Saturday, August 9, 2014

math01 並不是任意頻率配在一起都是和諧的

[PDF]

平均律與對數

libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9709.pdf
某個範圍內發出任何頻率的聲音,但並不是任意頻率配在一起都是和諧的。這就 .... (John Napier, 1550—1617) 的智慧產物;配合著對數,十進制小數和實數的概念也.






平均律與對數律
單維彰

《科學月刊》979月『數‧生活與學習』專欄



關於音樂與數學的科普作品很多,這篇短文沒有能力展現一個大歷史,只想揭示一個議題:在西方文明的演進中,音樂的律制從純律到十二平均律的演進,正好相當於數學對於數的概念從有理數到實數的演進,也就是在測量上從精確分數到近似小數的演進,也就是在技術上從代數到分析的演進。為什麼這兩種智識文化的演進發生在同一段時期?原因可能是,當時在這兩種文化圈子裡的,是同一幫人。

我不確定所謂『禮樂射御書數』具體學習了哪些音樂和數學,也不知道中世紀歐洲教會學校 (cathedral schools) 四學科 (quadrivium:算術、幾何、音樂、天文) 具體學習了什麼音樂與數學。但是這至少說明了:曾經有一個時代,知識份子將音樂和數學視為基本學養的一部分。那個時代,比起我們熟悉的近代,還頗長久的。讀著音樂學的歷史,我們見到許多熟悉的名字:從畢達哥拉斯(有許多學生一直不相信,這就是畢氏定理據以命名的那位古希臘人),伽利略、刻卜勒、笛卡耳,一直到牛頓。這一點共通性,到了現在,特別是在台灣這個地區的當代,簡直是遙遠得透著不可思議的古怪。

據我個人受侷限的經驗認知,現在(台灣)的音樂與數學,只分享著一個共同的性質:為人父母者,都會在孩子們年少的時候,熱烈地專注於他們的音樂與數學教育;但是,如果他/她長到了青年,希望以音樂或數學當作一生的志業,則通常會遭遇強烈的反對。

音高是相對的。每個人都知道,只要你的音域夠廣,就可以從任何一個起音,清唱任何一首歌。這也是相對而言清唱比較簡單的原因:任何人都可以在淋浴的時候唱歌娛樂自己。所謂KaraOK伴唱機,對我來說是個諷刺的器材:根本不是它伴我唱,而是我伴它唱。人類的很多發明,到後來侷限了我們的自由,伴唱機就是一個。自從有了伴唱機,我就變成了五音不全的歌者。其實不是我自己五音不全,而是我熟唱某一首歌的起音與機器的不同,而且當我唱得起勁就臨時換了起音(所謂的轉調或升key或降key),因此我唱出的音頻和機器播放的伴奏並不和諧。一個經驗老到的伴奏樂隊,可以隨時配合歌者的音頻而調整他們的伴奏,使得伴奏和主唱的聲音是和諧的。這是伴唱機辦不到的,所以我如果要唱一首和諧的歌曲,必須配合機器的「伴」奏而限制自己的音高。這就是為什麼星光大道的參賽者頻頻轉身謝謝樂隊老師的原因了。




雖然音頻可以(理論上)連續變化,就像我們的喉嚨或者小提琴,可以在某個範圍內發出任何頻率的聲音,但並不是任意頻率配在一起都是和諧的。這就


是為什麼會有音律的制度:律制。律制規定了,相對於某個基準的音頻,有哪些


頻率的聲音是可以(或者說應該)用來製作音樂的。


然而,在某種程度上,什麼樣的聲音叫做「和諧」,不是基因內建的,而是


後天養成的;就像什麼樣的男人叫做「帥」一樣,是社會(特別是強勢傳播媒體)


的產物。這就是為什麼,音樂,可能僅次於語言,是最具有民族特色的文化產物。


就算我們完全不懂,也能大體上明白地分辨印度音樂、阿拉伯音樂、國樂和西方


音樂的不同。


總之,現在大部分人士在學校裡所受那聊勝於無的音樂教育,都是歐洲的


主流音樂。所以,我們也只能用這一套術語來溝通本篇所要談論的概念。關於「和

諧」,一個跨越民族的共識是:頻率為1:2 的兩種聲音是和諧的。兩倍頻率的音

稱為「高八度」的音。所以,如果一種律制在 [c, 2c) 頻率範圍內制訂了幾種頻

率的聲音,則 [2c, 4c) 就自然規定了它們高八度的聲音。同理,[c/2, c) 就規定

了低八度的聲音。在頻率上,它們是指數關係:往上是2 倍,4 倍,8 倍…,往

下是1/2 倍,1/4 倍,1/8 倍…;但是在聽覺上,它們是「平移」關係:這就只能




意會不能言傳了。頻率並不需要無止境的升高或下降,因為人的耳朵大約只能聽

20Hz 22,000Hz 之間的聲音。




所以,就像數學的「以簡馭繁」思想,音樂的律制可以只在「八度音」的

範圍內討論,也就是在 c x 2c 的範圍內挑選幾個頻率出來制訂一組音律。

音律的個數,少的至少有5,多的多達43。所謂平均律,就是相鄰兩個頻率的比

值皆相同。例如只挑選五個頻率:c x x x x x 2c 1 2 3 4 5       ,則平均律要求





k


x


x


x


x


x


x


x


x
   
4


5


3


4


2


3


1

2 。如果知道 1 x 3 x 而求 2 x ,其解就是 1 x 3 x

幾何平均 1 3 x x 。那位著名的伽利略的父親,文森左 (Vincenzo Galilei,

1520--1591),從古希臘數學典籍中發現了它的幾何解法,就是中學教師都會的,

利用一個半圓作幾何平均的高。但是,如果給定 1 x 5 x 而要求中間的 2 x ,


3 x 4 x ,可就不簡單了。因此,早期的律制都不是平均律。

早期的一種律制稱為純律 (Just Intonation),源自於畢達哥拉斯學派對於整數

近乎神秘的崇拜,用相鄰的整數比值「定義」和諧的聲音。例如,當c Do

頻率,則純律以c 3/2 倍作為Sol 的頻率,也就是基本的五度和諧。4/3 倍是


Fa,它是高八度Do 向下五度的和諧音,也就是 2÷(3/2)=4/35/4 倍是Mi,它是

三度和諧。而Sol 向上五度的和諧頻率是 (3/2)*(3/2)=9/4=2×(9/8),降八度回來,

規定9/8 Re。而Mi 的五度和諧頻率是 (5/4)*(3/2)=15/8,這是Ti。文森左時代




的歐洲知識份子,開始思考它們之所以和諧的物理原因,也開始用數學方法探究

為何它們缺乏內部一致性。例如Re 的五度和Fa 的三度都應該是La,從前者定

義,La 的諧頻率應該是 (9/8)*(3/2)=27/16,從後者定義卻是 (4/3)*(5/4)=5/3。純律

選用5/3,因為它的五度和諧頻率是高八度的Mi(5/3)*(3/2)=5/2=2×(5/4)

La 這個小小的裂縫,再加上其他和諧音和半音觀念的出現,使得純律的




神聖性受到了懷疑,就像那個時代的神學受到科學的懷疑一樣。後來,文森左終

於勇敢地提出他的看法是:整數比值根本是神話。天下沒有真正1:2 2:3 的兩

根弦,也就沒有真正2 倍或3/2 倍的頻率,一切都是近似而已。在微小的誤差內,




人根本聽不出來差異。這就是我們今天以實數做測量的觀念:給定一個單位長,

剪裁一條長度恰好是2 的繩子,與剪裁長度恰好是 2 的繩子,同樣是不可能




的。


解決前述平均律之連比問題的一般性數學概念,是對數。對數是納皮爾

(John Napier, 15501617) 的智慧產物;配合著對數,十進制小數和實數的概念也

跟著成形。到了梅仙尼 (Marin Mersenne, 15881648) 的時代,十二平均律


(12-TET: Twelve-Tone Equal Temperament) 的概念已經出現。它把log(c) log(2c)


等分12 段,再取指數還原,而得到一段八度音之內的12 個全音與半音。梅仙尼




不是數學史上的一哥級人物,以至於他的譯名非常混亂,包括莫仙尼、梅森林、


梅神父等等,經常讓人以為是不同的人。這位天主教神父是當時歐洲知識份子的

軸心人物,在他建立的菁英通訊網內,包括了笛卡耳、伽利略和費瑪。2 1 p




種形式的質數以他命名,張鎮華教授和黃文璋教授各有一篇介紹這種質數的科普

經典之作 [1,2]




鋼琴是完美對應十二平均律的樂器,在它的一段八度音之內,有黑白鍵共

12個,相鄰兩個音的頻率比值都是 1/12 12 2 2。若c Do 的頻率,則升Do


的頻率是c 1/12 2 倍,Re 2 /12 2 倍,依此類推。音高是相對的,任一個頻

率都能當作基準。不過,現在的所謂A440 國際標準規定:中央C 之八度內的


La 頻率是440Hz。所以中央C 的頻率滿足等式 2 440 9 /12 c  ,大約是261.6Hz

根據這個律制,La 的頻率應該是Do 9 /12 2 倍,無理數9 /12 2 =1.681… 和


5/3=1.666… 或 27/16=1.687… 的相對誤差都在「五分」以內,也就是5% 以內,

人耳聽不出來。同樣地,Re 的頻率是Do 2 /12 2 =1.122… 倍,這個無理數和

純律 9/8=1.125 的相對誤差也在五分以內。




儘管十二平均律是目前世界上最強勢的律制,但它畢竟是某個文化在某段


時期發展出來的一種律制,既不能詮釋全世界的音樂也未必是終極的結論。我想


要邀請讀者一同欣賞的,並不是這個律制本身,而是十七世紀前後,西歐的知識


份子社群,在全面討論科學與藝術問題的時候,所發展的共通思考方法與解決問


題的哲學。數學,是反映這種哲學的具體方法。

[1] 張鎮華,完全數與莫仙尼質數,《科學月刊》1972 3 月號。


[2] 黃文璋,完全數與梅仙尼質數,《數學傳播》1997 9 月號。

No comments:

Post a Comment