2015年2月24日 19:09
.爱因斯坦场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）
说明：g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定。"_"后字母为下标，"^"后字母为上标。
意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）
解的形式是：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
考虑能量－动量张量T_uv的解比较复杂。最简单的就是让T_uv等于0，对于真空静止球对称外部的情况，则有施瓦西外解。如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。还有更复杂的星云内部或外部的情况，星云内部的星球还要运动、转动等。这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。
2.含宇宙常数项的场方程：
R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv
此处的Λ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。Λ*g_uv为宇宙项。
如果从数学上理解的话，则上面的场方程也可解出下面的形式：
ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2![[1]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/82/one_org.gif "[1]")
式中A,B,C,D为度规g_uv分量。
这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。同时因为4维空间与时间有关，ds随时间也会变化。这时，如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。
如果从物理意义上理解的话，把宇宙项移到式右边，则是：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv
Λ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到稳定的宇宙解。
2性质编辑
非线性
爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。
对应原理![[抱抱]](http://img.t.sinajs.cn/t4/appstyle/expression/ext/normal/27/bba_org.gif "[抱抱]")
透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。
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※ 引述《couch》之銘言： 會使用分離變數法，通常是因為以下的特性： 線性方程的解，作線性疊加之後，仍然滿足原方程 因為這個特點，所以，我們對於解線性(偏)微分方程，得到一個重要的提示： 如果我們可以找到足夠多的解當基底 所有滿足這個方程的解，都可以透過線性疊加的方式合成 因此，我們就可以使用線性代數的技巧，使計算更為方便 這裡有三個主要的考量點： 1. 如何確定找到的解夠多，足夠當成基底來用 2. 找基底的方法是否夠簡單。 如果還要花一大堆力氣找基底，抵消掉使用線性代數變成更加方便的好處 那就失去做這件事情的意義了 3. 我所找到的基底是否適用於我想解的問題。 即使是線性疊加，但許多時候我還有其它的條件限制，例如邊界的長像 使得某些基底並不適用於我想解的問題 ---------- 分離變數法最大的精神是，想辦法把偏微分方程變成常微分方程 這個過程，使得解偏微分方程的難度，降低好幾個數量級 因此滿足條件 (2) 而最大的問題是，"我會不會漏掉某些解沒找到"？ 換句話說，到底條件 (1) 滿不滿足 這件事情，很幸運地，在數學上可証明 使用分離變數法找到解，足夠多到可以當基底使用 所以現在問題就只剩下條件 (3) 了...... ---------- 這時，一個很重要的觀念必須引入：對稱 我們發現，當我們所解的問題滿足某種對稱時 解的長像似乎也會滿足某種對稱性 這讓我們又有另一項提示：座標系的選取 當我們所解的問題 其邊界長像是方形對稱時，二話不說就用直角坐標系 而長像是柱狀對稱時，就使用圓柱坐標系 而長像是球狀對稱時，就使用球坐標系 總之，座標系的選取，要儘量滿足所解問題的對稱條件 那如果沒有滿足對稱條件，是不是不能解？ 不是，還是可以解，只不過，當你在縫合邊界條件時 因為坐標系與邊界不對稱，你一定會一邊縫合一邊訐譙 !@#$%^&* 當然當你花了一堆力氣縫合完成時，你也得到了正確解答 ---------- 其實，當我們使用分離變數法時， 我們發現，在許多情況，我們都在解以下的問題： Ａ(x) f(x) = λ f(x) Ａ(x) 代表一個線性運算子，例如 d/dx, 或 (d^2/dx^2 + x^2) ... 等 λ是一個常數 眼尖的人一看，就明白這是個典型的 eigenvalue problem 想辦法找到這個方程的 eigen function 就好了 不過在許多時候，eigenvalue 與 eigen function 並不是那麼容易找 所以，通常我們會使用一些技巧，作變數變換成以下的形式 Ｂ f(y) = λ f(y) Ｂ也是一個線性運算子，不過與Ａ不同的是，Ｂ是常線性運算子，與 y 無關 簡化到這個地步，我們可以使用葵花寶典了 Laplace transform 或 Fourier transform 將這個問題變成代數方程式，問題難度再降低幾個數量級 ---------- 當問題變簡單，你可以爽爽地算 你會發現，最後一步通常都是縫合邊界條件 不過縫合時，又會碰到一顆小小的石頭 就是，各個可能解的係數要怎麼挑，才會滿足邊界條件 這一點，就想辦法拿出你家的剪刀菜刀剃頭刀 使用各種學過的工具，如 Laplace Fourier z conformal.... 得到你要想的係數 這時就功德圓滿大功告成了 ---------- 咦？會不會你只找到一種可能解 會不會存在其它解，同時滿足此偏微分方程，與所給定的邊界條件 嗯，這是所謂解的唯一性問題 這個問題，我們經由數學証明，會得到一些條件 以我們常遇到的線性偏微分方程而言，大部分都是二次偏微分方程 而二次方程分成三大類：橢圓方程(位能)，雙曲方程(波動)，拋物方程(熱傳導) 這三大類方程的唯一性，則由邊界條件是否滿足某些特性而決定 很幸運地，在大部分我們所處理的狀況，解的唯一性是成立的 ※ 引述《couch》之銘言： > ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言： > > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來 > > 的 想找來翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 這些是老師上課提到的觀念 > 我不知道書找不找的到 > 但講一些我聽到的東西好了 > 像在解擴散的Fick's second law時 > short time會用Green's function的方法解 > 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function) > 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來 > long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關) > 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉 > 這兩種方法的不同除了以上所說的 > 還有一個就是級數要收斂的問題 > 倒過來用應該也是可以解 > 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來 > 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說) > 單從分離變數方法來看 > 可能就只能說是數學上解pde的手法 > 但是因為氫原子是central force problem > radial的部分的operator(這我沒聽過有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解 > 而且可以用乘法湊起來 > 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法 > 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法 > 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解 > 所以管他解出來對不對 > 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
相对论与黎曼几何-7-黎曼几何
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相对论与黎曼几何-7-黎曼几何
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7. 黎曼几何
在介绍“内蕴几何”一节中说过，高斯以他的“绝妙定理”建立了曲面内在的微分几何。之后，是高斯的得意门生黎曼，将曲面的概念扩展到流形（Manifolds），将内蕴几何扩展到n维的一般情形，建立了黎曼几何。
和高斯一样，黎曼（1826-1866）也是德国数学家，同样出生在贫困的普通家庭。黎曼比高斯刚好小五十岁，于1826年生于德国的一个小村庄，有趣的是，按时间算起来，高斯那时候正好在这个地区进行土地测量。时间的巧合，给人一种异想天开神话式的联想：上帝是否就在那时候，将非欧几何-黎曼几何的思想种子，植根到了那片被丈量的土地上。
遗憾的是，黎曼只活了39岁，不过，他短暂的一生，却对数学做出了杰出的贡献。他小时候家境贫困，但父亲是教堂的牧师，很重视儿子的教育，也注意到黎曼在数学上的杰出能力。因此，父亲没有为了尽早改善家庭的经济状况而阻止黎曼往数学的方向上发展，这才有了现代数学上著名的黎曼面、黎曼几何、黎曼猜想、……等等。
黎曼19岁进入哥廷根大学读书时，高斯将近70，已经是那儿鼎鼎有名的教授，正是在听了高斯的几次数学讲座之后，黎曼才下决心改修数学。
1847年，黎曼转入柏林大学学习，也许是冥冥中某种力量的召唤，两年后他又回到哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。博士毕业后，黎曼为了申请哥廷根大学的一个“无薪”教职，需要作一个难度颇高的就职演说。为了确定论文的选题，他向高斯提交了3个题目，以便让高斯在其中选定一个。没想到高斯选中了黎曼当时并没有多少准备的几何基础题目。更没想到的是，正是这篇黎曼花了不到两个月时间准备出来的演讲论文《论作为几何基础的假设》（原文见【1】，英文翻译版见【2】），提出了一大堆陌生概念，开创了一种崭新的几何体系，令哥廷根的数学同行们大吃一惊。
某些传言可能并不过分，据说当时在黎曼就职演讲的听众中，唯有高斯听懂了黎曼在说些什么。
从前面“内蕴几何”一节中，我们已经知道：根据曲面的第一基本形式，也就是曲面上计算弧长的公式，可以建立起曲面的内蕴几何。三维空间中两个参数u和v所描述的曲面的第一形式可用下式表达：
ds2 = E du2 + 2F dudv+ G dv2 （2-7-1）
图2-7-1：平面（a、b）和球面（c）上的弧长（微分）表达式
公式（2-7-1）中的E、F、G是曲面第一基本形式的系数。黎曼在他的就职演说中，将二维曲面的概念扩展为“n维流形”，将E、F、G等系数扩展为定义在n维黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)：
有了度规，就有了度量空间长度的某种方法，也就才能够测量和计算距离、角度、面积等等几何量，从而建立流形上的几何学。首先，我们可以从图2-7-1所示的平面和球面上的弧长微分计算公式，对黎曼度规gij得到一点直观印象。对图中的二维平面和二维球面，下指标i和j的取值从1到2，这时，可以将度规gij写成2×2的矩阵形式：
总结一下上面3种情况下度规的性质：a.平面直角坐标的度规是个简单的dij函数（i等于j时为1，否则为0），而且对整个平面所有的p点都是一样的；b.平面极坐标的度规对整个平面不是常数，随点p的r不同而不同；c.球面坐标上的度规也不是常数。由上面a和b的结论可知：同样是描述平面，但如果所选择的坐标系不同，度规也将不同。平面上的极坐标和直角坐标是可以互相转换的，因此，第二种情况b的极坐标度规可以经过坐标变换而变成a那种dij函数形式的度规。那么，现在就有了一个问题：第3种情况的球面度规是否也可以经过坐标变换而变成如a所示的那种d形式的度规呢？对此数学家们已经有了证明，答案是否定的。也就是说，在ds保持不变的情形下，无论你作何种坐标变换，都不可能将球面的度规变成a所示的d形式。由此表明，球面的内在弯曲性质无法通过坐标变换而消除，黎曼度规可以区分平面和球面或其它空间的内在弯曲状况。
一般来说，黎曼流形上每一点p的“黎曼度规”gij(p)随p点的不同而不同，这种以空间中的点为变量的物理量叫做“场”。
像黎曼度规gij(p)这种具有两个指标（i和j），并且在坐标变换下按一定规律变化的几何量叫做二阶张量。因此，gij(p)是黎曼流形上的2阶张量场。不难看出，对n维流形上的点p，gij(p)在给定的坐标系中有n2个分量，因而可以表示成一个n×n的矩阵。除了2阶张量场之外，黎曼流形上也能定义0阶张量（标量）场、1阶张量（矢量）场、3阶、4阶以及更高阶的张量场。
张量在物理及工程上有广泛的应用，尤其是大家所熟知的“矢量”的概念，连日常生活中也都比比皆是：速度、加速度、力、电流、水流、电场、磁场等等，这些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量来表示。n维空间的矢量有n个分量，标量则只有1个分量，比如温度、湿度、密度、能量等，属于标量。
物理量表达的是某种物理实在，应该与人为选择的坐标系无关。因此，标量、矢量、张量等，都是独立于坐标系而存在的。只不过，为了测量和计算的方便，人们总是要选取一定的坐标系，这样一来，这些量在不同的坐标系之下，便有了不同的分量值。然而，无论坐标系如何选取，因为总是对应于同一个东西，总有些量是不会改变的。因此，在坐标系变换时，张量的坐标分量便必须遵循某种规则，才能保证这一点。就好比对于同一个人，不同的人对他可以有不同的称呼：“爸爸”、“儿子”、“爷爷”、“哥哥”、“弟弟”，都有可能。但是，这些称呼之间的变换应该会符合某些逻辑原则，才能保证它们指的是同一个人。
有时候，坐标系的选取可以简化计算，或者更清楚地表征空间的某种性质。前面所说的度规张量就是如此。如果一个黎曼流形上每一点的的度规张量都可以写成dij函数形式的话，黎曼将其称之为“平”流形。流形“平”或“不平”，定义在它上面的几何规律将完全不同。
黎曼将二维曲面的球面几何、双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）、和欧氏几何，统一在下述黎曼度规表达式中：
公式（2-7-6）中的a，是2维曲面的高斯曲率。当a=+1，度规所描述的是三角形内角和E大于180度的球面几何；当a=-1，所描述的是内角和E小于180o的双曲几何；当a=0，则对应于通常的欧几里德几何。黎曼引入度规的概念，将3种几何统一在一起，使得非欧几何焕发出蓬勃的生机。
如同我们看到的嵌入三维空间中的大多数二维曲面都不是可展的一样，大多数流形都不是“平”的。高斯定义了高斯曲率来描述平面和“不可展”曲面的差异，黎曼将曲率的概念扩展为“黎曼曲率张量”。那是n维流形每个点上的一个四阶张量，张量的分量个数随n的增大变成很大，并且表达式非常复杂。不过，由于对称性的原因，可以将独立的分量数目大大减少。
也可以用黎曼定义的“截面曲率”来描述流形的内在弯曲程度。为此需引进过流形上一点p的切空间的概念。在这儿需要强调的是，黎曼研究的是一般情况下的n维流形，通常n>=3，但我们人类的大脑想象不出，计算机也画不出来这些高维而又“不平坦”的流形是个什么样子，所以只好用嵌入3维空间的2维曲面的图像来表示这种“弯曲”流形，如图2-7-2所示。
图2-7-2：流形和过每一点的切空间
一个n维流形过点p的切空间是一个n维的欧氏空间。设Pp是这个欧氏切空间中的一个平面，截面曲率 K(Pp) 定义为以Pp作为切平面的n维流形过p点的那个2维截面的高斯曲率。在特别情况，如果n=2的话，即对2维流形而言，只有一个截面曲率，正好就是原来的高斯曲率。
上面的表述对n大于2的情况不好直观想象，对n等于2又稍微显得平凡。尽管如此，从图2-7-2中，我们仍然可以将2维曲面图像添加一些想象而延伸到一般的流形及其切空间，从而得到某种直观印像。
黎曼是把流形概念推广到高维的第一人。流形的名字来自他原来的德语术语Mannigfaltigkeit，英语翻译成manifold，是多层的意思。一般的流形，不但“不平”，而且其“不平”度还可以逐点不一样，流形的整体也可能有你意想不到的任何古怪形状。不过，黎曼流形仅仅指其中定义了黎曼度规的可微分流形。
形式上来看，黎曼是将高斯的2维曲面几何推广到了n维，但实际上黎曼所做工作的意义远不止于此。首先，高维流形中的曲率的概念要比2维曲率丰富得多。此外，因为黎曼度规是基于弧长微分ds的计算公式，所以黎曼几何完全不同于之前的欧几里德几何，或笛卡尔坐标几何那种对整个空间都适用的几何学，而是一种局部化的几何。这是黎曼在几何上迈出的革命性的一步。研究黎曼几何时，我们不需要整个空间，只需要其中局部的一小块就够了。在黎曼流形上的每一点，都可以定义一个切空间，从而再进一步建立起黎曼流形上的微分运算等，这些将在下一节中介绍。
参考资料：
【1】Ueberdie Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern,wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als demEnthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebendbetrachtet werden
(Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung deutscher Naturforscher undAerzte zu Göttingen im September 1854)
【2】On theHypotheses which lie at the Bases of Geometry
(Bernhard Riemann, translated by William Kingdon Clifford, Nature, 8(1873), 14-17, 36-37)
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