r x F 叫做力矩--角动量的变化率等于力矩。可见在没有外力矩的情况下，物体的角动量L是不变的。举例说，地球围绕着太阳转，因为引力在r的方向，因此地球所受力矩为0，地球绕日的角动量也就是不变的

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科普：电子的自旋

(2011-06-24 10:43:49)

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标签： 杂谈

运动的物体有动量 p = mv. 牛顿第二定律说，F =  dp/dt = ma. 还有一个量，与转动有关系，叫做角动量，其定义是

L= r x p

r 是物体的位置向量，p 是它的动量。中间那个x 叫做叉乘。

如果写分量，我们有 L_i = e_ijk *r_j * p_k

运用牛顿第二定律

dL/dt = dr/dt x p + r x dp/dt = r x F 

这个 r x F 叫做力矩--角动量的变化率等于力矩。可见在没有外力矩的情况下，物体的角动量L是不变的。举例说，地球围绕着太阳转，因为引力在r的方向，因此地球所受力矩为0，地球绕日的角动量也就是不变的。。。。以上这些，中学物理都学过了。

我在前面一片博文中提到，相对论的能量公式 E^2 = p^2 + m^2 怎么开方的问题，具体怎么回事就不再细说了，总而言之，右边开方成  a*p +b*m的形式。在三维空间下，考虑到动量p有三个分量，开方的结果实际是

a_1 * p_1 + a_2 * p_2 + a_3 * p_3 + b*m = a_i * p _i + b*m 

这里我们用到爱因斯坦发明的一个“速记”方式，上面重复出现的i, 意味着对不同i的求和，这样写起来简单多了。

上面的这个东西，我们用一个符号H代表，而且把里面的p，换成动量算符，也就是说

H = a_i * p_i + b*m

由此，我们就可以写出电子的量子方程，那叫着狄拉克方程。现在我们看看，这个H是否与L能否同时确定。为此我们需要计算这个东东：[L, H] = L*H - H*L 。[A, B]称为A与B的对易子，比如 [3, 4] = 3*4 - 4*3 = 12 - 12 =0。但是在量子理论里，位置与动量都成了算符，它们不再对易， [ x_j, p_j ] = i  --- 这里的i是单位虚数，-1的平方根。

有了这个，我们可以计算 [L, H],

[L_i, H] = [e_ijk x_j p_k , a_l* p_l] = e_ijk * a_l * [x_j, p_l] p_k = i* e_ijk * a_j * p_k = i a x p

由此可见，角动量 L 与 H不对易。但角动量应该是守恒的。这说明什么呢？

继续分析，电子必须有一个固有的角动量，才能保持总角动量与H对易。这个固有的角动量被称为电子的自旋。

 

 

 

相对性原理与相对论

(2011-01-11 13:50:41)

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标签： 相对性 相对论 物理 哲学 教育

分类： 科学

(1) 相对性原理从伽利略开始就有了，问题在于相对运动的参照系的坐标之间的关系应该是什么。

假设你坐在一个速度为v的火车上，跟地面的人对好坐标原点，如果地面的人发现在时间t位置x发生一起事故，对于火车上的人来说这起事故发生时间也是t,但位置是 x-vt 。这叫伽利略变换。小学生学算术、算火车问题的时候，都会用这个变换。

假设两个参照系中观测到的力应该相同，牛顿第二定律 f=ma在伽利略变换下显然同样成立，还是f=ma。量子力学里的薛定谔方程实际上就是量子化的牛顿力学，当然也在伽利略变换下不变。大家用这两个方程都很愉快。

牛顿定律之后，人类发现的物理就是电磁现象的理论了。麦克斯韦在1861年给出了他著名的那个方程组。1861年也就是满清的咸丰11年，当时汉人在全国多处发动武装起义，山东的刘双印、孙化祥，广西吴凌云，浙江的赵起，黄崖山的张积中，山东宋景诗等汉人对满清的愚昧忍无可忍，举兵驱除鞑虏。

电磁理论差点也可以满足伽利略不变性--如果没有麦克斯韦的位移电流的话。实际上，费曼曾经从牛顿第二定律推出麦克斯韦方程组，这一度使人大惑不解。但仔细观察发现其实费曼只推出了其中的三个方程。你可以试着把将MAXWELL的几个方程进行伽利略变换，结果发现其中三个方程都没有问题（电场按E-> E + v x B变换)，但那个 curl(B)的方程因为右边的位移电流一项，使伽利略变换无法满足不变性要求。也就是说麦克斯韦尔方程在伽利略变换没法写成同样的形式--一个方程右边多出了一点点东西。

所以，这里有两种可能，一是麦克斯韦尔方程有问题（只适用于某个绝对参照系），二是伽利略变换不行了。哲学上看，麦克斯韦方程这么美妙的方程应该是对的。实验也证明，麦克斯韦方程似乎是对的。

（2）好几个物理学家（或数学家）都发现在一个新的变换下MAXWELL方程可以不变，庞加莱把这个变换称为LORENTZ变换。变换公式可以从对称性原理推导出来。我已经演示过了，不再重复。

爱因斯坦的贡献在于，他认为LORENTZ变换不应该只适用于MAXWELL方程，而是所有的物理规律。也就是说，LORENTZ变换不是电磁场的特殊性，而是时间-空间的特性。爱因斯坦把这叫着相对论。

按照这个思路，狄拉克试图寻找一种满足LORENTZ变换的量子方程，也是满足相对论的能量关系， E^2 = m^2 + p^2，而且只含对时间的一次偏微商。 他左试右试，试出来一个DIRAC方程。由这个方程，还发现电子应该有自旋才行。