万门大学数学系 转自徐皓Allen:Round Table Talk: Conversation with Edward Witten http://rrurl.cn/dmMNai 2015-02-09
Make it easy: 微扰量子场论和费曼规则
类比：
如果量子场论是一个函数，那么微扰量子场论函数在一点处的的泰勒级数（函数芽），如果量子场论是一个流形，那么微扰量子场论是一点处的切空间。
关键词：自由场论，微扰场论，波色子，费米子，任意子，喀什米尔，传播子，表象，生成-湮灭算符，格林函数，S矩阵，维克定理，费曼规则，正规序，时间序，高斯积分，生成泛函，海森堡代数，克利福德代数，对称函数，杨图，玛雅图，自由场实现，对称群，辫子群，海克代数，坦普利-里布代数（Temperley-Lieb algebra）
波色场的微扰场论：
我们可以在三个层次上讨论微扰场论的数学结构，在数学分析的层次上，在线性代数的层次上，在operad或者tensor category的层次上。
最好理解的是在线性代数的层次。我们就在这个层次开始：
单个波色子的态空间是一个希尔伯特空间 V（内积由时空上的时空度规确定），反粒子的态空间为V的对偶空间，等同于V。V上的内积用尖括号表示，如X和Y的内积用<X,Y>表示。波色量子场的态空间（Fock space）= V 上的对称张量空间S（V）。如果取定H的一组基x_1,...,x_n,那么 S（V）=由x_1，...,x_n自由生成的多项式全体。
为了引入运动学，需要定义一个自由哈密顿量H，H是V和V*上的对称双线性泛函，或者是从V到V*的正规算子（V和V*等同，所以也是自伴算子，通常要求为正定的，因为能量谱要求是正数）。这个哈密度量也可以看做是V上的另外一个内积，我们用圆括号表示（X，Y）=<X,H(Y)>=H(X,Y)(中间一步用里斯表示定理)，这个内积可以自然的延拓到福克空间S（V）上。这个延拓算法就是维克定理的算法（相当于波色情形的行列式）。因为是双线性延拓，所以只考虑在一组基上的定义就可以。所有的单项式构成S（V）的一组基，我们考虑两个单项式U=u_1u_2...u_k, V=v_1v_2...v_l,用双尖括号表示它们的内积《U,V》，定义如下：
如果k不等于l，即U和V的次数不等，《U,V》=0，物理意义就是正反粒子的个数要始终相等，也就是说正反粒子总是要成对的产生和湮灭。
如果相等，即k=l,则定义《U,V》=\sum (u_1,v_{i_1})(u_2,v_{i_2})...(u_k,v_{i_k})， 其中i_1,i_2,...,i_k为求和指标，求和范围是1,2,...,k的全体置换。学过线性代数的人一看就知道这个是行列式定义的一个翻版，只是把行列式定义中的（-1）^{sgn（\sigma）}去掉。
总结一下：（波色情形）维克定理是计算希尔伯特空间上的内积自然延拓到对称张量空间的内积的方法。
相应的，费米情形的维克定理是计算希尔伯特空间上的内积自然延拓到反对称张量空间的内积的方法。
一般的维克定理是计算希尔伯特空间上内积自然延拓到张量空间上的内积的方法。
实际上我们可以把集合{(u_i,v_j)} 看成一个k阶方阵，线性代数中我们把对应于一组基的情况叫做格拉姆矩阵（Gram matrix），在量子物理中我们可以叫做自由场论的无穷小两点关联函数方阵，生成泛函的想法就是要把这个方阵打包或者包装成一个生成函数，然后所有的关联函数的计算都可以转化成对这个生成函数的微分或者积分运算。
上面讨论的是自由场论，下面我们在自由场论的基础上引入相互作用，或者因为微扰的动力学。 微扰量子场论的基本想法就是把作用量S分成自由部分S_F和微扰的相互作用部分S_I, S=S_F+S_I=自由场论+微扰相互作用。经典作用量S是一个多项式，量子作用量是exp^{S},量子化之后是福可空间上的算子，它的自由部分称为喀什米尔算子。但是微扰场论的想法就是要把自由部分和相互作用部分区别开来，自由的部分作为算子或者内积，相互作用部分作为一个量子态（在线性代数这个层次上可以这么来处理）。 微扰量子场论可以看做是福可空间上的量子力学。 物理上要计算的就是某一个量子场的激发态出现的概率振幅，量子场的一个激发态就是福可空间中的一个非零向量。对于一个态U=f(X)=f(x_1,...,x_n),这个概率在微扰量子场论中就等于《f(X),exp^{S_I}》.S_I是一个多项式，也是福柯空间中的一个向量，exp^{S_I}是一个形式幂级数，可以认为是福柯空间的adic完备化空间中的一个形式向量。所以说一个量子态 f（X）出现的概率振幅或者说量子场从真空态激发到f(X)的概率振幅就是f（X）和exp^{S_I}的内积。
现在我们开始计算这个内积或者转移振幅：
如果量子场论是一个函数，那么微扰量子场论函数在一点处的的泰勒级数（函数芽），如果量子场论是一个流形，那么微扰量子场论是一点处的切空间。
关键词：自由场论，微扰场论，波色子，费米子，任意子，喀什米尔，传播子，表象，生成-湮灭算符，格林函数，S矩阵，维克定理，费曼规则，正规序，时间序，高斯积分，生成泛函，海森堡代数，克利福德代数，对称函数，杨图，玛雅图，自由场实现，对称群，辫子群，海克代数，坦普利-里布代数（Temperley-Lieb algebra）
波色场的微扰场论：
我们可以在三个层次上讨论微扰场论的数学结构，在数学分析的层次上，在线性代数的层次上，在operad或者tensor category的层次上。
最好理解的是在线性代数的层次。我们就在这个层次开始：
单个波色子的态空间是一个希尔伯特空间 V（内积由时空上的时空度规确定），反粒子的态空间为V的对偶空间，等同于V。V上的内积用尖括号表示，如X和Y的内积用<X,Y>表示。波色量子场的态空间（Fock space）= V 上的对称张量空间S（V）。如果取定H的一组基x_1,...,x_n,那么 S（V）=由x_1，...,x_n自由生成的多项式全体。
为了引入运动学，需要定义一个自由哈密顿量H，H是V和V*上的对称双线性泛函，或者是从V到V*的正规算子（V和V*等同，所以也是自伴算子，通常要求为正定的，因为能量谱要求是正数）。这个哈密度量也可以看做是V上的另外一个内积，我们用圆括号表示（X，Y）=<X,H(Y)>=H(X,Y)(中间一步用里斯表示定理)，这个内积可以自然的延拓到福克空间S（V）上。这个延拓算法就是维克定理的算法（相当于波色情形的行列式）。因为是双线性延拓，所以只考虑在一组基上的定义就可以。所有的单项式构成S（V）的一组基，我们考虑两个单项式U=u_1u_2...u_k, V=v_1v_2...v_l,用双尖括号表示它们的内积《U,V》，定义如下：
如果k不等于l，即U和V的次数不等，《U,V》=0，物理意义就是正反粒子的个数要始终相等，也就是说正反粒子总是要成对的产生和湮灭。
如果相等，即k=l,则定义《U,V》=\sum (u_1,v_{i_1})(u_2,v_{i_2})...(u_k,v_{i_k})， 其中i_1,i_2,...,i_k为求和指标，求和范围是1,2,...,k的全体置换。学过线性代数的人一看就知道这个是行列式定义的一个翻版，只是把行列式定义中的（-1）^{sgn（\sigma）}去掉。
总结一下：（波色情形）维克定理是计算希尔伯特空间上的内积自然延拓到对称张量空间的内积的方法。
相应的，费米情形的维克定理是计算希尔伯特空间上的内积自然延拓到反对称张量空间的内积的方法。
一般的维克定理是计算希尔伯特空间上内积自然延拓到张量空间上的内积的方法。
实际上我们可以把集合{(u_i,v_j)} 看成一个k阶方阵，线性代数中我们把对应于一组基的情况叫做格拉姆矩阵（Gram matrix），在量子物理中我们可以叫做自由场论的无穷小两点关联函数方阵，生成泛函的想法就是要把这个方阵打包或者包装成一个生成函数，然后所有的关联函数的计算都可以转化成对这个生成函数的微分或者积分运算。
上面讨论的是自由场论，下面我们在自由场论的基础上引入相互作用，或者因为微扰的动力学。 微扰量子场论的基本想法就是把作用量S分成自由部分S_F和微扰的相互作用部分S_I, S=S_F+S_I=自由场论+微扰相互作用。经典作用量S是一个多项式，量子作用量是exp^{S},量子化之后是福可空间上的算子，它的自由部分称为喀什米尔算子。但是微扰场论的想法就是要把自由部分和相互作用部分区别开来，自由的部分作为算子或者内积，相互作用部分作为一个量子态（在线性代数这个层次上可以这么来处理）。 微扰量子场论可以看做是福可空间上的量子力学。 物理上要计算的就是某一个量子场的激发态出现的概率振幅，量子场的一个激发态就是福可空间中的一个非零向量。对于一个态U=f(X)=f(x_1,...,x_n),这个概率在微扰量子场论中就等于《f(X),exp^{S_I}》.S_I是一个多项式，也是福柯空间中的一个向量，exp^{S_I}是一个形式幂级数，可以认为是福柯空间的adic完备化空间中的一个形式向量。所以说一个量子态 f（X）出现的概率振幅或者说量子场从真空态激发到f(X)的概率振幅就是f（X）和exp^{S_I}的内积。
现在我们开始计算这个内积或者转移振幅：
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