场中粒子向势能最低点的动过程. delta 势

[PDF]量子势粒子群优化算法的改进研究* - 物理学报

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by 李盼池 - ‎Cited by 6 - ‎Related articles

首先, 分别基于Delta 势谐振子和万势提出了改的量子势粒子群优化算法, ... 是通过模拟量子力学中粒子在势场中向势能最低 ... 场中粒子向势能最低点的动过程.

 

 

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Page 1

理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

量子势 粒子群优化算法的改进研究*

李1)2)†

王2)

1)

1)

1) ( 东北石大学石 与天然气工程博士后流动站, 大 163318 )

2) ( 东北石大学计算机与信息技术学院, 大 163318 )

( 2011 年 5 月 23 日收到; 2011 年 7 月 3 日收到修改稿 )

为提高量子势粒子群优化算法的优化能力, 通过分析目前量子势粒子群优化算法的设计过程, 提出了改

的量子势粒子群优化算法. 首先, 分别基于 Delta 势谐振子和万势提出了改的量子势粒子群优化算法,

并提出了基于统计量值的控制参数设计万法. 然后, 在势中心的设计万面, 为强调全最优粒子的指导作用, 提

出了基于自身最优粒子加权平和动态随机变量的两种设计策略. 实果表明, 三种势粒子群优化算法性能比

, 都优于原算法, 且 Delta 势模型略优于其他两种.

词: 量子计算, 量子势, 粒子群优化, 算法设计

PACS: 03.65.−w

1

粒子群优化算法 (PSO) 是由 Eberhart 博士

和 Kennedy 博士于 1995 年提出的种新的全

优化算法 [1]. 作为种重的优化工, PSO

成

功应用于组合优化 [2] 和数值优化 [3]. 关于 PSO 性

能的改, 目前主有下儿种策略:

是基于算

法参数的选择 [4]; 二是基于粒子位置及速度的更

新规则 [5]; 三是与其他算法的合 [6,7]. 这些改

使 PSO 性能有不同程度的提高. 量子计算是

门新兴的计算技术, 其与智能计算的合有着广

的应用前. 目前量子粒子群优化 (QPSO) 虽然

获得些成功的应用 [8−14], 但有关 QPSO 的

理论研成果相对少 [15−18]. QPSO 的基本原理

是通过模拟量子力学中粒子在势场中向势能最低

点的动建立搜索机理, 即将粒子寻优空间看作量

子力学中的势场 (势), 将全最优看作势场中

势能最低点 (势中心), 将粒子的寻优过程看作势

场中粒子向势能最低点的动过程. 由于不同势

中, 对粒子概率密度函数积分的复杂度不同, 有

些概率密度函数甚至没有原函数, 只能采用数值万

法.

此, 目前 QPSO 在对势的选择上, 儿乎

采用 Delta 势, 而对其他势研很少, 另外势

中心的构造万法为单. 针对上问题, 本文

基于 Delta 势谐振子和万势这三种势场, 通

过合理设置势中心分别建立了 QDPSO, QOPSO,

QSPSO 模型. 实果表明, 三种模型比 , 都

优于原算法, 且 QDPSO 略优于 QSPSO 和 QOPSO.

2 量子 PSO 模

2.1

PSO 模

设在 n 维空间中的 M 个粒子组成个种

群. 其中, 第 i 个粒子位置 Xi

速度 Vi

自身

搜索到的最优位置 PL

i

整个种群搜索到的最

优位置 Pg 分别记为: Xi = (xi1,xi2, ··· ,xin),

Vi = (vi1,vi2, ··· ,vin), PL

i

= (pi1,pi2, ··· ,pin),

Pg = (pg1,pg2, ··· ,pgn). 将 Xi 代入目标函数可

计算其适应值. 粒子状态更新策略为

Vi(t + 1) =wVi(t) + c1r1(PL

i − Xi(t))

+ c2r2(Pg − Xi(t)),

(1)

Xi(t + 1) = Xi(t) + Vi(t + 1),

(2)

其中 i = 1, 2, ··· ,M; w 为惯性子; c1 为自身

子; c2 为全子; r1, r2 是 (0, 1) 之间随机数. 对

种群中每个粒子应用 (1) 和 (2) 两式循环迭代, 可使

* 国家自然科学基 (批准号: 61170132) 中国博士后科学基 (批准号: 20090460864, 201003405) 黑龙江省博士后科学基 (批准号:

LBH-Z09289) 和黑龙江省育科学基 (批准号: 11551015) 资助的课题.

† E-mail: lipanchi@vip.sina.com

c 2012 中国物理学会 Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

060302-1

---

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理

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整个种群逐步逼全最优. 为便于叙述, 将 (1)

式重写为如下形式 [18]:

Vi(t + 1) = wVi(t)+[Φ](Pi − Xi(t)),

(3)

其中

Pi =diag

(

c1r1

1

c1r1

1 + c2r2

1

, ··· ,

c1r1

n

c1r1

n + c2r2

n

)

PL

i

+ diag

(

c2r2

1

c1r1

1 + c2r2

1

, ··· ,

c2r2

n

c1r1

n + c2r2

n

)

Pg,

(4)

[Φ] = diag(c1r1

1 + c2r2

1, ··· ,c1r1

n + c2r2

n).

(5)

文献 [19] 指出, 为使 PSO 收敛, 所有粒子必须逼

(4) 式定的 Pi.

2.2 量子 PSO 模

在量子力学里, 粒子动态行为般用如下定

万程描述:

jh

∂

∂t

Ψ(r, t) =

(

−

h2

2m

∇2

+ V (r)

)

Ψ(r, t),

(6)

其中 h 为普朗克常数, m 为粒子质量, V (r) 为势

场能量分布函数. 在定万程中, 未知量是波函

数 Ψ(r, t), 根波函数的统计释, 该函数幅度的

平万为粒子出现的概率密度.

QPSO 的设计思想为, 首先选择某种不显含时

间 t 的势 V (r); 然后通过求 (6) 式的定万

程得到变量分离形式的波函数 Ψ(r),

而得到粒子

在势场中出现的概率密度函数 |Ψ(r)|2; 最后通过将

势中心设置为 (4) 式定的最优, 并合理设计

势参数, 可使粒子大概率逼 (4) 式定的位

置. 下面 Delta 势为例说明 QPSO 的构造过程.

Delta 势的势能分布可表示为

V (r) = −γδ(r),

(7)

其中 γ 为势深度. 将 (7) 式代入 (6) 式,

出粒子

波函数为

Ψ(r) =

1

√

L

e

−|r|/L,

(8)

其中 L =

h2

mγ

为 Delta 势的特征长度. 粒子在 r

处出现的概率密度函数为

Q(r) = |Ψ(r)|2

=

1

L

e

−2|r|/L,

(9)

为使当前在 r 处的粒子下次动时大概率向

势中心靠, (9) 式需满足如下关系:

∫ |r|

−|r|

Q(r)dr > 0.5,

(10)

由 (9) 和 (10) 式可得特征长度 L 必须满足

L =

|r|

g ln(

√

2)

,

(11)

其中 g 为控制参数, g > 1.

在势中的粒子动态行为服从定万程, 在

任确定时刻, 其位置是不确定的, 而普通 PSO 中

的粒子服从牛顿力学, 在任确定时刻, 必须有

确定的位置. 这个矛盾可助波函数的缩得

圆满 .

体可采用蒙特洛万法. 首先在 (0,1)

内取随机数 u, 然后令 u = e

−2|r|/L, 最后出

|r| =

L

2

ln(1/u),

(12)

由 (11) 和 (12) 式可得

|rk+1| =

ln

(

1/u

)

2g ln

√

2

|rk|,

(13)

令 rk = xk − P 得

xk+1 = P ±

ln(1/u)

2g ln

√

2

|xk − P|,

(14)

令 α =

1

2g ln

√

2

, 得

xk+1 = P ± α|xk − P| ln(1/u).

(15)

上式即为 QDPSO 的迭代万程 [18].

3 量子 PSO 进

关于 QDPSO 模型, 前面导出, 如 (15) 式所

示, 这里重点研其他两种 QPSO 模型的设计万法.

3.1 QOPSO 模

维谐振子的势能分布可表示为

V (r) =

1

2

Kr2,

(16)

其中 K 是刻画简谐作用力强弱的参数. 将上式代

入 (6) 式, 通过定万程可得粒子在 r 处出现

的概率密度函数为 [18]

Q(r) =

α

√

π

e

−α2r2 ,

(17)

为使当前在 r 处的粒子下次动时大概率向

势中心靠, (17) 式需满足如下关系:

∫ |r|

−|r|

Q(r)dr = 2Φ(

√

2α|r|) − 1 > 0.5,

(18)

其中 Φ(r) =

1

√

2π

∫ r

−∞

e

− t2

2 dt 为概率积分函数.

由于被积函数 Q(r) 没有原函数, 故 (18) 式

不存在析. 在文献 [16] 和 [17] 中,

百

由 Φ(

√

2α|r|) > 0.75 得出

√

2α|r| > 0.75, 这显

060302-2

---

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然是不正确的. 我们通过数值积分万法获得的果

是:

√

2α|r| > 0.67448975019609,

(19)

α = g

0.47693627620448

|r|

,

(20)

其中 g > 1.

在 (0,1) 内取随机数 u, 令 u = e

−α2r2 , 最后

出

|r| =

1

α

√

ln(1/u),

(21)

由 (20) 和 (21) 式可得

|rk+1| =

√

ln (1/u)

0.47693627620448g

|rk|,

(22)

令 rk = xk − P 得

xk+1 = P ±

√

ln (1/u)

0.47693627620448g

|xk − P|. (23)

上式即为 QOPSO 的迭代万程.

3.2 QSPSO 模

万势的势能分布可表示为

V (r) =

⎧

⎨

⎩

0

|r| ≤ W/2,

V0

|r| > W/2,

(24)

其中 W 为势宽度, V0 为势高度. 粒子在 r 处出

现的概率密度函数为 [18]

Q(r) =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a

W

cos

2

(

ξ

W

r

)

|r| ≤

W

2

,

b

W

e

− η

W

r

r >

W

2

,

b

W

e

η

W

r

r < −

W

2

,

(25)

其中 a, b, ξ, η 为待定常数.

(24) 式含有多个束态, 构造 QSPSO 时只需

考虑能量最小的束态 (基态), 根量子力学理论,

此时 ξ < π, 为简便我们取 ξ = 1. 根波函数及其

导数在 r = ±W/2 处的连续性, (25) 式可重写为:

Q(r) =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a

W

cos

2

(

1

W

r

)

|r| ≤

W

2

,

a

W

cos

2 (1

2

)

e

tan( 1

2

)− 2

W

tan( 1

2

)r

r >

W

2

,

a

W

cos

2 (1

2

)

e

tan( 1

2

)+ 2

W

tan( 1

2

)r

r < −

W

2

,

(26)

由

∫ ∞

−∞

Q(r)dr = 1 得, a = 0.42909473012164.

由

∫ |r|

−|r|

Q(r)dr > 0.5 得

W =

1.48293382351325

g

|r|,

(27)

其中 g > 1.

在 (0, 1) 内取随机数 u, 令 u = cos

2

(

1

W

r

)

, 最

后出

|r| = W arccos(

√

u),

(28)

由 (27) 和 (28) 式可得

|rk+1| =

1.48293382351325cos−1

(

√

u)

g

|rk|, (29)

令 rk = xk − P 得

xk+1 = P ±

1.48293382351325cos−1

(

√

u)

g

|xk −P|.

(30)

上式即为 QSPSO 的迭代万程.

3.3

QPSO 的

从三种 QPSO 的构造万法可知, 其收敛有随

机性, 通过合理设计控制参数, 可增大收敛概率. 本

文提出种基于随机变量值的控制参数设计万

法. 在三种 QPSO 迭代式中, 随机变量的取值情况

如图 1 所示.

图 1

三种 QPSO 中随机变量的取值

从图 1 可知, 在 0 <u< 0.5 时, 随机变量的三

种函数值大于 1, 从三种 QPSO 的迭代式可知, 此

时其作用是使粒子偏离势中心. 为弱这种作用,

我们需研控制参数 g 的合理取值. 下面首先给

出随机变量序列收敛的定和 QPSO

收敛定

理. 定: 若随机变量序列 Xn 满足

lim

n→∞

E[|Xn − X|k

]=0 k > 0,

(31)

060302-3

---

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则称该序列 k

收敛于 X [20]. 其中 E(X) 为随机

变量 X 的数学期望.

定理　令 QPSO 迭代式为

xk+1 = P ±

β

g

|xk − P|,

(32)

其中 β 为随机变量, g 为常数. 则当 g 大于 β 的数

学期望时, QPSO

收敛于 P.

明 |xk+1−P| =

β

g

|xk−P| <

β

E[β]

|xk−P|.

令 χk = β/g, 则 χk 为独立同分布的随机变量,

且 E[χk] < E

[

β

E[β]

]

= 1.

|xk+1 − P| =χk|xk − P|

=

∏k

i=1

χi|x1 − P|,

E[|xk+1 − P|] =

∏k

i=1

E[χi]|x1 − P|,

lim

k→∞

E[|xk+1 − P|]

=|x1 − P| lim

k→∞

∏k

i=1

E[χi]=0.

故 QPSO

收敛于 P.

根上述定理, 三种 QPSO 的迭代式可做如下

简化.

1) QDPSO

g = λE

[ln(1/u)

2 ln

√

2

]

,

(33)

其中 λ > 1. 此时满足 (14) 式中 g > 1 的条件. 代

入 (14) 式得

xk+1 = P ±

ln(1/u)

λE[ln(1/u)]

|xk − P|.

(34)

2) QOPSO

g = λE

[

√

ln(1/u)

0.47693627620448

]

,

(35)

其中 λ > 1. 此时满足 (23) 式中 g > 1 的条件. 代

入 (23) 式得

xk+1 = P ±

√

ln (1/u)

λE[

√

ln(1/u)]

|xk − P|.

(36)

3) QSPSO

g = λE[1.48293382351325cos

−1

(

√

u)],

(37)

其中 λ > 1. 此时满足 (30) 式中 g > 1 的条件. 代

入 (30) 式得

xk+1 = P ±

cos

−1

(

√

u)

λE[cos−1(

√

u)]

|xk − P|.

(38)

上三种模型只有个控制参数 λ, 且其取

值为 λ > 1.

3.4

QPSO 的

文献 [19] 指出, PSO 中每个粒子都将收敛于

自身最优和全最优的随机加权平值. 所

在 QPSO 中, 势中心通常按 (4) 式定的位置

设置. 文献 [15] 对此做了改, 采用了如下迭代式:

xk+1 = Pk+1 ± α ln(1/u)|xk − Pk|,

(39)

并将 Pk 设置为所有 M 个粒子自身最优位置的算

术平值,

Pk =

1

M

( M

∑

i=1

pL

i1,

M

∑

i=1

pL

i2, ··· ,

M

∑

i=1

pL

in

)

, (40)

而将 Pk+1 设置为该粒子自身最优和全最优的等

幅度随机加权平值,

Pk+1,i = rPL

i + (1 − r)Pg,

(41)

其中 i = 1, 2, ··· ,M, r 为 (0,1) 之间匀分布的随

机数.

在 QPSO 迭代过程中, 粒子的收敛过程其实

是由最初的随机位置向着全最优位置逐步逼

的过程. 在这过程中全最优位置作为优化路标,

起着越来越重的作用.

此在算法设计中应予

关注. 基于这种理念, 本文在 (40) 和 (41) 式的基础

上, 提出如下势中心设计万法. 令 QPSO 迭代式

为

xk+1 = Pk+1 ±

β

λE[β]

|xk − Pk|,

(42)

其中 β 为 ln (1/u),

√

ln (1/u), cos

−1

(

√

u) 三者之

, u 为 (0, 1) 之间匀分布的随机数.

1) Pk 的设计万法

首先将所有 M 个自身最优粒子按适应值排

序, 然后按从低到高权重线性增加的原则取加权平

值, 其中权重递增的幅度随优化代数逐渐加大.

如 (43) 式所示:

Pk =

M

∑

i=1

˜PL

i wi

/ M

∑

i=1

wi,

(43)

其中 ˜PL

i 是各 PL

i 按适应值从低到高排序后的第 i

个值, wi =1+

c × k(i − 1)

G(M − 1)

, c 是加权常数, k 是当

前代数, G 是限定代数.

由 (43) 式可知, 每代构造 Pk 时, 各个 ˜PL

i 的

权重随适应值逐渐加大, 其加大的幅度又随代数

递增. 当 k = G 时, 各个 ˜PL

i 的加权最小为 1, 最大

为 1 + c.

2) Pk+1 的设计万法

060302-4

---

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理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

本文采用改变随机变量值的万法, 如 (44) 式

所示:

Pk+1,i = r(1+k/G)PL

i + (1 − r(1+k/G)

)Pg, (44)

其中 k 为当前代数, i = 1, 2, ··· ,M, M 为粒子总

数, r 为 (0,1) 之间匀分布的随机数.

根 (44) 式, 当 k = 1 时, 随机变量 r(1+k/G) ≈

r

值为 1/2, 此时, 1 − r(1+k/G)

值为 1/2; 而

当 k = G 时, 随机变量 r(1+k/G) ≈ r2 的值为 1/3,

而 1 − r(1+k/G)

值为 2/3.

此, 该设计体现了随

迭代步数增加使中心倾向全最优的设计思想.

4 对比

4.1

采用如下 4 个标准测试函数证本文提出算

法的性能.

1) Rosenbrock 函数

f1(x) =

n−1

∑

i=1

[100(x2

i − xi+1)

2

+ (xi − 1)

2

], (45)

其中 xi ∈ [−30, 30], 全极小值为 0, 全极小值

点为 x1 = x2 = ··· = xn = 1.

2) Rastrigin 函数

f2(x) = 10n +

n

∑

i=1

(x2

i − 10 cos(2πxi)),

(46)

其中 xi ∈ [−5.12, 5.12], 全极小值为 0, 全极

小值点为 x1 = x2 = ··· = xn = 0.

3) Griewank 函数

f3(x) =

n

∑

i=1

x2

i

4000

−

n

∏

i=1

cos(

xi

√

i

)+1,

(47)

其中 xi ∈ [−600, 600], 全极小值为 0, 全极小

值点为 x1 = x2 = ··· = xn = 0.

4) Ackley 函数

f4(x) =20 + e − 20 e

− 1

5

√

1

n

n

∑

i=1

x2

i

− e

− 1

n

n

∑

i=1

cos(2πxi)

,

(48)

其中 xi ∈ [−32, 32], 全极小值为 0, 全极小值

点为 x1 = x2 = ··· = xn = 0.

参数设置: 将 4 个测试函数的维数分别取 10

和 20 维, 当维数 n = 10 时, 三种 QPSO 的粒子数

为 20, 优化代数为 1000; 当维数 n = 20 时, 三

种 QPSO 的粒子数为 40, 优化代数为 1500. 每

种 QPSO 的势中心分别采用文献 [15] 的万法和

本文提出的万法设置, 加权常数为 c = 0.1.

实万案: 首先考察控制参数取定值时的性能,

将控制参数分别取 λ = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5; 其

次考察控制参数线性增加时的性能, 将控制参数分

别取 λ = 1.0—1.5, 1.1—1.4, 1.2—1.3. 为增强实

果的客观性, 对于控制参数 λ 的每种取值, 分别

用三种 QPSO 仿真 100 次, 并取平值作为评价指

标. 实果对比如表 1 至 6 所示.

表 1

Rosenbrock 函数优化果对比

模型

维数

中心

控制参数

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

QDPSO

10

文献 [15]

51.6862

26.9915

15.5604

24.7594

46.5828

70.4754

本文

34.3592

10.3503

8.7701

19.5973

41.7595

70.1695

20

文献 [15]

2429.1248

81.8350

36.3886

27.3472

39.9205

89.6087

本文

628.7611

62.3965

26.5236

23.0711

38.9492

88.8078

QOPSO

10

文献 [15]

1.9007×104

21.7298

9.5039

21.3723

185.4785

348.1803

本文

1.3646×104

21.4025

7.3363

18.6733

155.1081

336.3298

20

文献 [15]

9.1703×107

1311.5813

29.6708

32.3945

93.7130

422.2273

本文

8.2835×107

616.9282

28.8569

31.3654

88.9727

413.6087

QSPSO

10

文献 [15]

1.3946×105

26.7527

7.3769

36.5072

106.5319

321.1751

本文

1.3670×105

18.3213

6.8529

29.1107

97.1049

301.0975

20

文献 [15]

1.0817×108

4323.8658

30.8985

36.8875

146.0346

817.8263

本文

1.0817×108

1112.7402

24.3671

35.0443

138.5114

808.2517

060302-5

---

Page 6

理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

表 2

Rastrigin 函数优化果对比

模型

维数

中心

控制参数

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

QDPSO

10

文献 [15]

22.2159

10.3195

5.9185

4.9091

5.3922

7.5132

本文

17.5283

6.6327

3.9110

4.7898

4.9941

6.9050

20

文献 [15]

116.0693

74.3160

36.6467

12.5456

12.4128

15.7205

本文

101.6805

53.9767

18.6451

10.7863

12.4071

15.6507

QOPSO

10

文献 [15]

53.5352

24.0892

8.8105

5.3481

6.5571

8.7614

本文

51.5285

23.7785

5.0996

5.1247

6.2401

8.5549

20

文献 [15]

249.5879

111.2439

50.4360

11.8855

16.0790

19.7379

本文

245.7703

106.2888

28.7446

11.1882

15.4026

19.6934

QSPSO

10

文献 [15]

62.2553

27.3425

8.7037

5.2291

7.5835

9.2785

本文

60.3088

26.0604

5.5834

5.1144

7.5240

8.7985

20

文献 [15]

257.8466

117.1013

48.0251

11.3187

16.0502

20.8841

本文

257.8356

115.3643

31.1710

11.2530

15.9318

20.7246

表 3

Griewank 函数优化果对比

模型

维数

中心

控制参数

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

QDPSO

10

文献 [15]

0.4213

0.2429

0.1125

0.0635

0.0725

0.1003

本文

0.3635

0.2147

0.0852

0.0620

0.0708

0.0970

20

文献 [15]

0.6873

0.2733

0.0346

0.0180

0.0185

0.0276

本文

0.5710

0.1068

0.0258

0.0158

0.0178

0.0274

QOPSO

10

文献 [15]

0.9256

0.4660

0.1471

0.0716

0.0945

0.1804

本文

0.8634

0.4354

0.1028

0.0570

0.0896

0.1779

20

文献 [15]

223.2464

0.5713

0.0352

0.0199

0.0398

0.8520

本文

213.3349

0.5095

0.0185

0.0171

0.0333

0.8417

QSPSO

10

文献 [15]

1.6626

0.5074

0.1818

0.0630

0.1033

0.3282

本文

1.3475

0.4702

0.1183

0.0607

0.0901

0.2926

20

文献 [15]

282.2340

0.6242

0.0334

0.0160

0.1051

1.0183

本文

279.0063

0.5319

0.0190

0.0153

0.1024

1.1634

表 4

Ackley 函数优化果对比

模型

维数

中心

控制参数

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

QDPSO

10

文献 [15]

10.0375

1.5012

0.0425

0.0886

0.2167

0.7323

本文

8.8930

0.3746

6.8923 × 10−15

0.0165

0.2148

0.7248

20

文献 [15]

19.7037

10.3803

0.6652

0.0414

0.0231

0.9301

本文

19.4413

6.8375

0.1124

9.3401 × 10−14

0.0116

0.8924

QOPSO

10

文献 [15]

17.3305

2.9178

0.0540

0.1322

0.6795

1.9865

本文

17.3213

1.5281

2.5935 × 10−15

0.1022

0.6058

1.8068

20

文献 [15]

20.1089

12.4515

0.0113

0.0658

1.2463

3.0845

本文

20.0786

11.1385

4.3698 × 10−15

0.0347

1.2426

2.9494

QSPSO

10

文献 [15]

17.7082

2.1859

4.7368 × 10−12

0.1261

0.9511

2.2495

本文

17.6601

1.2068

2.6290 × 10−15

0.1066

0.7181

2.2449

20

文献 [15]

20.0910

12.6062

0.0406

0.1182

1.6433

3.5478

本文

20.0882

11.7493

3.9080 × 10−15

0.0989

1.6385

3.4179

060302-6

---

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理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

表 5

Rosenbrock 和 Rastrigin 函数优化果对比

模型

维数

中心

Rosenbrock 参数

Rastrigin 参数

1.0—1.5

1.1—14

1.2—1.3

1.0—1.5

1.1—14

1.2—1.3

QDPSO

10

文献 [15]

34.0764

11.5292

43.2057

4.1464

4.6008

5.5206

本文

33.5346

7.5480

33.3005

4.1033

4.1599

4.3286

20

文献 [15]

97.9102

62.3589

24.2812

15.3813

21.5991

23.5325

本文

65.5403

39.2704

23.5224

10.4135

11.2689

11.3185

QOPSO

10

文献 [15]

43.1567

16.1038

16.6159

4.7808

4.8897

4.9882

本文

41.4411

12.1284

14.7034

4.4355

4.3372

4.2493

20

文献 [15]

86.9076

33.4247

30.1642

11.8825

18.9920

20.7963

本文

56.5984

31.6871

29.1834

11.0208

10.7646

10.4115

QSPSO

10

文献 [15]

59.1887

13.3491

11.7530

5.3427

6.5202

5.4214

本文

36.3177

8.4269

8.6609

3.9800

4.3208

4.2009

20

文献 [15]

52.1593

38.7167

24.4363

10.9933

14.1306

17.2601

本文

45.9017

30.0826

23.5698

10.2595

9.7405

8.8077

表 6

Griewank 和 Ackley 函数优化果对比

模型

维数

中心

Ackley 参数

Griewank 参数

1.0—1.5

1.1—14

1.2—1.3

1.0—1.5

1.1—14

1.2—1.3

QDPSO

10

文献 [15]

0.1034

0.1140

0.0794

6.5381

1.0988

0.1628

本文

0.0563

0.0748

0.0585

5.2875

0.4803

0.0116

20

文献 [15]

0.0226

0.0306

0.0222

17.8046

6.3141

0.3953

本文

0.0198

0.0225

0.0171

16.9529

3.0065

0.1276

QOPSO

10

文献 [15]

0.1364

0.1511

0.1162

12.9676

0.3769

0.0165

本文

0.0689

0.0844

0.0870

12.3189

0.1720

2.7001 × 10−15

20

文献 [15]

0.0140

0.0163

0.0160

19.9921

4.9338

8.5626 × 10−6

本文

0.0128

0.0146

0.0127

19.8057

2.4272

4.6185 × 10−15

QSPSO

10

文献 [15]

0.1154

0.1524

0.1024

15.1453

0.4492

0.0280

本文

0.0742

0.0834

0.0582

12.4770

0.2740

0.0116

20

文献 [15]

0.0179

0.0145

0.0102

19.8768

2.9084

0.0435

本文

0.0134

0.0116

0.0087

19.6151

1.7802

4.7606 × 10−15

实果表明:

势中心的设计而言, 不论

控制参数取定值还是线性增加, 本文万法的优化

果普遍好于文献 [15] 的万法. 这是为设计中强调

了全最优粒子对优化的导作用, 从而表明这

种设计万法是有效的可行的.

控制参数的取法而言, 取定值和线性增加的

优化果差别不大, 二者互有优劣, 线性增加法没

有呈现出稳定的优势. 对于定值参数的 48 次最优

果 (表 1—4 中粗体数), 有 22 次在 λ = 1.2 取

得, 24 次在 λ = 1.3 取得, 2 次在 λ = 1.4 取得; 对

于线性增加参数的 48 次最优果 (表 5,6 中粗体数

), 有 11 次在 λ = 1.0—1.5 取得, 6 次在 λ = 1.1—

1.4 取得, 31 次在 λ = 1.2—1.3 取得. 上述果表

明, 对于定值参数,

般可取 λ = 1.2 或 λ = 1.3; 对

于线性增加参数,

般可取 λ = 1.2—1.3.

三种 QPSO 的优化性能而言, QDPSO

和 QSPSO 的优化性能比 , 且二者略优

于 QOPSO. 比三种模型在两种参数设置 (定值

和线性增加) 下的最好优化果 (表 1—6 中粗体

数, 即每行数的最小值) 可知, QDPSO, QOPSO

和 QSPSO 取得最好果 (表 1—6 中粗体下划线

数, 即维数和中心相同时三种万法的优化果

中最好的个) 的次数分别为 13, 6 和 13 次. 这表

明 QDPSO 和 QSPSO 的优化性能比 , 且二

者的优化性能略优于 QOPSO. 对于这种现象, 可从

粒子在三种势中出现的概率密度曲线 (如图 2 所

示) 给出释.

由图 2 可知, 首先, 三种曲线的形状比

,

此优化性能 . 其次, 在势的典

区 (|r| > 1) 内, 三种势中粒子出现的概率密度

不为零, 这说明在三种势中不同程度地存在着

道效应, 粒子有可能跃出势入区. 对于三

种 QPSO 的优化过程而言, 这恰好相当于粒子的变

过程, 可有效避免早熟收敛的发生. 事实上, 在没

有速率更新项的 QPSO 中, 正是由于这种对势中

道效应的模拟, 才有效增强了模型的优化性能.

060302-7

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理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

由图 2 可知, 三种 QPSO 中, QDPSO 和 QSPSO 的粒

子在典区内出现的概率儿乎相等, 而 QOPSO

粒子出现的概率最低, 这导致其变能力弱,

此使其优化性能略弱于 QDPSO 和 PSPSO. 若

QDPSO 和 PSPSO 而论, 由于 QDPSO 在典

区内出现的概率略高于 QSPSO, 此其优化性能

略高于 QSPSO.

图 2

粒子的归化概率密度曲线

4.2

本实用三层前馈神网络作为分类器, 用三

种 QPSO 及带惯性权重的普通 PSO 优化网络权值

实现手写体汉字识别问题. 识别对象为两个手写

体汉字 “优” 和 “伏”, 分别由 15 个不同层次的人员

书写, 共得两类 30 个字模本. 根图象数二

值化思想, 字模本编码万法为: 将每个字模处理

成 A8×8 点阵, 用向量 X = (x8i+j)

T 存储,

点

阵的颜色, 向量对应维置 1 或 0. 部分字模本如

图 3 所示.

图 3

部分字模本示图

字模本共两类, 网络输出可用位二制数

表示, 输入为 64 个点,

层取 5 个点,

此网

络为 64-5-1 型. 限定分类误差为 0.5, 限定迭代步数

为 100. 训练过程采用单本循环误差修正万式, 即

随机从本集中抽取个本行训练百到满足

误差度为止, 冉选取下个本, 百到取完所有

本, 完成次迭代. 选取每类汉字的前 10 个数

作为训练集, 用于提取每类本的模式信息, 余下

的 5 个作为测试集, 用来检网络的泛化能力.

算法参数设置为: 三种 QPSO 控制参数

取 λ = 1.2, 其势中心分别用本文万法和文献 [15]

中万法设置. 普通 PSO 惯性权重取 w = 0.7298,

自身和全子 c1 = c2 = 1.49618. 种群规模

取 50, 优化空间维数 (即分类器权值数) 为 325.

适应度函数取为 exp(−|E|), 其中 E 为网络

输出误差, 当 |E| < 0.5 时认为算法收敛. 分别用

三种 QPSO 和普通 PSO 优化网络权值, 每种算法

运行 10 次后计算平 果, 优化果对比如表 7

所示.

表 7

神网络权值优化果对比

算法

中心

最小误差

平误差

收敛次数

QDPSO

文献 [15]

0.0996

0.2886

10

本文

0.0588

0.2054

10

QOPSO

文献 [15]

0.1089

0.3072

10

本文

0.0599

0.2178

10

QSPSO

文献 [15]

0.1106

0.2912

10

本文

0.0498

0.2098

10

普通 PSO

—

0.1598

0.4133

10

本实需同时优化 325 个变量. 由表 7 可

知, 对于高维优化问题, 本文三种 QPSO 的优化性

能不优于文献 [15] 中的 QPSO, 而且优于带惯

性权重的普通 PSO.

本文三种 QPSO 而言, 优化

性能仍然比 , 且 QDPSO 性能最佳. 将训练好

的网络用于测试集字模本识别, 三种 QPSO 的正

确识别率达到 100%, 而普通 PSO 的正确识别率

为 80%. 由此可见, 本文提出的三种改的 QPSO

对于处理高维优化的模式识别问题有大的

潜力.

5 结

在基于 Delta 势的 QDPSO 模型基础上, 提出

了基于谐振子的 QOPSO 和基于万势的 QSPSO,

提出了新的势中心和控制参数的设计万法. 实

果表明, 应用新的势中心及控制参数设置

万法, 三种改 QPSO 的优化性能比原 QPSO 有

不同程度的提高; 三种 QPSO 优化性能比 ,

其中 QDPSO 和 QSPSO 更为 , 且 QDPSO 略优

于 QSPSO 和 QOPSO.

060302-8

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理

ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

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ActaPhys.Sin. Vol.61,No.6(2012) 060302

Research on the improvement of quantum potential

well-based particle swarm optimization algorithm∗

Li Pan-Chi1)2)†

Wang Hai-Ying2)

Song Kao-Ping1)

Yang Er-Long1)

1) ( Post-doctoral Research Center of Oil and Gas Engineering, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China )

2) ( School of Computer and Information Technology, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China )

( Received 23 May 2011; revised manuscript received 31 July 2011 )

Abstract

To enhance the optimization ability of quantum potential well-based particle swarm optimization algorithm, the improved quan-

tum potential well-based particle swarm optimization algorithms are proposed by analyzing the design process of current quantum

potential well-based particle swarm optimization algorithms. Firstly, three improved quantum particle swarm optimization algorithms

are proposed based on delta potential well, harmonic oscillator and square potential well, respectively, and then a statistic mean-based

control parameter design method is presented for the proposed models. Secondly, to highlight the guiding role of the global optimal

particle in designing potential well centers, two strategies are presented based on a weighted average of all self-optimal particles and

dynamic random variables. The experimental results show that the performances of three improved algorithms are relatively close,

the model based delta potential well are slightly better than the other two kinds of model, and the performances of three improved

algorithms are superior to that of the original algorithm.

Keywords: quantum computation, quantum potential well, particle swarm optimization, algorithm design

PACS: 03.65.−w

* Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 61170132), the China Postdoctoral Science Foundation

(Grant Nos. 20090460864, 201003405), the Postdoctoral Science Foundation of Heilongjiang Province, China (Grant No. LBH-Z09289), and

the Scientific Research Foundation of the Education Department of Heilongjiang Province, China (Grant No. 11551015).

† E-mail: lipanchi@vip.sina.com

060302-10