www.guokr.com/article/53059/?page=7
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
隨機過程在量子場論計算中的應用
文/林立
所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機率性。
最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走(random walk)。大家熟知的布朗運動現象即可利用無規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量就是機率分布函數![]()
。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在![]()
的機率。
由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在![]()
中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出![]()
的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時間演化算符(又稱為傳播子)之Feynman路徑積分表達式在數學上相同，有一個一對一的對應[註1]。
Wick旋转 - phymath999 - Blogger
phymath999.blogspot.com/2012/.../wickfriedrichszeta.htm...
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
威克轉動- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/威克轉動
wick旋转是什么？_野薄荷
www.yebohe.cn/.../650a6f3e05263e82512772d8a12d000...
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
[DOC]隨機過程在量子場論計算中的應用
psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/v27/500.doc
隨機過程在量子場論計算中的應用
文/林立
所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機率性。
最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走(random walk)。大家熟知的布朗運動現象即可利用無規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量就是機率分布函數
。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在
的機率。
。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在的機率。
由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時間演化算符(又稱為傳播子)之Feynman路徑積分表達式在數學上相同，有一個一對一的對應[註1]。
中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時間演化算符(又稱為傳播子)之Feynman路徑積分表達式在數學上相同，有一個一對一的對應[註1]。
這種對應在物理上也有一定的意義，因為一個量子系統具有量子不確定性，因此帶有隨機性。量子力學的Feynman路徑積分表示法可以將這種隨機性明確的表示出來。我們可以將量子系統傳播子的路徑積分式中的每一條路徑視為一個隨機過程，其對傳播子之貢獻的權重即為
，其中S為此量子系統所對應的古典力學系統之作用量，所以等於動能項減去位能項。若是經過一個Wick旋轉：
，其中S為此量子系統所對應的古典力學系統之作用量，所以等於動能項減去位能項。若是經過一個Wick旋轉：
，
將時間轉換為虛時間t’之後(所以上式中的τ仍取實數值)，就可以化為完全和無規行走之之路徑積分有一對一對應的形式了。在此形式中，因子變成為
，其中SE是對應的古典力學系統之動能項加位能項，相當於是總能量了[註2]。如此一來，Wick旋轉之後傳播子路徑積分式中的即可視為相應的隨機過程發生的機率。這在物理意義上也可以和無規行走之的路徑積分式有了對應[註3]。
之路徑積分有一對一對應的形式了。在此形式中，因子變成為，其中SE是對應的古典力學系統之動能項加位能項，相當於是總能量了[註2]。如此一來，Wick旋轉之後傳播子路徑積分式中的即可視為相應的隨機過程發生的機率。這在物理意義上也可以和無規行走之的路徑積分式有了對應[註3]。
路徑積分表示法作為一種解題方法，在具有機率性的物理問題中有很廣泛的應用。在各種應用中，路徑積分式中之各條路徑都可以看成是一個隨機過程。本文主要是要介紹路徑積分在量子場論之非微擾計算中的應用。
量子場論在數學上就是量子力學，其主要差別只在於量子場論將(廣義)空間座標變成為腳標，場的本身則成為“力學量”，亦即：成為新的廣義座標，從而有對應的“共軛動量”(姑且稱之為動量場)，於是在量子場論中，被量子化的是場及其共軛動量。我們可以利用下面的表列看出量子場論與量子力學在數學形式上的對應：
|
古典質點力學
|
古典場論
|
 廣義座標 廣義動量 |
  |
|
量子力學
|
量子場論
|
 |
[註4]
|
接下來在介紹沿著假想時間軸的動力學機制之前，我們必須先打個岔，強調一件事：在量子場論之泛函積分(將底時空格子點化之後成為多重積分)之計算中，其實有兩種隨機過程。一種隨機過程即為泛函積分本身之各個”路徑”，這是沿著底時空的路徑，每一個特定的時空點上對應著一個場值
，每一條路徑以之機率出現；另一種隨機過程則出現在這裡引入的動力學機制中，這是一種沿著假想時間軸上的路徑，每一個特定的假想時間點上對應著一組場組態，在這個隨機過程中，各個場組態是以之機率來分布的。可以看出，在第二種隨機過程中，每一個特定假想時間點上出現的場組態本身就是第一種隨機過程。在此提醒讀者注意，不要將這兩種隨機過程搞混了。
No comments:
Post a Comment