phymath999: 把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化: 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围

Tuesday, March 24, 2015

把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化: 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围

http://210.45.128.5/jpkc/jpkcwlxgt/lesson/ch05/0505.htm

3. 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围, （理由下面讨论，即波函数的平移对称性。）

对

可见, 波矢差为倒格矢的波函数都对应相同的本征值. 为了使与平移算符本征值一一对应, 我们把限制在第一布里渊区。（这里只讨论了实空间的平移对称操作, 对k空间的平移对称操作后面再作讨论。）

而且, 电子波函数并非动量算符的本征态, 也不是其本征值, 可从下式右边第二项一般不为零来说明:

所以不是布洛赫电子的真实动量。在研究晶体在外场作用下运动及电子与声子, 光子的相互作用时, 它在形式上又好象起到动量的作用, 所以又称为布洛赫电子的赝动量或电子的晶体动量。它是作为共有化运动的‘动量’。

单电子近似与布洛赫波(Bloch wave)

（本节重点：什么是布洛赫波？它有什么性质？）

用量子力学来解决多体问题是非常复杂的, 而且严格解是不可能的。要解决这些问题, 只能抓住主要矛盾, 建立模型, 作充分的近似, 才可以求解。其中把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化:

第一步是把原子核与核外内层电子考虑成一个整体——离子实，使原子中的多体问题简化为离子实与外层电子的问题；第二步是绝热近似，考虑到离子实的质量比较大，离子运动速度相对慢，位移相对小，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上, 这样, 多种粒子的问题就简化成多电子问题; 第三步，忽略电子之间的相互作用（理想电子气），利用哈特里－福克自洽场方法, 多电子问题简化为单电子问题, 每个电子是在固定的离子势场和其他电子的平均场中运动; 第三步的简化是认为所有离子势场和其他电子的平均场是周期性势场。

其中: ；，是用来表征电子状态的量子数。

如果, ,

，

这就回到索未菲模型。

对实际晶体, 是个周期势场, 布洛赫证明: 图5.2-1

(5.2.3)

(5.2.4)

或 (5.2.5)

布洛赫定理的证明详见(课本P154-157)。称为布洛赫波（Bloch 波）。

〖

设普通解为: , 其中为特解.

；

为布洛赫定理。〗

讨论:

1. 电子不再是属于局域的特定原子, 而是扩展于整个晶体, 为电子的晶体轨道。因子反映了电子公有化运动, 如果令, 则为相邻原子波函数的位相差, 反映公有化运动状态。这表现在: a) 布洛赫波在严格的周期场下是可以传播的, 且波(电子)的空间分布也是周期性的; b) 在实空间电子态(波)的重迭程度, 重迭程度越大, 公有化运动状态越强。

2. 电子的波函数是一个被周期函数所调制的平面波或被平面波调制的周期函数。

3. 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围, （理由下面讨论，即波函数的平移对称性。）

对

而且, 电子波函数并非动量算符的本征态, 也不是其本征值, 可从下式右边第二项一般不为零来说明:

4. 应使用周期性边界条件, 则受到限制:

(5.2.6)

从(5.2.5)式得:

(5.2.7)

(5.2.8)

(5.2.9)

只能取分立值，其最小间隔为；在第一布里渊区内所能取的分立状态（或分立点的数目）为(2p/a)/(2p/N_ia)=N_i。于是我们估算波包在实空间的扩展程度: 由测不准关系: ；；，分辨k_x要求，，即电子在实空间位置的不确定程度, 或反映电子的公有化运动程度。这就回到了讨论1.

可应用量子力学的微扰论, 对晶体的特性作推算。

5.【对接近布里渊区边界的情况, （为简单起见, 对一维情况采用方法3.）

(5.3.31)

(5.3.32)

波函数为:

把它代入薛定谔方程,

两边分别乘以和然后对x积分, 类似地有:

要使A及B有非零解, 其系数行列式必须为零, 从而有:

(5.3.35)

或

(5.3.36)

其中, 代表自由电子在k = 状态的动能。

当D=0, ；代入(5.3.33)和(5.3.34)式, 解得, 故其零级近似波函数与(5.3.29)和(5.3.30)式一致。

对D¹0, 同时假设 T_nD << |V_n| < T_n, 即偏离得很小，把(5.3.36)式用项式定理展开,保留到D²项, 得：（用到:；并令）

(5.3.37)

(5.3.38)

这说明在禁带之上的一个能带底部, 能量E₊随相对波矢D的变化关系是向上弯的抛物线. 在禁带下边能带顶部, 能量E_-随相对波矢D的变化关系是向下弯的抛物线.

不难证明, 如果比 |V_n| 大得多, 2T_nD >> |V_n|, 即偏离很大或公有化运动特性强, 由(5.3.36)式可得：（用到:；并令）

; (5.3.39)

(5.3.40)

这个结果同非简并微扰结果相近, 在其他所有波矢状态中保留一个k’, 它对状态k有特别大的影响。】

怎样理解布洛赫电子？修改

写补充说明

添加评论 • 邀请回答

按投票排序按时间排序

4 个回答

andrew shen

收起

zhih wang、AnRkH很欢脱、非名等人赞同

Bloch波总可以写成 $\psi(\mathbf k, \mathbf r)=e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} u(\mathbf k, \mathbf r)$ , 其中 $u(\mathbf{k},\mathbf{r})$ 以Bravais格矢为周期函数. 从直观上来看, Bloch波是一个周期函数 $u(\mathbf{k},\mathbf{r})$ 调幅的平面波. Bloch自己也这么说的:

When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.

前面有答案从完备基的角度解释Bloch电子, 这自然是正确的. Bloch波作为厄米的哈密顿量算符的本征态, 自然具有正交完备性. 除此之外, 我还想补充几点.

Bloch波函数中的指标 $\mathbf{k}$ 是空间平移对称性的结果, 它是标记电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数. 用群论的话说, Bloch 函数是晶体平移对称群不可约表示的基, 不同的 $\mathbf{k}$ 标记不同的不可约表示, 相位因子 $e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r}$ 是不可约表示的特征标.
$\mathbf{k}$ 和粒子的真实动量无关. $\hbar\mathbf{k}$ 称作晶格动量.
注意到当 $\mathbf{k}\to\mathbf{k}+\mathbf{G}$ 时( $\mathbf{G}$ 是任一倒格矢), $e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r}$ 不会发生变化, 因此它们所对应的是同一个Bloch波. 这意味着 $\mathbf{k}$ 总可以限制在第一布里渊区内. 或者说, Bloch波 $\psi(\mathbf k, \mathbf r)$ 关于 $\mathbf{k}$ 具有周期性. 这个周期性导致 $\psi(\mathbf k, \mathbf r)$ 可以按正格子展开, 这就是Wannier函数的出发点.
Bloch波揭示了固体的能带结构. 将Bloch波代入Schrodinger方程, 得到 $\left[\frac{(\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k})^2}{2m}+V(\mathbf{r})\right]u(\mathbf{k},\mathbf{r})=E_{\mathbf{k}}u(\mathbf{k},\mathbf{r})$ . 由于 $u(\mathbf{k},\mathbf{r})$ 的周期性, 这个方程已经限制在了一个原胞内. 因此, 除了 $\mathbf{k}$ 以外, 还应有一个量子数 $n$ 来标记上述方程的能量本征值. 对于固定的 $n$ , $E_n(\mathbf{k})=E_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})$ 是周期函数, 只能在一定的范围内变化, 有能量的上下界, 因此构成一能带. $n$ 就是能带的指标.

发布于 2014-05-30 6 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

曾博，/commoner 不懂物理，会一点点光学

收起

沧海、何史提、凤凰院胸针赞同

bloch 波函数是电子波函数方程（例，薛定谔方程）在周期势能条件下的一个“本征解”。也就是说，任何可能的电子的波函数，都必须是这一组无穷波函数的线性组合。
bloch 波函数是电子在这个方程中的正交分解的基。还存在其他分解方法（例如紧束缚，wannier 波函数）等。bloch 波函数主要是基于傅立叶的分解理论。在光学周期结构中也有类似的分解，叫做Rayleigh-Bloch wave.

发布于 2014-05-29 7 条评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

收起

匿名用户

李巨格赞同

Bloch 定理的三个条件：

绝热：原子核固定
单电子：忽略电子与电子间的相互作用，只考虑电子与核的作用
周期

Bloch 电子的波函数：
$\psi_n(\mathbf k, \mathbf r)=e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} u_n(\mathbf k, \mathbf r)$

u_n是r的周期函数，也就是调幅平面波，电子分布周期性变化，同时电子是弥散在整个空间中的。平移一个格矢，波函数有e^{i k R_l}的相位变化。电子的散射是相干的，没有能量损失（无电阻），需引入晶格振动修正。

编辑于 2014-05-28 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 •

往北走，这个人很聪明，什么也没留下

收起

童章赞同

周期性势场对电子波函数的影响
周期性边界条件处理的结果

phymath999

Tuesday, March 24, 2015

把多体问题简化为单电子问题, 需要经过多次简化: 布洛赫波函数中的是波矢量, 可用它来标记电子的状态, 电子波矢只需取一个布里渊区范围