思念~ - 愛情公寓
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2011年12月18日 - 比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。 .... 對於任何自然數n，半徑為r的n維球面定義為(n + 1)維歐幾里得空間中到某個定點的距離 ...
科学网—相对论经典论文中的小错误- 吴新忠的博文
洛伦兹速度变换的一种直接推导方法_百度文库
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[PDF]教学讨论洛伦兹速度变换的一种直接推导方法
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平凸透镜的弯曲表面是个曲面，球面的半径叫做这个曲面的曲率半径，把一个平凸透镜压在一块平面玻璃上，让红光从上方射入，如图所示，则从上往下看凸透镜，
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谈谈宇宙学的科普和一些常见的误解（2）
陈学雷 国家天文台研究员 点击次数
64
意外的发现，我的这几篇文章的评论竟成了论坛一样，其中的（2）竟然有多达七十多个评论，尽管大多数回复未免离题太远，成了几个人之间斗嘴了，本来想一删了之，但这么热闹也不常见，我还是留着吧。有些人整天在这叫嚣他那点误解，不要急，后面还有好几篇呢，会说到那些的。吴中祥先生问我为什么说不答民科的质疑，因为民科的特点就是答了，他也既听不懂又听不进去，所以我就不浪费那功夫了。
4。爱因斯坦第一个宇宙模型，其实不是大爆炸
上世纪八十年代初我上中学的时候，尽管意识形态上的坚冰还没有完全打破，但已经可以读到一些讲爱因斯坦和相对论的科普书。这些书里讲的许多东西当时我都不太懂，却让我感到非常有意思。这些书里也介绍了爱因斯坦建立广义相对论后提出的第一个宇宙学模型：有限无边的静态宇宙。
在古代，当然也有宇宙有限论，但其实那在很大程度上只是由于某种神话、传说或信仰对宇宙的描述到某个地方就结束了。在这个宇宙外边是什么呢？在时间出现以前是什么呢？其实这些都没有答案，或者只能是“上帝”、“造物主”这一类的答案，这类答案对于喜爱思考的人来说显然是不能满足的。所以牛顿无限时空观相对于这些观点来说，确实是一种进步。而如果宇宙是无限永恒的，当然也就谈不上有一个上帝去创造宇宙，这也是为什么当时恩格斯、列宁等主张唯物主义哲学的人主张宇宙无限的原因之一。出于同样的理由，一些西方宗教人士则偏爱那些宇宙有限的理论，因为这和上帝创造世界的教条好像比较一致。不过，也有人持相反的态度，比如德国哲学家康德认为，宇宙如果是有限的，那么上帝的能力未免太有限了，因此宇宙应该是无限的。
但是爱因斯坦的有限宇宙模型与以前的这些有限宇宙不同，他的理论是基于非欧几何，这与我们在日常生活中形成的对空间的直觉很不相同，难以直观想象，因此只好做个类比。比如想象一种扁平的二维生物，没有三维概念。它们生活在曲面上，但曲面的曲率半径很大，那么它们感觉自己是生活在平面上，正如我们生活在地球上，自己却感觉大地是平的。地球是有限的，但大地并没有边缘，这就是有限无边宇宙的概念。当然，从三维的角度看，地球是有边的：这就是我们所生活的地球表面。但是，二维生物无法体验到这一点。同样，在爱因斯坦的这个宇宙模型里，你可以说从更高的维度看它是有边的，但三维的我们无法看到这个边，尽管我们正在其中生活。
非欧几何是爱因斯坦之前就已被数学家发现的。但是，在提出广义相对论之前，没有什么理由认为我们所处的空间应该符合非欧几何。在广义相对论中，空间和时间是一个整体，在充满物质的宇宙中这个四维时空是弯曲的，弯曲的程度（四维时空曲率）由其中的物质决定。至于其中三维空间部分，则既可能满足欧氏几何，也可能满足非欧几何。一般的弯曲时空是很复杂的。爱因斯坦在研究宇宙学的时候引入了一个假定，即所谓“宇宙学原理”，使问题得到简化。假定宇宙处处都没有什么不同，向各个方向看去都是一样的（均匀、各向同性）。使用这个假定以后，数学计算就大大简化，这时空间曲率等于一个常数，弯曲空间的几何有三种可能性：曲率大于0（称为封闭空间或球形空间）、曲率等于0（称为平直空间或欧几里德空间），曲率小于0（开放空间或双曲空间）。如果考虑二维的类比，则我们可以用球面、平面、双曲面（马鞍面）来类比。值得注意的一点是，一个弯曲的时空，它的空间部分不一定是弯曲的，也可以是平直的－所谓平直是指空间曲率为0，这时空间部分可以用欧几里德几何学描述，弯曲体现在时间流逝的不均匀上。
那么宇宙的几何到底是哪一种呢？这需要用实验观测来决定。在平直空间中，三角形的三个内角之和是180度，但在弯曲空间中则并非如此。比如，对于地球表面（二维球面）来说，我们从北极出发，沿着0度经线向南走，走的是球面上的短程线——对于球面上任何一点的人来说，这看上去就象直线。走到赤道后，我们再沿赤道向东，走到东经90度，然后再沿着经线北上回到北极。这个三角形中的任何一段都是球面上的短程线（注意，除了赤道外，其它的纬线并不是短程线），但三角形之和却是270度。这是一个二维的例子。在三维中，也可以通过三角测量来判断几何的性质。最早做这种测量的是高斯，他测量了德国三座小山锋顶构成的三角形之和（注意不是在二维球面上的三角形而是三维空间中的三角形），并未发现偏离平直空间的迹象。当然在爱因斯坦的时代，观测还无法确定宇宙的几何，因为即使空间是非平直的，只要空间曲率半径足够大，那么当你测量的三角形边长远远小于曲率半径的时候，你仍然无法从观测上区分这种时空和平直空间。2000年通过对微波背景辐射的观测，这个问题才得以基本解决，观测发现可观测的宇宙空间部分基本是平直的。
爱因斯坦时代并没有宇宙空间是平直或非平直的证据，他提出有限宇宙理论的时候给出的动机是为了解释牛顿宇宙中的另一个数学困难：牛顿引力势发散问题，这个问题在此我就不多介绍了。爱因斯坦宇宙模型尽管是有限的，但其实无法解决奥伯斯夜黑佯谬，因为在爱因斯坦宇宙模型里，你如果一直朝一个方向走，你会最终回到出发点，正如在地球上，如果你一直向西走却会回到东方。由于这个宇宙也存在无限长的时间，而光在这个宇宙里可以不断绕圈无限传播下去，因此天空亮度还是会发散。
爱因斯坦构建这个理论还遇到了一个问题，因为物质间万有引力的缘故，他无法让这个宇宙保持静止，物质产生的引力会使它们彼此落向对方。或者，用广义相对论的说法，物质造成时空弯曲，而时间部分的弯曲使宇宙无法保持静止。为了克服这个困难，他又在引力场方程中加入了一个常数项，称为宇宙学常数。这一项现在科普的时候常常称之为“万有斥力”或“反重力”。其实有必要说明一下，它和我们一般理解的引力或斥力是不同的，因为它并不是物质彼此之间有斥力，而是说在有这一项的情况下造成的时空弯曲与普通物质造成的弯曲相反。这样爱因斯坦就构造了有限静止宇宙模型。但是爱因斯坦的这个理论后来被天文观测否定了，观测表明宇宙是膨胀的而不是如爱因斯坦所假设的那样静止的。
遗憾的是，很多人在读了科普书后产生了误解，以为爱因斯坦宇宙模型仍然正确，或者把爱因斯坦模型与大爆炸宇宙模型混为一谈。
转自：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3061&do=blog&id=37498
4。爱因斯坦第一个宇宙模型，其实不是大爆炸
上世纪八十年代初我上中学的时候，尽管意识形态上的坚冰还没有完全打破，但已经可以读到一些讲爱因斯坦和相对论的科普书。这些书里讲的许多东西当时我都不太懂，却让我感到非常有意思。这些书里也介绍了爱因斯坦建立广义相对论后提出的第一个宇宙学模型：有限无边的静态宇宙。
在古代，当然也有宇宙有限论，但其实那在很大程度上只是由于某种神话、传说或信仰对宇宙的描述到某个地方就结束了。在这个宇宙外边是什么呢？在时间出现以前是什么呢？其实这些都没有答案，或者只能是“上帝”、“造物主”这一类的答案，这类答案对于喜爱思考的人来说显然是不能满足的。所以牛顿无限时空观相对于这些观点来说，确实是一种进步。而如果宇宙是无限永恒的，当然也就谈不上有一个上帝去创造宇宙，这也是为什么当时恩格斯、列宁等主张唯物主义哲学的人主张宇宙无限的原因之一。出于同样的理由，一些西方宗教人士则偏爱那些宇宙有限的理论，因为这和上帝创造世界的教条好像比较一致。不过，也有人持相反的态度，比如德国哲学家康德认为，宇宙如果是有限的，那么上帝的能力未免太有限了，因此宇宙应该是无限的。
但是爱因斯坦的有限宇宙模型与以前的这些有限宇宙不同，他的理论是基于非欧几何，这与我们在日常生活中形成的对空间的直觉很不相同，难以直观想象，因此只好做个类比。比如想象一种扁平的二维生物，没有三维概念。它们生活在曲面上，但曲面的曲率半径很大，那么它们感觉自己是生活在平面上，正如我们生活在地球上，自己却感觉大地是平的。地球是有限的，但大地并没有边缘，这就是有限无边宇宙的概念。当然，从三维的角度看，地球是有边的：这就是我们所生活的地球表面。但是，二维生物无法体验到这一点。同样，在爱因斯坦的这个宇宙模型里，你可以说从更高的维度看它是有边的，但三维的我们无法看到这个边，尽管我们正在其中生活。
非欧几何是爱因斯坦之前就已被数学家发现的。但是，在提出广义相对论之前，没有什么理由认为我们所处的空间应该符合非欧几何。在广义相对论中，空间和时间是一个整体，在充满物质的宇宙中这个四维时空是弯曲的，弯曲的程度（四维时空曲率）由其中的物质决定。至于其中三维空间部分，则既可能满足欧氏几何，也可能满足非欧几何。一般的弯曲时空是很复杂的。爱因斯坦在研究宇宙学的时候引入了一个假定，即所谓“宇宙学原理”，使问题得到简化。假定宇宙处处都没有什么不同，向各个方向看去都是一样的（均匀、各向同性）。使用这个假定以后，数学计算就大大简化，这时空间曲率等于一个常数，弯曲空间的几何有三种可能性：曲率大于0（称为封闭空间或球形空间）、曲率等于0（称为平直空间或欧几里德空间），曲率小于0（开放空间或双曲空间）。如果考虑二维的类比，则我们可以用球面、平面、双曲面（马鞍面）来类比。值得注意的一点是，一个弯曲的时空，它的空间部分不一定是弯曲的，也可以是平直的－所谓平直是指空间曲率为0，这时空间部分可以用欧几里德几何学描述，弯曲体现在时间流逝的不均匀上。
那么宇宙的几何到底是哪一种呢？这需要用实验观测来决定。在平直空间中，三角形的三个内角之和是180度，但在弯曲空间中则并非如此。比如，对于地球表面（二维球面）来说，我们从北极出发，沿着0度经线向南走，走的是球面上的短程线——对于球面上任何一点的人来说，这看上去就象直线。走到赤道后，我们再沿赤道向东，走到东经90度，然后再沿着经线北上回到北极。这个三角形中的任何一段都是球面上的短程线（注意，除了赤道外，其它的纬线并不是短程线），但三角形之和却是270度。这是一个二维的例子。在三维中，也可以通过三角测量来判断几何的性质。最早做这种测量的是高斯，他测量了德国三座小山锋顶构成的三角形之和（注意不是在二维球面上的三角形而是三维空间中的三角形），并未发现偏离平直空间的迹象。当然在爱因斯坦的时代，观测还无法确定宇宙的几何，因为即使空间是非平直的，只要空间曲率半径足够大，那么当你测量的三角形边长远远小于曲率半径的时候，你仍然无法从观测上区分这种时空和平直空间。2000年通过对微波背景辐射的观测，这个问题才得以基本解决，观测发现可观测的宇宙空间部分基本是平直的。
爱因斯坦时代并没有宇宙空间是平直或非平直的证据，他提出有限宇宙理论的时候给出的动机是为了解释牛顿宇宙中的另一个数学困难：牛顿引力势发散问题，这个问题在此我就不多介绍了。爱因斯坦宇宙模型尽管是有限的，但其实无法解决奥伯斯夜黑佯谬，因为在爱因斯坦宇宙模型里，你如果一直朝一个方向走，你会最终回到出发点，正如在地球上，如果你一直向西走却会回到东方。由于这个宇宙也存在无限长的时间，而光在这个宇宙里可以不断绕圈无限传播下去，因此天空亮度还是会发散。
爱因斯坦构建这个理论还遇到了一个问题，因为物质间万有引力的缘故，他无法让这个宇宙保持静止，物质产生的引力会使它们彼此落向对方。或者，用广义相对论的说法，物质造成时空弯曲，而时间部分的弯曲使宇宙无法保持静止。为了克服这个困难，他又在引力场方程中加入了一个常数项，称为宇宙学常数。这一项现在科普的时候常常称之为“万有斥力”或“反重力”。其实有必要说明一下，它和我们一般理解的引力或斥力是不同的，因为它并不是物质彼此之间有斥力，而是说在有这一项的情况下造成的时空弯曲与普通物质造成的弯曲相反。这样爱因斯坦就构造了有限静止宇宙模型。但是爱因斯坦的这个理论后来被天文观测否定了，观测表明宇宙是膨胀的而不是如爱因斯坦所假设的那样静止的。
遗憾的是，很多人在读了科普书后产生了误解，以为爱因斯坦宇宙模型仍然正确，或者把爱因斯坦模型与大爆炸宇宙模型混为一谈。
转自：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3061&do=blog&id=37498
圆是一种两维空间里的一维封闭曲面，又叫一维球面(1-sphere)。
球面是三维空间里的两维封闭曲面，又叫两维球面。
在n+1维空间里的n维封闭曲面，拓扑上是n维球面。
前一阵被证明的庞加莱猜想就是关于三维球面。
历史上，曾经有一套几何术语，把圆叫做两维球面 (2-sphere)，依此类推。
n 维球面意为 n 维空间里到定点距离相同的点的集合，和上面的定义不同。
这种说法可能已经过时，待验证。
另外你说的四维空间来自相对论。
这不是欧氏空间，而是Minkowski空间。
距离的定义变了，球面的定义也变了。
在闵氏空间，球面不一定封闭，也不一定连通。
在三维空间里我们用球极平面投影[1]将球面映射到平面。
方法是，把球放在桌子上，在球的顶部装个灯，球的影子就投在桌面上。
投影的效果是，球的底部仍在原点，球的顶部被投影到无穷远。
数学上我们用同样的方法，把四维球面投影到三维空间[2]，从而将其表示出来。
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere
球面是三维空间里的两维封闭曲面，又叫两维球面。
在n+1维空间里的n维封闭曲面，拓扑上是n维球面。
前一阵被证明的庞加莱猜想就是关于三维球面。
历史上，曾经有一套几何术语，把圆叫做两维球面 (2-sphere)，依此类推。
n 维球面意为 n 维空间里到定点距离相同的点的集合，和上面的定义不同。
这种说法可能已经过时，待验证。
另外你说的四维空间来自相对论。
这不是欧氏空间，而是Minkowski空间。
距离的定义变了，球面的定义也变了。
在闵氏空间，球面不一定封闭，也不一定连通。
在三维空间里我们用球极平面投影[1]将球面映射到平面。
方法是，把球放在桌子上，在球的顶部装个灯，球的影子就投在桌面上。
投影的效果是，球的底部仍在原点，球的顶部被投影到无穷远。
数学上我们用同样的方法，把四维球面投影到三维空间[2]，从而将其表示出来。
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere
宇宙最初是个奇点，在大爆炸的时候在11维同时展开。
不同的维度展开的速度不一，一些维度展开得太快，速度逐渐为0，于是开始崩塌，崩塌的能量转到其他维度，成为这些维度继续展开的能量。
这是我的理解。
那么我想问下：
1，现在有相关的观察可以证明现存的三个维度展开的速度不一样吗？
2，宇宙最终的结果是一条有限长的一维空间吗？
抱歉对物理学所知甚少。所以只能使用一些很散乱的词语来表达。
再次感谢。