phymath999

Question 1

量子场论里的Hilbert space 是什么？有什么物理意义吗？

Minglei Xiao，物理宅

Hilbert 空间从来都不是什么「波函数的空间」，而是量子态的空间。波函数只是态在一个表象下的形式。 微扰量子场论处理的是真空的微扰问题，涉及到的态都是渐进自由态，即进态、出态，它们都是动量本征态，对于不同自旋有不同的波函数，但总的来说都是自由粒子<img src="http://zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bikx%7D" alt="e^{ikx}" eeimg="1">。 你说的「场论里的波函数」是场算符吧，教授在第一节课就应该告诉你那个东西不是波函数。场算符的正则形式里，产生算符前那个系数才是对应的单粒子态的波函数。 —————————————————————— 也不知道是不是学量子力学时净在解波函数的关系，有些人学场论的时候看不见「波函数」，心里总是没谱。 我们为什么要用量子场论？A.处理散射问题；B.处理物理参数的量子修正。至少在微扰论范围内，量子场论是干这些事的。这两个问题非相对论量子力学中处理不了，一是因为低能近似，二是粒子数守恒（薛定谔方程约化为概率流守恒），三是没有 off-shell propagator。 在低能非散射问题中，使用已修正的物理参数，非相对论量子力学完全够用，而且是足够精确的。而只有这类问题中适合使用波函数描述，因为能量较低使得很多粒子处于弱耦合但却相互束缚的状态：弱耦合意味着单粒子描述可用，顶多换个基研究 quasi-particle 那也是单粒子；束缚态表示有较稳恒的背景势，所以需要解定态波函数或者背景场中的近自由粒子，这些都不是真空中动量本征态，相对来说它们的波函数形式反而比相互作用更加 tricky。所以这些问题中人们比较关心波函数长什么样。 当然，有些这两个方法都不好用的情况，那就是强耦合体系。AdS/CFT 大法好！

Hilbert 空间从来都不是什么「波函数的空间」，而是量子态的空间。波函数只是态在一个表象下的形式。微扰量子场论处理的是真空的微扰问题，涉及到的态都是渐进自由态，即进态、出态，它们都是动量本征态，对于不同自旋有不同的波函数，但总的来说都是自由粒… 显示全部

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Question 2

如何给没学过量子场论的人科普量子场论这样的知识？

17

格拉摩根伯爵

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王玉、知乎用户、NullVector 等人赞同

放一幅老早画图（回过头看有点不太确切的地方），名字：《理科no料理亭》，大体讲了下场论是咋工作的： <img src="http://pic4.zhimg.com/5667b7160e92ca6234c90a8dcf8a597b_b.jpg" data-rawwidth="600" data-rawheight="276" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="http://pic4.zhimg.com/5667b7160e92ca6234c90a8dcf8a597b_r.jpg"> <img src="http://pic4.zhimg.com/d225ef9cee74b0baaf5a56d9397b5f6b_b.jpg" data-rawwidth="600" data-rawheight="509" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="http://pic4.zhimg.com/d225ef9cee74b0baaf5a56d9397b5f6b_r.jpg"><img src="http://pic3.zhimg.com/dfdd8fc5fe8675f978d29ea72a3fcc12_b.jpg" data-rawwidth="600" data-rawheight="483" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="http://pic3.zhimg.com/dfdd8fc5fe8675f978d29ea72a3fcc12_r.jpg"> 不过这也只能让学过的人看着图叙叙旧。咱还是觉得与普通人讨论场论是挺不智的。因为场论是那种只能说明“有什么用，怎么工作”的东西，而讲不清楚“是什么”。一句“场是什么”就能把你绕进去了。因为场根本就不是物理观测量。学过重整化的都知道，场是要被rescale的，是种说大就大，说小就小的东西。但它又不单纯是种数学工具，所以。。。。能绕开场论就绕开吧。 =。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。=。= 终于可以摸着键盘打字了。。 图有点小，解释一下 最左边是拉氏量，主要由一些对称原则决定，比如YM。有时要加拓扑项，另一些时候会添一些辅助场，用以揭示一些对偶性。这些系统按照作用强度以及我们的目标分为三类：作用较弱的可以作微扰展开；较强的，但我们只在乎低能情况的，可以按照<img src="http://zhihu.com/equation?tex=p%2F%5CLambda" alt="p/\Lambda" eeimg="1">展开，这就是低能有效理论；剩下的一种情况就只能格点计算（在高化学势下失败）或者借助Ads/CFT的对偶理论（这个咱不懂）再或者就套各种唯象模型。总之，这些处理手段的目标是取得格林函数。真空下的格林函数作LSZ reduction可以得到截面。介质中的格林函数有两种途径入手。松原方案：虚时格林函数，适用于平衡态，在一些情况下也可以向非平衡作解析延拓。Keldysh方案：实时格林函数，每一个格林函数都写作Keldysh空间下的矩阵，适用于非平衡态。由这些格林函数，通过线性响应理论，可以计算系统的线性输运系数。以电导为例。<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf+j%3D%5Csigma+%5Cmathbf+E" alt="\mathbf j=\sigma \mathbf E" eeimg="1">，<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf+E" alt="\mathbf E" eeimg="1">是外界给系统的微扰，而<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf+j" alt="\mathbf j" eeimg="1">就是系统作出的响应，两者之间线性相关。系数<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Csigma" alt="\sigma" eeimg="1">是系统的内禀属性，与微扰大小无关（与频率还是有关的）。久保方程（<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kubo_formula" class=" wrap external" target="_blank" rel="nofollow noreferrer">Kubo formula</a>）告诉我们：<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%28%5Comega%29%3D%5Cfrac+1+%5Comega%5Cint+dtd%5Cmathbf+x+%5Ctheta%28t%29%5Clangle%5B%5Cmathbf+j%28t%2C%5Cmathbf+x%29%2C%5Cmathbf+j%280%29%5D%5Crangle+e%5E%7B-i%5Comega+t%7D" alt="\sigma(\omega)=\frac 1 \omega\int dtd\mathbf x \theta(t)\langle[\mathbf j(t,\mathbf x),\mathbf j(0)]\rangle e^{-i\omega t}" eeimg="1">，而<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf+j%3D%5Cbar%5Cpsi+%5Cboldsymbol+%5Cgamma+%5Cpsi" alt="\mathbf j=\bar\psi \boldsymbol \gamma \psi" eeimg="1">，故而右边就是一个两点格林函数，用图表示的话就是幅眼睛一样的图。输运系数另一个求法是把截面带入经典输运方程（Boltzmann或Fock-Plank），把它线性化，然后求得。这条路径就不得不作经典近似了。 总之，图的最左边是系统的底层机理，最右边是宏观观测量，场论只是连接两者的桥梁。说穿了，场论本身的物理与量子力学没有区别，余下的部分全是数学 ，是可借助来形成物理图象的工具。真正有意思的物理在图的两端。当然，图中没有包含所有的宏观量，诸如压强、比热等热力学量的算法因为更简单，没有画在料理亭里。比方如何用场论来回答这个问题呢：<a href="http://www.zhihu.com/question/27325226/answer/36169082" class="internal">水的比热为什么这么大？ - 知乎用户的回答</a>。首先要拿到“水”这个系统的拉氏量。然后用虚时方案算配分函数：<img src="http://zhihu.com/equation?tex=Z%28%5Cbeta%29%3DZ_0%28%5Cbeta%29%5Cexp%5Cleft%28%5Csum_%7Bn_l%7D%5Cfrac+1+%7Bn_l+%21%7DC_%7BJ%3D0%7D%5Bn_l%5D%5Cright%29" alt="Z(\beta)=Z_0(\beta)\exp\left(\sum_{n_l}\frac 1 {n_l !}C_{J=0}[n_l]\right)" eeimg="1">。其中，<img src="http://zhihu.com/equation?tex=Z_0" alt="Z_0" eeimg="1">是理想气体的配分函数，<img src="http://zhihu.com/equation?tex=C_%7BJ%3D0%7D" alt="C_{J=0}" eeimg="1">表示所有的泡泡图(bubble diagram)，<img src="http://zhihu.com/equation?tex=n_l" alt="n_l" eeimg="1">是图的vertex数目。有了配分后，取一次对数，作两次偏微分，热容就到手了。我这样答题算回答了那位题主的问题么？不算。因为我只提供了算法，没有提供物理图象，而算法永远不会是“原因”。再比如如果我用这套算法算，发现夸克物质在褪禁闭相的热容要高于在禁闭相的，就能写文章了么？也不行，我还是要提供物理图象：色禁闭禁锢了夸克的自由度，因而降低了体系热容。因而场论只是那个指着月亮的手指，不足为外人道。

放一幅老早画图（回过头看有点不太确切的地方），名字：《理科no料理亭》，大体讲了下场论是咋工作的：不过这也只能让学过的人看着图叙叙旧。咱还是觉得与普通人讨论场论是挺不智的。因为场论是那种只能说明“有什么用，怎么工作”的东西，而讲不清楚“是什… 显示全部

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Question 3

黑洞为什么违反许多物理定理？

16

知乎用户，理论物理博士

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普里西拉布、知乎用户、程资为等人赞同

黑洞中经常会出现一些无穷大的情况科学史的经验告诉我们，如果出现无穷大，一般是物理定律在这附近不适用，现有的物理定律应该容纳到另一个更普适的定律中去

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Question 4

有没有人能解释一下下面这个等式？

16

何史提，从一到无穷大

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知乎用户、杨发枝、黄瓜片丸子汤等人赞同

谢邀。 I am passionate about this kind of technicalities for some unknown reasons. Whenever one encounters any path integrals or functional integrals that bother, it is always good to go back to the usual integrals. You can go to chapters about "generating functional" in any quantum field theory or statistical field theory books to understand about it more. First of all, look at the following integral: <img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx+%5Cleft%28x+e%5E%7B-a+x%5E2+%2B+px%7D%5Cright%29+%3D+%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+p%7D%5Cright%29+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx++e%5E%7B-a+x%5E2%2Bpx%7D" alt="\int_{a}^{b} dx \left(x e^{-a x^2 + px}\right) = \left(\frac{\partial}{\partial p}\right) \int_{a}^{b} dx e^{-a x^2+px}" eeimg="1"> where the equality can be easily verified on your own. The effect of this is to pull out one term in the exponential and make it an operator (<img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%7D" alt="\frac{\partial}{\partial x}" eeimg="1">) outside the integral. People do this for technical reasons or physical insights. You can now play with the functions of operators. Look at the following integrals: <img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx+%5Cleft%5Bf%28x%29+e%5E%7B-a+x%5E2%2Bpx%7D+%5Cright%5D+%3D+f%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+p%7D%5Cright%29+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx+e%5E%7B-a+x%5E2%2Bpx%7D" alt="\int_{a}^{b} dx \left[f(x) e^{-a x^2+px} \right] = f\left(\frac{\partial}{\partial p}\right) \int_{a}^{b} dx e^{-a x^2+px}" eeimg="1"> If you can understand this, I think you will have no problem understand the following: <img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx+%5Cleft%5Be%5E%7B-f%28x%29%7D+e%5E%7B-a+x%5E2%2Bpx%7D+%5Cright%5D+%3D+e%5E%7B-f%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+p%7D%5Cright%29%7D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+dx+e%5E%7B-a+x%5E2%2Bpx%7D" alt="\int_{a}^{b} dx \left[e^{-f(x)} e^{-a x^2+px} \right] = e^{-f\left(\frac{\partial}{\partial p}\right)} \int_{a}^{b} dx e^{-a x^2+px}" eeimg="1"> Now let us generalize it to functional integrals. Make x and p to be a function of time, integrate the exponentials with respect to time, generalize the integral measures, and change the derivative to functional derivative. Then <img src="http://zhihu.com/equation?tex=%5Cint+Dx%28t%29+%5Cexp%5Cleft%5B+-%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+dt+%5Cleft%28+f%5Bx%28t%29%5D+%2B+a+x%5E2%28t%29+-+p%28t%29+x%28t%29%5Cright%29%5Cright%5D+%3D+%5Cexp%5Cleft%5B+-%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+dt+f%5Cleft%5B+%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B%5Cdelta+p%28t%29%7D%5Cright%5D+%5Cright%5D+%5Cint+Dx%28t%29+%5Cexp%5Cleft%5B+-%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+dt+%5Cleft%28+a+x%5E2%28t%29+-+p%28t%29+x%28t%29%5Cright%29%5Cright%5D" alt="\int Dx(t) \exp\left[ -\int_{-\infty}^{\infty} dt \left( f[x(t)] + a x^2(t) - p(t) x(t)\right)\right] = \exp\left[ -\int_{-\infty}^{\infty} dt f\left[ \frac{\delta}{\delta p(t)}\right] \right] \int Dx(t) \exp\left[ -\int_{-\infty}^{\infty} dt \left( a x^2(t) - p(t) x(t)\right)\right]" eeimg="1"> If you can understand this procedure, then you can understand the equality that you gave. Beware that it is NOT a proof, but it is the idea how it comes out. P.S.: I apologize for using English as I think it is easier for me to express this kind of things.

谢邀。I am passionate about this kind of technicalities for some unknown reasons. Whenever one encounters any path integrals or functional integrals that bother, it is always good to go back to the usual integrals. You can go to chapters … 显示全部

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Question 5

量子场论里的Hilbert space 是什么？有什么物理意义吗？

17

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匿名用户

知乎用户、cheng petet、知乎用户等人赞同

如果用canonical quantization formulation的话，量子场论里场算符不一定是unitary演化了...

场算符的演化按照 $\varphi(\bm x, t) = e^{iHt} \varphi(\bm x, 0) e^{-iHt}$ 这为什么不是幺正的？

如何解释场算符的物理意义呢？依然是是概率诠释？

量子场就是体系的基本自由度了，相当于广义坐标；从数学上讲，它是一个算符值分布。算符与波函数的关系相当于统计上的随机变量跟概率的关系。

它首先是量子化的场论，我们可以按照场论来理解它，譬如，我们可以研究场关联函数： $\langle \mathrm T \varphi(x_1) \varphi(x_2) \cdots \varphi(x_n) \rangle$ ，这相当于扰动了量子场真空以后所观测到的响应。由于量子化，我们只能讨论期望值，不能直接讨论场本身。一个合适的比拟是统计系综，譬如一个格点上的Ising模型：在那里广义坐标是“自旋场” $S_i$ ，我们讨论自旋关联函数 $\langle S_i S_j \rangle$ 。

它又是量子力学算符。根据正则对易关系，在时刻 $t$ ，不同位置 $\vec x$ 的场算符是对易的： $[\hat \varphi(\vec x, t), \hat \varphi(\vec y, t)] = 0$ （这实际上是场作为广义坐标需要满足的条件），
因此，存在一个表象 $|\varphi_t\rangle$ ，为不同位置的场算符的共同本征态： $\hat \varphi(\vec x,t)|\varphi_t\rangle = \varphi(\vec x, t)|\varphi_t\rangle$ ，这里函数 $\varphi(\vec x, t)$ 便是量子场的振幅； $|\varphi_t\rangle$ ，借用统计物理的语言（如图），叫做一个场“构型”。场表象原本是很方便的：譬如时间演化可以由路径积分。唯一的问题是，场表象不是能－动量表象，这对于描述物理粒子来说是很麻烦的。这显然是由于， $\big[ \varphi(x), H \big] = i\pi(x) \ne 0$ 。

真空态 $|\Omega\rangle$ 是能量最低态，各种量子数皆为零，但却不是场强为零的态（这是咱们熟悉的零点振动 —— 真空里有什么？真空里有量子场！）。因此，若将量子场作用在真空态上，将会激发各种能量本征态:

$\langle\Omega| \varphi(x) \varphi(y) |\Omega\rangle = \int ds \,\rho(s) D(x-y; s)$

其中 $\rho(s) = \sum_n \delta(s-p_n^2) | \langle n,p | \varphi(0)|\Omega\rangle|^2$ 叫做谱函数——它显然是一个分布，代表量子态 $|\varphi(0)\rangle$ 处在不变质量 $\sqrt{s}$ 处的概率密度： $\int ds \, \rho(s) = 1$ ；
$|n,p\rangle$ 是哈密顿量 $H$ 的本征态，其质量为 $\sqrt{p_n^2}$ ； $D(x-y;s) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4}\theta(p^0) e^{-i p\cdot (x-y)} 2\pi \delta(p^2 - s) \overset{r\to\infty}{\sim} \frac{\sqrt{s}}{4\pi^2 }\frac{ K_1(\sqrt{s} r)}{r}$ ，有时候叫做场的传播子。

自由场的谱密度是一个位于m处的狄拉克函数，其代表态表示一个自由粒子，叫做单粒子态。“正常”量子场论的谱密度类似于自由场（如图所示），它也包含一个单粒子态峰，它还可能包含若干个束缚态峰、多粒子态的连续统。非典型场论（强相互作用、具有奇怪对称性）的谱函数可能会更加复杂：例如 QED 由于规范对称性的保护，多粒子态连续统开始于电子质量，中间显然没有束缚态；QCD 更夸张，夸克的单粒子态根本就不存在。

当然，场不仅能作用在真空态上，还可以作用在其他能量本征态上，如单粒子态 $|p\rangle$ 。例如在弹性散射实验中，人们用光子来探测电子态 $|p, s\rangle$ 的电磁结构（电荷与磁矩分布，p为动量、s为自旋投影），该过程的振幅可以表示为：
$\begin{split} & \varepsilon_\mu(q) \langle J^\mu(x) \rangle = \varepsilon_\mu(q) \langle p',s' |\bar \psi(x) \gamma^\mu \psi(x) |p,s\rangle \end{split}$ 。
这里， $q = p'-p$ 。

学的时候一直没有给出波函数和field operator和波函数的具体形式，只是说存在这样的Hilbert space, 以及庞加莱群在这个空间上的representation.

除了自由场以外，我们很少见到波函数、场算符的具体形式。这主要是因为，它们一般没有解析形式。所有这些量中，最容易计算的是关联函数，方法就是费曼算术（Feynman's Calculus），又叫做“微扰论”。

量子态的Hilbert space 是否有具体的表象？

有啊 —— 当人们说某某希尔伯特空间的时候，就是指已经找到了一个具体的表象（包括一组基）。这些表象可以使用，例如，福克空间表示出来（暂时忘掉哈格定理）。

如何给没学过量子场论的人科普量子场论这样的知识？

21

何史提，拉格朗日制造厂

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李根硕、知乎用户、知乎用户等人赞同

谢邀。

场论的科普工作上，我觉得徐一鸿做了相当不错的工作。参Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell；Feynman也做得很好，参其着的《理性边缘的物理》（QED: The Strange Theory of Light and Matter）。

这是一个不容易的问题，因为场论其实没有什麽新的物理，它是一套系统的方法，把前人的东西简洁表示，然后以此为工具去研究新的问题。没有基本的物理知识（高中或本科程度），跟那人谈场论是没有意思的。不懂物理，场论只是一堆没有意义的数学。而且场论是一种很有趣的东西，读完好像懂，可以跟人谈笑风生，但用到上手却什麽都不会。

例子我主要用谐振子。其实，这个很实用，经典和量子都有解，而且大部分问题都由这个开始，理论家其实除了这个好像什麽也不懂⋯⋯

经典力学

我觉得要懂得量子场论，先要谈谈经典场论。谈经典场论前，先谈经典力学。

假设我们都懂得牛顿力学（不懂的话，场论对你来说没有意思⋯⋯），我们可以用牛顿第二定律得出其运动方程。后来有人发明了能量的概念，再后来有人发明了Lagrangian。需然这些都不是直接可量度的东西，但很有用，只要你写出 $L=\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ ，你可以用最小作用量原理（或Euler-Lagrange方程）得出一样的运动方程。

这是一个系统：1. 识别系统的自由度；2. 写出系统的Lagrangian；3. 用最小作用量原理得出运动方程。你可能会问，既然我们有牛顿力学，为什麽要发明这个没有新物理意义的东西？答桉是：对于複杂点的系统，写出耦合的运动方程很难，但写出其Lagrangian相对容易，如两质点以一个弹簧连着，这两质点便有耦合，用我们的物理直觉，可自Lagrangian中有一耦合项为 $x_1 x_2$ ，再用系统的方法，便知运动方程。（当然这个简单问题，尚可用牛顿透程解决。）

经典场论

好了，讲完力学，可以讲场论了。上述的问题是单体或少体问题，场论一般处理多体问题。场是什麽？场（field）是空间（实空间、动量空间、或任何奇怪的空间）的函数（参如何让普通人理解物理学中「场」的本质？ - 何史提的回答）。用徐一鸿的方法说，场论处理的问题是一个床垫，找出一函数在床垫不同位置的便化。我们要用Lagrangian density，是场的泛函。同样地，用你的物理直觉，写出了Lagrangian density，再用最小作用量原理便可得运动方程。

经典场论的方程可以足够难解了。学到了这里，你可以跑去学机器学习了。

量子力学

经典力学中的一些量在量子力学便被量子化，有一些量不服从交换定律。这些东西大部分可在经典力学找到对应。可是，在经典力学视为可确定的，在量子力学变为随机，但随机量的平均值仍和经典力学一样。另外，在极限 $\hbar \rightarrow 0$ ，量子力学回归经典力学，此即Correspondence Principle。

量子场论和统计场论

用Schrodinger方程的话，基本可解决很多单体或少体量子问题，但多体问题则需场论。跟经典力学一样，我们可写出其Lagrangian density，亦有系统的方法写出其运动方程，这运动方程跟经典力学的一样，但量子的随机性让问题变得更有趣：在运动方程的解附近可特出统计量。这也是量子场论大量使用路径积分或泛函积分的原因：用最小作用量原理得出经典／平均解，用线性微扰得出方差和关联。求出这些，还是用谐振子／常态分布的数学。

统计场论因其随机性，也有类似的东西，可用泛函积分，用最小自由能解得出平均场解，用linear response求出方差和关联（Kubo方程便和此有关）。古典和量的分别，只是一个用 $S = \beta H$ ，另一用 $S = \int_0^{\hbar \beta} d\tau H$ 。

这好像很简单，但光是上两段，可能足以给一个博士学位，因为经典解也可能是极複杂的。还有，量子场论的微扰複杂得多。幸好我们有伟大的费曼图，简化了不少工作，而每一幅图都代表一项（包含积分式、格林函数／传播子），点的数量代表是微扰阶数。在相对论量子力学中，每一幅图都有物理意义，和某一事件发生的概率有关；在统计场论中，则纯綷代表数式。

微扰通常是小的量，但不幸地，这些费曼图中往往会给出发散的积分。那怎办？我们有重整化，在Lagrangian加些counter-term抵消发散项，而这些发散项可吸至Lagrangian。（参：微积分在微观量子世界还适用吗？ - 何史提的回答）

在统计场论中，有一非微扰方法叫重整化群，是对系统作粗粒化处理（有点像在Chrome做zoom out一样），看看Lagrangian中每一项的变化是怎样，决定那些项留或不留。这个肯定和重整化有关，不过小弟还没通透。（参：重整群是不是一种粗粒化处理？ - 何史提的回答）

另外，有孤立子的问题，如vortex和Skyrmions的；还有本人不熟悉的拓扑量子场论，什麽Chern-Simons项，很多好东西。

最后想强调这一点：场论本身没有为基本力学加点什麽物理，可是作为系统化的方法，让我们可以跑得跟远，研究更深刻的问题。如果没有物理基础就学场论，则是未学走路就先学跑。当用场论得到结果后，有洞见的物理学家绝对可以不用场论把物理图象清析地描述出来。这有点像基督教中的系统神学，一般信徒是不需要有系统神学训练的都可以过一个有爱心有喜乐的基督徒生命，但系统神学在一个有基础的基督徒可以助他走得更远，他也可深入浅出解析他领受的；但对于连圣经也未读懂的人，系统神学充其量是学术知识，对他能否有一个好的生命没有帮助。

phymath999

Saturday, March 14, 2015

量子场论里场算符不一定是unitary演化了...Klein-Gordon方程没有守恒的概率流（都没有守恒的概率流所以当然没法用概率解释来阐述其物理意义

如何给没学过量子场论的人科普量子场论这样的知识？

何史提，拉格朗日制造厂

量子场论里的Hilbert space 是什么？有什么物理意义吗？

Minglei Xiao，物理宅

如何给没学过量子场论的人科普量子场论这样的知识？

格拉摩根伯爵

黑洞为什么违反许多物理定理？

知乎用户，理论物理博士

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何史提，从一到无穷大

量子场论里的Hilbert space 是什么？有什么物理意义吗？

匿名用户

如何给没学过量子场论的人科普量子场论这样的知识？

何史提，拉格朗日制造厂

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