史蒂芬 史史蒂蒂芬芬 史蒂芬- -- -波爾茲曼定律 波波爾爾茲茲曼曼定定律律 波爾茲曼定律(1884) ((11888844)) (1884) 麥克斯韋在 1864 年創立了電磁理論。波爾茲曼在 1877 年以統計力學公式化的表 述出熱力學第二定律。其後，波爾茲曼證明了可以由統計力學加上麥克斯韋方程 組可以得出: 輻射壓力 p = u/3，u 為輻射能的密度 u = σT4 (史蒂芬-波爾茲曼熱輻射定律)
維恩位移定律 維維恩恩位位移移定定律律 維恩位移定律 (1893) ((11889933)) (1893) 以統計力學和麥克斯韋方程組為基礎，維恩推算出在 F(λ, T) 中
Tλ= 常數
函數 F 的峰波長 (峰發射) 為
T
nmpeak
,0009002,
() =
λ
O
WX YZ[ #\ ]
與實驗結果吻合。“溫度較高的物件發射出波長較短的光”。
黑體 黑黑體體 黑體 ( (( (熱輻射 熱熱輻輻射射 熱輻射) )) ) 發射總結 發發射射總總結結 發射總結 1. 較熱的物件每單位面積發射出較多的總輻射
史蒂芬-波爾茲曼定律。
2. 愈熱的物件，發射出的光子愈藍 (有較高的頻率 υ 和平均能量)
維恩位移定律 :
λpeak = 2.9 x 106 / T(K) [nm]
不需要知道物件的構造，只需要知道物件的溫度 T 可是，函數 ,) ( fT ν 的準確數學表述是怎樣的?
函數 函函數數 函數 f ff f 是甚麼 是是甚甚麼麼 是甚麼? ?? ? 1890 後，隨著實驗儀器的進步，對熱輻射的描述亦愈來愈精確。可是電磁學和 統計力學已不能提供更詳盡的方法去找出函數 f。
理論上的“估計”:
- 維恩 (1896) - 瑞利 (1900 - 普朗克 (1900)
瑞瑞利利的的嘗嘗試試 瑞利的嘗試︰ ︰︰ ︰ 紫外災難 紫紫外外災災難難 紫外災難 基于正確的原則︰ 麥克斯韋的經典電磁波理論提出每一狀態的輻射密度為
λ
λ π
λλ
d
V
Nd
4
8 () =
波爾茲曼用統計力學求出每一狀態的平均能量為 kT (能量均分理論) 結合以上兩點得出能量密度 u(λ) 為
ukT 4 8 () λ π λ = 瑞利的公式在長波長 (低頻率) 的實驗中得到了確認，可是當λ趨向零 (高頻率) 的時候 u(λ) 會變成無限大 : 紫外災難!
熱輻射的來源 熱熱輻輻射射的的來來源源 熱輻射的來源 : :: : 聚集輻射偶極 聚聚集集輻輻射射偶偶極極 聚集輻射偶極 1889 年，普朗克於柏林繼承了基爾霍夫，用大量不同頻率的輻射偶極作熱輻射 的研究。當時洛倫茲已經用這些 “線性振盪器“ (“赫茲輻射體” 或共振器) 完成了他的光學理論。普朗克嘗試尋找一套理論去解釋維恩位移定律。自1895
–
16
起，他出版了一系列的論文，闡述如果在他的理論模型上加上各種假設去推導出 維恩位移定律。可是，經過改良後的實驗所得出的數據最終推翻了維恩位移定 律，令普朗克感到非常 ”失望”。
普朗克 普普朗朗克克 普朗克 “ ““ “令人失望的行動 令令人人失失望望的的行行動動 令人失望的行動” ”” ”
#模式每頻率單位每體 積單位
佔用模式的機率 每模式的平均能 量
經典
3 28 c πν
全部模式相等 kT
量子
3 28 c πν
量子化模式 : 需 要 hv 能量去刺 激較高的模式，不 太可能發生
1−kT h
e
h ν ν
結果出乎意料的好!
−
=
1
81
4 () 4/hckT e chc
R
λλλ π
λ
O
W^ _ >PPP` a,bc\ #de#fZ g
–
17
在標準光譜能量分佈定律上面 在在標標準準光光譜譜能能量量分分佈佈定定律律上上面面 在標準光譜能量分佈定律上面
(Max Planck Annalen der Physik vol. 4, p. 553 ff (1901))
−
=
1
81
4 () 4/hckT e chc
R
λλλ π
λ
除此之外，普朗克還求出了兩個常數，h (普朗克常數) 和 k (玻耳茲曼常數) 的 值:
JKk
Jsh
10/1.38
106.63
23
34 − −
=× ×⋅=
普朗克光的量子 普普朗朗克克光光的的量量子子 普朗克光的量子 一個頻率為 f 的輻射體所發射或吸收的能量只能是特定單位或量子單位的形 式，如 hf, 2hf, 3hf ，但不能以它們之間的數值發射或吸收。經典物理對電磁波 的振幅是沒有限制的。任何大小的能量可以用不同的頻率 f 來作交換。從普朗 克分佈的函數表述中可以預期，愈高頻率的光將愈難被吸收或發射，因為其中涉 及的量子單位改變很大。
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