怎样理解布洛赫电子？修改
"这一起伏与通常的有限温度下的起伏是本质不同的，它是量子起伏，绝对零度时也会发生，因此是相干型的变化，而不是无规的波动"---polik
2010年6月1日 - 复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念_理学_高等教育_教育专区 ..... 与离子实有关，但它除了使电子分布有起伏外，并没有阻碍电子到处出现?
复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念_百度文库
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4 个回答
Bloch波总可以写成
, 其中
以Bravais格矢为周期函数. 从直观上来看, Bloch波是一个周期函数调幅的平面波. Bloch自己也这么说的:
When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.前面有答案从完备基的角度解释Bloch电子, 这自然是正确的. Bloch波作为厄米的哈密顿量算符的本征态, 自然具有正交完备性. 除此之外, 我还想补充几点.
- Bloch波函数中的指标
是空间平移对称性的结果, 它是标记电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数. 用群论的话说, Bloch 函数是晶体平移对称群不可约表示的基, 不同的
是不可约表示的特征标.
称作晶格动量.
- 注意到当
时(
是任一倒格矢),
关于
- Bloch波揭示了固体的能带结构. 将Bloch波代入Schrodinger方程, 得到
. 由于
来标记上述方程的能量本征值. 对于固定的
是周期函数, 只能在一定的范围内变化, 有能量的上下界, 因此构成一能带.
bloch 波函数是电子波函数方程（例，薛定谔方程）在周期势能条件下的一个“本征解”。也就是说，任何可能的电子的波函数，都必须是这一组无穷波函数的线性组合。
bloch 波函数是电子在这个方程中的正交分解的基。还存在其他分解方法（例如紧束缚，wannier 波函数）等。bloch 波函数主要是基于傅立叶的分解理论。在光学周期结构中也有类似的分解，叫做Rayleigh-Bloch wave.
bloch 波函数是电子在这个方程中的正交分解的基。还存在其他分解方法（例如紧束缚，wannier 波函数）等。bloch 波函数主要是基于傅立叶的分解理论。在光学周期结构中也有类似的分解，叫做Rayleigh-Bloch wave.
李巨格 赞同
Bloch 定理的三个条件：
Bloch 电子的波函数：
u_n是r的周期函数，也就是调幅平面波，电子分布周期性变化，同时电子是弥散在整个空间中的。平移一个格矢，波函数有e^{i k R_l}的相位变化。电子的散射是相干的，没有能量损失（无电阻），需引入晶格振动修正。
- 绝热：原子核固定
- 单电子：忽略电子与电子间的相互作用，只考虑电子与核的作用
- 周期
Bloch 电子的波函数：
u_n是r的周期函数，也就是调幅平面波，电子分布周期性变化，同时电子是弥散在整个空间中的。平移一个格矢，波函数有e^{i k R_l}的相位变化。电子的散射是相干的，没有能量损失（无电阻），需引入晶格振动修正。
周期性势场对电子波函数的影响
周期性边界条件处理的结果
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送交者: polik 于 2007-12-10, 04:42:13:
周期性边界条件处理的结果
品评文小刚的弦网理论（4）
送交者: polik 于 2007-12-10, 04:42:13:
品评文小刚的弦网理论（4）分数量子霍尔效应─量子序─弦网谢谢各位的鼓励和whiteshark兄的帮忙。c61前辈，原以为您一直在闭关，没想到您老尚在潜水，您如果在看本贴，提醒您后面小弟有一信专门呈您。特别回覆元江兄：虽然不知道什么时候能兑现，但我希望会出修改版，加些图，修改错误，改进一些说法等。错误是很多的，这是做蒙面人的好处。────────────────────────────────
上回说到IQHE导致霍尔电阻出现平台，令物理界大吃一惊，但很快就平息下来，因为用Landau的理论大体可以给出一个满意的解释。最重要的是，自由电子气模型仍然对付得了。但是故事还远远没完，一直延绵到今天。可能是霍尔老爷子死不瞑目，对自己生前所获的承认太少而抱怨在天，keeps haunting the physics community under heaven。IQHE发现两年以后， Stormer，崔琪和Gossard发表了一个惊人的结果，在原来是斜直线即非平台区的地方，他们观察到一些新的平台。按IQHE理论，这是绝对不可能的，平台是一系列Landau能级被清空的结果，现在这几个人却告诉我们平台可以出现在连第一Landau能级都还没有填满的时候！天真的变了。还是那个倒霉鬼Laughlin。当时他得知是铁定要被老板炒鱿鱼了。心情之恨可想而知。但有什么办法呢？还不是老老实实另找饭碗，同时更努力做事？Laughlin看到崔等人的结果以后，知道他的运气其实相当不错。他意识到Landau的理论不可能解释FQH，自由电子气模型必须放弃，电子与电子之间的相互作用在这里是核心角色。他蒙出了一个波函数，指出电子之间的相互作用会导致带分数电荷的准粒子，是那些小平台出现的基本原因。现实材料中分数电荷准粒子的出现是凝聚态也是整个物理界的一件大事。一言难尽，干脆跳过（有人呛出水来，我不care,更不负责）。小平台的出现说明第一Landau能级，即基态，具有高度的简并。其中每一量子态相当于一个液相。温度处于绝对零度时依然可能发生相变。这种相变当然不需要热驱动。一定是"纯粹的"量子效应，因而叫量子相变。每一量子态（相）对应一个量子序。受FQH影响而产生的新理论，包括任意子或分数统计，高温超导，等等，一直还在稳步发展。例如，就在最近，有人在石墨薄层中发现了室温FQH（K. S. Novoselov et al., Science, 315, 1379 (2007)，可惜只能点到为止，不能细讲。总之，量子霍尔效应近三十年惊喜连连，成果叠出，那些年头在那个里面混的人都可谓生逢其时，都有所斩获，一辈子算是没白过。几家欢乐几家愁，相反，高能物理那边就惨多了，拿得出手的结果屡屡难产，还时时妖风四起，群魔乱舞，弄得几代才俊近乎白活，难怪做粒子物理的得忧郁症的比率和自杀率那么高。量子相变可以完全没有对称破缺，因而没有传统意义下的序参数。用什么来描述量子相变和量子序呢？严格说来，还没有答案，或还没有标准答案。文小刚给出了一个可能right的答案。文认为，诸如FQH之类的量子体系，虽然多粒子偶合网络起伏貌似噪音，但起伏有一定模式（pattern），因而暗示存在一种隐蔽的我们尚未揭示的秩序。这种秩序与常规物质中的秩序之最大区别是，前者是动态的，后者是静态的。量子相变的本质是量子纠缠网络起伏方式的变化。这一起伏与通常的有限温度下的起伏是本质不同的，它是量子起伏，绝对零度时也会发生，因此是相干型的变化，而不是无规的波动。量子相变的一个特例是拓扑相变，即体系的拓扑特徵决定的量子序的变化。为此，他又提出了拓扑序（Topological Order）这个新概念。粗糙地讲，传统的相或序是由体系的局域对称确定，量子相或序由体系的全域或整体对称性确定。
目前还不完全清楚到底有哪些整体对称性，但普遍的猜想是很多的。能量算子的拓扑性质就是整体对称性的一个例子。通常的简并都可以引入恰当的微扰将其解除，一个典型的表现是原来单一的光谱线出现分裂，如以Stark， Zeeman，Jahn-Teller 等人名字命名的各种效应，它们都是简并被微扰解除的例子。一个简并被解除，更直接的意思是其能量算子的对称性降低了。如果一个体系的（基态）简并无论施加何种微扰都解除不了，说明其能量算子有一个非常牢固的对称性，坚不可催。看一下FQH的能量算子，似乎并无特别的地方暗示他有何种秘密对称性。稍微严谨一点，我们说，局域地看，能量算子没有特别的对称性以致恰当的微扰不能解除它的简并。因此原因只能从整体性质找。例如，球面亏格为零，基态没有简并，而环面的亏格为1，因为它包含了一个洞，填充因子1/q的Laughlin FQH 态的简并度就是q的一次方。简并意味对称性，这个定则还是适用的。因而，老工具─群论─依旧是我们的最佳武器。文小刚认为，FQH基态，或更广义地，量子序，隐藏的对称性可以由一个广义的群来描写。这就是他建议的投影对称群（Projective Symmetry Group, PSG）理论。简言之，PSG反映所有序（包括量子序）对应的对称性，它包含规范群为一个不变子群，通常的对称群就是PSG对规范群的商群。Very Cool。他具体建立一些模型来说明PSG的应用。特别是，他发现可以由此出发建立一个
关于基本粒子来源的新理论，即由纯粹的波色型拉氏量可以产生规范波色子和费米子。因此，他假定真空中充满了任意大小的弦构成弦网。光子是（闭）弦网的凝聚，费米子是（开）弦网的端点。粗略的联系图如下： FQH-->量子序-->PSG-->弦网模型-->光子+费米子。文小刚承认，还有很多gap要填，也需要更多实验支持，但就自洽性，简洁性和与实验的距离等综合因素，应该至少不输超弦理论等。目前的弦网理论能产生无质量光子，胶子，夸克和其他带荷轻子，但尚不能产生中微子以及与轻子和夸克有手征偶合弱作用的SU（2）规范场。要成为一个TOE，显然还有待发展。最困难的地方probably在于我们对真空和宇宙整体的了解还很有限，例如，有没有文小刚提的Z2拓扑结构以拯救中子"不带荷"的性质？总的看法：理论优美。简洁。有待发展。弦之又玄，微巨相连。欲知详情，建议阅读文小刚教授深入浅出的出色着作。文小刚1977年进入科大，1982年由CUSPEA入普大，师从超牛Witten，后又与Schriefer，Zee，Wilczek等大牛合作，在高能物理和凝聚态物理两个领域均有极深造诣。天资，机遇都属绝佳。惟恐文革环境造成其中小学教育营养欠良，思维开掘受限，否则很可能早已步杨李之后，名声大噪。新一代美籍他籍华人物理学家中，文的成就可能是最杰出的。祝愿文小刚老师最终能够赢得诺贝尔物理奖。建议参考资料：
（1）Matthew Fisher, Physics Today 2005, 58, 52-53.
（2）文小刚的研究室网页 http://dao.mit.edu/~wen/本贴上完，polik放风结束，net curfew生效，闭关六六三十六天。在此感谢各位光临本堂，祝各位心想事成。
上回说到IQHE导致霍尔电阻出现平台，令物理界大吃一惊，但很快就平息下来，因为用Landau的理论大体可以给出一个满意的解释。最重要的是，自由电子气模型仍然对付得了。但是故事还远远没完，一直延绵到今天。可能是霍尔老爷子死不瞑目，对自己生前所获的承认太少而抱怨在天，keeps haunting the physics community under heaven。IQHE发现两年以后， Stormer，崔琪和Gossard发表了一个惊人的结果，在原来是斜直线即非平台区的地方，他们观察到一些新的平台。按IQHE理论，这是绝对不可能的，平台是一系列Landau能级被清空的结果，现在这几个人却告诉我们平台可以出现在连第一Landau能级都还没有填满的时候！天真的变了。还是那个倒霉鬼Laughlin。当时他得知是铁定要被老板炒鱿鱼了。心情之恨可想而知。但有什么办法呢？还不是老老实实另找饭碗，同时更努力做事？Laughlin看到崔等人的结果以后，知道他的运气其实相当不错。他意识到Landau的理论不可能解释FQH，自由电子气模型必须放弃，电子与电子之间的相互作用在这里是核心角色。他蒙出了一个波函数，指出电子之间的相互作用会导致带分数电荷的准粒子，是那些小平台出现的基本原因。现实材料中分数电荷准粒子的出现是凝聚态也是整个物理界的一件大事。一言难尽，干脆跳过（有人呛出水来，我不care,更不负责）。小平台的出现说明第一Landau能级，即基态，具有高度的简并。其中每一量子态相当于一个液相。温度处于绝对零度时依然可能发生相变。这种相变当然不需要热驱动。一定是"纯粹的"量子效应，因而叫量子相变。每一量子态（相）对应一个量子序。受FQH影响而产生的新理论，包括任意子或分数统计，高温超导，等等，一直还在稳步发展。例如，就在最近，有人在石墨薄层中发现了室温FQH（K. S. Novoselov et al., Science, 315, 1379 (2007)，可惜只能点到为止，不能细讲。总之，量子霍尔效应近三十年惊喜连连，成果叠出，那些年头在那个里面混的人都可谓生逢其时，都有所斩获，一辈子算是没白过。几家欢乐几家愁，相反，高能物理那边就惨多了，拿得出手的结果屡屡难产，还时时妖风四起，群魔乱舞，弄得几代才俊近乎白活，难怪做粒子物理的得忧郁症的比率和自杀率那么高。量子相变可以完全没有对称破缺，因而没有传统意义下的序参数。用什么来描述量子相变和量子序呢？严格说来，还没有答案，或还没有标准答案。文小刚给出了一个可能right的答案。文认为，诸如FQH之类的量子体系，虽然多粒子偶合网络起伏貌似噪音，但起伏有一定模式（pattern），因而暗示存在一种隐蔽的我们尚未揭示的秩序。这种秩序与常规物质中的秩序之最大区别是，前者是动态的，后者是静态的。量子相变的本质是量子纠缠网络起伏方式的变化。这一起伏与通常的有限温度下的起伏是本质不同的，它是量子起伏，绝对零度时也会发生，因此是相干型的变化，而不是无规的波动。量子相变的一个特例是拓扑相变，即体系的拓扑特徵决定的量子序的变化。为此，他又提出了拓扑序（Topological Order）这个新概念。粗糙地讲，传统的相或序是由体系的局域对称确定，量子相或序由体系的全域或整体对称性确定。
目前还不完全清楚到底有哪些整体对称性，但普遍的猜想是很多的。能量算子的拓扑性质就是整体对称性的一个例子。通常的简并都可以引入恰当的微扰将其解除，一个典型的表现是原来单一的光谱线出现分裂，如以Stark， Zeeman，Jahn-Teller 等人名字命名的各种效应，它们都是简并被微扰解除的例子。一个简并被解除，更直接的意思是其能量算子的对称性降低了。如果一个体系的（基态）简并无论施加何种微扰都解除不了，说明其能量算子有一个非常牢固的对称性，坚不可催。看一下FQH的能量算子，似乎并无特别的地方暗示他有何种秘密对称性。稍微严谨一点，我们说，局域地看，能量算子没有特别的对称性以致恰当的微扰不能解除它的简并。因此原因只能从整体性质找。例如，球面亏格为零，基态没有简并，而环面的亏格为1，因为它包含了一个洞，填充因子1/q的Laughlin FQH 态的简并度就是q的一次方。简并意味对称性，这个定则还是适用的。因而，老工具─群论─依旧是我们的最佳武器。文小刚认为，FQH基态，或更广义地，量子序，隐藏的对称性可以由一个广义的群来描写。这就是他建议的投影对称群（Projective Symmetry Group, PSG）理论。简言之，PSG反映所有序（包括量子序）对应的对称性，它包含规范群为一个不变子群，通常的对称群就是PSG对规范群的商群。Very Cool。他具体建立一些模型来说明PSG的应用。特别是，他发现可以由此出发建立一个
关于基本粒子来源的新理论，即由纯粹的波色型拉氏量可以产生规范波色子和费米子。因此，他假定真空中充满了任意大小的弦构成弦网。光子是（闭）弦网的凝聚，费米子是（开）弦网的端点。粗略的联系图如下： FQH-->量子序-->PSG-->弦网模型-->光子+费米子。文小刚承认，还有很多gap要填，也需要更多实验支持，但就自洽性，简洁性和与实验的距离等综合因素，应该至少不输超弦理论等。目前的弦网理论能产生无质量光子，胶子，夸克和其他带荷轻子，但尚不能产生中微子以及与轻子和夸克有手征偶合弱作用的SU（2）规范场。要成为一个TOE，显然还有待发展。最困难的地方probably在于我们对真空和宇宙整体的了解还很有限，例如，有没有文小刚提的Z2拓扑结构以拯救中子"不带荷"的性质？总的看法：理论优美。简洁。有待发展。弦之又玄，微巨相连。欲知详情，建议阅读文小刚教授深入浅出的出色着作。文小刚1977年进入科大，1982年由CUSPEA入普大，师从超牛Witten，后又与Schriefer，Zee，Wilczek等大牛合作，在高能物理和凝聚态物理两个领域均有极深造诣。天资，机遇都属绝佳。惟恐文革环境造成其中小学教育营养欠良，思维开掘受限，否则很可能早已步杨李之后，名声大噪。新一代美籍他籍华人物理学家中，文的成就可能是最杰出的。祝愿文小刚老师最终能够赢得诺贝尔物理奖。建议参考资料：
（1）Matthew Fisher, Physics Today 2005, 58, 52-53.
（2）文小刚的研究室网页 http://dao.mit.edu/~wen/本贴上完，polik放风结束，net curfew生效，闭关六六三十六天。在此感谢各位光临本堂，祝各位心想事成。
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