路径积分量子化更加简单一点，但限制更多。其基本思路是计算演化振
幅< ψ′| exp{−iHt}|ψ >，并且假定这个演化振幅可以用无限多个积分的极限来逼
近：
< ψ
′| exp{−iHt}|ψ >= lim
n→∞
∫
dqn
∫
dqn−1...
∫
dq1 < ψ
′|qn >
< qn|e−iHδt|qn−1 >< qn−1|..... < q2|e−iHδt|q1 >< q1|e−iHδt|ψ >
相比正则量子化，这一方法的优势是形式简洁，且便于处理复杂约束问题，
缺点首先是在路径积分量子化模式下，“粒子”和“场”的直观意义都是不清
楚的，其次，这一方法只有通过Wick旋转（或者叫做“欧几里得化”,具体说就
是把时间t改写成虚数−iτ）才能在数学上获得良好的定义。很容易看出来这是
为什么：exp{−iHt}并不是一个衰减函数，于是你无法保证那些偏离预期结果太
远的项的贡献必然趋于0。相反，在wick 旋转之后，exp{−Hτ}的各种贡献肯定
是会衰减的。
路径积分只是泛函方法的一部分。在传统上，正则量子化方法及“物理解
释导向”曾经是场论方法的主流，但随着规范场论和非线性场论（例如最简单
的ϕ4标量场）的发展，正则量子化方法变得极其繁琐甚至无法使用，泛函方法
越来越流行。从原理上说泛函方法出自Feynman路径积分和Schwinger量子作用
量，但在泛函观点上，这两种手段都失去了其“物理背景”而转变为形式理
论。这种形式化和量子力学出现时从波函数和矩阵表述向一般的Dirac矢量描述
颇有相同之处。形式化方法使得量子场论的处理更加简洁和威力强大，但同时
导致了更大的学习和理解障碍。
1.2 微扰展开和费曼图
只有自由场的运动模式才能简单的写成平面波的叠加。为了求解带有相互作用
的场的运动，基本的方法是微扰论，即将自由哈密顿作为基础，将相互作用哈
密顿作为微扰，近似求解演化方程。
为了计算微扰展开，仍然需要将相互作用项利用平面波场算符展开，这个展
开在动量空间看来，就是标准的相互作用势函数变成不同动量态之间的相乘过
程。例如，标准的库伦作用势函数1
|r1−r2|将被转化为一个1
k2 的动量函数，这个函
数可以看成是r1和r2之间的关联函数，而j ∗ A变为两个场算符之间的乘积。最
终，动量空间矩阵元总是由相互作用乘积（称为顶角）和两点关联函数（称为
传播子）的乘积和积分构成。可以用图形来代表这种乘积，这种图形称为费曼
图。遍历所有级数展开项的过程，最终变成画出所有费曼图的过程。费曼图大
大简化了量子场论计算，因为研究者现在可以避免去逐步进行全部的泛函级数
展开，而代之以从几何上寻找各种拓扑不等效的图形。然而，这样做法的代价
之一是需要建立图形和对应的展开矩阵元之间的对应关系（称为费曼规则）。
对于QED那类的东西，这种规则已经由早期的科学家做出，然而，每个场论专
家都会自己建立一种场论，于是要自己建立所有费曼规则。
由于是从自由场（平面波或者波包）开始的微扰计算，所以计算的内容是
从一组近似平面波态跃迁到另外一组平面波态的几率振幅，这个振幅称为S矩
阵。因为没办法写出基本的束缚态场，所以计算束缚态问题非常困难。
此外，微扰论的基础在于级数展开，而展开式第n项的系数量级等于gn，g是
耦合常数，所以原则上只有|g| < 1的相互作用才能使用微扰法得到有意义的展
量子场论笔记
WangHongyu
June 22, 2011
1 Why Quantum Field Theory is So Difficult? The key
point
对于量子场论有两种比较容易的理解，一是标准量子力学的相对论形式：传统
量子力学是非相对论的，为了处理高能量粒子的运动，必须引入相对论效应，
将量子力学改写成协变形式；然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子
对的产生过程，于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变（随时增
减）体系的量子力学，为了处理粒子数的改变，需要使用将原来的波函数改写
成算符，这就是所谓“二次量子化”过程，完成了二次量子化的量子理论被看
作量子场论。
第二种理解要更加简单而直接：许多物理体系都是场体系，例如光本身就是
一种电磁场，为了研究其量子效应，需要按照量子力学的原则对电磁场运动方
程进行量子化。由于场是全空间分布的连续目标，其量子力学理论将是具有无
穷自由度体系的量子理论；为了求解这样的体系，需要对自由度进行分解，得
到的平面波解称为粒子或者量子，而这种理论就是量子场论。
1.1 量子化
我们采用第二种理解。和传统量子力学一样，量子场论也是基于量子化的手
续，比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。在大部分情况
下，两种手续都要交替使用。
正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量，定义正则坐标和正则动
量，引入正则坐标和正则动量之间的对易关系：
[ϕ(x, t), Π(x
′, t)] = iδ3(x − x
′
)
原则上就完成了正则量子化步骤。
在实践中，由于自由度之间可能存在复杂的耦合，上述量子化需要对独立的
正则动量来完成，因此首先要分解出独立的自由度。对于连续存在于平直空间
的的场，最简单的方法是进行傅立叶分解。对场变量的傅立叶分解得到一系列
平面波态，而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。对每个平面波态求
解得到其能量和动量，结果表明每个态的能量和动量都是分立的，于是将这种
平面波态称为“粒子”。
1
路径积分量子化更加简单一点，但限制更多。其基本思路是计算演化振
幅< ψ′| exp{−iHt}|ψ >，并且假定这个演化振幅可以用无限多个积分的极限来逼
近：
< ψ′| exp{−iHt}|ψ >= lim
n→∞
∫
dqn
∫
dqn−1...
∫
dq1 < ψ′|qn >
< qn|e
−iHδt|qn−1 >< qn−1|..... < q2|e
−iHδt|q1 >< q1|e
−iHδt|ψ >
相比正则量子化，这一方法的优势是形式简洁，且便于处理复杂约束问题，
缺点首先是在路径积分量子化模式下，“粒子”和“场”的直观意义都是不清
楚的，其次，这一方法只有通过Wick旋转（或者叫做“欧几里得化”,具体说就
是把时间t改写成虚数−iτ）才能在数学上获得良好的定义。很容易看出来这是
为什么：exp{−iHt}并不是一个衰减函数，于是你无法保证那些偏离预期结果太
远的项的贡献必然趋于0。相反，在wick 旋转之后，exp{−Hτ}的各种贡献肯定
是会衰减的。
路径积分只是泛函方法的一部分。在传统上，正则量子化方法及“物理解
释导向”曾经是场论方法的主流，但随着规范场论和非线性场论（例如最简单
的ϕ4标量场）的发展，正则量子化方法变得极其繁琐甚至无法使用，泛函方法
越来越流行。从原理上说泛函方法出自Feynman路径积分和Schwinger量子作用
量，但在泛函观点上，这两种手段都失去了其“物理背景”而转变为形式理
论。这种形式化和量子力学出现时从波函数和矩阵表述向一般的Dirac矢量描述
颇有相同之处。形式化方法使得量子场论的处理更加简洁和威力强大，但同时
导致了更大的学习和理解障碍。
1.2 微扰展开和费曼图
只有自由场的运动模式才能简单的写成平面波的叠加。为了求解带有相互作用
的场的运动，基本的方法是微扰论，即将自由哈密顿作为基础，将相互作用哈
密顿作为微扰，近似求解演化方程。
为了计算微扰展开，仍然需要将相互作用项利用平面波场算符展开，这个展
开在动量空间看来，就是标准的相互作用势函数变成不同动量态之间的相乘过
程。例如，标准的库伦作用势函数 1
|r1−r2|
将被转化为一个 1
k2 的动量函数，这个函
数可以看成是r1和r2之间的关联函数，而j ∗ A变为两个场算符之间的乘积。最
终，动量空间矩阵元总是由相互作用乘积（称为顶角）和两点关联函数（称为
传播子）的乘积和积分构成。可以用图形来代表这种乘积，这种图形称为费曼
图。遍历所有级数展开项的过程，最终变成画出所有费曼图的过程。费曼图大
大简化了量子场论计算，因为研究者现在可以避免去逐步进行全部的泛函级数
展开，而代之以从几何上寻找各种拓扑不等效的图形。然而，这样做法的代价
之一是需要建立图形和对应的展开矩阵元之间的对应关系（称为费曼规则）。
对于QED那类的东西，这种规则已经由早期的科学家做出，然而，每个场论专
家都会自己建立一种场论，于是要自己建立所有费曼规则。
由于是从自由场（平面波或者波包）开始的微扰计算，所以计算的内容是
从一组近似平面波态跃迁到另外一组平面波态的几率振幅，这个振幅称为S矩
阵。因为没办法写出基本的束缚态场，所以计算束缚态问题非常困难。
此外，微扰论的基础在于级数展开，而展开式第n项的系数量级等于gn，g是
耦合常数，所以原则上只有|g| < 1的相互作用才能使用微扰法得到有意义的展
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开结果。对于电磁相互作用和弱相互作用，这一点很容易满足，但对于强相互
作用，只有在高能区，耦合常数才会降低到可以使用微扰展开的程度。
对于|g| > 1的情况，需要使用复杂得多的方法且没有系统化的处理。一个
比较常见的方案是直接进行路径积分计算，因为路径积分法本身可以绕过微扰
论：利用蒙特卡洛方法，可以近似估计一个积分的值，无论其具体维度多少。
这样，无穷维积分可以用有限的试探求和平均逼近。
1.3 发散，正规化和重整化
即使对于|g| < 1的场，其量子场论也存在根本的困难。这种困难基本上是来源
于量子场论的连续时空和点粒子假设：在相互作用场的费曼图（展开项）中，
都必然包含带有闭合圈的图形。闭合圈的内部传播子需要对所有可能的动量积
分，而由于时空是连续的，两点之间的距离可以任意小，对应动量空间的动量
可以任意大，闭合圈积分必然包含一个无穷大的积分因子。抵消这个积分因子
的唯一可能是传播子分母，但传播子的分母在大动量区域是正比于|k|或者|k|2，
也就是两传播子闭合圈在大动量区域最多正比于|k|−4，于是乘以d4k积分后将会
发散。
发散问题是本质的，不可能从相对论量子场论的形式中消除，它反映的是在
足够小的尺度内时空结构破坏（从而量子场论完全失效）或者基本粒子根本不
是点状的(不过，也有人认为这仅仅是使用了错误的形式耦合参数的问题。问题
在于，这种说法并不怎么有说服力）。但是可以在不破坏量子场论基本框架的
条件下手工把发散“剪掉”。
剪掉发散的第一步是要把发散分离出来，或者说把发散“打包出售”。比如
可以在粒子的传播子中乘以一个限制项，使得在动量够大的情况下传播子快速
趋向于0（人工提高了k
−n中的n）。这样，积分结果就由限制参数决定，当然，
如果把限制参数Λ变成0（无限制），那么积分还是发散的。这种操作叫做“正
规化”，当然正规化有很多种方法，这种限制传播子的办法叫做Pauli-Villars正
规化。还有一种时髦的方案是修改积分因子，比如把计算改到低维空间D < 4去
做，做完了之后就有个形式的维度参数D，当然n = D的时候积分还是发散的，
但形式上发散都已经吸收到D里面去了。
现在需要实际剪掉发散。剪掉的概念非常简单：在相互作用哈密顿上面任意
地加入一个“对消项”，比如把粒子质量从m改变成m + δm，或者耦合常数g变
成Zgg等等。当然对消项的大小需要认真调整，原则有两个：（1）规定对消项
的大小能够把积分发散抵消掉。比如本来带圈得传播子是发散的，现在加入一
个对消项δm之后，δm导致的修正正好吃掉正规化的发散表达式（所以δm是无
穷大）；（2）在足够低的实验能区，加入的对消项能够给出正确的实验结果。
体现最简单的对消方法的重整化手续称为“质壳重整化”。例如，标量粒子传
播子的基本形式是 1
k2+M2 ，其中M是粒子的质量。引入对消项之后，传播子应该
是
1
k2+Π(k2,m,Λ,δm) ，于是对δm的要求就是（我们知道当粒子静止时可以称出粒子的
质量；而在此时，粒子动能为0，k2 = −m2）
Π|k2=−m2 = M2
且
Π′|k2=−m2 = 0
3
也就是在无限低能量的时候，粒子要“看上去就是个自由粒子”且“表观质
量”等于“实验质量”。这样，就可以得到δm和Λ的关系式，于是以后计算的
任何结果，都会和Λ无关—所有Λ效应都被δm吃掉了。这个步骤叫做重整化。
这套做法的概念简单的说就是：(1)量子场论在足够小尺寸下失效；(2)我们
任意假设一个小尺寸下的理论形式；(3)把这个理论嫁接到量子场论上；(4)证明
在大尺寸下的物理结果完全不依赖于我们假设的小尺寸形式；(5)从理论中抹掉
所有小尺寸理论的痕迹。
从物理上说，重整化的意义是清楚的：任何物理参数，如粒子的质量，电荷
等等，都不是单独给定的，而依赖于粒子和其他粒子甚至整个宇宙的相互作用
（想象一下一条船的加速，它开销掉的能量除了决定于质量外，还要决定于水
对他的阻力）。重整化就是要把这些效应考虑在内。问题在于，量子场论假设
了一个无穷小尺寸的理论的存在，于是必然包含发散。正规化过程的目标就是
把发散剥离出来，以免发散干扰正常的重整化计算。
技术上，只要证明了(4)，就存在许多种处理(5)的方法。在所有处理中最干
净的方法是重整化群方法：利用(4)的要求来产生某些微分方程，从而避免各种
重整化手续的复杂性而获得一致的处理方法。
直到目前，这套重整化方案还存在一个根本的问题：(4)和(5)的可能性不是
显然的。实际上对于某些场论，倒是可以证明根本不存在做(4)和(5)步骤的可
能。这种理论称为”不可重整“的。概念很简单：要做(4)，理论中的发散类型
必须是有限的，然后可以把这些发散统统剥离出来，但是如果理论够复杂，那
么随着级数展开，发散会越来越多，于是永远不可能消除所有的发散，这种理
论就不存在一致的量子场论。不过，你仍然可以直接在某个地方截断量子场论
结果，并且宣称这个理论只是个”有效理论“，然后随便乱搞一气。
需要特殊指出的是，在(4)和(5)生效的条件下，可以认为发散只是“形式
的”，也就是发散问题完全是由于错误地使用了自由粒子作为基去定义耦合常
数的结果，并不是量子场论有问题。然而这看法并不能一致推广到例如凝聚态
物理等情况，而且也不能解释下面的朗道极点问题。
假如我们用比较现实的观点来理解正规化和重整化，那么会得出一些有趣的
想法。例如，前面的Pauli-Villars正规化等于给定了某个最小距离存在。而维数
正规化则更加奇异。
1.4 跑动耦合常数和朗道极点
量子场论本身在原理上是有bug的。这不是简单的计算方法问题。如同上面指
出的，各种参数都依赖于粒子和外界的相互作用。表现之一在于实践中的“有
效”耦合常数g 并不是一个常数；他依赖于具体作用的动量。在电动力学的场
合，就是电子的“有效电荷”依赖于观察这个电荷的位置，离电子越近，看到
的电荷就越大，这种效应称为耦合常数的跑动。
当然，在重整化角度看来，这并不是什么太复杂的问题：电子极化周围的空
间，所以离电子越远，电荷屏蔽效应越显著；离电子越近，电荷屏蔽越弱，从
而看到的电子电荷就越大。
然后朗道指出这套东西是不自洽的，概念非常简单：计算重整化电荷发
现，当观测距离还不等于0的时候，电子电荷已经达到了无穷（正确的说，电
子电荷平方的倒数等于0。所以原则上，你也可以考虑电子电荷变成虚数的可
能，laf）。所以，量子场论一定在小尺寸上是错误的，这个东西叫做朗道极
点。当然朗道只是计算了第一个微扰重整化项，不过目前大家相信，一个场论
4
要么是渐近自由的，就是在无限近的距离上耦合常数为0；要么就有至少一个朗
道极点。
虽然如此，朗道极点不影响前面的任何计算，因为朗道极点位于不可思议地
高的能量（普朗克能量？别逗了，朗道极点比这个高几千个数量级）。所以，
你可以简单的无视朗道的嗡嗡嗡，反正在任何有意义的计算中都不会碰到这个
问题（无视数学严格性是任何量子场论研究的基础！）。不过也有人对此进行
了分析，得到的结论是，至少对于QED，远在朗道极点之前，和其他场的耦合
就已经彻底扰乱了QED了。但关键是无论物理上你的分析多么合理，你都无法
回避郎道极点意味着量子场论的数学原理bug这个事实。
1.5 规范条件问题和规范场的量子化
相比于标量场（很少见，或者可以说目前我们还没有找到这玩意）和电子-正电
子的量子化，电磁场量子化有个特殊问题，就是电磁场有个规范条件。电磁场
的场量可以任意选择一个规范来做，也就是说如果你不选择规范，场量是不定
的：电磁势有四个分量，但实际上光子只有两个极化方向，换句话说四个分量
不是完全独立的。如果你直接把电磁势的四个分量拿去量子化，你就违反了应
该使用独立正则动量进行量子化的规则，然后出现各种不自洽的结果，包括不
可重整化；但如果你直接引入一个相对论不变的规范条件，比如洛伦兹条件，
那么你发现这东西没法前后一致地量子化。历史上，解决方法首先是使用库仑
规范进行量子化，因为库仑规范下辐射场的两个极化方向是完全独立的。问题
是你必须额外证明计算结果是相对论不变的。后来，一批研究者为了保持理论
的明显相对论不变，使用了不定度规方法：允许出现模方为负的状态矢量，然
后让多余的俩自由度对应状态的模刚好一正一负抵消掉。但是你很容易看到无
论哪种方法，处理起来都很不舒服。
这个问题对于Yang-Mills场变得更严重，因为这时候库仑规范计算变得非常
困难：没那么容易分解一个非阿贝尔的场的独立自由度！问题的最后解决是利
用了Faddev-Popov的方法：在路径积分中强制加入规范固定项。这玩意基本就
是在积分里面扔个δ函数进去强制吃掉多余的自由度。说实话这也不是一个很让
人爽快的做法，但它确实能用
1.6 参考书和阅读
目前量子场论的书数量正在追赶量子力学。比较易读的参考书有：
1. L. Ryder 的量子场论：这本书非常清楚明了，特别对于那些往往被忽略的
背景知识的介绍非常清晰。此外，这本书集中于粒子物理中的场论思想脉络，
整本书比较清楚连贯。另一个优点是这书几乎不需要相对论量子力学或者量子
电动力学的基础知识。缺点主要是比较简略且略微形式化，缺乏足够的实例。
2. M. Srednicki, Quantum Field Theory：这本书的卖点之一是用各种特别简单
的实例解释量子场论的概念，包括为了简单化专门定制了一个ϕ3场。另外，书
中澄清了不少在其他教材中讲得不够透彻的概念。缺点是因为ϕ3场是作者生造
的，没有详细推敲过，可能有一些bug。此外，就像我们熟知的那样，一本书的
第一版最容易出现的问题就是存在很多“容易看到......”之类的论述。期待第二
版。
3. A.Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell: 这本书是“QFT for funny”。对
于希望对量子场论的基本概念获得初步理解的人来说，这本书是一本优秀的入
5
门读物和科普资料。缺点就像一切这类书一样，这书不够重视计算实例。
4. U. Mosel, Path Integrals in Field Theory: An Introduction: 虽然是路径积分法
的专著，但作为标量QFT的入门资料也是一本很合适的教材。特别是这本书对
于标量QFT的各种推导非常清楚又不会沦于繁琐，这对于一本200多页的书来说
是很不容易的。缺点和任何一本足够薄的书一样，它不可能给你全面的量子场
论介绍。
5. V. G. Kiselev, Ya. M. Shnir, A. Ya. Tregubovich, Introduction to Quantum Field
Theory: 一本框架很清楚的著作，尤其适合希望详细了解路径积分量子化的读
者。但似乎语言和排版上都有一些不是很清楚（是不是笔误我不知道）的地
方。此外，这书着重于基本概念框架和标量场，而没有对QED和粒子物理进行
足够的论述。
6. M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory: 这本
书最大的优势在于有比较多的粒子物理相关实例，并且对于许多人来说。以正
则量子化的“物理图像”导入量子场论是比较容易接受的。这书有800多页，
因此你可以指望里面有很多detail的分析和计算。问题在于其入手比前面说的几
本书都要困难一些（我的个人看法），并且对于一些关键性的物理概念介绍不
像Srednicki或者Mosel那样清晰（这是个很奇怪的事情，有时候介绍或者计算太
多，反而让人搞不懂作者到底要干什么）。
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