素数之魂——黎曼和他的伟大猜想._闲看神话_人文_西祠胡同
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素数之魂——黎曼和他的伟大猜想.
我的灵感壮烈牺牲 发表于：13-02-04 00:04
[转贴]素数之魂——黎曼和他的伟大猜想. 10786 次点击 100 个回复 sailing8 于 2012-9-9
8:59:18 发布在 凯迪社区 > 猫眼看人素数之魂——黎曼和他的伟大猜想来源：南方周末作者：
卢昌海与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。
黎曼（1826-1866）是历史上最具想象力的数学家之一。 1
2000年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地方，那就是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。那个难题就是“黎曼猜想”。黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点(下文中有时将简称其为零点)。有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。
在希尔伯特难题中，黎曼猜想排在第8个。 2
黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多的时间来撰写文章。但有一点基本可以确定，那就是他的“证明从略”绝非类似于调皮学生蒙混考试的做法，而且很可能也并非是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例，比如法国数学家费尔马在写下费尔马猜想时所表示的“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多从略了的证明是做过扎实研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在时隔了几十年之后才被整理出来，也往往仍具有极大的领先性。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼ζ函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。
黎曼论文手稿。 3
不过，数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力虽然迄今没能取得完全成功，在这过程中却也获得了一些阶段性成果，好比是扎下了几座营寨。这其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世三十七年后的1896年。我们在前面提到过，关于黎曼ζ函数的非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上。那个阶段性成果是什么呢？就是将那个带状区域的边界剔除掉了——也就是说，黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部，不包括边界。这个成果是由法国数学家哈达玛与比利时数学家普森彼此独立地给出的。粗看起来，这似乎是很微不足道的成果，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。但是别小看了这个成果，它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想如今已被称为素数定理，它所描述的是素数的大范围分布规律。素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。在上述成果之后又隔了十八年，1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代终于将“红旗”插上了临界线——他证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。粗看起来，这似乎是一个非同小可的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个，而哈代已经证明了无穷多个零点位于临界线上，从字面上看，两者简直一模一样了。可惜无穷大是数学中一个很微妙的概念，同样是无穷大，彼此却未必是一回事，不仅未必是一回事，简直可以要差多远就差多远，甚至差无穷远！因此，为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远，我们需要更具体的结果。那样的具体结果出现在七年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家李特伍德合作，对自己七年前那个结果中的“无穷多”做出了具体估计。那么，按照这个具体的估计，那位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮丧得出乎读者们的意料：百分之零！数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。那一年，挪威数学家赛尔伯格证明了这个百分比大于零。赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫，他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。但赛尔伯格不在乎，他表示“这就像处在一座监狱里，你与世隔绝了，但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上，而不会因其他人的所作所为而分心，从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。他很好地利用了那“许多有利的方面”，孤独地进行着“一个人的战斗”，并最终取得了成果，他的成果是如此显著，以至于玻尔在战后曾戏说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词，那就是：赛尔伯格。不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零，却并没有在论文中给出具体数值。在赛尔伯格之后，数学家们开始这一比例的具体数值进行研究，其中以美国数学家列文森的成果最为显著，他证明了至少有34%的零点位于临界线上。列文森取得这一成果是在1974年，那时他已年过花甲，并且行将走到生命的尽头(他第二年就去世了)，却依然顽强地从事着数学研究。在列文森之后，这方面的推进变得十分缓慢，几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章，其中包括中国数学家楼世拓与姚琦(他们于1980年证明了至少有35%的零点位于临界线上)。直到1989年，才有人撼动百分比的第一位数字：美国数学家康瑞(Brian
Con-rey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——目前最强的结果。另外值得一提的是，“黎曼猜想”这一金字招牌后来被推而广之，用来表示一些“山寨版”和“豪华版”的猜想。那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢？那是因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性，比如都有一个跟黎曼ζ函数相类似的函数，那个函数具有与黎曼ζ函数相类似的性质，等等。在那些猜想中，“豪华版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强(即把黎曼猜想包含为特例)的猜想，它们跟黎曼猜想一样，迄今尚未得到证明(这是显然的，否则的话黎曼猜想也就被证明了)。但“山寨版”黎曼猜想却已全部得到了证明。撇开我们所取的不中听的绰号不论，它们的证明乃是数学上的重大成果，既催生过新数学方法的诞生，也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖。而且，“山寨版”黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想，曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。可惜他山之石，并不总是可以攻玉的。从目前的情况来看，“山寨版”黎曼猜想就能在“山寨”里玩，它们的证明虽然重要，对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。
刻有碑文的黎曼墓碑。 4
也许在很多人眼里，数学是一门很枯燥的学问，数学家们则是一群性格乏味的怪人。但实际上，富有智慧的人往往是不会真正乏味的，数学家们也是如此，他们在埋头演算的勤恳之外，也给我们留下了许多独特的幽默。匈牙利数学家波利亚曾经讲过一个跟黎曼猜想有关的小故事，故事的主角就是我们前面提到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。这两位在黎曼猜想研究中做出过成果的数学家当然都对黎曼猜想怀有浓厚兴趣。有一段时间，哈代常常利用假期访问玻尔，一起讨论黎曼猜想，直到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次，当哈代又必须匆匆赶回英国时，很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海，在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安，信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人，非但不信，甚至还蓄意跟上帝作对：把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。不过在生死攸关的旅程面前哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简短的明信片，上面只写了一句话：“我已经证明了黎曼猜想”。哈代果真证明了黎曼猜想吗？当然不是。他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢？当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话，那句话就会变得死无对证，人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的，因此它一定不会让小船沉没的。哈代用自己的幽默成为了故事主角，有些数学家则是因为其他数学家的幽默而被动地成为了故事主角，我们前面提到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森就是如此。这两人成为主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因为他们的长寿：哈达玛享年98岁，普森活到96岁。这两个令人眼红的岁数不知从何时开始引发了一个传说，那就是谁要是能证明黎曼猜想，他就能不朽——不是抽象意义上的不朽(那是毫无疑问的)，而是实际意义上的不朽(即长生不老)！不过这个传说看来是没有关怀到玻尔和兰道，他们的研究成果可比哈达玛和普森的强多了，照说起码也该混个百岁老人当当吧。结果呢？兰道只活了61岁，玻尔稍胜一筹，也只有63岁。可能是意识到这个传说漏洞太大，数学家们又把幽默指向了另一个方向：出生于波兰的数学家欧德里兹科提出了一个完全相反的说法，那就是：谁要是否证了黎曼猜想，他就会立刻死去！欧德里兹科甚至开玩笑说其实黎曼猜想已经被否证了，只不过那个否证了黎曼猜想的倒霉蛋没来得及发表文章就死去了。当然，这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。不过，一个极度艰深的东西对投入得过深的人产生健康方面的影响，倒是不无可能的。数学界也确实有人猜测，黎曼猜想的极度艰深有可能对个别数学家的健康产生过影响。比如流行传记《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什曾在二十世纪五十年代后期研究过黎曼猜想，在那之后不久就患上了精神分裂症。纳什患病的原因一般认为是参与军方工作所引致的心理压力，但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果，对他的病症发展有可能起到过推波助澜的作用。
5
黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家曾经满怀信心，渐渐地却被它的艰深所震动，态度转为了悲观。我们前面提到过的李特伍德就是一个例子，当他还是学生的时候，他的导师就随手把黎曼ζ函数写给了他，让他利用暑假时间研究它的零点位置。初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。但渐渐地，他的态度发生了变化，甚至表示：“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些”。曾经在“山寨版”黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊也有过类似的态度转变。当他在“山寨版”黎曼猜想研究上做出成果时，曾像一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心，表示如果自己证明了黎曼猜想，会故意推迟到猜想提出100周年(即1959年)时才公布——言下之意，自己不迟于1959年就有可能解决黎曼猜想。不过，岁月渐渐磨去了他的乐观，他晚年时曾对一位友人承认，自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特，他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。在1919年的一次演讲中，希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决，但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他：如果他能在五百年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答说最想问的就是：是否已经有人解决了黎曼猜想？
我的灵感壮烈牺牲 发表于：13-02-04 00:08 0
第2楼
黎曼：德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为格丁根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866，德国数学家）是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和 theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。 黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
史上最富有创造性的数学家——黎曼。 他奉行恩师高斯的座右铭，宁肯少些，但要成熟。 黎曼生前只发表10篇论文，却是很多领域的开拓者。 他提出的黎曼猜想是数学史的不朽谜语，被公认为是最伟大的数学猜想。黎曼1859年在他的论文Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe'' 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
1896年，雅克．阿达马和Charles Jean de la Vallｅe-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年，大卫．希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16).黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。
1914年，高德菲．哈罗德．哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ½上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰．恩瑟．李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线Re(s) = ½上的平均密度。黎曼几何诞生后在数学圈外根本无人关注，被认为只是一种有别于欧式几何的无用游戏，但其在图书馆故纸堆里沉睡了半个世纪后，被爱因斯坦发掘出来成为相对论和引力场论的数学基础；更绝妙的是，现代物理的明珠----弦理论，竟然也是1968年由博士生维内奇诺在一本老旧的数学书里找到的有200年历史的贝塔函数而启发。从现代技术长远发展来看，谁掌握了新的数学方法和工具，谁就掌握住了未来！关于黎曼猜想，推荐两本书《素数的音乐》和《素数之恋》，非常棒！另外，和黎曼猜想相关的各类科幻、推理小说也非常多。黎曼36岁就死了，他是高斯的学生，一个天才如此早夭，纳什去研究黎曼猜想，这个天才变成了神经病，虽然他仍然依靠纳什均衡获得了诺贝尔经济学奖，其他研究黎曼猜想的天才们不是早死，就是精力耗尽，精神崩溃，黎曼猜想，莫非真的隐藏着某种我们人类苦苦追寻的终极规律？哲学规律或宗教规律？
我的灵感壮烈牺牲 发表于：13-02-04 00:20 0
第3楼 扭转“乾坤”的数学家黎曼 作者：刘启方 文章来源：大科技．科学之谜 点击数：1005
更新时间：1/4/2007 他的一生非常短暂，而且极度贫困，对数学的贡献只能集成一本薄薄的平装本，但他却是科学史上的一位枢纽人物，100
多年后的今天，他的思想还能够让人们感到最强烈的震撼。爱因斯坦相对论的重大意义无人不知，但是相对论的建立有个重要的“幕后英雄”，那就是建立起特殊几何体系的黎曼。在爱因斯坦看来，狭义相对论的发现是水到渠成的事情。因为即使他不发现，其他科学家也会在10
年内发现，所以爱因斯坦并不特别以发现狭义相对论为荣。但对于广义相对论的发现，爱因斯坦就深以为荣了，因为他认为，如果不是他发现了广义相对论，人类也许要晚上百年才能发现。如果说，提出狭义相对论，爱因斯坦自身的知识还算够用的话，到研究广义相对论时，爱因斯坦的数学则捉襟见肘。这时候，继大数学家高斯之后首屈一指的数学家黎曼的工作帮助了爱因斯坦，使他最终创建了广义相对论。黎曼为自己独创的这套几何体系耗尽了一生的心血，他对数学的深刻洞察力令世人惊叹。
“愈贫愈坚”的少年天才黎曼生于1826年，比高斯刚好小五十岁。他的出生地布列塞伦兹是德国的一个村庄，高斯那个时候正好在这个地区进行土地丈量。黎曼的父亲是个牧师，家里很贫困，黎曼从小体弱多病，原本也打算做牧师尽早养家糊口，但是他的数学天才让他有了另一个选择。黎曼从小酷爱数学。他6
岁时开始学习算术，不仅能解决所有留给他的数学问题，而且还经常提一些问题来捉弄他的兄弟姐妹。10
岁时他跟一位职业教师学习高级算术和几何，很快便超过了老师，常常对一些问题能做出更好的答案。由于经济拮据，黎曼中学时总是靠步行奔波于家和学校之间，当然没有能力买书。幸运的是，中学校长及时地发现了他的数学才能，考虑到他经济上的困难，校长特许黎曼可以从自己私人藏书室里借阅数学书籍。有一次，黎曼借了一部数学家勒让德的《数论》，这是一部共859
页的4 卷本的名著，以晦涩难懂著称。黎曼十分珍惜，他如饥似渴地自学起来，6
天之后，黎曼便学完并归还了这本书。校长问他：“你读了几页？”黎曼说：“这是一本了不起的书，我已经全部掌握了。”之后，校长就这本书的内容考他。黎曼对答如流，并且回答得很全面。这个时候，他只有14
岁。 19
岁时，黎曼进入哥廷根大学学习，当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，黎曼征得父亲同意，决定放弃原本选择的神学，专攻数学。生活虽然清贫，但黎曼学习极为勤勉，此后他转到柏林大学，获得了更多数学家的指点，从而进入新的数学领域。1851
年底，黎曼将其博士论文呈交给大数学家高斯审阅。高斯在看了论文之后兴奋不已，对黎曼的论文做出了高度评价，这对高斯来说是罕见的，因为他对别人的赞赏一向极为吝啬。高斯评价：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面深入的研究，作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。”
堪与高斯媲美的年轻人毕业后，贫困依然纠缠着黎曼。但他认为，只要能够勉强维持生活，能够让他研究数学，他就心满意足了。他从不因经济上的拮据而感到沮丧。他一方面积极准备讲师职位的就职演讲论文，另一方面认真从事数学方面的研究工作。他的就职论文具有相当的难度，为了确定论文的选题，他向高斯提交了3
个题目，以便让高斯在其中选定一个。其中第3 个题目涉及几何基础，这个题目黎曼当时并没有准备多少案头，因此黎曼从心底里希望高斯不要选中它。可是，高斯对第3
个题目却深有研究，他已思考这个问题达60 年之久。出于想看看黎曼对这个深奥的问题会做些什么样的创造性工作，高斯指定第3
个题目作为黎曼就职演讲论文的题目。令所有人惊讶的是，经过不到两个月时间的准备，黎曼就做了“论作为几何基础的假设”的演讲。这被认为是数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，其中提出了一种新的几何体系。该篇论文中一大堆陌生概念，一长串复杂的计算，竟然使被誉为世界数学中心的哥廷根大学全体教员除高斯以外一个个眼花缭乱。论文在表述上堪称典范。高斯带着少有的热情在同事面前作了高度评价。贫穷仍不断地困扰着黎曼，有时他的一家甚至陷入对口粮都需要算计的地步，不久之后，黎曼的父亲和多个兄弟姐妹相继去世，就是在这种情况下，黎曼仍全身心地投入到数学研究工作之中，在科学的崎岖小道上艰苦奋斗，终于在众多的数学领域里做出了许多奠基性和创造性的研究工作：他从几何方向开创了复变函数论；他是现代意义的解析数论的奠基者；他对微积分的严格处理作出了重要贡献；他在数学物理和微分方程等领域内也成果丰硕；他对阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究，开创了现代代数几何；他首创用复解析函数研究数论问题，开创了现代意义的解析数论；他对超几何级数的研究，推动了数学物理和微分方程理论的发展。随着研究成果的问世，黎曼在数学界的学术声望迅速提高。他受到许多世界著名数学家的赞扬，也最终继承了高斯生前的教席，获得了一个科学家可能得到的最高荣誉。但是，长时期清贫的生活、过度的操劳、发奋的研究，使得黎曼身体虚弱、精力衰竭。在病魔缠身之际，只要有一些力气，黎曼仍坚持数学研究工作。虽然这个时期黎曼积极就医和疗养，但因病入膏肓终无疗效。1866
年7 月20 日，黎曼那颗纯洁、高尚的心停止了跳动。他过早地离开了人世，也过早地离开了数学，年仅40
岁。最具原创力的数学家黎曼是数学史上最具独创精神的数学家之一，在他的诸多思想成果中，他亲手创造出来的黎曼几何，也就是他的就职论文中受到高斯称赞的新几何体系，展现出的奇异想像力尤其令人惊叹。多年以后，当黎曼的想法在物理界完全成熟、开花结果时，爱因斯坦曾经写道：“惟有黎曼这个孤独而不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念－－－空间不再一成不变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。”
黎曼的新概念是什么？首先，他的几何并不是我们在书本上学到的“欧式几何”，而是古怪的“非欧几何”，黎曼空间描述说，我们对空间不该存有任何先入为主的观念，不能以为空间或者整个宇宙是平直的，要正确认识空间，就必须对周遭的空间进行探测：沿着直线路径进行测量，记录所发现的一切结果。按照他所创建的“前卫”的几何学，空间应该是弯曲的，对于这一点的理解，必须摒弃我们以往固有的直觉，就像摒弃地表是平坦的一样，在小的空间范围内，我们无法察觉这一点，但是一旦空间相当大，甚至到了宇宙尺度，差别就显著了，黎曼的宇宙是个“球”！就像古人以为地球是四方的，而实际上它是个圆球一样。黎曼的球型空间概念，加上他提出的“这种空间或许是宇宙形状的正确描述”，构成科学史上最具原创力、最离经叛道的宇宙图像之一。20
世纪的顶尖物理学家波恩曾经说，这种有限但是无界的空间，是人类对自然界所做的最为伟大的构想之一。具有讽刺意味的是，波恩以为那是爱因斯坦的想法。因为波恩并不清楚爱因斯坦在宇宙学的研究中，借用了黎曼的思想。黎曼年仅二十多岁就发明了许多的概念，现代的宇宙学家对这些概念有浓厚的兴趣。如今我们回顾历史，他在哥廷根大学的那场就职演讲明显地预示了现代宇宙学的诞生。可惜黎曼虽然模糊地意识到了未来研究的发展方向，但还是欠缺一个关键环节，以至于无法导出一幅完整的宇宙图像。我们永远无法知道，如果黎曼拥有较长的寿命，他的想法将会朝着什么方向发展，不幸的是，黎曼在40
岁就与世长辞了，他到死也未料到，他所创建的新几何才是我们这个世界真正的体现，负责完成这项工作的是爱因斯坦。黎曼不但对纯数学做出了划时代的贡献，他也十分关心数学与物理世界的关系，他写过一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，二十岁出头的他就试图将引力与光统一起来，并立志发展一个连接电、磁、光与重力的统一数学理论。但是“统一场论”这个想法，实在超前太多，以至于一个世纪之后，爱因斯坦为这个问题白白花了晚年许多时光，都没有任何成果。站在黎曼的肩膀上对于黎曼的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。在黎曼之后，尽管一系列优秀的数学家前仆后继地发展了非欧几何。但是即使在数学家内部也只不过认为这是一套漂亮的游戏而已。幸好数学家的癖好和物理学家有不甚相同之处，在数学家的世界里，漂亮但无用的理论“玩意儿”触目皆是，但在物理学家那里会被无情地抛弃掉。仿佛上帝为了捉弄人类，先扔下一把钥匙，物理学家不屑一顾而数学家们喜滋滋地捡走了，几十年后上帝再重重地扔下一把大锁砸在爱因斯坦头上，爱因斯坦几经努力才在数学家的旧仓库中找到了那把锈迹斑斑的钥匙－－－黎曼几何。一开始爱因斯坦没有充足的信心完成广义相对论，他发现引力场导致的几何结果当真匪夷所思。他向老朋友格罗斯曼求助，后者第二天就回电话向爱因斯坦介绍黎曼的几何，这让爱因斯坦茅塞顿开－－－这不就是他这些年来苦苦觅寻的吗？爱因斯坦无疑是极端幸运的，黎曼几何仿佛是为广义相对论量身定做的工具，格罗斯曼正好是这方面的专家。不可否认，爱因斯坦学这一套数学颇为吃力。如果让爱因斯坦自己来凭空创造一套几何，纵使有格罗斯曼的帮助，也难以成功。正是黎曼半个世纪前的工作，才使爱因斯坦打开了广义相对论的大门，完成了物理学的一场革命。因此，爱因斯坦后来感叹：“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学形式的支配了。”
爱因斯坦相对黎曼向前迈出了关键的一步，他认识到，我们所在的这个空间，不是简单的长、宽、高三维空间，而是包含时间在内的四维时空；不是我们想像中的平直空间，而是一个弯曲的空间。弯曲意味着什么呢？就是黎曼的宇宙观所阐述的那样，如果现在你朝某个方向射出一束光线，若干年后，如果地球，甚至银河系还存在的话，你会发现光从你背后绕了回来。当然，我们不可能找到另一位麦哲伦船长，像拔锚扬帆环航地球一周那样，驾驶飞船来一次环宇宙飞行，验证宇宙是弯曲的。不过，正是黎曼的几何让爱因斯坦成为在思想上环航宇宙的“麦哲伦”。
我的灵感壮烈牺牲 发表于：13-02-04 00:24 0
第4楼 弦膜圈说回采大爆炸前宇宙位于虫洞
---关于弦膜圈说纯数学问题的思考习强摘要：波普瓦夫斯基的研究确实很妙，图像也很清晰。但我们认为，英文的物理学家组织网与《科学》杂志在线版的报道，和中文的张梦然文章的介绍，只能算是对宇宙弦膜圈说纯数学的一种“求科普”解释，因为他们的这种文章，并不能等同于波普瓦夫斯基的原文。关键词：弦膜圈说
纯数学 大爆炸理论一、一种弦膜圈说纯数学的求科普解释
2010年4月12日《科技日报》上，张梦然先生根据物理学家组织网与《科学》（Science）杂志在线版近日报道，发表了题为：“《物理快报B》：宇宙可能位于虫洞内部”的文章，介绍美国印第安纳大学的理论物理学家波普瓦夫斯基，在世界著名学术期刊《物理快报B》（Physics
Letters
B）上发表的一篇对宇宙在大爆炸发生之前，到底是什么样子的研究论文。中文的张梦然文章说，波普瓦夫斯基的研究发现，我们的宇宙可能自大爆炸之前，一直处于两个宇宙相连接的时空管道，即一个虫洞的内部。波普瓦夫斯基根据其计算，由另一个宇宙中某巨大星体的坍塌创造的一个虫洞，成为了通向另一个宇宙的时空管道。在虫洞的此端与彼端间，可能发展出与大爆炸相联系的类似环境，我们的宇宙，最终就在这个虫洞中诞生。中文的张梦然文章说，波普瓦夫斯基这个描述，还能解释目前人们观察到的宇宙膨胀现象，包括引力、宇宙膨胀与暗能量的纠结关系。波普瓦夫斯基的研究确实很妙，图像也很清晰。但我们认为，英文的物理学家组织网与《科学》杂志在线版的报道，和中文的张梦然文章的介绍，只能算是对宇宙弦膜圈说传统宇宙学的一种“求科普”解释，因为他们的这种文章，并不能等同于波普瓦夫斯基的原文。张梦然等人的文章认为，波普瓦夫斯基的研究，是在对抗大爆炸理论传统宇宙学，是在重新审视宇宙。那么传统的宇宙学张梦然等人是如何介绍的呢？他们说，现在所有研究宇宙物理学关于宇宙起源的主流理论，几乎都与宇宙大爆炸理论有关，或者是它的延伸。在广义相对论预言中，白洞与黑洞性质相反，是一种致密物体，并不吸收外部物质，而是不断地向外围喷射各种星际物质与宇宙能量，像宇宙中的喷泉。根据大爆炸理论，宇宙是由一个致密致热的奇点，膨胀到现在的状态的。但大爆炸理论无法回答我们的宇宙，在大爆炸发生之前到底是什么样子。虽然黑洞广为人知；虫洞，可描述成是连接宇宙遥远区域间的时空细管，这是来自于爱因斯坦与罗森的一篇论文，因此被称为爱因斯坦-罗森桥。所以这并不全是边缘科学或业余幻想，或科幻。张梦然等人说，虫洞在理论上，亦可能是连接黑洞和白洞的时空隧道，所以也叫“灰道”。在这时，白洞可以看成时间呈现反转的黑洞，因此提供了时间旅行的可能性。霍金在《时间简史》中，就阐述一个空间旅行者，可利用相对于地球静止的虫洞，作为从事件A到B的捷径，然后通过一个运动的虫洞返回，并在他出发之前回到地球。霍金的推论是，一个人，有可能借助时光旅行装置，回到过去。这类似做梦，因为悖论需要在人自己出发之前，又回到了地球，而且只不过回去的，不是自己出发时的地球，而是欲去时间段的地球，并看到自己的奶奶，甚至祖先，却不会影响和扭转他作为先人后代的命运。这里也说明，如果进入黑洞的物质，最后应会从白洞出来，出现在另外一个宇宙。那么暗物质，也许在负责维持着虫洞出口的敞开。如果宇宙的能量和密度，都以物质的形式出现，那么一个简单的宇宙，也许曾一度倾向于4%的普通物质，加上96%的暗物质。但由于今天人们的实际观测，没有与此相符，且这种不一致，随着时间流逝而变得越来越尖锐。所以今天的科学应运而生了暗能量的概念。这是一种不可见的、能推动宇宙运动的能量，可以解释观测到的物质密度和理论预言的临界密度之间70%至80%的差异。但我们对以上这些说法，认为仍也只能算是对传统宇宙学大爆炸理论纯数学的一种“求科普”解释，因为这种“求科普”解释，并不能等同于纯数学的传统宇宙学大爆炸理论的原文。而且，霍金的《时间简史》，也不等同于霍金等的《时空的大尺度结构》；因为《时间简史》类似霍金对传统宇宙学大爆炸理论纯数学的一种“求科普”解释，而《时空的大尺度结构》才类似纯数学的传统宇宙学大爆炸理论。这里，我们再举波普瓦夫斯基的原文说明。从“求科普”解释上说，波普瓦夫斯基抓住的是“虫洞”这个非常重要的概念，但波普瓦夫斯基是通过类似进入黑洞的物质最后从白洞出来，出现在另外一个宇宙所经历的“灰洞”这种具体的数学建模和计算来表述的。例如利用基于欧几里得坐标系统的各向同性坐标，波普瓦夫斯基描述了黑洞引力场，并为黑洞内大质量粒子径向(沿着直径的方向)行动建模的。这里如果有另一个宇宙，其在我们的宇宙之前就已经存在，引力就可追溯到一个点上，该点强弱核力与电磁力已经统一起来。同时，若我们身处的宇宙现在正在向虫洞末端膨胀的话，这种运动就能够解释宇宙的膨胀，而不必引入至今难以捉摸的暗能量。同时，波普瓦夫斯基在建模过程中，着重于两种不同类型的黑洞，观察粒子穿越其黑洞的边界上的径向运动。于是波普瓦夫斯基得出，除非一个观察者进入黑洞内部，或者原本就居住在黑洞内部，物体在黑洞内部的运动模式，才能通过实验和实际观察可得知。但自始以来，人们只能观察到黑洞的外部，无法窥其内在。波普瓦夫斯基说，如果我们的宇宙，本身就处在另外一个更大宇宙的黑洞之中，那么就可以满足这个条件。波普瓦夫斯基这个条件能满足吗？能满足。这就是弦膜圈说纯数学。从这里，我们已经知道波普瓦夫斯基论文推论的一大半。但张梦然先生等人还报道说，波普瓦夫斯基构建的理论能解答黑洞信息丢失之谜，能完全被避免量子力学与广义相对论之间的潜在冲突。在我们看来，弦膜圈说纯数学是可能的。然而波普瓦夫斯基的具体推导，张梦然先生等人只是说，相关计算还需要进一步细化，看来，所谓很可能打开一个全新的领域，目前在波普瓦夫斯基手里，即使打开虫洞式时间旅行这扇似乎已欲伸指触碰的时空之门，以窥得我们宇宙最深处的秘密，仍可能是遥遥无期。不是吗？二、从波普瓦夫斯基到弦膜圈说纯数学波普瓦夫斯基引出的宇宙大爆炸之前是什么？早已经是科学家们激辩的话题。可见波普瓦夫斯基不是唯一的研究者。这些科学家也提出了一系列形形色色的假说，描述我们熟悉的宇宙时空诞生前可能发生了什么。这些理论被冠以奇怪的名字，诸如“大反弹”、“多元宇宙”、“循环论”、“平行世界”、“肥皂泡”等等。而墨西哥国立自治大学的物理学家克里奇和加拿大多伦多圆周理论物理研究所的物理学家辛格还琢磨出的一个简化版圈量子引力模型，称大爆炸前还存在一个孪生宇宙。这是克里奇和辛格在对一种称为“量子约束”的重要方程式有了更为深入的了解之后，改进了的简化版圈量子引力理论。因为在这之前，美国宾夕法尼亚州立大学物理学家博约瓦尔德采用简化版圈量子引力模型，去演示大反弹另一面的宇宙是否可能存在。这个模型虽产生正确的数学证据，但是由于不存在对当前宇宙的观测数据，导致科学家无法了解到大反弹前的宇宙究竟是一个什么样的状态，因为大反弹自始至终没有留下它的任何证据。博约瓦尔德将这种情况描述为“宇宙健忘症”。而克里奇和辛格的孪生宇宙意味着两个双胞胎宇宙，具有相同的物理学定律，特别是相同的时间概念。也就是说，在大反弹之后存在了约137亿年的当前宇宙，同大反弹前存在了约137亿年的宇宙拥有很多共同的特性。从某种意义上讲，我们的宇宙其实是自身的镜像，而“大爆炸”，即大反弹，就是那条对称线。这可以看出，和波普瓦夫斯基的连接两个宇宙的时空管道的虫洞图像也有相似之处。至于说到大爆炸理论无法回答宇宙在大爆炸发生之前是什么，这也是事实。大爆炸理论的最著名研究者是盖莫夫和霍金。但仅就“大爆炸”这个概念来说，也只是“求科普”表述，而不是他们得以推进的纯数学宇宙学表述。宇宙学纯数学表述是无所谓“大爆炸”这个概念。有一个故事是说，盖莫夫研究宇宙学出名之后，被邀请到一家英国广播电视台给公众做科普讲座，说了半天也没有把他的宇宙膨胀纯数学的开端意思表达得让公众听懂，广播台的主持人着急了，不断在旁边提醒他。突然盖莫夫急中生智，连声说：“就像大爆炸！就像大爆炸！”主持人和听众都哄堂大笑，一下听懂了盖莫夫的意思。“大爆炸宇宙学”的名词也不翼而飞，在公众中流传开来。这也许是盖莫夫的一则笑话。但更能说明现代宇宙学基于的是纯数学，而不是“科普”，讲明白的也许是霍金等的《时空的大尺度结构》巨著。译者在《译后记》中说，这部被专业物理学家认为读不到第10页的著作，但很多学校是把它当作宇宙学专业研究生的必读文献开列的。而这本书的《前言》开篇就讲：本书全部论述，以爱因斯坦广义相对论为基础。爱因斯坦广义相对论的纯数学有“大爆炸”这个概念吗？爱因斯坦广义相对论的纯数学等价于大爆炸理论吗？其实，爱因斯坦广义相对论的纯数学，是等价于大爆炸、大反弹、多元宇宙、循环论、平行世界、肥皂泡、双胞胎、虫洞内等等诸多宇宙学专业研究科学家的成功理论相加还要多的科学理论。这些高斯性和非高斯性大爆炸、大反弹、多元宇宙、循环论、平行世界、肥皂泡、双胞胎、虫洞内等等宇宙学专业理论，只可以说类似爱因斯坦广义相对论的“应用数学”，它们是从求解类似广义相对论的纯数学方程中得出的严格推证。而广义相对论又可以说是纯数学的黎曼几何的“应用数学”。对于这个“宇宙学的黄金时代”，科学出版社出版的《10000个科学难题（物理学卷）》一书开篇，中科院理论物理研究所的李淼教授也把大爆炸之前宇宙是什么样子回答清楚了。李淼教授说，大爆炸之前宇宙是什么样子？现在流行的看法是，在物质产生之前，宇宙经过一个剧烈膨胀时期，叫暴涨时期。研究.暴涨时期的“之前”有物理意义。因为，即使时间不复存在，我们可以问取代时间的概念是什么？近年来关于量子引力的研究结果建议我们用抽象的代数来取代几何概念，就是说，不但时间不复存在，就是空间也不复存在了。这种抽象概念无法用寻常的图像来解释，就像温度这个宏观概念，用到极端如越来越小的体系时，温度会不在适用，而更加正确的概念是分子原子的运动。不过，我们现在还不能肯定暴涨之前时间和空间肯定消失了，因为还存在一些其他理论。其次，一门学科成熟的标志是研究进入误差很小的定量化阶段，2006年诺贝尔物理学奖授予20世纪90年代初的一项实验发现，授奖的一个重要原因是，这项发现再次证实了大爆炸理论，因为大爆炸理论预言了微波辐射的涨落。按照李淼教授的解释，现在来回采波普瓦夫斯基的虫洞概念。薛晓舟教授的《量子真空物理导引》一书告诉我们，20世纪60年代末期-70年代末期，惠勒和德韦特等借助引力的正则量子化步骤，给出了一个类似薛定谔方程的宇宙波函数方程，称为惠勒-德韦特方程，简称WDW方程。WDW方程具有演化解和虫洞解两种类型。惠勒曾提出3维虫洞解，1987年霍金为了用量子力学处理黑洞问题，提出4维虫洞概念。而波普瓦夫斯基的研究宇宙虫洞模型，实际是个纯数学问题，早在1854年就被“黎曼切口”研究过，它被称为多连通，1904年还被提升为庞加莱猜想。美籍日裔物理学家加来道雄的《超越时空》一书简介有“黎曼切口”的表述：在通常的空间，套索总是能被收缩到一点。如果套索可以收缩到一点，那么空间就叫单连通的。如果套索绕虫洞的入口放置，它就不能被收缩到一点。这种套索不可收缩到一点的空间，称为多连通的。黎曼被公认为是首先讨论多连通或虫洞的人。而且也许黎曼早就预见到了波普瓦夫斯基的这种物理发展。因为纯数学处理这个问题其实很简单。为了想象这个概念，黎曼说这是纯数学轨形拓扑的一个很基本的操作：它类似拿两片纸，并且把一片放在另一片的上面，在每一片纸上用剪刀剪一个短的切口，然后用胶水把这两张纸沿这两个切口粘贴起来，这实际是一个颈部的长度为零的虫洞。即从切口通过，就能从一张纸走到另一张纸。相反颈部长度不为零的虫洞，可以形象化为两个平行平面，在它们的上面各开一个孔，然后用一根长管连接这两个孔，也可能在它们之间进行通信和旅行。就是说，黎曼是如何纯数学处理这个问题的呢？为了想象黎曼切口和虫洞这两种概念，黎曼只需要用一张纸片和一把剪刀，就能演示平行宇宙之间的联系。通常这两个平行平面的图示彼此间并无相互作用。然而，有时它们之间的虫洞或管道，会使它们之间发生连通。这就是波普瓦夫斯基所说的虫洞图像。但波普瓦夫斯基还不是全纯数学家，而是一个半纯数学家或应用数学家。然而黎曼用纯数学解决这些问题的时候，常常受到难熬的贫困的阻扰。所以有人说，黎曼不早死，也能推出爱因斯坦在黎曼几何基础上建立起的广义相对论。这也许说得有一点过份，但黎曼几何确实推动了广义相对论的发展，而且直到今天黎曼在《论小于给定数的素数个数》中提出的ξ函数，还在对超弦理论P维膜的计算产生影响。从这里可以说，黎曼是第一个建立弦膜圈说纯数学的人。即做黎曼切口的平面或纸片，类似代表“膜”；联系两个平行平面不为零的喉管或虫洞，类似代表“弦”；两个平行平面中间剪出的切口或虫洞通孔，类似代表“圈”。三旋理论正是来自孔洞的自旋，也就来自黎曼遗产的黎曼切口，这使三旋理论与弦膜圈说纯数学的关系自然很紧密。霍金说，虫洞具有联结两个渐近平坦区域的喉管几何形状，只是一种欧几里德场位形，不一定是场方程的解。但科尔曼则说，虫洞是具有上述几何形状的包含引力场在内的场方程的一个欧几里德解。索恩甚至说，虫洞是爱因斯坦广义相对论场方程具有上述几何形状的一个解。科尔曼还认为，第一个虫洞解是吉丁斯和斯特罗米格在一个带有阿贝尔内部对称性的自发对称破缺理论中发现的。这是一个关于轴子与爱因斯坦引力最小耦合的理论。而卡路扎--克林理论，却早就揭示过爱因斯坦的引力理论与麦克斯韦电磁理论的结合。
半夜叫喳喳 发表于：13-02-04 18:38 0
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