物理里的所有积分至少都是Lebque积分
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delta波函数
来自: cmp(const void*, const void*) 2011-10-12 13:03:01
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- @LC
Geodesic ($N^o_rT^h_!$) 2011-10-12 16:47:19
任取连续的$\varphi(x)$，积分有
$$
\int f(x)\varphi(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\varphi(x_0)=\int f(x_0)\varphi(x)\delta(x-x_0)dx
$$
从而有
$$f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)$$
这样
任取连续的$\varphi(x)$，积分有
$$
\int\varphi(x)\delta^2(x-x_0)dx=\varphi(x_0)\int\delta(x-x_0)dx=\varphi(x_0)=\int\varphi(x)\delta(x-x_0)dx
$$
从而$\delta^2(x-x_0)=\delta(x-x_0)$
是这样吗？
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- @Geodesic
端阳 (别作践自己) 2011-10-12 17:53:03
不用泛函也可以证明，把[;\delta;]函数离散化，就像在量子场论最开始是做箱归一化一样，然后两个Kronecker符号等于一个即可得证，你可以参看Veltman的书P56页
http://book.douban.com/subject/3134545/
@çµπ0xff
1、广义函数里不讨论量纲
2、我分步泛函，为了简化，把积分都写在一起。
![[已注销]](http://img3.douban.com/icon/u54966011-4.jpg)
ls, 广义函数也有量纲的啊, [;\delta(x) ;]的量纲是能量, 因为[;\int dx \delta(x)=1 ;]是无量纲的常数.[已注销] 2011-10-12 22:40:34
两个[;\delta(x) ;]函数的乘积什么的lz可以看下Fermi Golden rule就知道怎么理解了, 大体上是这样[;\int dx \delta(x−x_0)\delta(x−x_0)=\delta(0)=\int dp e^{−i(x−x′)p}|_{x=x′}=\int dp=V_p ;]
[;V_p ;]就是态空间的大小, 相当于箱归一化之后, 那个箱子的大小. 这也是为什么平面波[;e^{ipx} ;]前面的归一化系数是[;\frac{1}{\sqrt{V}};]
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- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-12 23:07:31
1、核查你的证明过程，[;\delta(0)=V_p ;] 意味着[;V_p=\infty;]，这跟你的前提假设矛盾（箱归一意味有限空间） ；
2、你的第二个等号之所以成立是因为你先积分在取值，而你的第三个等号之所以成立是因为先取值在积分，但是这二者并不等价。
3、[;\int dx \delta(x-x_{0})\delta(x-x_{0}) ;] 这个式子是无定义的。
4、我可以在[;\delta;]添加一个参数使得[;\delta^{2}(x)=a\delta(x);]的量纲合理化，并且在证明的过程中，量纲的讨论是无意义的。
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- @LC
[已注销] 2011-10-13 04:42:22
1. 可能之前我没有说清楚, 箱归一化指的是将坐标空间放到有限体积的箱子里, 这样相对应的动量空间的态就被离散化了. 在讨论如何归一化平面波的时候, 往往用这种办法.
但是这里的情况相反, 波函数不是平面波而是Delta函数, 这相当于说粒子是一个经典粒子, 坐标空间里的距离可以无限小, 粒子可以被精确的确定在空间某点, 那么按照测不准原理, 波函数的动量则可以任意的大, 那么, 对应的在态空间里, [;V_p;]作为态空间本身就是无穷大的.
我后来用箱归一化举例子是做了一下类比: 如果波函数[;\psi=ae^{ipx};], 那么当归一化的时候, 不可避免的遇到积分[;|a|^2\int dx=1 ;], 这里[;\int dx;]可以理解成态空间中的[;\delta(0);], 但同时也是坐标空间中箱子的体积[;V;].
2. 先取极限再积分, 和先积分再取极限没有任何差别, 因为这些积分也好, 极限也好, 其实都是在所谓的Soblev空间里算, 都是弱极限什么的, 只要有类似delta函数这样的线性泛函, 结果都是一样的.
3. 这个式子物理上至少有意义, 你考虑一个波函数为delta函数在不同位置出现的概率时候就是它的意义. delta函数在数学上定义起来都是线性泛函什么的, 但是在物理上意义很明确, 就是一个孤立点的分布密度
4. 你就算添上一个有量纲的a, 也只能说明等式左右两边量纲相等, 也不能说明那两个东西就相等. 而且a的物理意义是什么? 一个dimensionful的常数一定要有物理意义, 如果这个物理体系只有一个波函数, 那么唯一能够找到的具有物理意义并且量纲是能量的常数, 就只可能是态空间的体积[;V_p;], 如果你说[;\delta(x)^2=V_p\delta(x);], 那我同意你说的, 无论是在泛函的意义下, 还是在物理意义下:-)
- 1、首先，当你进行箱归一的时候，你不仅需要将空间有限化，还要把delta函数离散化，这在你的证明过程中没有体现，你要想用箱归一的方法证明[;\delta(x)^2=\frac{1}{2\pi}V\delta(x);]，请参考Veltman。想用泛函方法请重新考察你的证明过程。其次，当你说“[;\int dx;]可以理解成态空间中的[;\delta(0);]”，这意味着你把两个无限对等，即[;\infty_{1}=\infty_{2};]。我们用你的这个等价和积分极限可换位来证明一个矛盾，
端阳 (别作践自己) 2011-10-13 10:40:09
[;-\infty=\lim_{a\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{a}=\lim_{a\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{a}\int\delta(ax)dax;]
[;=\lim_{a\rightarrow 0^{-}}\int\delta(ax)dx=\int\lim_{a\rightarrow 0^{-}}\delta(ax)dx=\int\delta(0)dx;]
[;=\delta(0)\int dx=\delta^{2}(0);]
2、那里讨论的积分和极限的次序还涉及不到泛函问题，你把它放在哪个泛函空间都不行。不像在基本数学分析中，对于含参数的积分我们有定理进行规定，说明交换次序是否可以（菲赫金哥尔茨第二卷，最后一章），在这里这种交换不是显而易见的。如果你认为这里是泛函问题，请给出可交换的定理。
3、我说没有定义是从泛函的角度（参见Gelfand），如果想写成这样泛函形式，你需要证明delta函数属于基本空间。你不能用一个未知去证明一个未知。
4、你在场论中计算散射截面时求S平方用的不是[;\delta(x)^2=\frac{1}{2\pi}V\delta(x);]是什么？
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- 1. 你将坐标空间有限化就意味着, 你在动量空间加上了红外cutoff, 动量空间的delta函数自然就离散化了, 同样的,如果你认为在坐标空间可以定义delta函数, 那么就意味着你在动量空间移掉的紫外cutoff, 所以动量空间的动量变化可以到无穷大.
[已注销] 2011-10-13 12:37:14
你那个矛盾, 第二步首先就错了, [;\int\delta(ax)dax=\frac{a}{|a|};], 当然这不重要. 你这个矛盾不在于积分和极限可否换序, 而是在于你把delta函数当做一般函数处理, [;lim_{a->0}f(ax)=f(0);]这样的结论, 只有在f(x)在x=0点连续的时候才可以成立, 这里的delta(ax)本身根本就不是函数, 就更不要提什么连续性了. 它是一个分布, 是L^2空间上的线性泛函, 对它的极限处理, 必须在积分的意义下进行, 这就是所谓Soblev空间里弱极限的概念, 所以你必须先积分之后, 才能求a->0的极限.
而我之前的推导, 积分极限换序, 只出现在[;lim_{x->x'}\int dpe^{ip(x-x')}=\int dp=V_{p}=delta(0);], 这里, [;e^{ip(x-x')};]是一般意义下的函数, 积分极限换序, 在lebque积分的意义下是没有任何问题的, 得到的结果是delta(0), 你可以把这个理解成, delta(0)这个分布, 是通过[;lim_{x->x'}\int dpe^{ip(x-x')};]来进行定义的.
2. 基本的数学分析那是用的Riemann积分, 物理里的所有积分至少都是Lebque积分, 对于可测函数而言积分, 极限随便换, 求导和积分极限什么的如果引入分布的概念, 例如像delta函数这样的东西, 那也是随便换. 但是分布本身的极限积分求导不能随便换. 因为对于分布本身, 极限求导之类的都是弱的.
3. 不知道你在说什么, 我们把数学上那些乱七八糟的定义去掉好不好. 物理上, 一个经典粒子的波函数就是delta函数, 我去测它在某一点出现的概率, 就是要有delta(x)^2这样的东西
4. 无论是量子场论还是量子力学, 求S矩阵的矩阵元的模平方, 自然会出现delta函数的平方(当然是在动量空间里面), [;\delta(p_i-p_f)^2=V\delta(p_i-p_f);], 这个V是怎么来的我在最早的帖子里写了, 也就是Fermi golden rule.
你这个公式其实还是错的, 你看量纲就可以知道, delta(x)^2的量纲是能量的平方, 等式右边是无量纲的. 正确的表达是[;\delta(p_i-p_f)^2=V\delta(p_i-p_f);] 或者[;\delta(x_i-x_f)^2=V_p\delta(x_i-x_f);].
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- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-13 13:17:36
1、当你写出泛函[;\int dx \delta(x-x_{0})\delta(x-x_{0}) ;] 的时候，是你把delta当作了基本函数，我这里正是借用你这一点，这也是我为什么说它没有定义的原因。其次[;e^{ip(x-x')};]是普通意义下的函数，但是它对全空间的积分并不收敛，无论是黎曼积分还是勒贝格积分。我们可以看这样一个例子
[;\lim_{a\rightarrow 0}\int^{c}_{b}\frac{a}{x}dx;]
[;\frac{a}{x};]是普通意义下的函数，但是它的积分并不收敛。这也是我们为什么要引入广义函数的一个原因。
2、你需要证明含参数的函数，在奇异积分下，极限和积分顺序可换。
3、同一
4、你所谓用的“箱归一化”中delta函数的离散化在哪一步体现了？
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- PS：
端阳 (别作践自己) 2011-10-13 17:14:11
1、首先你需要给出两个广义函数乘积的定义。没有这一步，你不能用泛函方法去证明，因为”无论按怎样自然的方式定义任意两个广义函数的乘积，看来都是不可能的。“（Gelfand）除非你做等价证明，即delta函数是基本函数，或者它是无限可微的。
2、你的”箱归一化“证明存在逻辑问题。首先，但我们限定空间有限，这不意味着我们限定空间为无穷小，于是不确定原理在这用不上；其次，你不能在假设有限的情况下又得出[;\delta(0)=V;]，但你可以得出Kronecker正比于V，然后再经过无限化，你可以得到[;\delta(0);]和无限空间的正比关系。再次你的极限和积分换位并没有充分的根据。最后，如果你给出V是无穷的，并且[;\delta(0)=V;]，那么[;V\delta(x);]在x不等于零的点将失去意义。或者说，[;V\delta(x);]不再是一个广义函数了（因为不满足收敛性），任何泛函积分对它都是非法的。
3、所谓delta函数离散化是将其变回Kronecker符号。并且如果你想把[;\Lambda;]和V对等，你需要证明，而且没有必要区分紫外和红外，只要保证有限就行，这是箱归一化的基本。
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- 1、泛函证明[;(\delta^{2}(x), f(x))=\int dx \delta(x)\[\delta(x)f(x)\]=\delta(0)f(0);]
端阳 (别作践自己) 2011-10-13 17:56:21
[;\delta(0) \int dx \delta(x) f(x)=\int dx \[\delta(0) \delta(x)\] f(x);]
于是我们有
[;\delta^{2}(x)=\delta(0) \delta(x);]
2、箱归一
所谓箱归一即把问题限定在有限空间V中，于是[;\delta(x);]需要被有限化和离散化，即
[;\delta(x)\rightarrow \tilde{\delta}(0)\delta_{x,0};]
这里V是[;\delta(0);]有限化之后的值，[;\delta_{x,0};]是Kronecker符号。并且由于人为的限定，[;\tilde{\delta}(0);]只能和[;V;]有关，于是我们有
[;(\tilde{\delta}(0)\delta_{x,0})^{2}=\tilde{\delta}^{2}(0)\delta_{x,0};]
将其无限化，我们可得
[;\delta(0)\delta(x);]
这与一所得完全相同。
3、[;\tilde{\delta}(0)=\frac{V}{2\pi};]的证明
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- .....我去啊...睡醒一觉这帖子这么长了...
[已注销] 2011-10-13 23:51:25
广义函数, Soblev空间什么的我也不想说了, 那些是数学.
物理上既然存在delta(x)^2, 那就有它存在的意义. 至于怎么严格化那不是物理上需要讨论的, 让搞数学的做就好了. 即使是从历史发展的角度来看, 物理在这些方面也基本上都是走在数学前面的, 如果数学上说不通, 那是数学的毛病, 不是物理的毛病. 不可能说一个客观实在的例子, 因为数学上说不通就不对.
我想在强调下, 计算散射截面或者decay rate的时候, 出来的delta函数平方, 那个是动量空间里面的, [;\delta(pi-pf)\delta(pi-pf)=V\delta(pi-pf);], 这里的V是实际空间中的V, 是在做散射实验的时候, 可以控制的箱子的大小, 将V->无穷就是取热力学极限, 在绝热近似假设成立的前提下, 这总是可以做到的. 所以会有[;V=\delta(0);]的结果, 这里的delta(0)是态空间的delta函数, 这一点很重要. 这个推导过程我在最早的帖子就写出来了, 你参见基本上任何一本量子力学或者量子场论的书都应该有. 有的书可能是在箱子里算, 然后让V->无穷取热力学极限, 有的书直接拿delta函数算, 结果都是一样的, 这意味着你先积分再极限还是先极限再积分, 随便换序都没影响.
至于lz问的[;\delta(x)^2;], 这是测量经典粒子出现在某点概率的时候会遇到的, 仿照那个散射的办法, 算出来的是态空间的V_p.
就说这么多了....Orz...
- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-14 00:03:16
物理上delta的平方之所以有意义是因为你对空间进行了一个限制，可是如果返回广义函数理论，这种人为的限制是不存在的（限制空间有限）。于是你的delta平方就是没有定义的。于是如果你用泛函去证明，你就是错的，因为泛函理论下不允许你这样做。
按照你说的[;\lim_{a\rightarrow 0}\int^{c}_{b}\frac{a}{x}dx;] 先极限还是先积分都无所谓了（这是数学问题，需要证明）。任何一本书里都不会告诉，当我们假设V有限的时候，会有[;V=\delta(0);]的结果。但是这样的结果是成立的[;\lim_{V\rightarrow\infty}V=\delta(0);]
你用箱归一方法进行论证的时候明明是错的（构造不合理的广义函数的乘积），正确的方法，你要是看不惯我的书写，你可以参看Veltman的。
- 不知道你想说什么, [;\lim_{a\rightarrow 0}\int^{c}_{b}\frac{a}{x}dx;]无论先积分再极限还是先极限再积分结果都是0啊...你自己算算就知道了. 先极限再积分得0是显然的, 先积分后极限, 是这样算:
[已注销] 2011-10-14 04:13:23
[;\lim_{a\rightarrow 0}\int^{c}_{b}\frac{a}{x}dx=\lim_{a\rightarrow 0}a\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}\int^{c}_b\frac{1}{x+i\epsilon}=\lim_{a\rightarrow 0}a(-i\pi+P(\int^{c}_{b}\frac{1}{x}dx))=\lim_{a\rightarrow 0}a (-i\pi)=0 ;].
这里[;P(\int^{c}_{b}\frac{1}{x}dx);]是这个积分的Cauchy主值, 反正是个有限的数. 最后a->0, 结果也是零.
我的箱归一化没有错, 你用Veltmann那书里的方法做, 也会得到我的结果, 你在把delta函数离散化的时候会有1/V出现, 否则量纲就不对, 你自己验证一下就知道.
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- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-14 10:19:22
1、请核查给你的推导，第三步漏了delta函数，所以你才会得零。加了delta你会发现第一项啥都不是。
2、你的运气很好，用了一个错的开头，一个没有证明的原理，得出了一个貌似正确的结果。你自己看看这个推导
[;\int dx \delta(x-x_0)\delta(x-x_0)=\delta(0)=\int dp e^{−i(x-x′)p}|_{x=x‘}=\int dp=V_p ;]
你想要箱归一，但是你这里的V_{p}始终的无穷的，你并没给它体现出有限；并且，根据广义函数，你的第一个等号是你根据广义函数基本原理想让他相等，但是他实际上是一个没有定义的式子。
3、同学当你说一个定理是正确的时候，你需要用严格的数学证明他，不能用价值观说他是正确的它就是正确的。比如这个交换。
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- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-14 11:30:03
[;\lim_{a\rightarrow 0}\int^{c}_{b}\frac{a}{x}dx=\lim_{a\rightarrow 0}a\int^{c}_b\frac{1}{x+i0}=;]
[;\lim_{a\rightarrow 0}a(-i\pi+P(\int^{c}_{b}\frac{1}{x}dx))=\lim_{a\rightarrow 0}a (-i\pi)=0 ;].
[;\int^{c}_{b}\lim_{a\rightarrow 0}\frac{a}{x}dx=\int^{c}_b\lim_{a\rightarrow 0}a\frac{1}{x+i0}=;]
[;\int^{c}_{b}dx \lim_{a\rightarrow 0}a(-i\pi\delta+P(\frac{1}{x}))=-i\pi\int^{c}_{b}\lim_{a\rightarrow 0}a \delta(x)\neq 0 ;].
- 1, 如果你是说我最后的那个回复, 第三个推导里面有个delta函数, 但是同时还有个积分, 所以是有限值, 详情自己去查Sokhatsky–Weierstrass theorem
[已注销] 2011-10-14 11:48:21
2, delta函数平方那个物理上有意义, 例子我也给你举出来了, 第二个等号你难道不知道[;\int dp e^{ip(x-x0)}=\delta(x-x0);]么引入广义分布的前提下, 我觉得你对箱归一化的概念需要重新学一学.
3, 我的所有讨论就算没有证明也有说明, 或者举例. 你说积分极限不能交换, 举得例子, 我也回复了, 你自己不仔细推导, 总是在handwaving的argue...我也没办法了...
4, 最后, 你讨论数学上严格的delta^2我真没看出有什么意义, 纠结这些在数学上都算是details的东西不知道有什么用. delta^2如果你真的要严格的抠数学细节, delta函数理解为函数的分布, delta^2就是分布本身的分布. 对于一个L^2空间上的函数, delta函数是L^2上的一个线性泛函, 这些线性泛函组成了L^2空间的对偶空间L^2*, 你完全可以在这个对偶空间上再引入线性泛函, 那就是delta^2.
如果你真的对这些玩意儿特感兴趣, 那你去看下Soblev空间的理论, 大概是国内数学研究生泛函分析或者偏微分方程那些个方向的专业课程. 你就明白了.
但无论如何, delta^2物理上make sense, 就可以了. 数学推导什么的, 过得去就行了. that's it!
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- 这个要是做CMT的人看的话很好解释, [;V_p;](也就是这里的这个"箱")在数量级上就是布里渊区的大小.
善龍 (吾心安处惟故宅) 2011-10-14 13:02:01
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还有，我要的是你这个证明过程的出处，
[;\int dx \delta(x-x_0)\delta(x-x_0)=\delta(0)=;]
[;\int dp e^{−i(x-x′)p}|_{x=x‘}=\int dp=V_p ;]
并且还希望你解释一下，你这里面“箱”体现在哪？
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至于Regularization的话,你自己去想吧,先不要断然否定别人的看法,想想自己到底知道什么,不知道什么,别人为什么这样说, 他也有他自己的思考对不,说不定他说的也有一定的道理呢.
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- @风大爷
端阳 (别作践自己) 2011-10-14 13:14:20
按照你的方式，正确的箱归一证明应该是这样的
[;\int \delta(x-x_{0})\delta(x-x_{0})dx\rightarrow\sum_{x}\delta_{x,x_{0}}\delta_{x,x_{0}}\left(\frac{V}{\2\pi}\right)^{2};]
[;\sum_{x}\delta_{x,x_{0}}\left(\frac{V}{\2\pi}\right)^{2}\rightarrow \int dx \delta(x-x_{0})\frac{\widetilde{V}}{\2\pi}=\frac{\widetilde{V}}{\2\pi};]
这里[;\widetilde{V};]是[;V;]的极限，即无穷。所以显而易见，如果不对空间限定，delta的平方就是无意义的。
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- ....我..真是忍不了了..
[已注销] 2011-10-14 13:41:14
[;\int \delta(x-x_{0})\delta(x-x_{0})dx\rightarrow\sum_{x}\delta_{x,x_{0}}\delta_{x,x_{0}}\left(\frac{V}{\2\pi}\right)^{2};]
拜托你离散化(箱归一化)的时候, 先把量纲搞搞清楚好不好...两个delta函数加一个积分, 量纲是能量, 你右边离散化之后, 量纲是V^2, 是长度的平方.
你把量纲搞清楚了, 自己就明白了.
Veltmann那个书, 虽然基本不讲物理, 但至少离散化的时候, 量纲什么的是不会搞错的, 你能好好看下, 再来讨论么...
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