Delta 函数与脉冲响应 脉冲分解 一个脉冲除了一个单一的非零点之外还有由所有的零组成。实际上，脉冲分解提供了分析每次一个样本的方法

一个脉冲除了一个单一的非零点之

外还有由所有的零组成。实际上，脉冲分解提供了分析每次一个样本的方法  

 

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第六章 卷积  6-1 delta 函数

(2013-05-19 13:49:06)

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标签： delta函数 单位脉冲 脉冲响应 缩放与位移 δ[n]产生h[n]

《数字信号处理指南》第一至第三章见 http://hi.baidu.com/songhe/item/47438dd3c35eb2ed3dc2cb9e

   第四-五章见本博客本文的前面各篇连载。

翻译自英文网：http://www.dspguide.com/pdfbook.htm          

                     数字信号处理第六章

        6-1 卷积  （  Convolution）

卷积是将两个信号综合成一个第三信号的数学方法。

它是数字信号处理中唯一最重要的技术。利用脉冲分解的办法，将系统的描述通过叫做脉冲

响应的信号来进行。卷积之所以重要，是因为它关系到三个有关信号：输入信号、输出信号

和脉冲响应。本章叙述卷积，从两个不同的观点出发：输入端算法和输出端算法。卷积提供

了数字信号处理的数学构架；在本书中它是重中之重。

本章内容：

Delta 函数与脉冲响应

卷积

输入端算法

输出端算法

加权输入的和

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第一节

 Delta 函数与脉冲响应   

前一章讲过一个信号可以分解为一组分量，叫做脉冲分量。一个脉冲除了一个单一的非零点之

外还有由所有的零组成。实际上，脉冲分解提供了分析每次一个样本的方法。前一章也讲过

DSP的基本概念：输入信号被分解为若干简单的可加分量，这些分量的每一个都通过一个线性

系统，产生的输出分量再相加（综合）。这种由分--合步骤得到的信号等效于原始信号直接通

过系统得到的结果。在许多可能的分解方法中有两种是数字信号处理的骨干：脉冲分解和傅里

叶分解。使用脉冲分解时，方法步骤用数学运算来描述，叫做卷积。本章（以及后面主要内容

）中我们仅仅关注离散信号。卷积虽然也可用于连续信号，但在数学上更加复杂。所以连续信

号方面的处理，放在第13章去讲。

图6-1定义了DSP中用到的两个重要的术语。第一个是delta函数，以希腊字母表示：δ[n] 。此函数是一个规范化脉冲，即，样本号零之值为1，其余样本之值为零。对此，delta函数通常称为

单位脉冲。

图6-1中的第二个术语定义为脉冲响应。顾名思义，脉冲响应是一个系统当以delta函数（单位脉冲）为输入时，所产生的输出信号。不同的系统就会有不同的脉冲响应。正如通常的输入输出信号叫做x[n] 和 y[n], 脉冲响应通常写作h[n]（对应输入δ[n] ）。当然，还有更多的可用的其它名称，例如f[n]可表示一个滤波器的脉冲响应，以资区别。

任意脉冲可以表示成一个经过位移与缩放后的delta函数。假定有一个信号a[n]，它的组成情况是：其样本号8的值为 - 3  其余样本号的值皆为0。这就相当于一个delta函数右移8个样本，且乘以 - 3  。用式子表示就是：a[n] = -3δ[n-8]。如果你明白了这个标记法，几乎在所有DSP中都使用这种式子。

如果一个系统的输入是一个脉冲，例如 -3δ[n-8], 那么，系统的输出是什么？这就要用到同质性

和移不变性质。输入的缩放与位移，产生输出的同样的缩放与位移。如果 δ[n]产生 h[n],则有

 -3δ[n-8] 产生 -3h[n-8]。用文字表述，就是：输出是一个脉冲响应版本，其位移与缩放量和

输入的delta函数的位移与缩放量相同。如果你知道了系统的脉冲响应，你也就会立即知道系统

对任何脉冲的反应。

数字信号处理第六章卷积（2）--卷积

    6-2 卷积

我们总结一下系统是如何将输入信号变为输出信号的。首先，输入信号可以分解为一系列脉冲，

每个脉冲看作是经过缩放与位移的delta函数。其次，输出就是对每个脉冲的脉冲响应进行缩放

位移来得到。第三，总输出信号可由各个经过缩放和位移的脉冲响应叠加而求出。换言之，如果

我们知道了系统的脉冲响应，就可以计算任何输入信号的输出。也就意味着我们掌握了系统

的一切情况，无非就是了解线性系统的特性而已。[不过，在后面的章节里，这些信息可以

以不同的形式表达出来。]

脉冲响应在一些应用中冠以不同的名称。如果系统对象是滤波器，则其脉冲响应叫做滤波器

内核，卷积内核，或简称为内核。在图像处理中，脉冲响应叫做点扩散函数。尽管名称稍有

不同，实质是一样的：它是当输入为delta函数时，由系统所产生的 输出信号。

卷积是一种正式的数学运算，正如加减乘除，积分运算那样。加法是将两个数相加并产生第

三个数，卷积是将两个信号卷积成第三个信号。卷积用于数学中许多场合，如概率与统计学。

在线性系统中，卷积用来描述三个相关信号之间的关系：输入信号，脉冲响应和输出信号。

图6-2表示卷积用于线性系统的标记法。输入信号x[n],进入线性系统时的脉冲响应h[n]，产生

一个输出信号y[n].。用公式表示：x[n] * h[n] = y[n] 。用语言表达就是：输入信号与脉冲响应的卷积等于输出信号。卷积符号用星号*表示。不巧，多数程序语言中也用于乘法。星号 * 在

计算机运算程序中代表乘法，但在数学公式中代表卷积。

图6-3表示用于低通与高通滤波器的卷积。例中的输人信号是两个分量的和：正弦波的三个周

期（表示一个高频），加上一个慢升斜坡（低频的组合）。在图a)中，低通滤波器的脉冲响

应是一段光滑的弧，所产生的只是通到输出的渐变斜坡波形。类似地，高通滤波器b)仅允许

速变的正弦波通过。

图6-4表示卷积是如何被用来处理信号的两个相加的例子。反相衰减器 a) 使信号翻转(顶变底）并减小其振幅。离散导数（也称一阶差分），如图 b), 产生一个决定于输入信号斜度的输出信号。

注意图6-3与6-4中信号的长度。输入信号有81个样本长，而每个脉冲响应由31个样本组成。在

多数 DSP应用中输入信号长度有数百、数千甚至数百万个样本。脉冲响应通常短很多，譬如，几

点到几百点。卷积在数学方面不限制信号的长度，但要指定输出信号的长度。输出信号的长度等

于输入信号长度加上脉冲响应长度再减1 。在图6-3与6-4中，每个输出信号为：81 + 31 - 1 = 111样本数长。输入信号经历样本0到80，脉冲响应0到30，输出信号0到110  。

现在来详述一下卷积的数学概念。用于数字信号处理的卷积，可以理解为两个分开的方法。第

一个，从输入信号的观点来看，包括分析每个输入信号样本导致在输出端的许多点。第二个，从

输出端的观点来看卷积。检查输出信号的每个样本所接受的输入信号的许多点的信息。

记住这两个观点是对同一个数学运算的不同方法。第一个方法之重要在于它提供了关于理解DSP中

的卷积概念。第二个观点，描述了卷积的数学概念。

卷积是你在DSP中遇到的最困难的任务之一：你应该在概念理解上适当掺杂着数学以使你的思路更清晰。