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下面我们来个插叙，就是逐步铺开这些吓人的黑话。首先我们讲distribution，函数我们都知道，是在空间每点指定一个复数，而现在我们说distribution是干一件相反的事情，他把一个函数给对应到一个复数，此话怎么讲？用黑话说，这叫做函数空间的对偶空间。用白话就是我们可以举些例子。比如我们把这个函数进行全空间积分就得到一个数，那么这里我们就要指出了，我们用来定义的函数必须具备速降的条件才能得到收敛的积分，这个定义比较繁琐我们就不写出来，但是我们要在心里知道。我们拿出任意一个函数g（x）我们做∫g(x)f(x)dx 也给出一个数，所以我们的distribution可以用一个函数来刻画，在前面直接积分的例子中就是常数1而已，实际上我们在这对g（x)毫无要求，因为我们在定义函数的社会是要求速降的。还有些奇葩的distribution不能用一个函数直接积分上去表示的是熟悉的狄拉克δ，这个东西经常无耻的把自己混到函数里面去其实自己又不能良好定义，而总是只敢以积分的形式出现。
比如δ（f)=f(0)=∫δ（x）f（x）dx。
既然分布是和函数秘密相关我们可以把函数的好东西移植过来，比如对distributionT求导。我们如下定义
打了800多个字 被系统无情删帖，现在从新再来，原来那些润色的文字看来是暂时没空去回复了，简单点写吧，有空再调整。
先说量子力学的定义，力学系统是一个相空间M，其具备一个辛结构，用来体现它的哈密顿运动方程，M上的各种函数是所谓可观测物理量，他们之间可以建立所谓泊松括号运算。所谓量子化是对这个相空间找到一个希尔伯特空间H，使得各种函数变成这里的各种算子，并且泊松括号的结果变成这里的算子对易子。另外所谓力学体系有个对称性是指有个群同态G-->Aut(M),该群同态，对应到希尔伯特空间的一个酉表示G--->U(H)。
所谓公理化，是把一组对象的某些共性抽出来作为这组对象的定义，一般做法是我们抓一堆原料，暴力地要求原料必须满足xxx xxx xxx等法律要求，然后就断定这组原料就是我们需要的那个东西。在此原料本身是怎么抓来的已经被遗忘了，我们是抽出性质作为定义。这种用法在现代数学中是比比皆是，比如根系的公理化定义可以脱离李代数，奇异同调的定义可以脱离拓扑剖分。就像我们最开始通过数苹果认识12345，后来我们发现12345不仅可以用于苹果梨子，也可以用于今天上了几节数学课这样的抽象概念，最后我们用数字是忘掉了苹果的。
下面就先把wightman的公理搬出来，里面的黑话是吓人的，我会逐一用通俗的话解释。
原料1 态矢量空间 为一个希尔伯特空间的射影，也就是两个矢量差一个复数被认同为一样，温伯格大牛在他的量子力学中说，态就是希尔伯特空间的一个射线就是这个意思。
原料2 真空态，是某个或某些矢量。 之所以要说某些是考虑到简并的真空所具有的对称性，真空并不唯一的情况。
原料3 一个酉表示 是庞加莱群P—>U(H)的一个表示，说明我们的量子体系是有传承时空对称性的。
原料4 这个黑话最多，最唬人。 有一组叫做场算符的东东，他的作用是把一个 空间中的函数射到一个算子上。这个定义貌似很难懂，不过换个角度看，也就是先拿一个函数，然后我们用函数和场算符合体，就得到一个算符了。所以场算符叫做算符的分布。分布是个黑话，不过下面我们就要把它变成白话。 睡觉
下面我们来个插叙，就是逐步铺开这些吓人的黑话。首先我们讲distribution，函数我们都知道，是在空间每点指定一个复数，而现在我们说distribution是干一件相反的事情，他把一个函数给对应到一个复数，此话怎么讲？用黑话说，这叫做函数空间的对偶空间。用白话就是我们可以举些例子。比如我们把这个函数进行全空间积分就得到一个数，那么这里我们就要指出了，我们用来定义的函数必须具备速降的条件才能得到收敛的积分，这个定义比较繁琐我们就不写出来，但是我们要在心里知道。我们拿出任意一个函数g（x）我们做∫g(x)f(x)dx 也给出一个数，所以我们的distribution可以用一个函数来刻画，在前面直接积分的例子中就是常数1而已，实际上我们在这对g（x)毫无要求，因为我们在定义函数的社会是要求速降的。还有些奇葩的distribution不能用一个函数直接积分上去表示的是熟悉的狄拉克δ，这个东西经常无耻的把自己混到函数里面去其实自己又不能良好定义，而总是只敢以积分的形式出现。
比如δ（f)=f(0)=∫δ（x）f（x）dx。
既然分布是和函数秘密相关我们可以把函数的好东西移植过来，比如对distributionT求导。我们如下定义：
partial i T（f）=-T（partial i f） 也就是说定义distribution的导数为，它作用与函数等于原来的分布作用在函数的导数。
假定如上用函数g定义的distribution记作Tg 读者可以证明 偏Tg，的结果正好等于T偏g。所以我们上面插一个负号的定义方式看似不自洽，其实刚好自洽。
比如δ（f)=f(0)=∫δ（x）f（x）dx。
既然分布是和函数秘密相关我们可以把函数的好东西移植过来，比如对distributionT求导。我们如下定义：
partial i T（f）=-T（partial i f） 也就是说定义distribution的导数为，它作用与函数等于原来的分布作用在函数的导数。
假定如上用函数g定义的distribution记作Tg 读者可以证明 偏Tg，的结果正好等于T偏g。所以我们上面插一个负号的定义方式看似不自洽，其实刚好自洽。
下面我们看到用这种求导运算可以给出狄拉克的δ。我们用在0到无穷取1的Heaviside阶跃函数做distributionTH(f)=∫0到∞ f（x)dx 现在做TH的导数：
求导T（f）=-∫ 求导f(x)dx=f(0) 所以我们高兴地发现δ其实是H的导数而已。也就是说δ这种奇葩的distribution也可以用某个正常的函数给出的distribution求导给出！
这就是结论任意一个distribution总能用那种函数积分给出的distribution做各种导数的有限组合给出。我们说了关于distribution的导数，终究目的只是为了建立关于distribution的微分方程运算埋下伏笔。其实这就是我们要建立的klein Gordon方程。
求导T（f）=-∫ 求导f(x)dx=f(0) 所以我们高兴地发现δ其实是H的导数而已。也就是说δ这种奇葩的distribution也可以用某个正常的函数给出的distribution求导给出！
这就是结论任意一个distribution总能用那种函数积分给出的distribution做各种导数的有限组合给出。我们说了关于distribution的导数，终究目的只是为了建立关于distribution的微分方程运算埋下伏笔。其实这就是我们要建立的klein Gordon方程。
下面介绍完PDE就睡觉。PDE的坐标是一堆偏导算子的多项式，作用在一个函数=另一个函数的形式。下面我们要对distribution干这件事。我们用α代表 一簇（a1 a2。。。。an）
这是为了体现在多维流形上做运算的方便。我们用partial^α代表对各个自由度进行（a1 a2。。。。an）的偏导。在配上一个系数c（a1 a2。。。。an）成为∑cα（-i*partial）^α。记作P（-i*partial）
P代表整数环上的多项式 一个PDE表述为P（-i*partial)u=v 其中u v都是distribution！
那么我我们把格林函数那套玩意搬过来 定义P（-i*partial)G=δ！于是用这个格林函数就能产生要的解，其手段就是卷积！
这是为了体现在多维流形上做运算的方便。我们用partial^α代表对各个自由度进行（a1 a2。。。。an）的偏导。在配上一个系数c（a1 a2。。。。an）成为∑cα（-i*partial）^α。记作P（-i*partial）
P代表整数环上的多项式 一个PDE表述为P（-i*partial)u=v 其中u v都是distribution！
那么我我们把格林函数那套玩意搬过来 定义P（-i*partial)G=δ！于是用这个格林函数就能产生要的解，其手段就是卷积！
承接格林函数讲最后一点， 利用卷积的定义
u*x=∫u（y）v（x-y）dy ，可以定义一个distribution和函数的卷积，它还是一个distribution
对T 定义T*g（f）=T（g*f），结论给出u=G*v将给出P（-i*partial)u=v 的解。
以上我们对distribution有了感性认识。
下面讲傅立叶分析 我们记u的傅立叶变换是U，U=∫_R^n u(x)e^ipx 对于一个R^n p的一般形式为(p1 p2....pn)。
傅立叶变换是函数 --->函数，因此我们可以诱导定义傅立叶变换distribution--->distribution。
只需定义distribution--->distribution复合上傅立叶变换。
如下：F（T）（f）=T（F（f）） 其中f为速降函数。
既然这样定义，同学还可以验证一个事情，对于由函数g给出的distribution Tg，对Tg做傅立叶变换将等价于对g做傅立叶变换，说明我们的定义是自洽的。
u*x=∫u（y）v（x-y）dy ，可以定义一个distribution和函数的卷积，它还是一个distribution
对T 定义T*g（f）=T（g*f），结论给出u=G*v将给出P（-i*partial)u=v 的解。
以上我们对distribution有了感性认识。
下面讲傅立叶分析 我们记u的傅立叶变换是U，U=∫_R^n u(x)e^ipx 对于一个R^n p的一般形式为(p1 p2....pn)。
傅立叶变换是函数 --->函数，因此我们可以诱导定义傅立叶变换distribution--->distribution。
只需定义distribution--->distribution复合上傅立叶变换。
如下：F（T）（f）=T（F（f）） 其中f为速降函数。
既然这样定义，同学还可以验证一个事情，对于由函数g给出的distribution Tg，对Tg做傅立叶变换将等价于对g做傅立叶变换，说明我们的定义是自洽的。
傅立叶变换把偏导对应到-ip 原因很简单：
F（偏k f）=∫(偏k f)e^ixp dx 用分部积分=-∫f ip_k e^ipx dx=-ip_k F(f)
所以结论是F（偏^α）=（-ip）^α F
意义在于我们能把微商多项式的PDE变成一般系数的方程。
现在就剩下多项式乘以distribution得到另个一distribution的过程了。换句话说我们在做distribution对多项式的除法。记方程PT=1的解为F（G） P代表多项式 F代表傅立叶变换，那么结果就是G就是方程P（-i偏）G=δ的解，也就是我们所谓的格林函数。
验证上面的结论 只需要渎者对1这个分布做傅立叶 得到δ。
F（偏k f）=∫(偏k f)e^ixp dx 用分部积分=-∫f ip_k e^ipx dx=-ip_k F(f)
所以结论是F（偏^α）=（-ip）^α F
意义在于我们能把微商多项式的PDE变成一般系数的方程。
现在就剩下多项式乘以distribution得到另个一distribution的过程了。换句话说我们在做distribution对多项式的除法。记方程PT=1的解为F（G） P代表多项式 F代表傅立叶变换，那么结果就是G就是方程P（-i偏）G=δ的解，也就是我们所谓的格林函数。
验证上面的结论 只需要渎者对1这个分布做傅立叶 得到δ。
Klein Gordon方程 我们重点认识KG方程格林函数与由之给出的一般解。一个普通KG方程的形式为 （口+M^2)u=v 我们直接在FT空间来求格林函数（-p^2+m^2)T=1
T=（m^2-p^2）^-1 虽然写成了函数形式但心里要知道，T本质上是由（m^2-p^2）^-1形式给出的distribution!所谓传播子就是（m^2-p^2）^-1的傅立叶变换 回去坐标空间结果：
G=（2π）^-4 ∫（m^2-p^2）^-1 exp（-ipx)dp。
没错这就是动量空间和坐标空间的传播子！他们是distribution！
T=（m^2-p^2）^-1 虽然写成了函数形式但心里要知道，T本质上是由（m^2-p^2）^-1形式给出的distribution!所谓传播子就是（m^2-p^2）^-1的傅立叶变换 回去坐标空间结果：
G=（2π）^-4 ∫（m^2-p^2）^-1 exp（-ipx)dp。
没错这就是动量空间和坐标空间的传播子！他们是distribution！
回到四维时空量子场论中来我们学过的是自由的KG方程 是所谓物理波函数的方程：
（口+M^2)φ=0 切换到傅里叶 （-p^2+m^2)F（φ）=0 也就是F（φ）不为0的话 一定要满足
p^2=m^2，用黑话叫做F（φ）的支撑集p^2=m^2的超曲面。 伟大的哲学物理学家的话说就是物理的本质彻底裸露了，KG方程无非就是相对论性的质壳条件！既然支撑集在这样一个紧致的0测度超曲面上，我们可以认为它正比于δ（p^2-m^2) 比例系数设为g(p)。傅立叶变换回去就是说波函数形式如下 （2π）^-4 ∫g(p)δ（p^2-m^2) exp（-ipx)dp。用李三清的话来说就是KG的解是一系列在平面波的叠加，动量仅仅在在壳条件上超曲面上取值！ 今天到此为止！希望对大家能有所帮助
（口+M^2)φ=0 切换到傅里叶 （-p^2+m^2)F（φ）=0 也就是F（φ）不为0的话 一定要满足
p^2=m^2，用黑话叫做F（φ）的支撑集p^2=m^2的超曲面。 伟大的哲学物理学家的话说就是物理的本质彻底裸露了，KG方程无非就是相对论性的质壳条件！既然支撑集在这样一个紧致的0测度超曲面上，我们可以认为它正比于δ（p^2-m^2) 比例系数设为g(p)。傅立叶变换回去就是说波函数形式如下 （2π）^-4 ∫g(p)δ（p^2-m^2) exp（-ipx)dp。用李三清的话来说就是KG的解是一系列在平面波的叠加，动量仅仅在在壳条件上超曲面上取值！ 今天到此为止！希望对大家能有所帮助
讲了这么多distribution，我们现在就是告诉大家为啥我们需要的是distribution而不是流形上的算子呢。 那是因为我们量子化的等时对易关系会蹦出来一个δ 这在算子意义下不能良好定义的，所以我们需要的是一个算子的distribution，就如同我们在量子力学没有厚脸皮把δ称为函数一样！
讲了很多 似乎脱离了物理，所以我决定悬崖勒马，先丢一个式子出来。让物理学子 看了有印象
Φ（t，x）=（2π）^-D∫ R^D-1 [a(p)e^ipx-w(p)t+a*(p)e^-ipx+iw(p)t] 这是大家熟悉的场算符！fock展开！我们那个所谓的物理书上的量子场论 就是暴力地说 Φ是个算符，这叫二次量子化！然后a（p) a*(p)也是算符叫什么升降算符，然后大用特用，最后在正则量子化下用各种 升降算符夹在真空态之间 互相打架最后给出所谓的费曼图。但是数学学子看到就会迷糊，到底是个神马玩意叫做场算符，他在哪里呢，能不能让我看得见摸得着，不然那我们怎么理解他。
Φ（t，x）=（2π）^-D∫ R^D-1 [a(p)e^ipx-w(p)t+a*(p)e^-ipx+iw(p)t] 这是大家熟悉的场算符！fock展开！我们那个所谓的物理书上的量子场论 就是暴力地说 Φ是个算符，这叫二次量子化！然后a（p) a*(p)也是算符叫什么升降算符，然后大用特用，最后在正则量子化下用各种 升降算符夹在真空态之间 互相打架最后给出所谓的费曼图。但是数学学子看到就会迷糊，到底是个神马玩意叫做场算符，他在哪里呢，能不能让我看得见摸得着，不然那我们怎么理解他。
下面再看下几何P^=M^2是个啥玩意呢？P既然是时空流形的对偶空间，我们不妨直接看作等价，时空流形 在KK理论 SUGRA理论里面是11维的，在一般玩量子场论里面是4维的，虽然我们不知道真的是多少维度，我们总可以假定是D维，其中一维是时间，我们说P^2就是 那个（+-------）的度规了如果空间度规是1，那么就是我们知道的双曲线了。现在我们把空间度规变成2，也就是推广了一个SO（2）的对称性，吧双曲线做SO（2）旋转就是我们的旋转双曲面！依次类推，空间变成SO（n-1）也一样！我们把双曲线hold住时间轴不动，继续用SO（n-1）去转之就是一个旋转双曲面！顺说下为什么我们要强调是SO群不是O群呢，因为在场论水平的物理是破坏宇称而且有手征现象的。
方便的是由于P^=M^2是我们物理态存在的超曲面，我们可以把它看成是一个约束，它是坐标空间的运动规律到对偶空间--FT空间的对应，通俗的说运动规律给了我们在坐标空间的运动方式，实际上等价于说他在动量空间是在P^=M^2这个超曲面上跑动。逻辑也合情合理，一个运动方程扼杀了一个自由度，所以变成了低一维的嵌入子流形了!
既然那个P^=M^2是 n-1的嵌入子流形，那我们岂不是可以只用n-1个坐标就描述了。其实技巧很简单，那就是来两套坐标卡。两套坐标卡的原因其实不难，从方程的角度看是因为平方导致的双值！从流形的角度看是拓扑的不平庸。我们设计上平面的坐标卡是将空间动量P（n-1维，你可以当三动量来看），射到四动量里面去。也就是P--->(+w(P) P) P--->(-w(P) P) 。这样我们就把。这样我们就对超曲面给了坐标卡，如果我们要对超曲面赋予一个不变测度。我提示两个做法！首先我们可以在超曲面诱导出超曲面上的度量，另外就是直接在D维几分钟插入δ（P^2-M^2）积掉p0。。。
其中dS是超曲面上的不变测度。
再回头看Φ（t，x）=（2π）^-D∫ R^D-1 [a(p)e^ipx-w(p)t+a*(p)e^-ipx+iw(p)t]dS
我们声明a(p)是在n-1的空间里面取的动量，读者可以轻松验证（口+M^2)Φ=0
也就是我们给出了KG方程的解的形式！此时a(p) a*(p)还是 函数 取值在空间动量里面的。接下来我们就要把它变成算子！所以还是简单介绍一下算子的概念。
一个稠密子集上定义的算子A，我们指出有个伴算子，由于在H上定义有内积，伴算子就定义为
<A*f，g>=<f,Ag> A=A* 这里我们回避了 闭算子 闭图像定理等定义， 我们引入一个概念就是算子的domain，就是所谓的定义域。既然<A*f，g>=<f,Ag>，可以考察一下A*的domain，也就是存在一个h使得A*f=h 对任意的g成立！这就是A*的domain。闭算子是用闭图像来定义的，所谓图像是HxH的子集，由（f，Of）组成！如果图像是闭的，称算子是闭的。闭的意义在于序列的极限不会跑出集合之外
再回头看Φ（t，x）=（2π）^-D∫ R^D-1 [a(p)e^ipx-w(p)t+a*(p)e^-ipx+iw(p)t]dS
我们声明a(p)是在n-1的空间里面取的动量，读者可以轻松验证（口+M^2)Φ=0
也就是我们给出了KG方程的解的形式！此时a(p) a*(p)还是 函数 取值在空间动量里面的。接下来我们就要把它变成算子！所以还是简单介绍一下算子的概念。
一个稠密子集上定义的算子A，我们指出有个伴算子，由于在H上定义有内积，伴算子就定义为
<A*f，g>=<f,Ag> A=A* 这里我们回避了 闭算子 闭图像定理等定义， 我们引入一个概念就是算子的domain，就是所谓的定义域。既然<A*f，g>=<f,Ag>，可以考察一下A*的domain，也就是存在一个h使得A*f=h 对任意的g成立！这就是A*的domain。闭算子是用闭图像来定义的，所谓图像是HxH的子集，由（f，Of）组成！如果图像是闭的，称算子是闭的。闭的意义在于序列的极限不会跑出集合之外
泛函分析是线性代数往Hilbert空间的推广，算子的谱 是推广的矩阵本征值问题！ 定义为
自伴算子A的谱 是 使得（A-aI)这个算子的逆不是有界算子的那些a，a属于复数域C。I是恒等算子 等价于单位矩阵。当A是自伴随它的谱属于实数R。这个是不是和物理上厄米算符的本征值实数很像？
下面的结论很像李群。我们指出存在一个单参子群，或者说是R的一个酉表示！R---->U（H），满足U（t）的切矢为自伴算子 A，也就是说 lim t--->0 [U(t)-f]/t=--iAf！ 我们也可以写成
U（t）=EXP(-itA）学过群论的同学可以想一下，一个酉群U（N)它的李代数是什么形式的。
自伴算子A的谱 是 使得（A-aI)这个算子的逆不是有界算子的那些a，a属于复数域C。I是恒等算子 等价于单位矩阵。当A是自伴随它的谱属于实数R。这个是不是和物理上厄米算符的本征值实数很像？
下面的结论很像李群。我们指出存在一个单参子群，或者说是R的一个酉表示！R---->U（H），满足U（t）的切矢为自伴算子 A，也就是说 lim t--->0 [U(t)-f]/t=--iAf！ 我们也可以写成
U（t）=EXP(-itA）学过群论的同学可以想一下，一个酉群U（N)它的李代数是什么形式的。
上面的结论叫做Stone定理，实际上其逆也是成立的！
下面开始定义我们“熟悉的”场算符是一个算子值的distribution
Φ f----->O 其中O是一个算子！f是定义在时空流形上的函数。
其实这种思路很自然，一开始我们想定义函数，就是在时空的没一点赋予一个复数，但是行不通，所以我们转而定义distribution f---->C ，现在我们想在时空没一点赋予一个场算符，这也行不通，所以我们转而定义distribution f---->O。
下面开始定义我们“熟悉的”场算符是一个算子值的distribution
Φ f----->O 其中O是一个算子！f是定义在时空流形上的函数。
其实这种思路很自然，一开始我们想定义函数，就是在时空的没一点赋予一个复数，但是行不通，所以我们转而定义distribution f---->C ，现在我们想在时空没一点赋予一个场算符，这也行不通，所以我们转而定义distribution f---->O。
明天又是周1要上班，所以我们用一些物理来结束以上的场算符！模型是locally定义的，实际上没有测量是完全定域的，这是测不准原理的要求，这就导致了我们的量子场论必须经历重整化！所谓测量不是定域的，也就是我们只能在一定范围内测出我们需要的物理量--也就是一个期望值，其实这个过程对应于我们用场算符和这个支撑集范围内的一个函数的作用给出的算子的期望值！
下面是对称性的注入！相对论的要求其实是ponicare对称性，ponicare群是 平移和lorentz的半直积，ponicare变换保持时空的因果结构，并保持时空两点的类空性。ponicare群记作
（a，L） 前者是平移 后者是洛伦兹转动。定义它在流形上的函数的作用采用自然的方式，直接把ponicare群的逆作用到宗量里去！也就是Af（x）=f（A^-1 x)。如果是张量函数，或者旋量函数我们还要在前面乘上群的表示。同样有张量函数的话，我们也可以推广到算子值张量分布，它的意思是说 给定一个函数，再给定一些矢量 对偶矢量 ，用算子值张量分布作用之才能得到一个算子！在这里我是用多重线性代数的角度说张量的，同学们可以用服从洛伦兹群的直积表示的分量来认识张量。
（a，L） 前者是平移 后者是洛伦兹转动。定义它在流形上的函数的作用采用自然的方式，直接把ponicare群的逆作用到宗量里去！也就是Af（x）=f（A^-1 x)。如果是张量函数，或者旋量函数我们还要在前面乘上群的表示。同样有张量函数的话，我们也可以推广到算子值张量分布，它的意思是说 给定一个函数，再给定一些矢量 对偶矢量 ，用算子值张量分布作用之才能得到一个算子！在这里我是用多重线性代数的角度说张量的，同学们可以用服从洛伦兹群的直积表示的分量来认识张量。
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