※ 引述《couch》之銘言：
會使用分離變數法，通常是因為以下的特性：
線性方程的解，作線性疊加之後，仍然滿足原方程
因為這個特點，所以，我們對於解線性(偏)微分方程，得到一個重要的提示：
如果我們可以找到足夠多的解當基底
所有滿足這個方程的解，都可以透過線性疊加的方式合成
因此，我們就可以使用線性代數的技巧，使計算更為方便
這裡有三個主要的考量點：
1. 如何確定找到的解夠多，足夠當成基底來用
2. 找基底的方法是否夠簡單。
如果還要花一大堆力氣找基底，抵消掉使用線性代數變成更加方便的好處
那就失去做這件事情的意義了
3. 我所找到的基底是否適用於我想解的問題。
即使是線性疊加，但許多時候我還有其它的條件限制，例如邊界的長像
使得某些基底並不適用於我想解的問題
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分離變數法最大的精神是，想辦法把偏微分方程變成常微分方程
這個過程，使得解偏微分方程的難度，降低好幾個數量級
因此滿足條件 (2)
而最大的問題是，"我會不會漏掉某些解沒找到"？
換句話說，到底條件 (1) 滿不滿足
這件事情，很幸運地，在數學上可証明
使用分離變數法找到解，足夠多到可以當基底使用
所以現在問題就只剩下條件 (3) 了......
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這時，一個很重要的觀念必須引入：對稱
我們發現，當我們所解的問題滿足某種對稱時
解的長像似乎也會滿足某種對稱性
這讓我們又有另一項提示：座標系的選取
當我們所解的問題
其邊界長像是方形對稱時，二話不說就用直角坐標系
而長像是柱狀對稱時，就使用圓柱坐標系
而長像是球狀對稱時，就使用球坐標系
總之，座標系的選取，要儘量滿足所解問題的對稱條件
那如果沒有滿足對稱條件，是不是不能解？
不是，還是可以解，只不過，當你在縫合邊界條件時
因為坐標系與邊界不對稱，你一定會一邊縫合一邊訐譙 !@#$%^&*
當然當你花了一堆力氣縫合完成時，你也得到了正確解答
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其實，當我們使用分離變數法時，
我們發現，在許多情況，我們都在解以下的問題：
Ａ(x) f(x) = λ f(x)
Ａ(x) 代表一個線性運算子，例如 d/dx, 或 (d^2/dx^2 + x^2) ... 等
λ是一個常數
眼尖的人一看，就明白這是個典型的 eigenvalue problem
想辦法找到這個方程的 eigen function 就好了
不過在許多時候，eigenvalue 與 eigen function 並不是那麼容易找
所以，通常我們會使用一些技巧，作變數變換成以下的形式
Ｂ f(y) = λ f(y)
Ｂ也是一個線性運算子，不過與Ａ不同的是，Ｂ是常線性運算子，與 y 無關
簡化到這個地步，我們可以使用葵花寶典了
Laplace transform 或 Fourier transform
將這個問題變成代數方程式，問題難度再降低幾個數量級
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當問題變簡單，你可以爽爽地算
你會發現，最後一步通常都是縫合邊界條件
不過縫合時，又會碰到一顆小小的石頭
就是，各個可能解的係數要怎麼挑，才會滿足邊界條件
這一點，就想辦法拿出你家的剪刀菜刀剃頭刀
使用各種學過的工具，如 Laplace Fourier z conformal....
得到你要想的係數
這時就功德圓滿大功告成了
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咦？會不會你只找到一種可能解
會不會存在其它解，同時滿足此偏微分方程，與所給定的邊界條件
嗯，這是所謂解的唯一性問題
這個問題，我們經由數學証明，會得到一些條件
以我們常遇到的線性偏微分方程而言，大部分都是二次偏微分方程
而二次方程分成三大類：橢圓方程(位能)，雙曲方程(波動)，拋物方程(熱傳導)
這三大類方程的唯一性，則由邊界條件是否滿足某些特性而決定
很幸運地，在大部分我們所處理的狀況，解的唯一性是成立的
※ 引述《couch》之銘言：
> ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言：
> > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案
> > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來
> > 的 想找來翻翻
> > by Cheng Cosine
> > Jun/07/2k3 Ut
> mmm....
> 這些是老師上課提到的觀念
> 我不知道書找不找的到
> 但講一些我聽到的東西好了
> 像在解擴散的Fick's second law時
> short time會用Green's function的方法解
> 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function)
> 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來
> long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關)
> 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉
> 這兩種方法的不同除了以上所說的
> 還有一個就是級數要收斂的問題
> 倒過來用應該也是可以解
> 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來
> 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說)
> 單從分離變數方法來看
> 可能就只能說是數學上解pde的手法
> 但是因為氫原子是central force problem
> radial的部分的operator(這我沒聽過有名字)
> 和L^2 , Lz三者是commute
> 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解
> 而且可以用乘法湊起來
> 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法
> 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法
> 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解
> 所以管他解出來對不對
> 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
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