） , ,B →±∞ X →±∞ 1 M →±
（2） , , 0B → 0 X → 1,2(,) X Y λ Q 有限， ， sinh 0 X →
0 lim ( , ) 0 ZX M X Y → ∴ = 。
结论：没有磁场，磁矩也就消失，虽有自旋相互作用，也没有自发剩余磁化强度。
3.若相互作用比 大的多， kT , Y →∞
1,2( , 1) cosh sinh YYYXX Y e X e X e λ ± ≈±=
( , 1) tanhZM X Y N NX μ ∴ ≈
所以，对很强得自旋相互作用或很低得温度（ ）,比顺磁质要小得多的磁场 （ ），就足够达到饱和磁化强度。 0T → 0Y = 结论：一维 Ising-Model（ 1 N ）铁磁相变发生在 0 cT = 时。
4．铁磁质 ， 0 εε ↑↑=− < 0 εε ↓↓= >
0, 0 HT = = 时，磁化强度出现跳跃. 0 , 1 0 , 1 HM HM + − →→ →→ + −
物理上表示自旋向上与自旋向下的混合。 二维 Ising-Model 二维空间晶格数 ，见下图： LN × l=L …… l+1 l …… l=2 l=1 l=0 1 2 3 …… i i+1 … N 用与一维 Ising-Model 相似的数学技巧：把四边形对边相互粘连，直观上形成一“救生圈”，
把无限求和化为循环求和. 定义：
12 ( , ); l l l l N S S S S ≡ L ， 共有 个值。 1liS =± l S 2N
第 0 列=第 N 列： 0, ll N SS =
配分函数：
2 ( , ) exp{ } LN lm l LN i j iZ BT S S B S β ε β μ × × = ∑ + ∑ ∑
定义： 11 1 1 exp{ } N l l l ii i S M S S S βε ++ = ≡∑l
N
，
相邻行间最近邻晶格的相互作用能量矩阵元， 个； 22 N ×
2 1 exp{ } N ll l l ii i SMS S S βε + = ≡∑1 ，同行最近邻晶格相互作用能量矩阵元， 个； 2N
3
1 exp{ } N ll i i S M S B S βμ = ≡∑ l
l i
，晶格自有能量矩阵元，2 个； N
则 123 ( , ) ( ) L LN Z B T trace M M M × =
证明： ( , )( , ) {} llm iij i j l m ES S S B S εμ =− ∑ − ∑
0
ε ε ε = ↑↓=− ↑↑> ， 1 l iS +±
22 ( , ) exp{ { }} mm LN LN ABl LN iZ BT E S x y β ×× × = − = ∑∑
令 , B x e y e β εβ == μ
li A S S S S − +
其中
1
1
1
01 () mN l l l l m i i i i + == = ∑ ∑ + 1 01 mN
l mi li ， S − == B = ∑∑
0 ll N SS =
定义：矩阵元
1 2 1 0 mm m ABm m S S S S P S x y − ≡∑ L
1m = 时，
1 0 0 0 11 1 () N i i i i i A S S S S + = =∑ + ， 0 1 1 N i i B S = =∑
1 0 0 0 0 1 1111 () 10 1 11 NN i i i i i ii S S S S S AB S P S x y x y S M M M S + == ∑ + ∑ = = = 023
10 1 2 3
, lm
l l m m
SS S M S S M S S M S=∑ ，必要求 0 ml = = ，
0
1 00 3 N
i
i
S S M S y = ∑ =
00 1
1 00 2 N
ii
i
SS S M S x + = ∑ =
10
1 10 1 N
ii
i
SS S M S x = ∑ = 2m = 时，
2 1 1 1 1 1 1111 1 () 20 1 0 2 21 NN i i i i i ii S S S S S AB S S P S x y x y S P S S P P S + == ∑ + ∑ = =∑ =⋅011
2 21 PP∴ =
1 1 2 () LL
L P P M M M3∴ ==
00 0(,) mm LL LL NN AB L LN L SS SS Z B T x y S P S × == == ∑∑Q
0
0 123 123 ( , ) ( ) ( ) LL N LL LN SS Z B T S M M M S trace M M M × = L∴ == ∑
当 它的本征值是解 , L L N →∞ × →∞× , N N 22 N × 矩阵的本征值问题。
11 1 1 exp{ } N l l l ii i S M S S S βε ++ = ≡∑Q l
x
e e x x 1
11
1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
x x x xI x e e e x x β ε β ε γ
M
σ
β ε β ε σα −− −− −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ = = = + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （最后一个 等号为设参数 γ）
其中 201,1 10 xx σσ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠
求矩阵函数： 1,20 1 ( ) ( 1)( xA Imx λ σ λ − = ⇒ =± ⇒ = + −1) xx
21 12 1 2 1 2 11 ( ) ( ) ( ) 22 xx x x p x f f e e ββλ λλλ λ λ λ λ −−− + − = + = − −−
1
cosh sinh
()
sinh cosh22 xx ee II M p x e e ee β ε β ε γγ β ε β ε γγσσ α γγ − − − ⎛⎞ ⎛⎞+− ∴ = = − = =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
得
2 2 2 2 cosh , sinh tanh , ee e e e β εβ ε β εβ ε α γ α γ γα − −− == = = − β ε
注释：这儿用到矩阵分析中的矩阵谱知识，这儿是直接套用拉格朗日多项式公式求解。一般 而言，求解矩阵谱要先化为若当标准型（参见一般高等代数书）。
定义：矩阵直乘 A 是 矩阵， ll × () ij AA = ，B 是mm × 矩阵， () ,s tB B= 则 矩阵由
矩阵组成：
AB ×
( ) ( l m l m ⋅ × ⋅) , ()is jt ij st A B A B × ≡ ×
证明：
' ' ' '
'' ' ' ' ' ' ' ,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( is kl kl jt ik sl kj lt ik kj sl lt ij st A B A B A A B B A B A B A B A B A A B B A A B B × ⋅ × = ⋅ × ⋅ × ⋅ × = = = ⋅ ⋅左= )
⎞ ⎟
引入泡利矩阵：
0 1 0 1 0 ,, 1 0 0 0 1 x y z i i σ σ σ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N
定义：
()
22
() xi x N zi z I I I I I I I I I I σσ σσ = × × × × × ×⎫ ×⎬= × × × × × × ⎭ LL LL
项，
令 ,, YXB β ε β μ ==有
1
11
1
()()
1
1
[( ) ( ) ( ) ( ) ]
2
()
3
N
xi
xi i
z N z z N z N
N
zi
i
N
N
i
Y
X
M e e
Me
Me
γσγσ
σ σ σ σ
σ
αα
= −
= ∑
=
++ ∑ =∏ = =
=
L
证明：（1） 1N =
1
0
() () () !!
x
NN xx N N even N odd
Me
NN γσ γσ γσ α α α ∞∞∞ =∈∈ = = ∑ = ∑ + ∑ 而
1,
,
evev
x odd x x σ σ σ ⎧ = ⎨ =⎩
1 cosh sinh xMI α γ α σ γ ∴ =+ 2N =
12 ( ) ,( ) z z z II z σ σσ = × = × σ
l l l S S S =
l l l S S S ++ =
12 ( , ) , 1, l iS =±
1 1 1 12 (,), + 1 1, l iS + =±
11 1 1 1 11 1 ( )( ) l l l l YS S YS Sll S M S e e +++ ,∴ =
12 ( ) ( )2
1
x x x M e e e e γ σ γ σ γ σ γ σ ααα =×= x
, NN =
得 1 () 1 N xi iN Me γσ α = ∑ =
（2）N=1 时， ，有 10 01z σ ⎛⎞ =⎜⎟ − ⎝⎠
1
1 0 1
()
0 1
1
z
zz
z
I
σ
σσ
σ
⎛⎞ ⎜⎟ − ⎛⎞⎜⎟ = × = = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟ − ⎝⎠ 2
1
1
()
1
1
zz I σσ
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟= × = ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠
12
1
12 2 2 1
1 0 1 ( ) ( ) , 0 1 1 llz SS ll zz z
x
x
S M S x M
x
x
σ
σσ
σ − −
⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟== ≡ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟− −⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
12
1
22 1 , ll SS ll
x
x
S M S x M
x
x − −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟≡= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠
, NN =
得 1 2 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 z z z z z N z z N z N YMx e σ σ σ σ σ σ σ σ − +++ == LL
（3）
Q
1
2
3
() () () zz zz zz I I I I I I I I I III σ σ σσ σσ = × × × × × = × × × × × = × × × × × L L L ，利用此直乘关系，得
1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) m l m l m l ml zi z z S S S S S S S S I σ σ σ = L
11 ( ) , ml m l l z SS S S S σδ =
22() ml m l l z SS S S S σδ = ,
33 ( ) , ml m l l z SS S S S σδ =
其中 12 1 2 ( , , ), ( , , m m m m l l l l NN S S S S S S S S == LL )
1
()
3
N
z i
i
X Me σ = ∑ ∴ = 定义： 矩阵 Γ
1
2
3
4
5
1
21
2
1
21
2
21
z
y
xz
xy
xxz
r
r x x x z
r x x x y
N
N x x x z
N x x x y
N x x x y
I I I I I I II II I
I I I I
σ σ σσ σσ σσσ
σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − −
+
Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × × Γ ≡ × × × ×
Γ ≡ × × × × × × × Γ ≡ × × × × × × ×
Γ ≡ × × × × Γ≡×××× Γ ≡ × × × ×
L L L L L
LL
6447448 LL LL
LL
6447448 L L L Γ矩阵有以下性质： (1){ , } 2 i j i j j i i j δ Γ Γ =ΓΓ +Γ Γ =
Q
23
32
, ,
y x z
x y z
I I
σ σσ σ σ σ Γ Γ = × × × Γ Γ = × × × L L
，而 y x x y z i σ σ σ σ σ =− =− ，
2 3 3 2∴ Γ Γ =−Γ Γ
又 ， 2 1 i Γ=
{ , } 2 ij∴ Γ Γ =
†(2) ii Γ =Γ，Γ矩阵是 Herrmmit 矩阵.
2 1 1 2 3 2(3) N NN i+ Γ = Γ Γ Γ Γ L
1 2 3 2 21
2 1 1 2 3 2
() ()
z y x
N
NN N x x x x x N
N NN
i
i i i i i
i
σ σσ
σ σ σ σ σ
+
+
=−
∴Γ Γ Γ Γ =− ×− × − = − × × = − Γ ∴Γ = Γ Γ Γ Γ
Q
644474448 L L L L
简化：考虑外磁场为 0， ，行间相互作用关系为 3 1M = 12 M M 。
定理：（略证见引文 3）
12 21 21 [(1 ) (1 ) ] 2 N NNM MM α M+ ++ = +Γ + −Γ− ，其中
1 2 3 4 2 1 2 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1exp[ ( )] exp[ ( )]NN N N NMi iY γ ± − − = Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ × Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ LL − m
正交变换：矩阵 在正交变换 iΓ R 下变为 ', iΓ () ijR R= 是22 NN × 矩阵。
则变换后 性质： 2 ' 1 N i ij j R = Γ = ∑ Γj
N
''''' 2 1 1 2 3 2 21 '' (1) det (2){ , } 2 ,1 2 1,1 2 1. NN NN i j ij i i R i N j N δ ++ Γ =− Γ Γ Γ Γ = ⋅Γ Γ Γ = ≤ ≤ + ≤ ≤ + L
定理：对每一个22 NN × 维的正交变换矩阵 , R 一定有一个22 NN × 维的矩阵 满足： ( ), SR
2 '1
1
1 2 1 2
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( ).
N
i ij j i j R S R S R S R S R S R R − = Γ = ∑ Γ = Γ =
定理：任何一个22 NN × 空间的正交矩阵 , R 都可通过相似变换变成准对角阵。即总可找到
矩阵 ，使得 ,T 1, R TDT− = 其中 为准对角阵，而 D , TT I =% 准对角阵形式：（略证）
11
11
22
22
cos sin sin cos
cos sin sin cos
D
θθ θθ
θθ θθ −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − =⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ O
用 T 把 R 变成准对角阵 1, R TDT− = ,则 1 ( ) ( ) ( ) ( ) S R S T S D S T− = 。
所以 的本征值就是 的本征值。 () SR () SD
12 1 2 3 4 2 1 2
1
()
22 2 2()
N
N
i x iNN i i S D e e θθθ θσ − = −∑Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ == L
对于 Ising-model，M± 是某种R± 的 ( S S R) ±= ，
21 [ , ] NM ±+ Γ=Q 0 ， 2 1 2 1 (1 )(1 ) 0 NN ++ +Γ −Γ =又
21 21 [(1 ) (1 ) ] 0 NN MM + + + −∴ +Γ + −Γ =
可将 21 (1 ) N M +++Γ ， 21 (1 ) N M +−Γ −同时对角化。 21 N+Γ 与所有的Γ及M± 都对易，
21
1
1
0
1
1
1
0
1
N+
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟Γ= ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ O O
它表示 21 1 (1 ) 2 N M +±Γ ±的本征值： 21 21
1
1 N
N
M
λ
±+
+
Γ ±⎧ =⎨ Γ ⎩ m 的本征值，若 ＝ 0，若 ＝
即 21 12 21 1 1 N N M MM M + + Γ⎧ ⎨ Γ ⎩ ＋ － 的本征值，若 ＝＋ 的本征值＝ 的本征值，若 ＝－
∴求 就是要解 12 MM的本征值 22 NN × 的矩阵M± 。
1 2 3 4 2 1 2 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1 ()]() ()NN N N N iiYM ee γ −−− ΓΓ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ +Γ Γ + +Γ Γ Γ Γ ± ± =≡ LLm SR
Y
⎞ ⎟ ⎠
cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
cosh2 sinh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2
sinh2 cosh2
i
i
i
RD
i
Yi Y i Y i Y Y Y i Y i Y Y
iY Y
γγ γγ
γγ γγ
± −
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − == × ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ± ⎝⎠ O m O
令
cosh2 sinh2 cosh2 0 ,, sinh2 cosh2 0 cosh2 0 0 0 sinh2 , sinh2 0 0 0 iY AB iY iY CC iY γγ γγ + − ⎛⎞⎛ == ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 故R± 化为
AB AC AC
BC C
AC AB AC
A C B C
AC AB
A
R
BC
AB AC
A C B C
AC AB AC
CCB AC AC AB
+
+
+
+
+
±
+
+
+
+
⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎜⎟ ⎝⎠ Lm Lm O MO O M m m
本征值方程R const ±± ± Φ = Φ
令 () 2 T N λ ξ λ ξ λ ξ ± Φ= L ，其中 λ 为常数， 1 2 ξ ξ ξ ⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ ，则
2
23
1
() ()
()
N
NN
AB AC AC AC AB AC
R
AC AC AB
λ λλξ λ λ λ ξ
λ λλ
+
+
±±
−+
⎛⎞ + ⎜⎟ + ⎜⎟Φ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ m m L m ξ ，取 1 N λ =m ，则
1
12
1
() ()
() N
AB AC AC AB AC AC
R
AB AC AC
λ λλ ξ λ λλ ξ
λ λλ
−+
−+
±±
−+
⎛⎞ ++ ⎜⎟ ++ ⎜⎟Φ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ L ξ
取
1,3, 2 1, 0,2, 2 2,
r
i
N
rn
e
rn
π
λ
+ − =−⎧ = ⎨ =− ⎩ L L R R ，只需解 2×2 矩阵即可：
1 cosh2 sinh2
sinh2 cosh2
r
i rr N ii NN r r i N Y ie Y W AB AC AC AB e AC e AC A ie Y Y π ππ πλλ − −−+ + ⎛⎞ ⎜⎟= + + = + + = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠
22 det det (cosh 2 sinh 2 ) 1 r W A Y Y = ⋅ − =
两个本征值：
r
r
r
e
W
e
θ
θ − ⎧
=⎨ ⎩
11 cosh (cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 cosh2 cosh2 sinh2 sinh2 ) 22
cosh2 cosh2 cosh( )sinh2 sinh2
rr ii NN
rr traceW Y e Y Y e Y r YY N ππ θ γ γ γ π γγ − = = − + − =− γ
13 2 1
1 e x p ( ( )) 2 N
M
θ θ θ + − ± ± ± ± L的本征值=
02 2 2
1 e x p ( ( )) 2 N
M
θ θ θ − − ± ± ± ± L的本征值=
21 N+ΓQ 与 M± 对易，即 ， 21 [ , ] N M +± Γ= 0M± ∴ 的所有本真矢，也是 的本征矢。 21 N+Γ
21 21 11 (1 ) (1 ) 22 NNM MM ++ + = +Γ + −Γ − 。
进一步的讨论：
1．规定 0 2( ) Y θ γ =− ,（见引文 3）
则 21 1 (1 ) 2 N+ +Γ 只选取M+ 的本征值 1 3 2 1 1 () 2 Ne θ θ θ −±±±± L 中有偶数个“－1”符号的那些值；
21
1
(1 ) 2 N+ −Γ 只选取M− 的本征值 0 2 2 2 1 () 2 Ne θ θ θ −±±±± L 中有偶数个“－1”符号的那些值。
推论：（1） 0 0 0 0 0 2 ,, i i iN i θ θ θ θ θ θ ≠ ≠ ≠ →− → = −
（2）sinh2 sinh2 1 Y γ =
证明：
22
2
tanh
2tanh 1
sinh2
1 tanh sinh2 sinh2 sinh2 1
Y ee
Y
Y
βεγ γ γ γ γ −− ==
== −
∴ =
Q
（3）定义：sinh2 1 c γ ≡
2.若sinh2 sinh2Y γ = ，就定出了临界温度 ，出现相变。 cT
当 ，Y ， 0T = =∞ 0 γ = ;又 c TT = ， c Y γ γ = = ，sinh2 1 c γ ≡ 。
∴ 0 0 , 2( ) , 2( ) c c T T Y T T Y θγ θγ > = − <⎧ ⎨ < = − > ⎩ 0 0
∴ 0 2( ) Y θ γ =−是一条直线； 0 r θ ≠ 曲线是对称的。
3．对于物理上的晶体 . NL →∞
当 , N →∞ 1 1 cosh cosh (cosh ) sin( )sinh2 sinh2 ( ) r r r r YO NN N π π θ θ θ γ + − ≡Δ ≅
（1）若 ，则 0 rN ≤< (cosh ) 0, r θ Δ>012 N θ θ θ θ ∴ <<< L ，上凹曲线不断上升。
（2）若 ，上凹曲线不断上升下降。 rN ≥
Q
1 3 2 1
0 2 2 2
1 exp[ ( )] 2 1 exp[ ( )] 2 N N Mm Mm θ θ θ θ θ θ ++ −− ⎧ +++ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ +++ ⎪ ⎩ L L 的最大本征值 = 的最大本征值 = − −
∴所以 0 1 2 3 2 2 2 1 1 exp{ [( ) ( ) ( )]} 2 NN m m θ θ θ θ θ θ − −− + = − + + L －－
2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2
2 3 4 5 2 2 2 1
()
()
NN
NN
O
N
O
N
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
−−
−−∴ ∑+
Q
L
1
（ － ）＋（ － ）＝（ － ）＋（ － ）＝( － ）－( － ）
1
=（ － ）+（ － ） （ － ）
∴当 ,0 N →∞∑→ 01 1 exp[ ( )] 2 m m θ θ − + →−
高温时： 00 1 , 2( ) 0,lim exp( ) 1; 2c N m T T Y m θγ θ − →∞ + > = − < → <
低温时： 001 , 2( ) 0, ( ),limc N m T T Y O Nm θ γ θ θ − →∞ + < = − > − = 1 1.
当 时， 3 , , 0( N L B M →∞ →∞ = =1)
Q 123 ( , ) ( ) L LN Z B T trace M M M × = ∴对于无外场条件下，二维 Ising-Model 的配分函数为：
(0, )LNZ T× 12 21 21 ( ) ( [(1 ) (1 ) 2 N LL NNtrace M M trace M M α + + + − = = +Γ + −Γ ])
2, () , NL L NL L L c NL L c m T T mm m T T α α α + +− + ⎧ < = + = ⎨ >⎩
ln (0, ) ln ln LNZ T NL L m α ×+∴ =+。
则得到 Onsager 方程：
1 3 2 1 ln (0, ) 1 1 1 ln ln ln ln{exp[ ( )]} ln 22 2 LN Nr r odd ZT m NL N N N 1 α αθθ θ α × +− ∈ = + = + + + + = + ∑ L θ
令 , r N π ω = 则 2 (2 rr NN ) π π ω Δ = Δ = Δ = Q ( , ) ln ( , )NL NL F B T kT Z T B =−Q
当 方程变为： ,N →∞
2
0
ln ( , )(0, ) 1 1 lim lim (ln ) ln ( ) 24 LN rNL NL r odd Z T BFT d kT NL N π α θ α θ ω π × →∞ →∞ ∈ ω ∴− = = + ∑ = + ∫
（计算此积分还要更多的数学准备，需要引入一些特殊函数，见引文 2） 以下直接给出计算结果：
自由能 (0.9296) cc F F kT − →− =
熵 (0, ) ln(1.385) c V F S T S k T ∂ =− → = ∂
能量 2 (0, ) ( ) F E T kT T kT ∂ =− ∂ 比热 222 (0, ) (ln ) [ln 1 ] 84 1 B B c E C T k ctg T kT kT π π π εε ∂ = → × − ∂ −+ −
当 1 ckT kT εε − + =0 时，出现奇异点。
参考文献：
1. H. A. Kramers and G. H. Wanner, Phys. Rev. 60, 252, 263 (1941) . 2. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944) [SPIRES]. 3. B. Kaufman, Phys. Rev. 76, 1232 (1949) . 4. B. Kaufman and L. Onsager, Phys. Rev. 76, 1244 (1949) . 5. C. N. Yang，Phys. Rev. 85, 808-816 (1952)
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