Weinberg量子场论阅读笔记 ——写在四读Weinberg I之后
在伟大的相吧发一个。。
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？
Weinberg量子场论阅读笔记
——写在四读Weinberg I之后
一
前些天备考规范场论，顺带着把Weinberg复习了一遍，发现不仅以前熟悉的公式遗忘速度惊人，连前几次读时令我拍案叫绝欲罢不能的思想都已然在脑中模糊不清，于是痛定思痛打算写个笔记。下面的每节是我记下的对Weinberg各章的理解。
二
对称性的意思是事物处在一个状态时测量某种属性结果的概率不依赖于观察者的位置（也即坐标架的选择）。由此Wigner推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地，不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
对称变换算符构成一个射影表示。当对称群被扩大为其覆盖群后，此射影表示可以被还原成非射影表示。
狭义相对论基本公理——所有保持平直、连续的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
时空平移变换下的概率不变性导致存在相应的变换算符与守恒量：能动量P、角动量J。
单粒子态定义为动量算符的本征值。
由于四动量平方在适当正时洛伦兹变换下不变，具有不同的四动量的粒子态可按其符号分为六类。
同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。对有正静能的粒子，在其保持动量不变的群（即little group）下变换时，我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群的表示的理想工具，因而我们也将粒子态表示为分量形式，相应的幺正算符即具有矩阵的形式。
对零质量粒子，可以拥有连续本征值的属性，因目前尚未发现此属性，因此所有零质量粒子用运动方向上的角动量（即螺旋度）来分类。如果存在空间反演对称性，则正负同螺旋度的粒子将可以相互转换，从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质，可以得出自旋必须是整数或半整数。
在不考虑弱作用时，现实存在空间反演对称性，其守恒量称为宇称。
三
自由多粒子态由单粒子态直积得到。
粒子实验中的入态和出态由包含相互作用的完整哈密顿量定义。
将哈密顿量拆成自由场和相互作用场后可以写出从自由场出入态（即动量本征态）导出相互作用场出入态的严格的Lippmann-Schwinger方程。
入态和出态的内积称为S矩阵，对应可定义S算符。代入Lippmann-Schwinger方程可以得到S矩阵的波恩近似。
哈密顿量密度对类空间隔对易的条件以及相互作用势的平滑性条件保证了散射过程的S矩阵的洛伦兹对称性。
同位旋对称性、全局对称性、空间反演对称性都会反映在S矩阵的对称性上，并导致相应守恒量。
从S矩阵可以导出实验上观测的出射粒子动量角分布，即微分散射截面。
S矩阵满足一个微分方程，可以通过微扰展开得到解，所以S矩阵可以写成哈密顿量的时序积分形式。
由S矩阵的幺正性可以得到光学定理、玻尔兹曼H定理、细致平衡条件。
四
出于数学上构造哈密顿量的目的，我们抽象地定义升降算符（谐振子可以为此抽象框架提供一个具体的实现模型，但并不必要，实际上整套量子场论的叙述可以完全脱离谐振子的语境）。升降算符的对易关系由定义和交换对称性（或反对称性）即可得到。
因果性原理要求类空间隔的事件不相互影响，此即S矩阵需满足的集团分解原理（Cluster decomposition principle）。
由于任何哈密顿量均可由升降算符构成的基组合得到，而且当系数满足恰有一个三维动量守恒δ函数时哈密顿量必满足集团分解原理，因此我们喜爱要用升降算符来构造哈密顿量。
因为我们可以直接用粒子数算符乘上单粒子态能量做积分写出自由场（即无相互作用）中的哈密顿量，这就对自由场哈密顿量的形式给出了限制。
我们需要拉格朗日框架的理由是：在拉格朗日框架中能够有效地分析对称性。
作用量泛函的全局对称性导致守恒流算符，其相应荷的全空间积分守恒，此即诺特定理。
五
由于升降算符在洛伦兹变换下有复杂的变换公式，因此一个用升降算符构造标量哈密顿量密度的便捷方法是先将升降算符分别组合成洛伦兹变换公式较为简单的升降场算符（指产生场算符ψ-和湮灭场算符ψ+）。
升降场算符在洛伦兹变换下的性质限制了升降场算符的变换矩阵必须是洛伦兹群的表示，于是我们依照洛伦兹群表示给不同的升降场算符分类。
一组不同的场算符在洛伦兹变换后结果可能是原有算符的线性组合，我们将这样一组场算符归类为同一个场的不同分量。
升降场算符尚且不能直接满足类空间隔对易条件（或反对易条件），一个可行的办法是将升降场算符（ψ-和ψ+）线性组合得到场算符（ψ），场算符则可以满足类空间隔对易条件（或反对易条件）。因此我们通过场算符来方便地构造的哈密顿量密度可以满足类空间隔对易条件。
场算符作用在真空态上得到的态的物理意义是一个在此时空点的粒子，但注意其波函数是延展的，仅仅在非相对论近似下此波函数才是δ函数。
场算符表示的粒子的自旋只能与场算符需要满足的类空间隔对易条件或反对易条件中的一个数学上相容，此即导致了自旋-统计定理。
这样构建的场算符自动满足Klein-Gordon方程。
螺旋度是零质量粒子在运动方向上的角动量，严格的螺旋度概念只对零质量粒子适用。手性是按照场算符属于洛伦兹群的左手表示还是右手表示来定义。对于零质量粒子，左手（右手）螺旋度的粒子对应左手（右手）手性的场算符。
全局对称性导致的荷守恒要求哈密顿量密度与荷算符（Q）对易，这可以通过要求荷算符与场算符对易而达到，这一要求导致对此载荷粒子存在相应的反粒子。
用场算符构造的具有洛伦兹标量哈密顿量密度的理论自动满足CPT定理。
对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符数学上不能满足前述的简单的洛伦兹变换公式，而有一个多出项。一个方案是由此场算符（Aμ）构造消去了多出项的反对称张量场算符（Fμν）作为出发点，但这样的理论无法具有长程相互作用。另一个方案是通过设定拉格朗日量密度满足相应的规范对称性来保证S矩阵的洛伦兹不变性，详见第八部分。
类似地，引力子需要满足对应的广义协变对称性以包含长程作用力。由于现实中未发现更高阶的守恒张量，因而高自旋粒子不能具有长程相互作用。
六
S矩阵微扰计算的积分无穷级数公式可以可视化为费曼图。
传播子是公式展开中对应于连接两个顶点的项，计算出来后包含一个非协变的奇异项（起源于时序算符的奇异性），此奇异项会被相互作用哈密顿量中对应的奇异项消除。
S矩阵傅里叶变换后得到的动量空间S矩阵在数学上更便捷。
七
因为标量场算符和其时间导数满足的等时对易关系令人联想起分析力学中相应的对易关系，因此我们类似地定义正则坐标和正则动量算符，证明其满足哈密顿方程，从而建立起场论的哈密顿框架。
根据已知的自由场哈密顿量用升降算符表示的形式，我们可以写出一个用正则变量表示的哈密顿量密度（会有一个真空能的差别）。
通过勒让德变换，我们可以从哈密顿框架转换到拉格朗日框架。
升降算符对易关系、正则坐标算符对易关系、哈密顿方程、拉格朗日方程，四者相互等价，传统讲法则是以拉格朗日方程作为建立量子场论的出发点。
当我们要从自由场转换到相互作用场时，只需在哈密顿框架或拉格朗日框架中自由场的对应量上加上相互作用标量算符项即可。
我们无法直接解出有相互作用的场方程，因此我们转换到相互作用表象中，在此表象中场算符满足自由场中的场方程，从而可以解出。
一个满足平滑条件和洛伦兹不变性的拉格朗日量密度具有的散射过程的S矩阵满足洛伦兹不变性，而构造具有洛伦兹不变性的拉格朗日量密度数学上比较简单，这是我们偏爱朗格朗日框架的原因之一。
拉格朗日量自身的奇异性或者采取特定规范的处理会导致场方程出现奇异性。奇异性可能导致方程不完备或者传统的对易关系与场方程矛盾。相应的解决办法是选定规范条件，采用狄拉克对易子替代原有对易关系。
八
第五章中已提到，对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符在洛伦兹变换下有一个多出项，这一项会破坏哈密顿量密度的标量性质，破坏S矩阵的洛伦兹不变性。因为此多出项是一个算符的散度，因此一种可行的解决办法是让此多出项恰好是一个守恒流算符的散度，从而自然等于零，这就导致需要引入一个拥有局域对称性的场，称为规范场。载荷粒子场的局域对称变换和零质量粒子的洛伦兹变换多出项合称为规范变换。运用引入规范场的方法我们最终重新获得了拉格朗日量密度在洛伦兹变换以及规范变换下的不变性。
这样的构建方式以自旋大于等于1/2的零质量粒子对应场算符无法直接构建标量哈密顿量密度为出发点，而传统讲法则是以规范变换作为出发点。
规范不变性导致场方程不完备，解决方法是固定规范。固定规范后传统的对易关系不能被满足，我们使用狄拉克括号的方法修改对易关系。随后即可通过勒让德变换得出哈密顿量，再转入相互作用表象后即可算出传播子，写出费曼规则，量子电动力学模型即建成。
九
由正则变量对易关系可以导出路劲积分公式。如果哈密顿量是正则动量的二次函数，则可积出动量部分得到关于作用量泛函的路劲积分。
通过一系列形式运算可以得出费曼规则和传播子。
对于费米子场，相应正则变量满足反对易关系，因此路劲积分需要的正则变量的本征值也应当满足反对易关系。复数不能满足此关系，因此引入Grassmann代数和其上的微积分。
十
对称性让我们能够得出一些非微扰结论。
考虑圈图对出腿、入腿函数（u*和u）的影响会导致它们与我们最初费曼规则的定义有所不同，对称性分析指出考虑所有非微扰效应后的出腿、入腿函数与最初费曼规则的出腿、入腿函数只相差一个因子（此因子实际上发散），因此我们修改场算符的定义——此即场算符的重整化——来使出腿、入腿函数回归到最初费曼规则的定义（因此算散射过程时外腿上的圈不用计算）。此场算符的重整化体现在自由场算符在升降算符上展开时比原先多了重整化系数，也就是说这个原先可以自由选择的系数现在要被确定。
粒子质量可以自然地采用单粒子态四动量的平方来定义，这个质量与自由场拉格朗日量密度中出现的质量是同一个。当有相互作用时，这套质量的定义方案不易实现，因此我们用考虑所有非微扰效应后的传播子的极点位置来定义。
重整化导致我们重新将用裸场算符写成的拉格朗日量密度作为基本公理，其中的质量、耦合常数也应当是裸质量、裸耦合常数。
理论上我们可以直接使用裸拉格朗日量密度（L）计算散射过程，因为实际上如此计算的总散射过程并没有发散。每一项表观的“发散困难”仅仅是由公式中有无穷大系数的裸场算符、裸质量、裸耦合、以及需要考虑的外腿上的圈、需要考虑的无穷多个图造成的，这个表观的“发散”本质上是源于我们不能直接处理这里的数学困难。
为避开前述的数学困难，我们人为地将裸拉格朗日量密度拆开成两部分（L=L0+L1），第一部分（自由场项）通过将无穷大扔给抵消项的方式而使其导出的传播子不发散，第二部分（包括抵消项和相互作用项）全部被视作相互作用，使用微扰方法计算（因此实际上这个微扰项远比第一部分大；尽管如此，数学却是很奇妙的）。运用这样的数学技巧我们就通过分离不同的无穷大再相互抵消而避开了我们前述的数学上直接处理多个无穷大的困难。
耦合常数随能标的跑动源于耦合常数定义的不同。裸耦合常数具有确定值，而重整化的耦合常数中的重整化系数依赖于其定义所在能标，因此不同能标定义的重整化耦合常数可以联系起来，进而求出相应的β函数。
Ward恒等式是另一个重要的非微扰结论，其来源不过是将n点格林函数与（n-1）点格林函数联系起来。此恒等式的历史价值在于绕开二圈图计算中的重叠发散（overlapping divergence）问题。
电子的“自旋磁矩”这个词有一定误导作用，电子的磁矩确实与自旋有关，因为不同自旋的粒子有其特定的电磁作用顶点。但一般而言，粒子的磁矩和自旋之间没有简单的关系。例如中微子自旋同为二分之一，但磁矩为零。
十一
Pauli-Villars正规化和维数正规化的计算方法都是面向一个目的——定量地处理无穷大计算并让他们相互抵消，因此表征这个无穷大的量具体是什么——截止能量还是维度——并不重要。用能量截止处理无穷大会遇到规范对称性被破坏的麻烦，因此维度正规化更为推荐。
当费曼图中有电子外腿时，即会出现红外发散，这源于外腿电子发射低能光子。
十二
有效场论的概念源于1935年将光子间一圈相互作用近似成电磁场拉格朗日量的高阶项，其数学上等效于在路劲积分中将低能下不会产生的重粒子（在光子相互作用中是正负电子）的场算符预先做积分，最后留下不含重粒子的有效拉格朗日量。
即使是对传统上的不可重整化理论，我们也可以通过在拉格朗日量中添加完整所有满足对称性的项、然后同时调整所有的自由参数来可消去发散。在这个意义下，量子引力理论可能也能够写成量子场论的形式，并且在低能近似下成为有效场论。
有效场论为现实中场论的拉格朗日量密度中只出现可重整项的现象提供了一个可能的（仅仅是可能）解释方法：不可重整项中包含的负能量量纲耦合常数中的能量量纲来自于更高能标的未知粒子，在低能下被压低而致其效应可忽略。
更重要的是，在这样的理解下，写出一个理论的拉格朗日量密度不再是依靠纯粹的猜测或类比经典模型，而是一开始就在拉格朗日量密度中写出所有保证哈密顿量具有有限下界、满足洛伦兹对称性和规范对称性（我们确实不知道为何有规范对称性）的所有可能的项，然后在有效场论的意义下丢掉被压低的所有不可重整项。正是这样的构建方式，解释了为何拉格朗日量、或哈密顿量、或场方程采取了我们如今已经默认了的形式。正是这样的一整套思路，超越了以类比的方式写出场方程作为出发点的大多数量子场论书。
十三
在有内线软光子的圈图中，我们也会遇到红外发散，为解决此问题我们引入界定虚软光子（即内线软光子）三维动量大小的上、下限参数。其中上限参数与圈图计算中的光子动量下限衔接，下限参数用于表征无穷大。
对于实软光子引起的红外发散，我们引入探测器阈值、遗漏能量两个参数。探测器阈值是光子探测器能保证记录事例时的光子能量阈值，遗漏能量是所有未被探测到的光子的能量总和。
上述四个参数中，探测器阈值与遗漏能量参数会真正保留在散射截面的最后结果中，其中令探测器阈值参数趋于零将引起散射截面实质的发散，这是可以直观理解的。而上限参数与圈图计算设定的光子能量下限相抵消，下限参数与实软光子积分中取的下限相抵消。
在量子电动力学中，假设电子静质量为零，则出射态同时有动量平行的电子和软光子会导致红外发散。类似地，量子色动力学中动量平行的强子与软胶子也导致红外发散。这种情况甚至要求散射过程的入态也要受到无红外发散条件的限制。这可以通过我们实验上区分动量平行的零质量粒子时遇到的困难、以及制备动量平行的零质量粒子入态总是呈喷流形态来解释。
仅使用对称性即可证明光散射公式的低能极限只与粒子的质量和电荷有关。
最后一节演示了使用量子场论的工具可推导出经典场论的库伦势。
十四（第一章 历史）
根据狄拉克的回忆，薛定谔在他得到薛定谔方程之前，也在Klein和Gordon之前率先发现了Klein-Gordon方程，但因为Klein-Gordon方程给出了错误的氢原子精细结构而放弃了它，直到几个月后他意识到其非相对论近似得出的薛定谔方程还有一定价值。
狄拉克1928年对描述电子的狄拉克方程的发现及其随后取得的巨大成功有很大巧合的成分：狄拉克寻找一个新方程的动机是解决Klein-Gordon方程的负概率困难，但如今我们清楚负概率问题源于错误地为解赋予概率意义，Klein-Gordon方程本身对于描述零自旋粒子也很有意义。狄拉克通过负质量解预言反粒子存在的方式不仅会引起与负能海相关的一系列问题，而且实质上也仅仅是一个富有启发性的比喻，他不能解释载荷玻色子也有相应反粒子的事实。狄拉克方程预言了正确的电子磁矩的零阶项，但在方程中添加一个Pauli term完全可以将电子磁矩调到任意大小，实际上最终是可重整性限制了量子场论中Pauli term的存在。
结语
一不小心就写了几千字，细想来，读此书或许也排得上整个大学中最重要的几件事了。
我是一个寻求感性理解的人。学习场论的前几年，我都为场论中的词汇感到困惑：什么是升降算符（我以前一直以为升、降算符是一个实际的操作）？谐振子的激发态为什么就是粒子？传播子是什么含义？为什么要把好好的场变成算符？为什么你们的拉格朗日量都长得这么奇怪？二分之一自旋是什么（小学看霍金时就百思不得其解）？维数正规化为什么不是扯蛋？
对这些概念的理解和思考严重地阻碍了我的学习，尤其是当思考的终结点时常停在不可言说的量子态的概念和测量的坍缩问题上时。
如今，有幸能有Weinberg的指点，在几年的沉淀后，我现在也终于能感到量子场论实实在在地站立在一个公理般的基础上，我相信它是这个世界的描述，相信它的构建逻辑，正如本书前言所说：相信它是所有融合了量子力学和狭义相对论的理论在低能近似下必将拥有的形式。
回想2011年秋在天文班自习室初读本书的时候，那时只能看得懂第一章。如今结合了这些全新的理解，更是感慨万千。
第一次做这些计算的前辈，不会如今天的我们这样理解得如此深刻，他们一些人的推理错误百出，甚至觉得这些计算不过是个玩笑。这个场面是如此的似曾相识。即使在贝克莱大主教的批判声中无言以对，整个19世纪的数学家依然建立起了宏伟的分析大厦。即使马赫原理的主旨已不能与后来的广义相对论相吻合，也不可否认爱因斯坦早年从中所汲取的营养。
多年的乱象中总会涌现曲折的前进，逻辑的困难阻挡不住精巧的尝试。人类思维正因这从现象的凌乱中发现模式的能力而愈见其无可比拟。
七星之城
2014年 夏
于北京大学45甲
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？
Weinberg量子场论阅读笔记
——写在四读Weinberg I之后
一
前些天备考规范场论，顺带着把Weinberg复习了一遍，发现不仅以前熟悉的公式遗忘速度惊人，连前几次读时令我拍案叫绝欲罢不能的思想都已然在脑中模糊不清，于是痛定思痛打算写个笔记。下面的每节是我记下的对Weinberg各章的理解。
二
对称性的意思是事物处在一个状态时测量某种属性结果的概率不依赖于观察者的位置（也即坐标架的选择）。由此Wigner推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地，不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
对称变换算符构成一个射影表示。当对称群被扩大为其覆盖群后，此射影表示可以被还原成非射影表示。
狭义相对论基本公理——所有保持平直、连续的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
时空平移变换下的概率不变性导致存在相应的变换算符与守恒量：能动量P、角动量J。
单粒子态定义为动量算符的本征值。
由于四动量平方在适当正时洛伦兹变换下不变，具有不同的四动量的粒子态可按其符号分为六类。
同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。对有正静能的粒子，在其保持动量不变的群（即little group）下变换时，我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群的表示的理想工具，因而我们也将粒子态表示为分量形式，相应的幺正算符即具有矩阵的形式。
对零质量粒子，可以拥有连续本征值的属性，因目前尚未发现此属性，因此所有零质量粒子用运动方向上的角动量（即螺旋度）来分类。如果存在空间反演对称性，则正负同螺旋度的粒子将可以相互转换，从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质，可以得出自旋必须是整数或半整数。
在不考虑弱作用时，现实存在空间反演对称性，其守恒量称为宇称。
三
自由多粒子态由单粒子态直积得到。
粒子实验中的入态和出态由包含相互作用的完整哈密顿量定义。
将哈密顿量拆成自由场和相互作用场后可以写出从自由场出入态（即动量本征态）导出相互作用场出入态的严格的Lippmann-Schwinger方程。
入态和出态的内积称为S矩阵，对应可定义S算符。代入Lippmann-Schwinger方程可以得到S矩阵的波恩近似。
哈密顿量密度对类空间隔对易的条件以及相互作用势的平滑性条件保证了散射过程的S矩阵的洛伦兹对称性。
同位旋对称性、全局对称性、空间反演对称性都会反映在S矩阵的对称性上，并导致相应守恒量。
从S矩阵可以导出实验上观测的出射粒子动量角分布，即微分散射截面。
S矩阵满足一个微分方程，可以通过微扰展开得到解，所以S矩阵可以写成哈密顿量的时序积分形式。
由S矩阵的幺正性可以得到光学定理、玻尔兹曼H定理、细致平衡条件。
四
出于数学上构造哈密顿量的目的，我们抽象地定义升降算符（谐振子可以为此抽象框架提供一个具体的实现模型，但并不必要，实际上整套量子场论的叙述可以完全脱离谐振子的语境）。升降算符的对易关系由定义和交换对称性（或反对称性）即可得到。
因果性原理要求类空间隔的事件不相互影响，此即S矩阵需满足的集团分解原理（Cluster decomposition principle）。
由于任何哈密顿量均可由升降算符构成的基组合得到，而且当系数满足恰有一个三维动量守恒δ函数时哈密顿量必满足集团分解原理，因此我们喜爱要用升降算符来构造哈密顿量。
因为我们可以直接用粒子数算符乘上单粒子态能量做积分写出自由场（即无相互作用）中的哈密顿量，这就对自由场哈密顿量的形式给出了限制。
我们需要拉格朗日框架的理由是：在拉格朗日框架中能够有效地分析对称性。
作用量泛函的全局对称性导致守恒流算符，其相应荷的全空间积分守恒，此即诺特定理。
五
由于升降算符在洛伦兹变换下有复杂的变换公式，因此一个用升降算符构造标量哈密顿量密度的便捷方法是先将升降算符分别组合成洛伦兹变换公式较为简单的升降场算符（指产生场算符ψ-和湮灭场算符ψ+）。
升降场算符在洛伦兹变换下的性质限制了升降场算符的变换矩阵必须是洛伦兹群的表示，于是我们依照洛伦兹群表示给不同的升降场算符分类。
一组不同的场算符在洛伦兹变换后结果可能是原有算符的线性组合，我们将这样一组场算符归类为同一个场的不同分量。
升降场算符尚且不能直接满足类空间隔对易条件（或反对易条件），一个可行的办法是将升降场算符（ψ-和ψ+）线性组合得到场算符（ψ），场算符则可以满足类空间隔对易条件（或反对易条件）。因此我们通过场算符来方便地构造的哈密顿量密度可以满足类空间隔对易条件。
场算符作用在真空态上得到的态的物理意义是一个在此时空点的粒子，但注意其波函数是延展的，仅仅在非相对论近似下此波函数才是δ函数。
场算符表示的粒子的自旋只能与场算符需要满足的类空间隔对易条件或反对易条件中的一个数学上相容，此即导致了自旋-统计定理。
这样构建的场算符自动满足Klein-Gordon方程。
螺旋度是零质量粒子在运动方向上的角动量，严格的螺旋度概念只对零质量粒子适用。手性是按照场算符属于洛伦兹群的左手表示还是右手表示来定义。对于零质量粒子，左手（右手）螺旋度的粒子对应左手（右手）手性的场算符。
全局对称性导致的荷守恒要求哈密顿量密度与荷算符（Q）对易，这可以通过要求荷算符与场算符对易而达到，这一要求导致对此载荷粒子存在相应的反粒子。
用场算符构造的具有洛伦兹标量哈密顿量密度的理论自动满足CPT定理。
对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符数学上不能满足前述的简单的洛伦兹变换公式，而有一个多出项。一个方案是由此场算符（Aμ）构造消去了多出项的反对称张量场算符（Fμν）作为出发点，但这样的理论无法具有长程相互作用。另一个方案是通过设定拉格朗日量密度满足相应的规范对称性来保证S矩阵的洛伦兹不变性，详见第八部分。
类似地，引力子需要满足对应的广义协变对称性以包含长程作用力。由于现实中未发现更高阶的守恒张量，因而高自旋粒子不能具有长程相互作用。
六
S矩阵微扰计算的积分无穷级数公式可以可视化为费曼图。
传播子是公式展开中对应于连接两个顶点的项，计算出来后包含一个非协变的奇异项（起源于时序算符的奇异性），此奇异项会被相互作用哈密顿量中对应的奇异项消除。
S矩阵傅里叶变换后得到的动量空间S矩阵在数学上更便捷。
七
因为标量场算符和其时间导数满足的等时对易关系令人联想起分析力学中相应的对易关系，因此我们类似地定义正则坐标和正则动量算符，证明其满足哈密顿方程，从而建立起场论的哈密顿框架。
根据已知的自由场哈密顿量用升降算符表示的形式，我们可以写出一个用正则变量表示的哈密顿量密度（会有一个真空能的差别）。
通过勒让德变换，我们可以从哈密顿框架转换到拉格朗日框架。
升降算符对易关系、正则坐标算符对易关系、哈密顿方程、拉格朗日方程，四者相互等价，传统讲法则是以拉格朗日方程作为建立量子场论的出发点。
当我们要从自由场转换到相互作用场时，只需在哈密顿框架或拉格朗日框架中自由场的对应量上加上相互作用标量算符项即可。
我们无法直接解出有相互作用的场方程，因此我们转换到相互作用表象中，在此表象中场算符满足自由场中的场方程，从而可以解出。
一个满足平滑条件和洛伦兹不变性的拉格朗日量密度具有的散射过程的S矩阵满足洛伦兹不变性，而构造具有洛伦兹不变性的拉格朗日量密度数学上比较简单，这是我们偏爱朗格朗日框架的原因之一。
拉格朗日量自身的奇异性或者采取特定规范的处理会导致场方程出现奇异性。奇异性可能导致方程不完备或者传统的对易关系与场方程矛盾。相应的解决办法是选定规范条件，采用狄拉克对易子替代原有对易关系。
八
第五章中已提到，对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符在洛伦兹变换下有一个多出项，这一项会破坏哈密顿量密度的标量性质，破坏S矩阵的洛伦兹不变性。因为此多出项是一个算符的散度，因此一种可行的解决办法是让此多出项恰好是一个守恒流算符的散度，从而自然等于零，这就导致需要引入一个拥有局域对称性的场，称为规范场。载荷粒子场的局域对称变换和零质量粒子的洛伦兹变换多出项合称为规范变换。运用引入规范场的方法我们最终重新获得了拉格朗日量密度在洛伦兹变换以及规范变换下的不变性。
这样的构建方式以自旋大于等于1/2的零质量粒子对应场算符无法直接构建标量哈密顿量密度为出发点，而传统讲法则是以规范变换作为出发点。
规范不变性导致场方程不完备，解决方法是固定规范。固定规范后传统的对易关系不能被满足，我们使用狄拉克括号的方法修改对易关系。随后即可通过勒让德变换得出哈密顿量，再转入相互作用表象后即可算出传播子，写出费曼规则，量子电动力学模型即建成。
九
由正则变量对易关系可以导出路劲积分公式。如果哈密顿量是正则动量的二次函数，则可积出动量部分得到关于作用量泛函的路劲积分。
通过一系列形式运算可以得出费曼规则和传播子。
对于费米子场，相应正则变量满足反对易关系，因此路劲积分需要的正则变量的本征值也应当满足反对易关系。复数不能满足此关系，因此引入Grassmann代数和其上的微积分。
十
对称性让我们能够得出一些非微扰结论。
考虑圈图对出腿、入腿函数（u*和u）的影响会导致它们与我们最初费曼规则的定义有所不同，对称性分析指出考虑所有非微扰效应后的出腿、入腿函数与最初费曼规则的出腿、入腿函数只相差一个因子（此因子实际上发散），因此我们修改场算符的定义——此即场算符的重整化——来使出腿、入腿函数回归到最初费曼规则的定义（因此算散射过程时外腿上的圈不用计算）。此场算符的重整化体现在自由场算符在升降算符上展开时比原先多了重整化系数，也就是说这个原先可以自由选择的系数现在要被确定。
粒子质量可以自然地采用单粒子态四动量的平方来定义，这个质量与自由场拉格朗日量密度中出现的质量是同一个。当有相互作用时，这套质量的定义方案不易实现，因此我们用考虑所有非微扰效应后的传播子的极点位置来定义。
重整化导致我们重新将用裸场算符写成的拉格朗日量密度作为基本公理，其中的质量、耦合常数也应当是裸质量、裸耦合常数。
理论上我们可以直接使用裸拉格朗日量密度（L）计算散射过程，因为实际上如此计算的总散射过程并没有发散。每一项表观的“发散困难”仅仅是由公式中有无穷大系数的裸场算符、裸质量、裸耦合、以及需要考虑的外腿上的圈、需要考虑的无穷多个图造成的，这个表观的“发散”本质上是源于我们不能直接处理这里的数学困难。
为避开前述的数学困难，我们人为地将裸拉格朗日量密度拆开成两部分（L=L0+L1），第一部分（自由场项）通过将无穷大扔给抵消项的方式而使其导出的传播子不发散，第二部分（包括抵消项和相互作用项）全部被视作相互作用，使用微扰方法计算（因此实际上这个微扰项远比第一部分大；尽管如此，数学却是很奇妙的）。运用这样的数学技巧我们就通过分离不同的无穷大再相互抵消而避开了我们前述的数学上直接处理多个无穷大的困难。
耦合常数随能标的跑动源于耦合常数定义的不同。裸耦合常数具有确定值，而重整化的耦合常数中的重整化系数依赖于其定义所在能标，因此不同能标定义的重整化耦合常数可以联系起来，进而求出相应的β函数。
Ward恒等式是另一个重要的非微扰结论，其来源不过是将n点格林函数与（n-1）点格林函数联系起来。此恒等式的历史价值在于绕开二圈图计算中的重叠发散（overlapping divergence）问题。
电子的“自旋磁矩”这个词有一定误导作用，电子的磁矩确实与自旋有关，因为不同自旋的粒子有其特定的电磁作用顶点。但一般而言，粒子的磁矩和自旋之间没有简单的关系。例如中微子自旋同为二分之一，但磁矩为零。
十一
Pauli-Villars正规化和维数正规化的计算方法都是面向一个目的——定量地处理无穷大计算并让他们相互抵消，因此表征这个无穷大的量具体是什么——截止能量还是维度——并不重要。用能量截止处理无穷大会遇到规范对称性被破坏的麻烦，因此维度正规化更为推荐。
当费曼图中有电子外腿时，即会出现红外发散，这源于外腿电子发射低能光子。
十二
有效场论的概念源于1935年将光子间一圈相互作用近似成电磁场拉格朗日量的高阶项，其数学上等效于在路劲积分中将低能下不会产生的重粒子（在光子相互作用中是正负电子）的场算符预先做积分，最后留下不含重粒子的有效拉格朗日量。
即使是对传统上的不可重整化理论，我们也可以通过在拉格朗日量中添加完整所有满足对称性的项、然后同时调整所有的自由参数来可消去发散。在这个意义下，量子引力理论可能也能够写成量子场论的形式，并且在低能近似下成为有效场论。
有效场论为现实中场论的拉格朗日量密度中只出现可重整项的现象提供了一个可能的（仅仅是可能）解释方法：不可重整项中包含的负能量量纲耦合常数中的能量量纲来自于更高能标的未知粒子，在低能下被压低而致其效应可忽略。
更重要的是，在这样的理解下，写出一个理论的拉格朗日量密度不再是依靠纯粹的猜测或类比经典模型，而是一开始就在拉格朗日量密度中写出所有保证哈密顿量具有有限下界、满足洛伦兹对称性和规范对称性（我们确实不知道为何有规范对称性）的所有可能的项，然后在有效场论的意义下丢掉被压低的所有不可重整项。正是这样的构建方式，解释了为何拉格朗日量、或哈密顿量、或场方程采取了我们如今已经默认了的形式。正是这样的一整套思路，超越了以类比的方式写出场方程作为出发点的大多数量子场论书。
十三
在有内线软光子的圈图中，我们也会遇到红外发散，为解决此问题我们引入界定虚软光子（即内线软光子）三维动量大小的上、下限参数。其中上限参数与圈图计算中的光子动量下限衔接，下限参数用于表征无穷大。
对于实软光子引起的红外发散，我们引入探测器阈值、遗漏能量两个参数。探测器阈值是光子探测器能保证记录事例时的光子能量阈值，遗漏能量是所有未被探测到的光子的能量总和。
上述四个参数中，探测器阈值与遗漏能量参数会真正保留在散射截面的最后结果中，其中令探测器阈值参数趋于零将引起散射截面实质的发散，这是可以直观理解的。而上限参数与圈图计算设定的光子能量下限相抵消，下限参数与实软光子积分中取的下限相抵消。
在量子电动力学中，假设电子静质量为零，则出射态同时有动量平行的电子和软光子会导致红外发散。类似地，量子色动力学中动量平行的强子与软胶子也导致红外发散。这种情况甚至要求散射过程的入态也要受到无红外发散条件的限制。这可以通过我们实验上区分动量平行的零质量粒子时遇到的困难、以及制备动量平行的零质量粒子入态总是呈喷流形态来解释。
仅使用对称性即可证明光散射公式的低能极限只与粒子的质量和电荷有关。
最后一节演示了使用量子场论的工具可推导出经典场论的库伦势。
十四（第一章 历史）
根据狄拉克的回忆，薛定谔在他得到薛定谔方程之前，也在Klein和Gordon之前率先发现了Klein-Gordon方程，但因为Klein-Gordon方程给出了错误的氢原子精细结构而放弃了它，直到几个月后他意识到其非相对论近似得出的薛定谔方程还有一定价值。
狄拉克1928年对描述电子的狄拉克方程的发现及其随后取得的巨大成功有很大巧合的成分：狄拉克寻找一个新方程的动机是解决Klein-Gordon方程的负概率困难，但如今我们清楚负概率问题源于错误地为解赋予概率意义，Klein-Gordon方程本身对于描述零自旋粒子也很有意义。狄拉克通过负质量解预言反粒子存在的方式不仅会引起与负能海相关的一系列问题，而且实质上也仅仅是一个富有启发性的比喻，他不能解释载荷玻色子也有相应反粒子的事实。狄拉克方程预言了正确的电子磁矩的零阶项，但在方程中添加一个Pauli term完全可以将电子磁矩调到任意大小，实际上最终是可重整性限制了量子场论中Pauli term的存在。
结语
一不小心就写了几千字，细想来，读此书或许也排得上整个大学中最重要的几件事了。
我是一个寻求感性理解的人。学习场论的前几年，我都为场论中的词汇感到困惑：什么是升降算符（我以前一直以为升、降算符是一个实际的操作）？谐振子的激发态为什么就是粒子？传播子是什么含义？为什么要把好好的场变成算符？为什么你们的拉格朗日量都长得这么奇怪？二分之一自旋是什么（小学看霍金时就百思不得其解）？维数正规化为什么不是扯蛋？
对这些概念的理解和思考严重地阻碍了我的学习，尤其是当思考的终结点时常停在不可言说的量子态的概念和测量的坍缩问题上时。
如今，有幸能有Weinberg的指点，在几年的沉淀后，我现在也终于能感到量子场论实实在在地站立在一个公理般的基础上，我相信它是这个世界的描述，相信它的构建逻辑，正如本书前言所说：相信它是所有融合了量子力学和狭义相对论的理论在低能近似下必将拥有的形式。
回想2011年秋在天文班自习室初读本书的时候，那时只能看得懂第一章。如今结合了这些全新的理解，更是感慨万千。
第一次做这些计算的前辈，不会如今天的我们这样理解得如此深刻，他们一些人的推理错误百出，甚至觉得这些计算不过是个玩笑。这个场面是如此的似曾相识。即使在贝克莱大主教的批判声中无言以对，整个19世纪的数学家依然建立起了宏伟的分析大厦。即使马赫原理的主旨已不能与后来的广义相对论相吻合，也不可否认爱因斯坦早年从中所汲取的营养。
多年的乱象中总会涌现曲折的前进，逻辑的困难阻挡不住精巧的尝试。人类思维正因这从现象的凌乱中发现模式的能力而愈见其无可比拟。
七星之城
2014年 夏
于北京大学45甲
第二段改动了不少，觉得之前的信息传达的很不确切，改动后如下：
二
对称性的意思是当事物处在一个态时观测其处于另一个态的概率不依赖于观察者的时空位置与运动状态（也即坐标架与惯性系的选择）。由此 Wigner 推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地，不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
狭义相对论基本公理——所有保持平直的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
我们将洛伦兹对称性导致的幺正算符做小量展开时的一阶项系数标记为H、P、J、K，群所需满足的结合律使得这四个系数算符需要满足一定的关系——实际上是他们之间的对易关系。我们根据这些对易关系而赋予四个算符的物理含义，例如依据 [H,P]=[H,K]=0 我们将 H 命名为能量，依据 [Ji,Jj]=i Jk 而将 J 命名为角动量。
什么是粒子？我们将单粒子态定义为动量算符 P 的本征态。
由于四动量平方（P^2）在适当正时洛伦兹变换下不变，因而具有不同的四动量的粒子态可分为六类。
上述的分类并不完全，因为同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。继续分类的方法是，对有正静能的粒子，在其保持动量不变的群（即 little group）下变换时，我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群表示的理想工具，因而我们数学上可以将粒子态表示为分量形式，相应的洛伦兹变换算符即具有矩阵的形式。
零质量粒子可能拥有连续本征值的属性，但因目前尚未发现具有此属性的粒子，因此所有已知的零质量粒子只能用运动方向上的角动量（即螺旋度）来分类。如果正负同螺旋度的粒子可以相互转换（例如具有空间反演对称性的电磁相互作用中的光子），从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质，可以得出自旋必须是整数或半整数。
除开弱相互作用，强相互作用和电磁相互作用都具备空间反演对称性，因而有相应守恒量，此守恒量称为宇称。
二
对称性的意思是当事物处在一个态时观测其处于另一个态的概率不依赖于观察者的时空位置与运动状态（也即坐标架与惯性系的选择）。由此 Wigner 推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地，不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
狭义相对论基本公理——所有保持平直的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
我们将洛伦兹对称性导致的幺正算符做小量展开时的一阶项系数标记为H、P、J、K，群所需满足的结合律使得这四个系数算符需要满足一定的关系——实际上是他们之间的对易关系。我们根据这些对易关系而赋予四个算符的物理含义，例如依据 [H,P]=[H,K]=0 我们将 H 命名为能量，依据 [Ji,Jj]=i Jk 而将 J 命名为角动量。
什么是粒子？我们将单粒子态定义为动量算符 P 的本征态。
由于四动量平方（P^2）在适当正时洛伦兹变换下不变，因而具有不同的四动量的粒子态可分为六类。
上述的分类并不完全，因为同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。继续分类的方法是，对有正静能的粒子，在其保持动量不变的群（即 little group）下变换时，我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群表示的理想工具，因而我们数学上可以将粒子态表示为分量形式，相应的洛伦兹变换算符即具有矩阵的形式。
零质量粒子可能拥有连续本征值的属性，但因目前尚未发现具有此属性的粒子，因此所有已知的零质量粒子只能用运动方向上的角动量（即螺旋度）来分类。如果正负同螺旋度的粒子可以相互转换（例如具有空间反演对称性的电磁相互作用中的光子），从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质，可以得出自旋必须是整数或半整数。
除开弱相互作用，强相互作用和电磁相互作用都具备空间反演对称性，因而有相应守恒量，此守恒量称为宇称。
量子公设的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合
来表示，它作用在系统的状态空间上。wigner-ville 分布有什么通俗的物理意义吗？
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2 个回答
不太清楚提问者问的具体指什么。。。。如果是我理解的意思，那么可以看下面的解释。
信号分析中的 Wigner-Ville分布，对应于量子物理中的Wigner分布。
它的对称傅里叶变换形式，Weyl分布，是相空间函数到Hilbert空间算符的映射的表达形式。Weyl分布，或Wigner分布，已知其一，可以互推。
对于单qubit，Weyl分布的定义可以推出最基本的Hilbert空间Bloch球的四个参数的表示，同时与pauli算子的表达吻合；对于两qubit，它相当于一个Hademard变换。
较深层次的含义，它表达的使物理体系保持不变的对称变换。这也是Wigner定理的意义：“如果一个使体系在物理上保持不变的变换将体系的每个态矢同时变成另一套态矢，则总可以调节相位，使得对所有态矢，都存在同一个么正变换使得它们对应起来。”
这种变换能将计算基矢的傅里叶变换与本征态下标的变换循环对应起来。而这可以当作态矢Hilbert空间的基本定理。
信号分析中的 Wigner-Ville分布，对应于量子物理中的Wigner分布。
它的对称傅里叶变换形式，Weyl分布，是相空间函数到Hilbert空间算符的映射的表达形式。Weyl分布，或Wigner分布，已知其一，可以互推。
对于单qubit，Weyl分布的定义可以推出最基本的Hilbert空间Bloch球的四个参数的表示，同时与pauli算子的表达吻合；对于两qubit，它相当于一个Hademard变换。
较深层次的含义，它表达的使物理体系保持不变的对称变换。这也是Wigner定理的意义：“如果一个使体系在物理上保持不变的变换将体系的每个态矢同时变成另一套态矢，则总可以调节相位，使得对所有态矢，都存在同一个么正变换使得它们对应起来。”
这种变换能将计算基矢的傅里叶变换与本征态下标的变换循环对应起来。而这可以当作态矢Hilbert空间的基本定理。
黄继新 赞同
如果你说的是量子力学中的Wigner分布，那么类比经典物理中相图上的分布。
Wigner分布不是概率分布，我们称之为准概率分布。
由于不确定关系，他可以为有负值。
这是一个用来分析的数学工具，对其做相应的积分可以得到位置或动量的概率分布。
Wigner分布不是概率分布，我们称之为准概率分布。
由于不确定关系，他可以为有负值。
这是一个用来分析的数学工具，对其做相应的积分可以得到位置或动量的概率分布。
Make it easy: 历史求和 及 拓扑量子场论
一些参考文献见 wikipedia Topological quantum field theory 条目。
另外，给一些适合数学系看的文章
1 C.Teleman, Five lectures on topological field theory
2 D.S.Freed, Lectures on topological field theory.
3 M.Atiyah, topological quantum field theories, 1989.
4 P.Van Baal, An introduction to topological Yang-Mills theory,1990.
拓扑量子场论的核心就是对于路径积分（历史求和）的数学结构和可能的应用的探索。
对于数学系的学生，最难的地方在于理解路径积分所隐含的代数结构，理解量子物理的数学结构，最关键的一点就是理解路径积分。
历史求和又称路径积分，是量子物理中计算转移振幅的核心方法。本文将强调历史求和和纤维积分（fibre integration），反转映射（Umkehr map），基森映射（Gysin map），傅里叶变换以及Kan extension等常见的重要概念的一致性。
量子物理的核心要素是量子态和量子态之间的关联振幅。历史求和是确定量子态之间的动力学关联强度（转移振幅）的核心方法。系统的量子态总是生活在希尔伯特空间之中，给定系统的动力学，用路径积分的方法可以计算不同时刻不同量子态之间的动力学关联振幅。
首先我们要先明确和区分一些基本的物理概念：
经典位形空间-----------场或者物理对象所有可能的位形状态的集合
经典的态空间---------场或者物理对象所有可能的运动学状态的集合，不仅包括位形还包含动量的信息
量子的态空间---------经典位形空间上的波函数全体构成的希尔伯特空间
讨论经典力学合适的范畴是集合或者流形的范畴
讨论量子力学合适的范畴是希尔伯特空间的范畴
在集合范畴和线性空间范畴有对伴随函子:自由向量空间函子和忘却函子，
自由向量空间函子把一个集合变为这个集合中的元素自由生成的向量空间。
在态空间的层次上，量子化或者说从经典到量子的过程类似于这个自由向量空间函子，量子态空间相当于经典位形空间自由生成的向量空间。所以说经典的状态其实对应的是量子态空间的一组基。
上面说的三个空间都是在某一个确定时刻，系统的可能状态或者位形的全部可能性，现在我们说说和时间段有关的概念
历史空间--------给定两个时刻t_1 和 t_2,任意两个分别在两个时刻的经典态X_1和X_2，任意一个可能的从X_1到X_2过程（或者说路径）都是历史空间的一个元素，用H（t_1,t_2）表示所有从时刻t_1到t_2的历史，这个空间有一个双纤维化结构（bi-fibration structure），记C（t_1）和C（t_2）表示两个时刻的状态空间（可以不一样）。
C（t_1）<---------H(t_1,t_2)---------->C(t_2)
向左这个箭头表示取 过程的起点，向右的箭头表示取过程的终点，这两个箭头都是纤维化。
上面这个图是数学中非常重要，非常常见的图，我们叫它 屋顶（roof），如果把中间的H画的高一点这个名字还是蛮恰当的。其实它有一个更专业的名字：span（参看nLab span 词条）。在这个图中如果把箭头都反过来，我们叫做cospan。这个图的重要性在于表达了两个集合之间二元关系的推广，几乎所有的对偶性和等价性的背后都有这么一个图像。比如傅里叶变换，朗兰兹对偶，森田等价等等。
如果把其中的一个箭头反过来，就是我们熟悉的可以复合两个函数的图像。但是span的箭头有一个方向不对，所以不能符合，但是span和span之间可以符合（做纤维积）。
在上面这个例子中，两个态之间的历史就刚好是这两个态的公共纤维，对这个纤维积分，得到的数就是两个态之间的关联振幅。所以历史求和或者路径积分的数学结构本质上是纤维积分。其实我们按照刚才自由向量空间的说法，我们可以把C(t_1)和C(t_2)中的元素作为指标比如用i，j 表示，历史空间中的公共纤维就可以用i，j标记，i和j的公共纤维记为P（i，j）（path or process）我们可以把这些纤维排成一个“矩阵”，对这个“矩阵”中的各个元素积分就得到一个真正的矩阵(我们还没有说这些纤维上有什么积分测度，我们后面再讲这些，先假设存在一个积分测度)，我们记为S（t_1,t_2）这个矩阵就是传说中的S矩阵（S矩阵是量子物理的主要的也是最基本的观察量，S矩阵的系数叫做关联函数，共形场论中的S矩阵和黎曼面模空间上的conformal block，高斯-马宁联络也是有关的，这些S矩阵实际上构成一个Hopf algebra，这些都是后话）。所以量子化在态空间的层次上就是自由向量空间函子，在历史空间的层次上就是双纤维化+纤维积分。因为积分运算是线性算子所以这两个层次的操作是一致的。另外从上面的过程我们可以大致体验到categorical quantum field theory 就是S矩阵（Dyson-Schwinger formalism）的范畴化表述。
现在我们考虑三个相继时刻的情形。考虑三个相继时刻t_1,t_2,t_3, 对应的三个状态空间为C（t_1），C（t_2），C(t_3)，其中的元素分别用i，j，k指标标记，这个时候我们有三个历史空间H（t_1），H（t_2），H(t_3)，我们还有三个span（历史空间的双纤维化结构）
C（t_1）<------H(t_1,t_2)------->C(t_2),
C(t_2)<-------H(t_2,t_3)-------->C(t_3)
以及
C(t_1)<-------H(t_1,t_3)-------->C(t_3)
和前面的分析类似，由这三个span 我们可以得到三个散射矩阵S（t_1,t_2），S（t_2，t_3）和S（t_1，t_3）。
那么现在一个自然的问题就是所有的这些数据之间的关系是什么？
答案是H（t_1,t_2）和H（t_2,t_3）的关于C（t_2）纤维积（fiber producnt or pull back）刚好是H(t_1,t_3). 我们用span的语言来形式化这个结果就是前两个相继地span的复合是第三个span，这个不需要任何别的假设，只需要你承认我们的世界在时间的流逝下不会出现矛盾，就会自然的得到这个结果。学习这些东西其实不需要太多的数学和物理背景，真正本质的东西都是很简单很自然的。
我把上面的过程在解释一下，考虑t_1和t_3时刻的态i和k，他们之间的历史P（i，k）具有什么样的结构？如果我们在中间时刻t_2做一个观察，可以发现从i到k的过程可以根据在t_2时刻所经历的状态来划分，也就是说P（i,k）这个集合是所有的形如P（i，j）和P（j，k）的笛卡尔积 这样的集合的无交并(j取遍所有C（t_2）的元素)。现在我们开始做纤维积分，P（i，k）得到的积分是矩阵S（t_1,t_3）的i，k分量s_{ik},但是上面说到P（i，k）是一系列笛卡尔积的无交并，在笛卡尔积上做积分我们有富比尼定理（化重积分为累次积分），笛卡尔积P（i，j）P（j，k）的积分就是s_{ij}s_{jk},而在无交并空间上的积分就等于在各个子空间积分的和，
所以 我们得到s_{ik}=\sum_j s_{ij}s_{jk},这恰恰是矩阵乘积的公式，
所以S（t_1，t_3）=S(t_2,t_3)S(t_1,t_2).
在上面的证明中我忽略一些细节，就是历史空间上的测度问题。
其实要注意到量子场论的局部性对于上面的证明是非常要紧的，也就是说历史求和（路径积分）之所以有如此好的代数性质，关键的一条就是作用量的局部性。那么局部性到底什么意思呢？
局部性是指作用量对于过程的可加性（作用量对于时空是广延量）。也就是一个过程的作用量是它的各段中间过程的作用量的和。如果作用量是拉格朗日密度在时空上的积分的话，可加性自然成立。更精确一点，如果过程X=AB（A过程和B过程的复合），那么作用量S（X）=S（AB）=S(A)+S(B).
在做路径积分的时候，作用量是在指数上，所以exp^{S（X）}=exp^{S(A)}exp^{S(B)},
这一个性质保证了历史空间的乘积的测度等于历史空间测度的乘积。
强调一点： 作用量的可加性或者局部性是历史求和具有好的代数结构的先决条件。
一切都非常完美！
on shell-----------------我们上面介绍的东西其实都是在没有物理的一般情况的setting。这里物理指的就是作用量和历史空间上的测度。稍微懂点物理的都知道作用量是历史空间上的函数（通常叫做泛函，因为实际的例子中历史空间都是无限维的）。如果这个系统的物理不是很坏（nondegenerate），作用量实际上是一个莫尔斯函数。on shell 就是历史空间上作用量的极值点，它的物理意义就是经典的可以真实发生的过程（最小作用量原理）。微扰量子场论就是对on shell 进行形变量子化。如果假设作用量非退化，on shell 上会有一个自然的辛结构，这个辛结构是从作用量继承来的，基本上只要有非退化的变分结构，on shell 上都会有辛结构。如果退化我们只能得到预辛结构（pre-sympletic structure）。
通常遇到的例子，它们的状态空间都是同一个也就是和时间没有关系，而且由于on shell 是系统欧拉-拉格朗日方程的解空间，由于微分方程初值问题解的唯一性，所以可以把历史空间的on shell 部分和状态空间等同起来。
off shell-----------------历史空间上不在on shell上的点成为off shell， on shell 上的点都是可以真实发生的，或者满足物理约束的，比如它们满足能量守恒，动量守恒等等，但是off shell上的点不满足物理的限制，但是量子场论中要求off shell 的过程也会对真实的过程产生贡献（路径积分就是 对off shell的量子涨落进行累积），这些off shell 过程通常叫做虚过程，中间涉及的场的激发态叫做虚粒子。量子场论和凝聚态中对粒子的定义为场或者体系的具有一定稳定的特性的激发态，这些激发态通常是是场或者体系在某些相或者量子序下的低级激发态或者基态。
------------------------------------------------------------------------------
这一部分我们来回答以下一些问题。
拓扑量子场论中的拓扑到底意味着什么？ 为什么要研究拓扑量子场论？拓扑量子场论又有现实的物理意义？
首先这些答案没有标准答案，数学家和物理学家的答案也不一样。
量子场论的主要的观察量就是散射矩阵或者叫S-matrix，当然如果是多个粒子到多个粒子的散射过程，这个矩阵实际上是一个高阶张量，当然高阶张量和张量空间之间的线性映射是一样。所以我们就不在精细的区分术语。散射矩阵的各个分量或者系数称为散射振幅或者转移振幅，通常物理学家把它们打包成生成函数，叫做所谓的关联函数。 除了一系列的散射矩阵之外，其他的一些主要要观测量就是一些算子的本征值本征态问题，即谱问题，还有系统的各种特殊态的对称性，能谱的研究。那么拓扑场论中的拓扑是什么意思呢？答案就是 拓扑的意思就是散射矩阵是拓扑不变量，或者说关联函数的系数或者散射矩阵的系数都是拓扑数。这是从数学的角度来说，从物理的角度就是，在拓扑场论中所有的粒子都是没有质量的，或者说有效质量为零。这一点和共形场论是一致的。拓扑场论和共形场论中的粒子都是没还有质量的，因为质量的定义是时空对称群的生成元的本征值，如果我们的理论和时空度规没有关系，那就是说是时空对称群的平凡表示，所以就不存在质量。更一般的判断拓扑性的方法（物理学家定义拓扑场论的方法）是看关联函数关于时空度规的变分是否为零，这一点比较接近S矩阵是拓扑不变量的解释。关联函数是拓扑的这个事情的物理图像是什么呢？
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？ 这里涉及到主动和被动的描述的问题，改变顶点算子的位置可以等效的认为我改变了时空度规。或者说我可以通过一个微分同胚来实现顶点算子的位移，这个微分同胚可以诱导一个新的度规（比如可以通过pull back），顶点算子在原来的位置上的关联函数如果何在这个新的度规上的定点算子的关联函数是一样的话，那就必须对这个量子系统有一定的限制。这样的限制在共形场论中称为Ward恒等式。这个说法和改变顶点算子的位置而让关联函数不变是一样的。这个不变性不是必然要满足（不是逻辑必然的），如果要满足就说明这个系统是要受到约束的。
从上面的讨论我们也可以看出，相比较于经典场论，量子场论更像是一个黑箱子或者一台机器或者一块材料，为了了解量子场论的结构，我们给它一些刺激，看看它如何反映。这里的刺激就是我们在时空中插入一些顶点算子，来测量一些关联函数，通过这些关联函数我们来反推这个系统应该具有的结构。所以关联函数更像是控制系统的响应函数，知道了足够多的响应函数，我们基本上就了解了这个系统的行为模式。
说明这个事情一个比较好的例子就是黎曼流形上的hodge理论，有了黎曼度量之后我们可以定义调和形式，调和形式的空间和德拉姆上同调空间作为线性空间是同构的（不是作为弗洛比纽斯代数或者结合代数，调和形式上没有外积）。当我们改变黎曼度规的时候，调和形式空间会在微分形式空间转动和伸缩，但是调和形式空间的维数是不会变的，都等于Bitti numbers，说明他们是拓扑不变量。这个Hodge理论被威腾解释成一个超对称的量子力学，这个量子力学的波函数就是复值的微分形式全体（也可以考虑完备化的版本）
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1989年，M.Atiyha 受到Segal 公理化定义共形场论的方法的启发，给出了范畴化版本的拓扑量子场论的定义，指出了历史求和 与 流形的协边范畴的关联，揭示了量子场论的内在的数学结构。
拓扑量子场论的主要想法就是把时空解释成空间的定向协边。
时空=空间的定向协边
先解释一下什么是定向协边范畴。我们固定一个维数k，讨论k+1维定向协边范畴，k是空间维数，1表示时间维数。
这个范畴的对象是k维定向（闭）流形，比如M，我们+M和-M表示M的两个定向，它的物理意义就是量子场所生活的空间。两个定向相容的流形-M_1和+N_2（两个对象）之间的协边(协边范畴的态射)是一个k+1维定向流形L（定向反映的是时间方向），这个流形的定向要满足它在拓扑边界上诱导的定向是和M的定向相反和N的定向相同（统一用右手法则定义边界的诱导定向）。
我们可以把这个定向协边简单的写为
L=[-M]----->[+N],
中间的箭头表示时间的方向，L定义域-M表示的是过去的空间，+N表示未来的空间，因为时间是有确定方向的，所以在讨论两个k维闭流形之间的协边的时候 只需要给定L的定向那么定义域和值域的定向就自然确定了，也就是定义域的定向总是和诱导定向相反，值域的定向总是和诱导定向相同。
所有上面的协边可以更加简化为
L=M---->N 而不会引起歧义。
那么定向有什么物理意义呢？实际上，可以这样理解：
协边的定义域上生活的量子态对应于反粒子的激发态，协边的值域上生活的量子态对应于激发态，这是因为费曼把反粒子解释为沿反时间方向运动的粒子，把粒子解释为沿时间方向运动的粒子。这里正反的粒子的区分类似于 狄拉克的刀态（bra）和刃态（ket）的关系，说的更数学些就是 线性空间中的向量和其对偶空间 中的向量的关系。 当然更深刻的解释和CPT定理之类的物理有关，我们不必涉及这么复杂。
如果感觉协边的定向比较绕的话可以先不管这个东西。反正定向协边就是时空演化图，是量子场相互作用的舞台。和普通映射的复合一样，如果一个定向协边L_1的值域的定向和另一个定向协边L_2的值域有相同的定向，我们可以把L_1的值域和L_2的定义域等同起来而得到一个新的定向协边L，这个构造在拓扑上叫做空间的粘贴，在我们这里则把这个操作叫做定向协边的复合记做L=L_2L_1,这个复合和映射的复合满足相同的规律，即存在单位，满足结合律等等。其实这些规律是保证时空的因果结构所必须的。
阿提亚的伟大创见就在于发现时空的演化图（定向协边）和 量子物理中的 历史求和是相容的，换句话说 时空演化的代数结构（定向协边范畴）和量子场的转移振幅所满足的代数结构是一致的或者说 我们可以把定向协边看做是量子场的高维的 费曼图。 所以阿提亚把拓扑量子场论定义为定向协边范畴的线性表示。在粒子物理中，我们可以把量子场论定义为费曼图的表示，从费曼规则的意义上，阿提亚的拓扑量子场论是量子场论中费曼规则的高维推广或者说的更物理一些就是膜（相互作用)的费曼图。
一些简单的类比：
量子力学--------李群/李代数的表示
产生湮灭算子---------李代数的三角分解
（微扰）量子场论----------费曼图的表示
阿提亚的拓扑量子场论----------流形协边范畴的表示
总结一点： 阿提亚的拓扑量子场论是高维膜的量子场论。
下面我们讨论两类模型，来看看为什么历史求和会有如此好的代数结构。限于表达的限制，我只是提炼一些要点，详细的推导在推荐的材料里都有，很详细，很容易follow。
一类是规范模型，一类是sigma模型，这两类模型都可以看做是广义的上同调模型，区别于通常的广义上同调，拓扑量子场论是乘法的，而通常的广义上同调都是加法的。
另外，给一些适合数学系看的文章
1 C.Teleman, Five lectures on topological field theory
2 D.S.Freed, Lectures on topological field theory.
3 M.Atiyah, topological quantum field theories, 1989.
4 P.Van Baal, An introduction to topological Yang-Mills theory,1990.
拓扑量子场论的核心就是对于路径积分（历史求和）的数学结构和可能的应用的探索。
对于数学系的学生，最难的地方在于理解路径积分所隐含的代数结构，理解量子物理的数学结构，最关键的一点就是理解路径积分。
历史求和又称路径积分，是量子物理中计算转移振幅的核心方法。本文将强调历史求和和纤维积分（fibre integration），反转映射（Umkehr map），基森映射（Gysin map），傅里叶变换以及Kan extension等常见的重要概念的一致性。
量子物理的核心要素是量子态和量子态之间的关联振幅。历史求和是确定量子态之间的动力学关联强度（转移振幅）的核心方法。系统的量子态总是生活在希尔伯特空间之中，给定系统的动力学，用路径积分的方法可以计算不同时刻不同量子态之间的动力学关联振幅。
首先我们要先明确和区分一些基本的物理概念：
经典位形空间-----------场或者物理对象所有可能的位形状态的集合
经典的态空间---------场或者物理对象所有可能的运动学状态的集合，不仅包括位形还包含动量的信息
量子的态空间---------经典位形空间上的波函数全体构成的希尔伯特空间
讨论经典力学合适的范畴是集合或者流形的范畴
讨论量子力学合适的范畴是希尔伯特空间的范畴
在集合范畴和线性空间范畴有对伴随函子:自由向量空间函子和忘却函子，
自由向量空间函子把一个集合变为这个集合中的元素自由生成的向量空间。
在态空间的层次上，量子化或者说从经典到量子的过程类似于这个自由向量空间函子，量子态空间相当于经典位形空间自由生成的向量空间。所以说经典的状态其实对应的是量子态空间的一组基。
上面说的三个空间都是在某一个确定时刻，系统的可能状态或者位形的全部可能性，现在我们说说和时间段有关的概念
历史空间--------给定两个时刻t_1 和 t_2,任意两个分别在两个时刻的经典态X_1和X_2，任意一个可能的从X_1到X_2过程（或者说路径）都是历史空间的一个元素，用H（t_1,t_2）表示所有从时刻t_1到t_2的历史，这个空间有一个双纤维化结构（bi-fibration structure），记C（t_1）和C（t_2）表示两个时刻的状态空间（可以不一样）。
C（t_1）<---------H(t_1,t_2)---------->C(t_2)
向左这个箭头表示取 过程的起点，向右的箭头表示取过程的终点，这两个箭头都是纤维化。
上面这个图是数学中非常重要，非常常见的图，我们叫它 屋顶（roof），如果把中间的H画的高一点这个名字还是蛮恰当的。其实它有一个更专业的名字：span（参看nLab span 词条）。在这个图中如果把箭头都反过来，我们叫做cospan。这个图的重要性在于表达了两个集合之间二元关系的推广，几乎所有的对偶性和等价性的背后都有这么一个图像。比如傅里叶变换，朗兰兹对偶，森田等价等等。
如果把其中的一个箭头反过来，就是我们熟悉的可以复合两个函数的图像。但是span的箭头有一个方向不对，所以不能符合，但是span和span之间可以符合（做纤维积）。
在上面这个例子中，两个态之间的历史就刚好是这两个态的公共纤维，对这个纤维积分，得到的数就是两个态之间的关联振幅。所以历史求和或者路径积分的数学结构本质上是纤维积分。其实我们按照刚才自由向量空间的说法，我们可以把C(t_1)和C(t_2)中的元素作为指标比如用i，j 表示，历史空间中的公共纤维就可以用i，j标记，i和j的公共纤维记为P（i，j）（path or process）我们可以把这些纤维排成一个“矩阵”，对这个“矩阵”中的各个元素积分就得到一个真正的矩阵(我们还没有说这些纤维上有什么积分测度，我们后面再讲这些，先假设存在一个积分测度)，我们记为S（t_1,t_2）这个矩阵就是传说中的S矩阵（S矩阵是量子物理的主要的也是最基本的观察量，S矩阵的系数叫做关联函数，共形场论中的S矩阵和黎曼面模空间上的conformal block，高斯-马宁联络也是有关的，这些S矩阵实际上构成一个Hopf algebra，这些都是后话）。所以量子化在态空间的层次上就是自由向量空间函子，在历史空间的层次上就是双纤维化+纤维积分。因为积分运算是线性算子所以这两个层次的操作是一致的。另外从上面的过程我们可以大致体验到categorical quantum field theory 就是S矩阵（Dyson-Schwinger formalism）的范畴化表述。
现在我们考虑三个相继时刻的情形。考虑三个相继时刻t_1,t_2,t_3, 对应的三个状态空间为C（t_1），C（t_2），C(t_3)，其中的元素分别用i，j，k指标标记，这个时候我们有三个历史空间H（t_1），H（t_2），H(t_3)，我们还有三个span（历史空间的双纤维化结构）
C（t_1）<------H(t_1,t_2)------->C(t_2),
C(t_2)<-------H(t_2,t_3)-------->C(t_3)
以及
C(t_1)<-------H(t_1,t_3)-------->C(t_3)
和前面的分析类似，由这三个span 我们可以得到三个散射矩阵S（t_1,t_2），S（t_2，t_3）和S（t_1，t_3）。
那么现在一个自然的问题就是所有的这些数据之间的关系是什么？
答案是H（t_1,t_2）和H（t_2,t_3）的关于C（t_2）纤维积（fiber producnt or pull back）刚好是H(t_1,t_3). 我们用span的语言来形式化这个结果就是前两个相继地span的复合是第三个span，这个不需要任何别的假设，只需要你承认我们的世界在时间的流逝下不会出现矛盾，就会自然的得到这个结果。学习这些东西其实不需要太多的数学和物理背景，真正本质的东西都是很简单很自然的。
我把上面的过程在解释一下，考虑t_1和t_3时刻的态i和k，他们之间的历史P（i，k）具有什么样的结构？如果我们在中间时刻t_2做一个观察，可以发现从i到k的过程可以根据在t_2时刻所经历的状态来划分，也就是说P（i,k）这个集合是所有的形如P（i，j）和P（j，k）的笛卡尔积 这样的集合的无交并(j取遍所有C（t_2）的元素)。现在我们开始做纤维积分，P（i，k）得到的积分是矩阵S（t_1,t_3）的i，k分量s_{ik},但是上面说到P（i，k）是一系列笛卡尔积的无交并，在笛卡尔积上做积分我们有富比尼定理（化重积分为累次积分），笛卡尔积P（i，j）P（j，k）的积分就是s_{ij}s_{jk},而在无交并空间上的积分就等于在各个子空间积分的和，
所以 我们得到s_{ik}=\sum_j s_{ij}s_{jk},这恰恰是矩阵乘积的公式，
所以S（t_1，t_3）=S(t_2,t_3)S(t_1,t_2).
在上面的证明中我忽略一些细节，就是历史空间上的测度问题。
其实要注意到量子场论的局部性对于上面的证明是非常要紧的，也就是说历史求和（路径积分）之所以有如此好的代数性质，关键的一条就是作用量的局部性。那么局部性到底什么意思呢？
局部性是指作用量对于过程的可加性（作用量对于时空是广延量）。也就是一个过程的作用量是它的各段中间过程的作用量的和。如果作用量是拉格朗日密度在时空上的积分的话，可加性自然成立。更精确一点，如果过程X=AB（A过程和B过程的复合），那么作用量S（X）=S（AB）=S(A)+S(B).
在做路径积分的时候，作用量是在指数上，所以exp^{S（X）}=exp^{S(A)}exp^{S(B)},
这一个性质保证了历史空间的乘积的测度等于历史空间测度的乘积。
强调一点： 作用量的可加性或者局部性是历史求和具有好的代数结构的先决条件。
一切都非常完美！
on shell-----------------我们上面介绍的东西其实都是在没有物理的一般情况的setting。这里物理指的就是作用量和历史空间上的测度。稍微懂点物理的都知道作用量是历史空间上的函数（通常叫做泛函，因为实际的例子中历史空间都是无限维的）。如果这个系统的物理不是很坏（nondegenerate），作用量实际上是一个莫尔斯函数。on shell 就是历史空间上作用量的极值点，它的物理意义就是经典的可以真实发生的过程（最小作用量原理）。微扰量子场论就是对on shell 进行形变量子化。如果假设作用量非退化，on shell 上会有一个自然的辛结构，这个辛结构是从作用量继承来的，基本上只要有非退化的变分结构，on shell 上都会有辛结构。如果退化我们只能得到预辛结构（pre-sympletic structure）。
通常遇到的例子，它们的状态空间都是同一个也就是和时间没有关系，而且由于on shell 是系统欧拉-拉格朗日方程的解空间，由于微分方程初值问题解的唯一性，所以可以把历史空间的on shell 部分和状态空间等同起来。
off shell-----------------历史空间上不在on shell上的点成为off shell， on shell 上的点都是可以真实发生的，或者满足物理约束的，比如它们满足能量守恒，动量守恒等等，但是off shell上的点不满足物理的限制，但是量子场论中要求off shell 的过程也会对真实的过程产生贡献（路径积分就是 对off shell的量子涨落进行累积），这些off shell 过程通常叫做虚过程，中间涉及的场的激发态叫做虚粒子。量子场论和凝聚态中对粒子的定义为场或者体系的具有一定稳定的特性的激发态，这些激发态通常是是场或者体系在某些相或者量子序下的低级激发态或者基态。
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这一部分我们来回答以下一些问题。
拓扑量子场论中的拓扑到底意味着什么？ 为什么要研究拓扑量子场论？拓扑量子场论又有现实的物理意义？
首先这些答案没有标准答案，数学家和物理学家的答案也不一样。
量子场论的主要的观察量就是散射矩阵或者叫S-matrix，当然如果是多个粒子到多个粒子的散射过程，这个矩阵实际上是一个高阶张量，当然高阶张量和张量空间之间的线性映射是一样。所以我们就不在精细的区分术语。散射矩阵的各个分量或者系数称为散射振幅或者转移振幅，通常物理学家把它们打包成生成函数，叫做所谓的关联函数。 除了一系列的散射矩阵之外，其他的一些主要要观测量就是一些算子的本征值本征态问题，即谱问题，还有系统的各种特殊态的对称性，能谱的研究。那么拓扑场论中的拓扑是什么意思呢？答案就是 拓扑的意思就是散射矩阵是拓扑不变量，或者说关联函数的系数或者散射矩阵的系数都是拓扑数。这是从数学的角度来说，从物理的角度就是，在拓扑场论中所有的粒子都是没有质量的，或者说有效质量为零。这一点和共形场论是一致的。拓扑场论和共形场论中的粒子都是没还有质量的，因为质量的定义是时空对称群的生成元的本征值，如果我们的理论和时空度规没有关系，那就是说是时空对称群的平凡表示，所以就不存在质量。更一般的判断拓扑性的方法（物理学家定义拓扑场论的方法）是看关联函数关于时空度规的变分是否为零，这一点比较接近S矩阵是拓扑不变量的解释。关联函数是拓扑的这个事情的物理图像是什么呢？
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？ 这里涉及到主动和被动的描述的问题，改变顶点算子的位置可以等效的认为我改变了时空度规。或者说我可以通过一个微分同胚来实现顶点算子的位移，这个微分同胚可以诱导一个新的度规（比如可以通过pull back），顶点算子在原来的位置上的关联函数如果何在这个新的度规上的定点算子的关联函数是一样的话，那就必须对这个量子系统有一定的限制。这样的限制在共形场论中称为Ward恒等式。这个说法和改变顶点算子的位置而让关联函数不变是一样的。这个不变性不是必然要满足（不是逻辑必然的），如果要满足就说明这个系统是要受到约束的。
从上面的讨论我们也可以看出，相比较于经典场论，量子场论更像是一个黑箱子或者一台机器或者一块材料，为了了解量子场论的结构，我们给它一些刺激，看看它如何反映。这里的刺激就是我们在时空中插入一些顶点算子，来测量一些关联函数，通过这些关联函数我们来反推这个系统应该具有的结构。所以关联函数更像是控制系统的响应函数，知道了足够多的响应函数，我们基本上就了解了这个系统的行为模式。
说明这个事情一个比较好的例子就是黎曼流形上的hodge理论，有了黎曼度量之后我们可以定义调和形式，调和形式的空间和德拉姆上同调空间作为线性空间是同构的（不是作为弗洛比纽斯代数或者结合代数，调和形式上没有外积）。当我们改变黎曼度规的时候，调和形式空间会在微分形式空间转动和伸缩，但是调和形式空间的维数是不会变的，都等于Bitti numbers，说明他们是拓扑不变量。这个Hodge理论被威腾解释成一个超对称的量子力学，这个量子力学的波函数就是复值的微分形式全体（也可以考虑完备化的版本）
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1989年，M.Atiyha 受到Segal 公理化定义共形场论的方法的启发，给出了范畴化版本的拓扑量子场论的定义，指出了历史求和 与 流形的协边范畴的关联，揭示了量子场论的内在的数学结构。
拓扑量子场论的主要想法就是把时空解释成空间的定向协边。
时空=空间的定向协边
先解释一下什么是定向协边范畴。我们固定一个维数k，讨论k+1维定向协边范畴，k是空间维数，1表示时间维数。
这个范畴的对象是k维定向（闭）流形，比如M，我们+M和-M表示M的两个定向，它的物理意义就是量子场所生活的空间。两个定向相容的流形-M_1和+N_2（两个对象）之间的协边(协边范畴的态射)是一个k+1维定向流形L（定向反映的是时间方向），这个流形的定向要满足它在拓扑边界上诱导的定向是和M的定向相反和N的定向相同（统一用右手法则定义边界的诱导定向）。
我们可以把这个定向协边简单的写为
L=[-M]----->[+N],
中间的箭头表示时间的方向，L定义域-M表示的是过去的空间，+N表示未来的空间，因为时间是有确定方向的，所以在讨论两个k维闭流形之间的协边的时候 只需要给定L的定向那么定义域和值域的定向就自然确定了，也就是定义域的定向总是和诱导定向相反，值域的定向总是和诱导定向相同。
所有上面的协边可以更加简化为
L=M---->N 而不会引起歧义。
那么定向有什么物理意义呢？实际上，可以这样理解：
协边的定义域上生活的量子态对应于反粒子的激发态，协边的值域上生活的量子态对应于激发态，这是因为费曼把反粒子解释为沿反时间方向运动的粒子，把粒子解释为沿时间方向运动的粒子。这里正反的粒子的区分类似于 狄拉克的刀态（bra）和刃态（ket）的关系，说的更数学些就是 线性空间中的向量和其对偶空间 中的向量的关系。 当然更深刻的解释和CPT定理之类的物理有关，我们不必涉及这么复杂。
如果感觉协边的定向比较绕的话可以先不管这个东西。反正定向协边就是时空演化图，是量子场相互作用的舞台。和普通映射的复合一样，如果一个定向协边L_1的值域的定向和另一个定向协边L_2的值域有相同的定向，我们可以把L_1的值域和L_2的定义域等同起来而得到一个新的定向协边L，这个构造在拓扑上叫做空间的粘贴，在我们这里则把这个操作叫做定向协边的复合记做L=L_2L_1,这个复合和映射的复合满足相同的规律，即存在单位，满足结合律等等。其实这些规律是保证时空的因果结构所必须的。
阿提亚的伟大创见就在于发现时空的演化图（定向协边）和 量子物理中的 历史求和是相容的，换句话说 时空演化的代数结构（定向协边范畴）和量子场的转移振幅所满足的代数结构是一致的或者说 我们可以把定向协边看做是量子场的高维的 费曼图。 所以阿提亚把拓扑量子场论定义为定向协边范畴的线性表示。在粒子物理中，我们可以把量子场论定义为费曼图的表示，从费曼规则的意义上，阿提亚的拓扑量子场论是量子场论中费曼规则的高维推广或者说的更物理一些就是膜（相互作用)的费曼图。
一些简单的类比：
量子力学--------李群/李代数的表示
产生湮灭算子---------李代数的三角分解
（微扰）量子场论----------费曼图的表示
阿提亚的拓扑量子场论----------流形协边范畴的表示
总结一点： 阿提亚的拓扑量子场论是高维膜的量子场论。
下面我们讨论两类模型，来看看为什么历史求和会有如此好的代数结构。限于表达的限制，我只是提炼一些要点，详细的推导在推荐的材料里都有，很详细，很容易follow。
一类是规范模型，一类是sigma模型，这两类模型都可以看做是广义的上同调模型，区别于通常的广义上同调，拓扑量子场论是乘法的，而通常的广义上同调都是加法的。
赵欢 回复2013年07月07日 14:49:08这叫啥了？三言两语，还没营养。翻译也不对，“转移振幅”应当为“跃迁振幅”等等
万门大学数学系 回复2013年07月07日 15:02:54回复赵欢:别急我还没开始写。跃迁是量子力学的说法
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