Sunday, March 8, 2015

所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化; 坐标, 解析几何, 坐标变换 时间变换; 物体处于平衡时，进行微扰平衡不变

几何学与力学


所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。

解析几何的基础。从而产生了坐标变

物体处于平衡
时，进行微扰平衡不
改变


换的概念。
   


描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来
表述。这就是坐标的引进


武际可
北京大学力学与工程科学系
退休教授
电话：010-81724121


网上专栏：http://www.tecn.cn/homepage/wujike.htm
提要


∎ §1. 名人谈几何学与力学
∎ §2. 从历史发展看几何与力学
∎ §3. 从变换的角度看不变量理论与几何学
∎ §4. 从计算的角度看几何学与力学
∎ §5. 结语
§1. 名人谈几何学与力学


∎ 在中国明末，由西方传教士邓玉函（瑞士人）口


授、王徵笔录、并于1627年出版的《远西奇器图
说》。这本书谈到力学与数学的关系时说：“造物
主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即
算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有
重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此
重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。故
数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而
生，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里数学是计
算的意思，和现今数学的含义不同。度学是指测
量学，更宽一点，指的是几何学。
《远西奇器图说》
∎ 美国印第安那大學的牛頓學專家S·韦斯特福


尔（R.S.Westfall）在他的著作《近代科学
的建构》一书的导言中说：“两个主题统治
着17世纪的科学革命——柏拉图-毕达哥拉
斯传统和机械论哲学。柏拉图-毕达哥拉斯
传统以几何关系来看待自然界，确信宇宙
是按照数学秩序原理建构的；机械论哲学
则确信自然是一架巨大的机器，并寻求解
释现象后面隐藏着的机制。”
∎ 哥白尼1653年出版的


《天体运行论》的扉
页上，由出版商约翰
尼斯彼得奥斯
（Johannes Petreius）
写上的一句话：“没有
学过几何学的人，不
准入内。”
∎ 牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书第一版的序言中


是这样说的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世纪）
所告诉我们的）在研究自然事物方面，把力学看得最为重
要，而今人则舍弃其实体形状和隐蔽性质而力图以数学定
律说明自然现象，因此我在本书中也致力于用数学来探讨
有关的哲学问题。古人从两方面来研究力学，一方面是理
性的，用论证来精确地进行，另一方面是实用的。一切手
艺都属于实用力学，力学之得名就是为这个缘故。”


∎ “几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学


的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。但因手艺主
要应用于物体的运动方面，所以通常认为几何学涉及物体
的大小，而力学则涉及它们的运动。在这个意义上，推理
力学是一门能准确提出并论证不论何种力所引起的运动，
以及产生任何运动所需要的力的科学。”
牛顿（１６４２－１７２７）
∎ “在力学中，平衡的叠


加就像在几何中图形
的叠加一样丰富多
彩。”
（拉格朗日，1788）


拉格朗日，１７３６－１８１３
∎ “他（Riemann）用纯


粹数学推理的方法，
得出了关于几何学同
物理学不可分割的思
想；七十年后，这个
思想实际上体现在那
个把几何学同引力论
融合成为一个整体的
广义相对论中。”（爱
因斯坦，1925）


爱因斯坦，１８７９－１９５５
∎ 总结以上一些名人的说法，力学与几何学


有不可分离的密切关系。没有几何学，就
不能准确描述天体的运动、没有几何学就
不能精确描述物体的运动、几何学是和力
学有着相同的内容、没有几何学，就不可
能有相对论，等等。
§2. 从历史发展看几何与力学


∎ 古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclites,约公


元前540年~前480年）说:“人不能两次踏入
同一条河”。极言万物无时无刻不在变化。
研究事物的变化乃是科学的真谛。不过，
为了区分事物、为了识别变化的事物，我
们必须抓住变化事物的不变性质。所以认
识在变化过程中，事物的不变性质，乃是
研究这种事物的关键。
∎ 在力学中，最早朴素


地认识不变性质的，
大约是物体处于平衡
时，进行微扰平衡不
改变。13世纪约旦努
在他的《重物的科学》
中，就以这种观点来
处理杠杆平衡问题。
实际上，这就是后来
发展的虚功原理的萌
芽。
∎ 力学是研究物质在空间中位置变化的科


学，而几何学是专门研究空间结构的学科。
所以力学和几何学有着天生不可分的联系。
所以在1627年出版的我国最早的力学文献
《远西奇器图说》中说“数学、度学，重学
之必须，为兄弟内亲，不可相离者也。”这
里重学就是力学，度学就是指几何学。
∎ 所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什


么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的
程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数
学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量
两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数
学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究
物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所
以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理
学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的


∎ 从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研究内容是静


力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应
的计算工具是常量的代数运算。
∎ 从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时


代，力学研究的主要内容是自由质点的运
动，特别是解决在引力作用下的自由质点
的运动。在几何方面的主要工具是解析几
何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在
计算方面的主要工具则是引进了变量，发
明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与
莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个
时期的力学学科的开拓者。
∎ 从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力


学主要的研究内容是约束运动。在几何方
面的主要工具是引进了n维空间的概念，后
来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几
何。而在分析方面的主要工具则是引进了
泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方
法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早
期开拓变分法的主将。
1
2


i j
ij


T
g qq
=


d
d


i
i
i


T
T
Q
t q
q
⎛
⎞
∂
∂
−
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠


(
)


1


,


n


q
q


i
i
j k
ij
jk
j


q
qq gQ
+Γ
=
∂
⎧
= −
⎪
∂
⎪
=
⎨
∂
⎪
=
⎪
∂
⎩
1 , 2 , ,


i
i
i


H
p
q
i
n
H
q
p


0
0


H
p
H
q


p
I
q
I


∂
∂
∂
∂


⎧ ⎫
−
⎧ ⎫ ⎛
⎞⎪ ⎪
=
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎜
⎟
⎩ ⎭ ⎝
⎠⎪ ⎪
⎩ ⎭


i
∎ 在19世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以


庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时
代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提
出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至
在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与
应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数
而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环
的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的
主要工具就是拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分
等。至今经过了100多年的发展，它仍然是世界上都很关
心的研究领域。
§3. 从变换的角度看不变量理论
与几何学


∎ 在所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。为了


描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来
表述。这就是坐标的引进。


∎ 1637年笛卡尔（Rene Descartes ，1596 - 1650)发表《La


Géométrie 》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变


换的概念。
一些重要变换的历史


∎ 1893年李（Marius


Sophus Lie ，1842 -


1899）出版了他积九
年研究的成果于三卷
书《Theorie der


Transformationsgrupp
en 》中。奠定了李群


也就是变换群的基础。
一些重要变换的历史


∎ 1872年，德国数学家克莱


因（Felix Christian
Klein，1849-1925）


∎ 在论文《Vergleichende


Betrachtungen über
neuere geometrische
Forschungen》中提出以


变换来区分非欧几何的理
论。后来被称为Erlangen
program爱尔朗根纲领。
一些重要变换的历史


∎ 在引进了坐标和时间的变换后，人们自然


要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不
变。于是人们定义了以下三个力学量


∎ 即：动量＝


、角动量＝
和能量
＝
。人们立即发现，这三个力学
量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移
之下保持不变。这就是著名的力学中的三
大守恒定律。


mr


m r
r


×


2


1
( )
2


m r
U r


+
一些重要变换的历史


∎ 1904年罗伦茨


（H.Lorentz，1853-1928）
引进了时间和空间变量的
罗伦茨变换，在罗伦茨变
换下，时空距离


∎


是不变
量。其中c是光速。罗伦茨
变换在后来相对论的发展
中起了非常重要的作用。


d
d
d
d


2
2
2
2
2


x + y + z -c t
一些重要变换的历史


∎ 在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一


般的观点来讨论变换和不变量。


∎ 在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程


组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，
，设给定初值为
，它的解是
（1）


∎ 这个解实际上给出了从


到
的一个带参数t
的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个
变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李
群。


( ),


n


∈R
x= f x
x,f


0


x


0


( , )t


ϕ


x = x


0


x


x
一些重要变换的历史


∎ 设


为　的任一函数，一般来说如果
（2）
则
就是在变换（1）之下的一个不变量。
显然这个条件是充分必要的，这是因为
进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，
都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以
统一纳入不变量的理论中去讨论。


( )
g x


x


1


0


n


∂
=
∂


∑ i


i


g
f
x


( )
g x


d
d
d
d


1
1


0


n
n


∂
∂
=
=
=
∂
∂


∑
∑


i
i
i
i


x
g
g
g
f
t
t x
x
勒让德
A.M. Legendre
1752 －1833
∎ 勒让德变换是从以下偏微分方程出发的


（3）
其中令
，再令R、S、T 仅
是p、q函数。


∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂ ∂
∂


2
2
2
2
2


0


z
z
z
R
S
T
x
x y
y


,


z
z
p
q
x
y


∂
∂
=
=
∂
∂


一些重要变换的历史
∎ 令曲面


的切平面为
（4）
则应当有
（5）
（4）式就在函数变量x,y与p,q之给出了一
个变换。
即


( , )


z
f x y


=


0


p x
q y
z
v


+ − − =


∂
∂
∂
−
+
=
∂
∂ ∂
∂


2
2
2
2
2


0


v
v
v
R
S
T
p
p q
q


,
;
,


v
v
z
z
p
q
x
y
x
y
p
q


∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂


0


p x
q y
z
v


+ − − =
∎ 由(4)微分得


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


0
,
.
z
z
z
,
,


v
v
x d p
p d x
y d q
q d y
p d x
q d y
d p
d q
p
q
v
v
x
x
p
p q
p
q
v
v
x
y
y
y
p
q
v
v
p
q
p q
q
p
p
x
x y
x
y
z
p
q
q
x
y
z
z
x
x y
y


∂
∂
+
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
=
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟
∂
∂
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂ ∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟
=
=
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂ ∂
∂
⎝
⎠
即
，　由此
同样因为
由此
.


q
y


⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∎ 把以上结果代入（3）就得到（5），这一


变换可以把一个拟线性方程化归为一个线
性方程求解。


∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂ ∂
∂


2
2
2
2
2
0


z
z
z
R
S
T
x
x y
y


∂
∂
∂
−
+
=
∂
∂ ∂
∂


2
2
2
2
2
0


v
v
v
R
S
T
p
p q
q
勒让德变换的一般提法


∎ 把以上思想推广。设有n个自变量


的函数


∎ 它具有直到二阶的连续微商，取新的一组


变量


∎


(6)


1
2


, , ,


n


q
q
q


…


1
2


( , , , )


n


U
U q q
q


=
…


(
1 , 2 , , )


i
i


U
Q
i
n
q


∂
=
=
∂
…
∎ 它们组成对


的一组变量替
换，设其Jacobi行列式
从（6）就可以把原变量反解出来。得
（7）
（8）
考虑新函数


1
2


, , ,


n


q q
q


…


2


0


i
j
i
j


Q
U
q
q
q


∂
∂
=
≠
∂
∂ ∂


1
2


( , , ,
)
(
1 , 2 , , )


i
i
n


q
q
Q
Q
Q
i
n


=
=
…
…


1


n
c
i
i
i


U
Q q
U


=


=
−


∑
∎ 可以证明


（9）


∎


在勒让德变数替换下，两个函数U，和
的关系由（8）给出，对应的变量与
函数的关系由（6）和（9）给出。它概括
了力学与物理上各种作用量之间的关系。


(
1 , 2 , , )


c
i
i


U
q
i
n
Q


∂
=
=
∂
…


cU
∎ 亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它


们和内能之间的关系是


∎ 变形能密度


与余变形能
密度之间有关系。


W
T


δ
δΓ


＝　：


c


W
T


δ
δ


Γ
＝　：


c


T
W
W
0
Γ
：　－　－　＝


它们都是勒让德变换的实例


d = d
=
d =-Sd
d
= +
dH
d
d
= +
dG=- d + d
U
U T S pdv
F U TS
F
T p v
H U PV
T S v p
G U PV TS
S T v p
－
－
－
＝
＋
－
在分析力学中，拉格朗日方程是


(
)
0 ,
1 , 2 , ,


i
i


d
L
L
i
n
d t
q
q


∂
∂
−
=
=
∂
∂


其中拉格朗日函数是


( , , )
( , )
( , , )


L q q t
T q q
U q q t


=
−


T为动能，U为势能。哈米尔顿函数与拉格朗日函数
之间的关系是


1
(
,
)
(
,
,
)


n
i
i


H
p q
q p
L q q t


=
−


∑


这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，
拉格朗日方程就变换为哈米尔顿方程


1 , 2 , ,


i
i
i


H
p
q
i
n
H
q
p


∂
⎧
= −
⎪
∂
⎪
=
⎨
∂
⎪
=
⎪
∂
⎩


。
从应变能到胡—鹫原理也可以归结为勒让德变换
令
分别为弹性体的位移场、应力张量场和
应变张量场。
是应变能密度函数。D为弹性体
所占的体积。则泛函
取驻值的充分必要条件是


,T,Γ
u
( )
W Γ


u
u


D
D


( )
(
)
+
* S+ ( - *) S


D
D
D


W
dV
dV
div
dV
d
d


∂
∂


Π =
−
−
+ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅


∫
∫
∫
∫
∫


T
T
T
T
:
Γ
Γ
f u
n
u
n t u


( ).


σ
γ


∂
=
+
Γ Γ
∂
∂
⋅
∂
T
在　上）
＝
在
上，
在
上）
f =0, = u
u
,
(
*
(
)
n T= * (


ij
ij
u
t


W
div
D
D
D
u
t
§4. 从计算的角度看几何学与力学


∎ 从历史上看，不仅在对线性问题的求解


中，发展了一整套几何语言来表述求解问
题的技术，如：投影、解空间、误差度量、
梯度法，等等。就是近代受到充分注意的
非线性问题的计算中，起最重要作用的两
个算法：同伦算法和单形法，它们都是起
源于近代几何并且用近代几何语言来描述
的。
∎ 进一步，在计算力学中近年来引起注意的


分叉问题的计算，则不仅要和上述非线性
问题的计算打交道，还要和动力系统的流、
微分拓朴、变换群等概念打交道。
∎ 最后，还应当提起一个在计算力学方面比较明显


的趋势，即在相空间内直接求解。在用手工进行
计算的时代，多事先对原来力学问题的控制方程
的未知量进行消去，得到未知量较少或者只有一
个未知量的方程。如在弹性力学中引进应力函数、
在流体力学中引进流函数，在一般力学中引进势
函数等。在用计算机求解问题时，这种事先的消
去一般说来就没有必要了。因为这种消去增加了
微分方程的阶数，会损失精度。而现在宁愿使用
原来的方程组，或者引进更多的变量，使方程组
降阶。这在几何上，相当于把求解的空间扩大。
∎ 例如直接从相空间求解即从哈密尔顿方程求解比


从拉格朗日方程求解，方程的未知量增加了一
倍，即求解的空间维数扩大了一倍，但方程的阶
数从二阶降低为一阶。在求解弹性力学问题的时
候，有时同时求解应力、应变和位移，使用通常
说的杂交单元法，反而会获得较好的结果。这种
扩大解空间维数的做法，实际上在早期的微分几
何中已经得到充分的已经。近年来在物理中被充
分应用的纤维丛理论，就是把流形连同它的切
丛，扩展而成的一种具有特殊结构的高维空间
§5. 结语


∎ 根据以上的讨论。我们在研究力学问题或


是培养力学人才的时候，应当对几何学给
以特别的注意。这无论是从事理论研究的
还是从事实验和计算力学的都是非常重要
的。


∎


其次，在力学专业的教学计划中，应当
适当增加几何学的学时。在研究生的培养
上特别应当开设微分几何课程


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