Sunday, March 15, 2015

自由粒子的能量是二重简并的。原因:自由粒子的能量只依赖于动量的大小,而其本征函数却依赖于动量的方向,能量在动量的两个方向上是对称的,因而导致二重简并的存在。以后还会看到,简并总是和系统的某种对称性相联系

自由粒子的能量是二重简并的。原因:自由粒子的能量只依赖于动量的大小,而其本征函数却依赖于动量的方向,能量在动量的两个方向上是对称的,因而导致二重简并的存在。以后还会看到,简并总是和系统的某种对称性相联系



课程教案 - 赣南师范学院

jpkc.gnnu.cn/jpkc/lzlx/04kcja-3.asp?user=04
轉為繁體網頁
(3.1.13). 上式中 表示相应的分量, 称为列维一斯维塔(Levi-Civita)记号,满足. (3. 2.14) ..... 故此时动量本征值 是一个连续谱,取值范围-∞<Px<∞。 (b).如果粒子在 ...



這是 Google 對 http://jpkc.gnnu.cn/jpkc/lzlx/04kcja-3.asp?user=04 的快取。 這是該網頁於 2015年3月15日 07:28:19 GMT 顯示時的快照。 在此期間,目前網頁可能已經變更。 瞭解更多資訊
提示:如要在這個網頁上快速尋找您所搜尋的字詞,請按下 Ctrl+F 鍵或 ⌘-F 鍵 (Mac),然後使用尋找列進行搜尋。

 

 

微分方程的本征值和本征函数- 豆丁网

www.docin.com › 生活休闲 › 网络生活 - 轉為繁體網頁
2012年3月12日 - 故此时动量的本征值是一个连续谱,取值范围-∞ Px 中运动时,则要求波函数在两个边界点处具有相同的值,波函数所满足的这种边界条件,称为

��һ��
�ڶ���
������
������
������
������
������
�����μ�
��������
ϰ�⼯
��ѧָ����
�����
�ڿν̰�
��һ��
�ڶ���
������
������
������
������
������
��������1
��������2
��������3
��������4
ϰ��1-2
ϰ��3
ϰ��4
ϰ��5
ϰ��6
ϰ��7

你是该资料的第 51017 位浏览者
课程教案
 
第三章  量子力学中的力学量
[教学要求]
通过本章的学习,应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理,掌握氢原子问题的求解方法。
上一章,中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数。薛定谔从粒子的波动性出发,用波函数猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化,在一定的边界条件下,求解定态薛定谔方程,证明对于束缚态,会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中,我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯(Heisenberg)、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法,引入的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号,实现量子化。这种量子化,通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后,算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示,证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后,这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量,它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子,出现。在矩阵力学中,算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。

§3.1 表示力学量的算符

一、算符的一般性质
若某一运算将函数二变为函数,记作
                                  3.1.1
则表示这一运算的符号称为算符。若算符满足
                  3.1.2
其中 是任意函数,C1C2是常数,则称为线性算符。动量算符、积分算符等均为线性算符。若算符满足
                                  3.1.3
为任意函数,则称为单位算符。
在数学上,若存在映照,将集合中的元素,映照到集合之中的元素,记作。若集合均为数集,则称为函数;是一般的集合而是数集,则称为泛函;若均为一般集合,则称为算子或算符。
算符的一般运算规则如下:
1)算符之和
算符之和(),定义为
                         (3.1.4)
必为任意函数。显然,算符之和满足交换律和结合律


而且,线性算符之和仍为线性算符。
2)算符之积
算符之积,定义为
                           (3.1.5)
算符对任意函数的运算,等于先用运算,得出,然后再用算符进行运算得到的结果。一般说来,算符之积与算符的前后次序有关,不满足交换律
                                (3 .2.6)
比如,取,则



因此有
                         (3.1.7)
由于是任意函数,从(3.1.7)式得
                           (3.1.8)
(3.1.8)式可见
之差为
                                          (3.1.9)
称为算符的对易关系或对易子。(3.1.8)式表明,的对易子。若算符的对易子为零,则称算符对易。这时之积满足交换律:。例如,就是相互对易的算符。
利用对易子的定义(3.1.9)式,容易证明,存在下列恒等式:


          (若为常数)

                    (3.1.10)


最后一式称为雅可比恒等式
作为例子,我们讨论角动量算符,它的三个分量分别是
                                 (3. 2.11)

它们和坐标算符的对易子是

                   (3.1.12)
(3.1.12)式可表示为
                       (3.1.13)
上式中表示相应的分量,称为列维一斯维塔LeviCivita)记号,满足
                  
                         (3. 2.14)
任意两个相邻下脚标的对换。改变正负号。因此,若任意两个下脚标相同。则为零。比如有
同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是
                         (3. 2.15)
角动量算符各个分量之间的对易子是
                         (3.1.16)
(3.1.16)式表明,角动量算符的三个分量之间,彼此互不对易。(3.1.16)式中不为零的等式也可写成
                              (3.1.17)   
而坐标和动量的对易子(3.1.8)式也可写成
                           (3.1.18)
其中
                       (3.1.19)
3)算符的乘幂
算符次幂定义为
                             (3.1.20)
例如,若,则,算符之乘幂显然满足


作为例子,考察。由
                           (3.1.21)
显然有

由于坐标轴的选择本来就是任意的;只须保持右旋坐标系,()的顺序不变,定义哪个轴是轴,哪个轴是轴,不影响计算结果。因此有
                            (3.1.22)
即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易。事实上,(3.1.13), (3.1.15)(3.1.16)式中的,正是表征了上述右旋坐标系的性质。
4)算符的函数
的解析函数,则算符的函数一般可定义为
                          (3.1.23)
例如,算符的指数函数的定义是
                                (3.1.24)
5)算符之逆
若算符满足

且能从上式中唯一地解出来,则定义算符的逆算符
                                (3 .2.25)
并非所有算符都有逆算符存在。但若存在,则必有
                             (3.1.26)

(3.1.26)式中,是单位算符。

   量子态可以描述成Hilbert空间中的波矢,记做|ψ>,
      假设|x>和|p>分别对应位置算符X和动量算符P的本征态,则波矢|ψ>在位置空间中的具体表示 (记做ψ(x),可以看作矢量|ψ>在|x>上的投影,或者说是|ψ>和|x>之间的内积),称作位置波函数,它对应位置的概率幅,即它的模的平方,对应粒子处于位置x附近的概率密度;
     同理,波矢|ψ>在动量空间中的具体表示ψ(p)=, 对应动量空间中的波函数,它对应动量的概率幅,即它的模的平方,对应粒子处于动量p附近的概率密度.

   
     你问量子力学中的算符是怎么来的,可以启发性地回答如下:经典力学中,任一个力学量F,可以写成广义坐标和广义动量的函数,
      我们就以位置坐标x和动量p为 例,则有F=F(x,p),量子化时,要把坐标x和动量p换成对应的算符X和P(后面算符是大写字母表示的),如果F(x,p)中存在x和p之间的乘积 项,还要该项中的把X和P之间的排序对称化。
     在位置空间中,有(其中为了方便把Planck常数被取做1) X=x(即表现为一个乘性因子),P=-id/dx 其中i是虚数单位,d在这里表示偏微分符号。
     同理,在动量空间中,有 X=id/dp,P=P (即表现为一个乘性因子) 这样,在量子力学中,经典力学量F(x,p)就变成了算符F(X,P)。
      那么,你会问为什么X=x,P=-id/dx,这只能启发性地说一下。量子力学方 程,常常可以这样得到:对于经典力学中的能量的表达式(称作色散关系),例如E=p^2/2m+kx^2/2(m是粒子的质量,k是一个系数),把其中的 力学量换成算符,再两边同时作用于位置波函数,就得到量子力学方程: (id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m+kx^2/2]ψ(x)
      位置波函数常常含有相位因子如exp[-i(Et-px)],其中t是时间,因此当位置波函数作为算符的表示空间(或算符所作用的作用空间)时,只有 E=id/dt,X=x,P=-id/dx,才能由量子力学方程(id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m]ψ(x)得到E=p^2/2m,
       或者说,才能把二者对应起来。但是要注意的是,id/dt不被看作是能量算符,在这个例子中,(-id /dx )^2/2m+kx^2/2才是能量算符。 量子力学中,)=(的确不总是成立的,但是量子力学中这种例外比较少。我忘了泛函分析中算子有界的具体定义,但位置算子 的本征值在正负无穷大的范围中,即位置的取值是无界的。


看来你多半是学数学出身的。你的问题,学物理的人未必熟悉泛函分析;懂泛函的未必懂量子力学,因此恐怕不容易回答。
     如果你能用Latex编写公式,你的问 题就容易被看懂。你说“位置函数在坐标表象下的算子对应于f->xf”,这句话恐怕没有人能看懂。建议你先仅仅从物理的角度学习一下量子力学,然后 再考虑它的泛函分析的数学背景,这样你将来还可以反过来,给我们大家科普一下从严格的泛函分析的角度来阐述量子力学(我本人以前学过一点泛函分析,现在基 本上忘光了)。



我只看得懂一半……lz讲解下,谢谢

回复
  • 2楼
  • 2010-08-21 23:55
    星空浩淼 是个超级大牛......偶也不懂的。

    先讲一下第一段里"|ψ>在|x>上的投影":
      |ψ> = |ψ><x|x>  = <x|ψ>|x> = ∑ψi(x) |xi>

    |ψ>在|p>上的投影
    同上。


    .......晚了,明天再看......免得明天动物园的饲养员来俺家抓熊猫

    回复
    • 3楼
    • 2010-08-22 00:19

      第一段讲态表象的问题:
         就是坐标表象 ∑ψi(x) |xi>, 动量表象 ∑ψi(p) |pi>;
      点评:第一段是星空对一个 数学er 讲解表象转换的问题。
            物理er 的话参考<费曼物理学讲义. 卷三>斯特恩--格拉赫 试验 相关章节,大概1000字左右,有图例,说明得很非常棒的。


      第二段是说算符怎么来的:
          星空从广义坐标入手,得到结论: 位置坐标相当于动量坐标的微分算符; 动量坐标 相当于 位置坐标 的微分算符。
          也就是说,某种意义上, 某广义坐标微分算符可以获得其它广义坐标。 比如, dx 等价与坐标 p

         .....对物理er 说来,物质波的形式 ψ(Et, xP)导致. 对x作微分就会得到P;对t做微分,就得到E
      二、厄米算符的本征值和本征函数
      为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质,下面将介绍一种具有非常重要性质的算符—厄米算符。为此,先引进一些定义:
      1.希尔伯特空间中矢量的内积
      希尔伯特空间中的两个态矢量,在选定基矢后的两个波函数的内积为
                              (3.1.27)
      它具有下述性质:
      (i)                                              (3.1.28)
      (ii)                                                    (3.1.29)
      (iii)为常数,则有
                     (3.1.30)
      2.转置算符
      若算符满足
                           
                         (3.1.31)
      则称为转置算符。转置算符具有下述性质:
      (i)转置算符所对应的矩阵为的转置矩阵,其矩阵元满足
                               (3.1.32)
      (ii)转置算符的乘积满足
                                       (3.1.33)
      因为

      3.复共轭算符
      将算符中的所有复量均换成它的共辘复量,称为的复共轭算符。例如算符的复共轭算符
      4.厄米共轭算符
      定义厄米共轭算符
                                    (3.1.34)


                                   (3.1.35)
      容易看出的厄米共扼算符就是它自己,,哈密顿算符的厄米共扼算符也是它自己,即,厄米共轭算符的乘积满足
                        (3.1.36)
      5.厄米算符
      ,则称算符为自厄米共扼算符,简称厄米算符。由(3.3.9)式,按定义,厄米算符满足
                                (3.1.37)
      或写成
                          (3.1.38)
      厄米算符具有下述性质:
      i)两厄米算符之和仍为厄米算符.
      (ii) 当且仅当两厄米算符对易时,它们之积才为厄米算符。因为

      只在时,,才有,即仍为厄米算符。
      (iii)无论厄米算符是否对易,算符必为厄米算符,因为

                       
                       
      (iV)任何算符总可分解为
                                                             (3.1.39)
      ,则均为厄米算符。
      在引进厄米算符的定义后,现在进一步讨论厄米算符的本征值和本征函数。在第二章中讨论的主要是能量算符的本征值和本征函数,现在把它推广到任意算符。
      任意算符,若作用于一函数后,所得结果等于一常数的乘积:
                                        (3.1.40)
      则称的本征值,的本征函数,方程(3.3. 14)式是的本征方程。一般说来,本征值入既可以是实数,也可以是复数。它的个数既可以有限,也可以无限。本征值既可以分立取值,也可以连续取值。因此,由全部本征值构成的本征值谱,既可以是连续谱,也可
      以是分立谱。本征值和本征函数除决定于算符乡外,还决定于本征方程满足的边界条件。
      对应于一个本征值,既可能只有一个本征函数,也可能有g个相互独立,彼此线性无关的本征函数。若对应于本征值g个本征函数,且不能找到百个常数,使等式

      成立,则称本征值简并,简并度为g
      现在证明,厄米算符的平均值、本征值、本征函数等具有下述重要性质:
      ①厄米算符的平均值是实数,因为
                  (3.1.41)
      ②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。

                           (3.1.42)
      但由(3.1.42)式不足以说明算符厄米,因为是同一个态。要证明厄米,必须按厄米算符的定义,证明成立。而且为两个任意的波函数。为此,令,利用算符在任何状态,包括态的平均值为实数,即由(3.1.42)式得
                      (3.1.43)
      又因态中的平均值也是实数,因此(3.1.43)式可改写为
                      (3.1.44)
      作变换,令
        (ab为任意实数)
      代入(3.1.44)式后得
              (3.1.45)
      因为a,b任意,(3.1.45)式成立的充要条件为


      因此,必为厄米算符。得证。
      由于力学量的观测值应为实数,而一般地,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,由性质①、②得。量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必为厄米算符。另外,在量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符。综合上述,我们得出结论:在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
      ③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。
      由本征方程
                            (3.1.46)
      因此,利用性质①,②得必为实数。
      ④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
                         

      ,因为是厄米算符,它的本征值是实数,。本征方程的共扼方程为



      的厄米性质,       
       


      又因
                                      (3.1.47)
      得证。若本征函数是归一化的,则有
                          (3.1.48)
      厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。
      ⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。
      假定本征值g度简并
                     (3.1.49)
      由于对应同一个,前面的证明不适用。这些简并的本征函数并不相互正交。但我们总可以把g个本征函数汽重新线性组合为个另外g个新的函数
                         (3.1.50)
      使得这些新函数、相互正交。的确,的正交归一条件
              (3.1.51)
      中,归一化条件,g个,正交条件个,共有个。但待定系数个。当时,,待定系数的数目大于所应满足的方程的数目。因此可以有许多种方法选择,使简并的本征函数正交归一化。
      综合性质③,④得出结论:无论是否简并,厄米算符的本征函数系正交归一。
      ⑥厄米算符的本征函数系具有完备性。
      是某一厄米算符的本征函数系,n取值既可以是连续的,也可以是分立的。可以证明,任何与满足同徉边界条件且在同样区域内定义的波函数价,都可按展开。由于厄米算符的本征函数系具有正交、归一和完备性,因此可以用它作为一组基矢,以构成希尔伯特空间。任何在这个空间中定义的波函数,都可按展开,得
                                    (3.1.52)
      若本征值连续,(3.1.52)式改为
                                   (3.1.53)
      n的取值部分连续,部分分立,则可表示为(3.1.52)(3.1.53)式的叠加。叠加系数可由的正交归一性给出。以(3.1.52)式的两端并对变数的整个区域作积分后,得
           (3.1.54)
      本书不拟对厄米算符的本征数系的完备性作严格的证明,有兴趣的读者可参阅有关专著。
      ⑦厄米算符的本征函数系具有封闭性。
      为某一厄米算符的本征函数系。由的完备性,利用(3.1.52)(3.1.54)式得
       
                        (3.1.55)
      因为是任意函数,因此当且仅当
                               (3.1.56)
      (3.1.55)式才能成立。公式(3.1.56)表示本征函数系具有封闭性。当本征值为连续谱时,(3.1.56)式可改为
                            (3.1.56)
      若本征值既有分立潜,又有连续谱,则封闭性表示为
                    (3.1.56)
      厄米算符本征函数系的封闭性在实际运算中是非常重要的。在量子力学、量子统计乃至量子场论的实际运算过程中经常要插入“中间态”进行运算,就是利用(3.1.56)式。
      §3.2动量算符和角动量算符
      下面讨论求解动量算符和角动量算符本征值方程,以具体了解定解条件的作用和本征值谱的特征。
      一、动量算符的本征值和本征函数
      先考虑一维情况, 的本征值方程为
                                           (3.2.1)
      对上面的方程积分,可得本征函数 的表达式
                                       (3.2.2)
      (a).如果粒子在无限空间范围,即-<x<∞中运动,则只要 是实数,它取任何值都可保证波函数满足标准条件:单值、连续、有限。故此时动量的本征值 是一个连续谱,取值范围-<Px<∞。
      (b).如果粒子在有限空间范围 中运动时,则要求波函数在两个边界点处具有相同的值,波函数所满足的这种边界条件,称为周期性边界条件,即:
      也就是说:(由(2)式得)


            其中n0,±1,±2…….
           n0,±1,±2……            (3.2.3)
      于是,动量的本征值是分立谱。
      注意:关于当-<x<∞时,“归一化”常数的求法,将在后面讲,而当 时,归一化常数可求出为:
      三维情况,完全类似一维情况。
      动量算符的本征值方程是:
               
       (3.2.4)
      由于各个方向的平移运动相互独立,于是
                              (3.2.5)
      (5)式代入(4)式,可得


      和一维情况一样:
      如果粒子在无限空间运动,则 有连续谱

      如果粒子在有限空间运动,则 有分立谱

                                n=0,±1,±2……
      二、             一维自由运动粒子的能量算符的本征值和本征函数。
      设粒子的质量为m
      则粒子的能量算符是 
      其本征值方程为 
                          (3.2.7)
      上方程可写成                               (3.2.8)
      其中                                                      (3.2.9)
      方程(3.2.8)是一个二阶常系数线性常微分方程,其通解是:
                             (3.2.10)
      可以看出,k取任何实数值,解都满足波函数的标准条件,故 有连续谱:          
      如果在(4)式中取B=0A=0可得
                               
                          (3.2.11)
      (3.2.11))式和动量算符 的波函数(3.2.2)式比较可见:(3.2.11)式都是动量 的本征函数,相应 的本征值 分别为:

      这个结果表明:
      对于自由粒子,能量算符和动量算符可以有共同的本征函数。
      和同一个能量本征值 (除E0外)对应, 有两个独立的本征函数,如(3.2.11)式,这种对应两个独立本征函数的本征值被称为是二重简并的。
      什么是简并?简并度?
      一般地,如果相应于力学量的一个本征值,有r个线性独立本征函数,则称力学量是简并的,且简并度为r
      自由粒子的能量是二重简并的。原因:自由粒子的能量只依赖于动量的大小,而其本征函数却依赖于动量的方向,能量在动量的两个方向上是对称的,因而导致二重简并的存在。以后还会看到,简并总是和系统的某种对称性相联系。
      三、角动量的本征值和本征函数
      为了方便计算,我们首先将角动量算符



      变换到球坐标系。利用球坐标系与直角坐标系之间的关系:


                                                             (3.2.12) 
      以及


                                                               (3.2.13)
      (3.2.12)(3.2.13)可得



      于是可求得球坐标系角动量算符的表达式:



      类似地:


      角动量平方算符定义为:

      下面我们来求 的本征值和本征函数:
      *的本征值方程为
                     (3.2.14)
      直接积分得:
                                     (3.2.15)
      按照波函数的标准条件, 应是单值函数,因而有
                           (3.2.16)
      即周期性边界条件。显然只有当 ,且m0,±1,±2…. 时,函数(9)才满足上述条件,因此得到 *的本征值谱为
                    ,                (3.2.17)
      m称为磁量子数,它决定了角动量在z轴方向的投影,相应的本征函数为
                                    (3.2.18)
      其中已利用归一化条件  
      求出了(3.2.15)式中的归一化常数
      角动量平方算符的本征方程为
           (3.2.19)
      其中 算符的本征函数,其本征值为
      方程(3.2.19)的解在数学物理方法中讨论过,为了使波函数 处处单值、连续、有限,必须有:
                                (3.2.20)
      这就是算符 的本征值,其中 称为角量子数。方程(3.2.19)的解是球函数
                               (3.2.21)
      其中                                    (3.2.22)
      是缔合勒让德(Legendre)多项式
          是归一化常数
      的归一化条件:
                  (3.2.23)
      可得:
                                    (3.2.24)
      由上面结果可知: 的本征值是 ,相应的本征函数是                    (3.2.25)
      (3.2.22)式可知:对应于一个 的值, 可以取 个值,因此,与 的一个本征值 相对应的不同的本征函数 个。可见 的本征值的简并度为
      (3.2.21)式与(3.2.18)式比较可得, 的本征函数 同时也是 的本征函数,因此, 的本征方程(3.2.14)式也可写成:
                  (3.2.26)
      值得注意: 的共同本征函数,然而却不是 的本征函数(除 外)。这一结论可利用 的表达式来证明。
      四、本征函数的归一化(连续谱本征函数的“归一化”)
      为了解决连续谱本征函数的“归一化”问题,如在数学上不过分要求严格,引用狄喇克的δ函数是十分方便的。
      δ函数定义为:
         0        
                                 (3.2.27)
                                     (3.2.28)
      或者等效地表述为:对于在 附近连续地任何函数
                              (3.2.29)
      另外,根据傅立叶积分公式,对于分段连续函数 ,有
                           (3.2.30)
      比较(3.2.29)式和(3.2.30)式,可得:
                              (3.2.31)
      利用公式(3.2.31),我们可对一些连续谱的本征函数进行归一化。
      例如:一维情况下,自由粒子的动量本征函数
      于是,归一化:
      (利用(3.2.31)式)
               
                     (3.2.32)
      对于三维情况,类似地可得:
                     (3.2.33)
      (3.2.33)式满足归一化条件:
               (3.2.34)
      3.3  氢原子
      氢原子包含原子核及核外电子,是个二体问题。它的薛定谔方程是
                  3.3.1
      是库仑势。对二体问题,一般来说,在质心坐标系处理比较方便。它可以将二体问题简化为一个粒子在势场运动的单体问题,因为质心的运动相当于自由粒子的运动。引入相对坐标r和质心坐标R,令

                                                               3.3.2
      M=m1+m2其中表示体系的总质量,表示折合质量,记rR的三个分量分别为(xyz)及(XYZ),直接通过微商运算可证明


      同理,有




      上两式相加后得
                                       (3.3.3)
      将(3.3.3)式代入(3.3.1)式后,得核心坐标系中的薛定谔方程为
                         (3.3.4)
                                                           (3.3.5)
      将(3.3.5)式代入(3.3.4)式后,分离Rr变量,得
                                             (3.3.6)
                                       (3.3.7)
      (3.3.6)式看出,质心运动相当于质量为M的自由粒子的运动,相应的能量为Ee;相对坐标部分的运动相当于一个质量为折合质量m的粒子,在势场U(r)中运动。总能量Et
      Et=Ec+E                                        (3.3.8)
      由于质心运动是自由粒子运动,是平面波,方程(3.3.6)式的解完全清楚。因此对于一个二体问题,关键是求解相对运动的方程(3.3.7)式。特别对氢原子,原子核的质量mN远大于核外电子的质量me,质心的位置就在核上,从而有MmNmmN,由(3.3.7)式可见,核内电子的运动和电子在原子序数Z=1的库仑场中的运动完全一致。
      现在讨论库仑场中径向部分的薛定谔方程。取势场为吸引库仑势
                                                             (3.3.9)
      (3.3.7)式,得径向部分的方程为
                             (3.3.10)
      在(3.3.10)式中,折合质量m在数值上可视为电子质量。引入代换
                                       (3.3.11)
      以化简(3.3.11)式左端的微商项(r)所满足的方程是
                                      (3.3.12)
      对于氢原子。Z=1。引入无量纲变换数代换,令=0.529*10-10m,称为第一玻尔半径=13.625ev,表示氢原子电离电势。(3.3.12)式变为
                                          (3.3.13)
      0时,(3.3.13)式的渐近形式是
                                                          (3.3.14)
      的解是
                                           (3.3.15)
      3.3.15)式有两个常数C1C2因此总可使它和有限远处的方程(3.2.13)式的解光滑连接,保证波函数连续和波函数微商连续这两个方程式成立,因此对的取值无限制,这表示的一切值都是允许的值,构成连续谱。
      时,(3.2.14)式的解是
                                                (3.3.16)
      但由于波函数有界, 的解应去掉,因而应取D=0。于是解=只有一个常数C。要使波函数及其微商与方程(3.2.13)式的解在有限远处光滑连接,由于有波函数连续和波函数微商连续两个方程。因此需要两个可调参数。但现在的解中只有一个可调参数C。因而必须对加以限制,使不可能连续取值,出现分立谱。
      另一方面,当0时,(3.3.13)式的渐近形式是
                                                     (3.3.17)
      =2,(3.3.17)式的指标方程是
                                              (3.3.18)
      3.3.18)式有两个解:s=-ls=l+1。但是对s=-l的解,由于0时发散,应舍去。只存在ρl+1形式的解。综合上述,当时,根据“抓两头,带中间”的原则,作代换
                                                 (3.3.19)
                                                    3.3.20
      (3. 3.19)式代入(3.3.13)式后得u(ρ)的微分方程式是
                               3.3.21
      式中。。。。(3.3.21)是合流超比方程。其解是合流超比函数Fα,γ,ξ,在其中α=l+1-1/β,γ=2(2l+1)同样可证明为得出ξ时收敛的解,必须切断合流超比函数使它变成多项式。即
                    3.3.22
      递推关系是
                                                 3.3.23
      ξ时,由(3.3.23)式取k后可见,Fα,γ,ξ)在ξ无穷远处的渐近行为与e相同。代入(3.3.19)式后,当ξ ρ时,将发散。为求得收敛的解,须将Fα,γ,ξ)匀切断为多项式。取
                                           3.2.24
      由于级数(3.3.20)式中无负幂,Ck-1k的取值最小为1,因此nr的取值为012,…。由a的定义,得
                                                     3.2.25
      n=nr+l+1(n=1,2,……)                                               3.3.26
      称为主量子数,其范围取值是n=12,…,于是有

      或写成
                                 3.2.27
      E表示氢原子的束缚态能级。基态能级是E1=-E0==-13.625ev。由式(3.3.26)式还可见,角动量量子数l的取值是l=012,…,n-1
      氢原子的束缚态径向波函数是

      归一化后,得
                                  3.3.28
      式中
                                         3.3.29
      Rnlr                                           3.2.30
      满足归一化条件是
                                                      3.3.31
      最后的几个Rnlr)表示式如下:
                                               3.2.32





      对氢原子,可在上式中取Z=1而得出相应的Rnlr)。
      问题1 写出类氢原子[库仑势场]的能级。
      问题2 验证对于类氢原子,径向波函数Rnlr)在n=123时确实满足(3.3.32)式。
      由于库仑场是球对称的场,按2.9节的讨论,其角度部分的波函数为球谐函数Ylm因此氢原子的波函数是
                                         3.3.33
      现在对氢原子的物理图象和一些主要结果作一些讨论:
      1)氢原子的束缚态能级满足(3.2.27)式,En成正比,因此它与一维谐振子不同,氢原子的能级是不等间距的,能量越大,能级越高,能级间距越小,能级越密。另外,对于库仑场,能级En,只与主量子数n有关,与角动量量子数l及磁量子数m无关,但波函数。。。与nlm三个量子数有关,能级是简并的。注意到nlm的取值是
      n=1,2,3……
      l=0,1,2,……,n-1
      m=0, 1,……, l                                                     3.3.34
      因此简并度是
                                                      3.3.35
      2)利用氢原子的能级公式可解释氢原子光谱,并给出里德伯常数。电子由能级En跃迁到En时辐射出光,它的频率为

      这正是(1.3.8)式。由此可见,量子力学比玻尔理论更成功,它可以直接从求解氢原子的薛定谔方程给出氢原子光谱,而无须依赖于玻尔原子论中的各种假设。因此,整个理论显得更自然和更严密。
      3)径向分布数
      在空间一点附近,体积元内找到处于量子态的电子的概率为

      θ, 积分后,得出电子出现在半径为rr+dr中的概率为
                                  3.3.36
      Wnl(r)称为径向几率分布函数。
      (4)角分布函数。
      电子出现在角度为处立体角=的概率是

                                       3.3.37
      s电子,,对电子pl=1它们都对z轴旋转对称。d电子和f电子的角分布函数也可由(3.3.37)式求得
      (5)电流分布和磁矩。
      电流密度矢量j
                                       3.3.38
      上式中为区分磁量子数m和电子质量,我们记电子质量为me。根据2.3节中所提出的关于动量算符的惯例,在直角坐标中写出梯度算符后再作坐标变换,得出在球坐标中的梯度算符是
                                          3.3.39
      其中,,分别是r,θ,方向上的单位矢量。由于Rnl中关于θ部分的函数君为实函数,因此
      jr=j0=0
                 3.3.40
      dS为垂直于电流方向,距原点为r处的面积元(图3.2.2),则通过dS圆周的电流是
                                      3.2.41
      相应的磁距是
                    3.3.42
      其中μB=9.274*10-24Am2称为玻尔磁子(3.2.42)表明,氢原子的磁矩是量子化的。它只能是玻尔磁子μB的整数倍。磁矩的方向沿z轴。它与轨道角动量L在二方向的分量反号,且有
                                      3.3.43
      上式称为回转磁比率。若取为单位,则=g=1。对于,s态电子,由于l=0,,因此m=0,无磁矩。这是因为对于s态电子,角分布函数是球对称的,不存在一个特殊的z方向。从而也不存在z方向的磁矩所致。

      §3.4量子力学中力学量的测量值

      在量子力学中,力学鱼的测量是个比较复杂的问题。它不仅涉及物理学,而且涉及哲学。本节只讨论侧量过程中的物理学间题。
      I.力学量有确定值的条件
      记与某一力学量相应的算符为。按§3.2必为线性厄米算符。现在问,是否在任何一个状态中,测量力学量都有确定值?为回答这个问题,先看一个特例。例如在平面波所描述的状态中,测量动量,必有确定值,因为平面波具有确定的动量。但若测量坐标则必无确定值,因为在平面波描述的状态中,粒子出现在空间各点的几率相同。因此显然不可能在任何状态中,测量任何力学量都同时具有确定的值。问题的关健在于,找出测量特定约力学量F,使它能有确定值的状态。
      为此,先给“确定值”以严格的定义。在量子力学中,在某一状态中测量力学量具有确定值的充要条件是在该状态中力学量*的平方平均偏差为零.
                                             3.4.1
           
      由于厄米,的平均值是个数,因此也必厄米,利用
      厄米的条件可将上式写成
                       
                                                       3.4.2
      于是得出:的充要条件是,即
                                            (3.4.3)
      由此得出结论:当且仅当是力学量的本征态时,在的本征态中测量才有确定值。而且这个确定值,就是在这个态的平均值(3.4.3)式实际上就是的本征方程,在态的平均值等于它的本征值。正因为相应于态的本征值就是它的平均值,也是它的实验测量得到的准确值,因此本征值和平均值都必须是实数。
      是属于同一本征值的两个不同的简并态,则显然在它们的线性组合给出的态中测量,也有确定值。而且这个确定值就是它的本征值,也等于态中的平均值.
      问题:是属于两不同本征值的本征态,在是常数)中测量,结果如何?
      2.在非的本征态中测量
      所满足的本征方程为
                                             (3.4.4)
      现在在一个非的本征态中测量。因为线性厄米算府的本征函数系正交归一完备,因此总可将展开
                                             (3.4.5)
      *的平均值是
                    (3.4.6)
      因此,在非*的本征态中测量力学量无确定值,但有平均值,而且平均值是由*的本征值通过统计平均而得来。在中出现的几率是,是将态展开时出现态的概率幅。因此得出结论:在非*的本征态中测量,虽然无确定值,但有各种可能值。这些可能值就是*的本征值,而且可能值出现的概率为。这个结论无论对*的本征谱是分立谱、连续谱,还是既有连续潜又有分立谱都成立。
      问题2*的本征值既有连续谱,又有分立谱,任一波函数*的本征函数系的展开式为
                                           (3.4.6)’
      试在这种情况下证明上述结论。
      3.不同力学2同时有确定值的条件
      *在态有确定值,则必须是*的本征态,有
                                         (3.4.7)
      同理,若另一力学量在态中也有确定值,则必然也是的本征态,有
                                         (3.4.8)
      *必须是*的共同本征函数。由
                       

                                                               (3.4.9)
      (3.4.9)式并不能说明*对易,因为必只是一个特定的波函数而非任意波函数。事实上,两个不对易的算符,如,固然在一般状态下测量它们,不同时具有确定值。但在角量子数的状态中测量它们,却同时具有等于零的确定值。因为,是个与角度无关的常数。虽然:不对易,但仍是它们的共同本征函数,而且本征值均为零
      关于算符的对易性和测量的关系,存在下述定理和逆定理:
      定理 若线性厄米算符有不止一个共同本征函数,且这些本征函数构成完备系,则必定可对易。
      证明:为方便起见,假定这些共同本征函数构成分立谱本征函数.任何一个波函数均可展开为


      由于是任意波函数,因此必有对易。
      逆定理  若线性厄米算符对易,则它们必有共同的本征函数系,而且这共同本征函数系必为完备系。
      证明 先讨论无简并的情况。若是乡的任一本征函数,满足

                        
      又因,由上述两等式得
                                           (3.4.10)
      (3.4.10)式表明,也是的任一本征函数,而且相应的本征值也是。由于的本征函数无简并,对应于本征值的本征函数只有一个,因此一个,因此必然描述同一个态,它们之间只能相差一个常
      数,以Gn记这一常数,得
                                     (3.4.11)
      (3.4.11)式表明,的本征函数。有共同的本征函数.由于上述证明可遍及中的任何一个本征函数,而且厄米算符
      的本征函数构成完备系,于是得出对易算符具有共同的完备的本征函数系。
      再讨论有简并的情况:
       (a=12,…,f)
      重复上述证明,显然有
           (3.4.13)
      (3.4.13)式表明,也是乡的本征函数,相应的本征值也是Fn.但由于的本征函数有简并,我们不能直接得出只差一个常数的结论。但由于(3.4.13)式,的最一般的表示式只能是的线性组合。即
                    (3.4.14)
      现在证明,总可适当选择Cα,使为合的本征函数,满足

      的确,如若(3.4.15)成立,有
            (3.4.16)
      (3.4.16)式后一个等号的两边同时乘上并对空间积分得
       (3.4.17)
      (3.4.17)式是个线性齐次方程组。方程组具有非零解的条件是它
      的系数行列式为零:
      det   (3.4.18)
      这是个ff列的行列式。

      §3. 5力学量的平均值

      在量子力学中,微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数,就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问,所谓“确定”是什么意思,在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”,是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来,当微观粒子处在某一运动状态时,它的力学量,如坐标、动量、角动量、能量等,不同时具有确定的数值,而具有一系列可能值,每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后,力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法,可以算出该力学量的平均值,进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值的概率,或电子动量具有某一确定值的概率,却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地,坐标的平均值和动量的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由给出,而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果,在这种意义下一般认为,波函数描写了粒子的运动状态。
      在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出,力学量动量用算符来表示的对应关系是:,动能是,定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系,是否仅是一种类比,其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外,是否任何力学量,均可用算符表示?而且除能量算符外,其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立,其逆命题,即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说,开方就是个算符,它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。
      为此,先讨论力学量的平均值。对以波函数描述的状态,按照波函数的统计解释,表示在t时刻在中找到粒子的概率,因此坐标的平均值显然是
                           (3.5.1)
      坐标的函数的平均值是
                            3.5.2
      这里已经假定,波函数满足归一化条件(2. 1 .6)式。
      现在讨论动量算符的平均值。显然,的平均值不能简单地写成因为只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要计算,应该先找出在t时刻,在中找到粒子的概率按§2.2的讨论,这相当于对作傅里叶变换,而由公式
                            3.5.3
      给出,动量的平均值可表示为
                                    3.5.4
      这里已经用了若归一,则也归一的结论。但是上面这种作法,却不但间接,而且麻烦。应该找出一种直接从计算动量平均值的方法。为此,我们先计算动量方向的分量的平均值。由(3.5.4)式得

                                (3.5.5)
      利用公式
        (3.5.6)
      可将(3.5.5)式改写为

                                   (3.5.7)
      同理有
                              (3.5.8)
                              (3.5.9)
      由此得出结论:要在状态中求动量px py pz的平均值,只需以相应的微分算符,作用在上,然后乘以,再对全空间积分就可求得。将(3. 1. 7)(3.5.8)(3.5.9)式写成矢量式,得
                             3.5.10
      记动量算符为
                                       (3 .1.11)
      可将(3.5.10)式写成
                              (3 .1.12)
      同理,不难证实,当n为正整数时解的平均值可写成
                            (3.5.13)
      同理还可给出对的平均值。对于任何动量的解析函数,总可将作泰勒展开并逐项积分,然后利用平均值公式(3.5.12)(3.5.13)式求得它的平均值,从而有
                           (3. 1.14)
      比方,动能的平均值是
                          (3.5.15)
      角动量的平均值是
                          (3.5.16)
      (3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度。这正是波粒二象性的反映。按德布罗意关系(1.4.3)式,波长越短,动量越大。显然,若越大,则越短;因而动量的平均值越大。综合上述我们得出,在求平均值的意义下,力学量可以用算符来代替。在用坐标表象中的波函数计算动量平均值时,需要引进动量算符。除动量算符外,能量算符和角动量算符分别为
                                            (3.5.17)

                                                               (3.5.18)
      体系的任何一个力学量的平均值总可以表示为
                                         (3.5.19)
      是与力学量相应的算符。在本章中,算符在它的顶上用“”表示。在对算符比较熟悉以后,为避免书写麻烦,我们将略去记号“”。在§2.2中曾指出,同一量子态既可用坐标表象中的波函数表示,也可用动量表象中的波函数表示。与在坐标表象中,动量用算符来表示相似,在动量表象中,坐标也必须用算符来表示。可以证明,在动量表象中的坐标算符是
                                     (3.5.20)
      平均值是
                              (3.5.21)
                            (3.5.22)
      相应地,在动量表象中的定态薛定愕方程是
                              (3.5.23)
      请读者自己证明动量表象中的这些结论。
       

      Copyright © 2005-2006 赣南师范学院
      地 址:江西省赣州经济技术开发区     邮 编:341000

      No comments:

      Post a Comment