类氢原子椭圆轨道及其能量
韩久松（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）
指导老师：张青林
摘要: 电子在原子核的库仑场中运动，正如行星绕太阳运动，是受着与距离的平方成反比的力。本文介绍从比耐公式出发,结合玻尔——索末菲量子化条件,对类氢原子电子的量子化椭圆轨道,给出了一个简化的推导,并在此基础上,对轨道的稳定性进行进一步的讨论；根据电子受到平方反比引力作用的动力学经典理论,从椭圆轨道方程出发，结合有心力场中角动量守恒和索末菲量子化通则，简明的推出了类氢原子的量子化椭圆轨道和能级。
关键词：类氢原子，椭圆轨道，索末菲量子化通则，轨道稳定性。
1 引言
类氢原子是原子核外边只有一个电子的原子体系，但原子核带有大于一个单元的正电荷，这些是具有类似氢原子的结构的离子。这里有一次电离的氦离子 He+ ,二次电离的锂离子 Li+ +，三次电离的铍离子 Be+ + + 等。 对于氢原子和类氢原子中电子的轨道和能量,已有文献[1,2]进行了多次探讨,类氢原子椭圆轨道的能级及量子化半长轴、半短轴是原子物理学的一个重要内容。本文利用能量守恒、角动量守恒、椭圆轨道几何性质，以及玻尔—索末菲量子化条件，在能级简并的情况下，对椭圆轨道与能量量子化公式给出一个简化的推导。
2 讨论类氢原子轨道
关于类氢原子电子的量子化椭圆轨道及能量的讨论,在大学物理[2,3]刊物上已有多篇文章从椭圆的几何性质及角动量守恒等方面入手做了研究。本文介绍以比耐公式[4]为出发点,推导出类氢原子的量子化椭圆轨道,比耐公式的表达式为：
（1）
其中
为面积速度常数,u为r的倒数。
为面积速度常数,u为r的倒数。
类氢原子体系中，电子与原子核之间存在引力
（2）
代入（1）式得：
即： 
(3）
(3）
如令
则 （3）式为：
则 （3）式为：
其解为： 
所以 
其中，
，
为积分常数，将极轴转动一个角度，可使
，
，为积分常数，将极轴转动一个角度，可使，
则 
（4）
（4）
将它和在极坐标下的标准圆锥曲线方程 
比较，可知轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点，其中 
。
比较，可知轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点，其中 。
圆锥曲线本身包含双曲线、抛物线和椭圆三种，对天体间引力满足 
的情况，牛顿曾进行过严格的数学推导，并得出在平方反比引力作用下行星将按椭圆轨道运动的结论[5] 。由于我们讨论的引力也是 
，且在此情况下电子是处于束缚态的,所以类氢原子的轨道应取椭圆轨道。
的情况，牛顿曾进行过严格的数学推导，并得出在平方反比引力作用下行星将按椭圆轨道运动的结论[5] 。由于我们讨论的引力也是 ，且在此情况下电子是处于束缚态的,所以类氢原子的轨道应取椭圆轨道。
类氢原子体系能量 
，在有心力场中角动量守恒，因而有
，则：
，在有心力场中角动量守恒，因而有 ，则：
（5）
因为轨道为椭圆，所以在近日点，有
，将
，
，及
代入（5）式，得：
，将
，，及
代入（5）式，得：
(6)
所以： 
（7）
（7）
此处的 
为椭圆半长轴，可见能量 
只与 有关，而与半短轴 
无关。
为椭圆半长轴，可见能量 只与 有关，而与半短轴 无关。
角动量 
，当电子位于图1 中的 A 点时，则：
，当电子位于图1 中的 A 点时，则：
y
V A
b
F
0 F X
图 1（椭圆电子轨道）
(8)
由椭圆性质知椭圆上任意一点到椭圆两焦点之和为常数 
, 则在此位置 
。因此:
, 则在此位置 。因此:
(9)
将（6），（8）代入（9）式，得：
(10)
将（7）代入（10）式，得：
（11）
因为
，由（11）式，可知
。
，由（11）式，可知。
以上已从比耐公式出发推导出类氢原子的量子化椭圆轨道，那么这种轨道是否是稳定的呢？
要决定轨道是什么形状，需要根据起始条件来确定偏心率 e 的值。但 e 是轨道的几何常数，在力学中，希望用动力学常数来作为轨道类别的判据，我们试图用总能量 E 来作为判据。根据（7），（11）
有：
因为 
恒为正，
恒为正，
所以:
E <
0 ,则e < 1 ,轨道为椭圆;
E = 0 ,则e = 1 ,轨道为抛物线;
E > 0 ,则e > 1 ,轨道为双曲线。
由(11) 式, 
,因半短轴 b ,角动量 L 均为正数,这表明E 值为负数,则轨道为椭圆是正确的。
,因半短轴 b ,角动量 L 均为正数,这表明E 值为负数,则轨道为椭圆是正确的。
自然界中,微小扰动是经常存在的,这种扰动可能使原本稳定的轨道发生变化,只有稳定的轨道,才有机会继续下去,文献[6] 中讨论了圆轨道的稳定性，下面用相类似的方法讨论椭圆轨道的稳定性。
由椭圆标准方程 
.
.
得到：
（12）
对（12）式，求二阶导数,得：
（13）
设
为单位质量上所受的吸引力,代入比耐公式,并考虑(12)，(13)式有：
为单位质量上所受的吸引力,代入比耐公式,并考虑(12)，(13)式有：
（14）
若满足此条件,将作椭圆轨道运动。
令 
，
及 
为某一椭圆轨道的u 、h 和p 的值,显然
， 及 为某一椭圆轨道的u 、h 和p 的值,显然
（15）
为研究扰动，令 
，式中ζ及其微商均认为是很小的微量,
也一样,将(14) 式，代入比耐公式，可得到：
，式中ζ及其微商均认为是很小的微量, 也一样,将(14) 式，代入比耐公式，可得到：
（16）
将(16) 式右边展为ζ的幂级数
=
=
式中 
，如取一阶微量,则(16) 式变为
，如取一阶微量,则(16) 式变为
（17）
式中， 
（18）
（18）
(19)
由（15）式，
，
，代入18）式，得：
， ，代入18）式，得：
=
所以（17）式的解为：
=
=
=
可见ζ不会随u 的变化而无限增大,而是保持小量。
由 
可知,轨道有一径向微扰时,电子在轨道附近徘徊,但此ζ保持小量,即电子不可能脱离此轨道,该椭圆轨道是稳定的。
可知,轨道有一径向微扰时,电子在轨道附近徘徊,但此ζ保持小量,即电子不可能脱离此轨道,该椭圆轨道是稳定的。
3 类氢原子椭圆轨道能级
1913 年,玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上,受到巴耳末公式的启发,把普朗克的量子理论引入到原子中,提出了氢原子(圆轨道) 的量子理论. 三年后,索末菲把玻尔的圆轨道推广到椭圆轨道. 在原子物理学的教学中,通过讨论椭圆轨道,有助于学生初步建立角量子数的重要概念[6]。在国内的原子物理学教材中,有的书对椭圆轨道的处理相当繁复[7]，而绝大多数教材则从略了整个推导过程[8，9]。如：推导电子的量子化轨道和能量时，没有使用索末菲量子化通则就讨论了能量的简并及量子数之间的关系[10]。下面利用能量守恒、角动量守恒、椭圆轨道的几何性质,以及玻尔- 索末菲量子化条件,在能级简并的情况下,导出椭圆轨道能量量子化公式。
由以上所述，我们知道，原子核位于椭圆的一个焦点 F 上，如图2所示。
y
Vc C
Vb b
A
F O B X V
图 2（类氢原子椭圆电子轨道）
能量 
在 A、B点，角动量可写成：
能量 
，即可写成为：
，即可写成为：
得到了关于 
形式上完全相同的二次方程
形式上完全相同的二次方程
因为 
，所以上式的解是：
，所以上式的解是：
由于长轴 
，
，
所以：
。
。
能量 E 与半长轴 有关,而与半短轴 b 无关。 即当 n ≥2
时,能量为简并的。 当
= n 时, 则
b = 。 此时,
E 与半径为 的圆轨道上的电子能量相同。
在半径为 的圆轨道的特殊情况下,由玻尔理论知：
有关,而与半短轴 b 无关。 即当 n ≥2
时,能量为简并的。 当 = n 时, 则
b = 。 此时,
E 与半径为 的圆轨道上的电子能量相同。
在半径为 的圆轨道的特殊情况下,由玻尔理论知：
(20)
其中n 为主量子数。
为了引入半短轴 b , 当电子位于 C 点时, L 、E 分别为：
把 
代入上式 ,同时考虑到玻尔- 索末菲量子化条件：
，得到：
代入上式 ,同时考虑到玻尔- 索末菲量子化条件：，得到：
(21)
其中为角量子数,
,
为径量子数。
为角量子数,,为径量子数。
所以 
由（20）式可知半长轴只决定于
n ，与无关。所以 n 相同的轨道，半长轴是相等的。由（21）式，半短轴决定于 n 和；对同一 n ，如果不同，半短轴不同。n 和都是整数，而短轴和长轴之比等于
，可见椭圆轨道的形状是有一定的。对同一 n ，有几个值，就有几个不同半短轴的椭圆轨道，它们的半长轴是相同的。这样，轨道的大小和形状都是量子化的，不得任意变化的。
无关。所以 n 相同的轨道，半长轴是相等的。由（21）式，半短轴决定于 n 和；对同一 n ，如果不同，半短轴不同。n 和都是整数，而短轴和长轴之比等于，可见椭圆轨道的形状是有一定的。对同一 n ，有几个值，就有几个不同半短轴的椭圆轨道，它们的半长轴是相同的。这样，轨道的大小和形状都是量子化的，不得任意变化的。
对同一 n ，有几个值呢？
.由量子化条件
,可知不能等于零，因为如果等于零，就没有角运动，就不是轨道运动。可是由量子化条件
,可知可以等于零，这时无径向运动，轨道成为圆形的，这正是玻尔提出的圆形轨道。对某一 n 值列出可能的和值：
值呢？.由量子化条件,可知不能等于零，因为如果等于零，就没有角运动，就不是轨道运动。可是由量子化条件,可知可以等于零，这时无径向运动，轨道成为圆形的，这正是玻尔提出的圆形轨道。对某一 n 值列出可能的和值：=1，2，3，
，n ； = n-1，n-2，n-3，
，0。
所以对一个 n 值，有 n 对和值，其中有一对是= n ,= 0。这就相当于 n 个不同形状的轨道，其中一个是圆形，n-1个椭圆。现在把 n=1，2，3三套轨道的数据开列如表1。
和值，其中有一对是= n ,= 0。这就相当于 n 个不同形状的轨道，其中一个是圆形，n-1个椭圆。现在把 n=1，2，3三套轨道的数据开列如表1。
表 1 ：电子轨道
 |
|
|
|
形状
|
|
1
2
3
|
1
1
2
1
2
3
|
4
9
|
2
4
3
6
9
|
圆
椭圆
圆
椭圆
椭圆
圆
|
设
，
。此两式中
就是类氢原子中最小轨道半径的数值。
，。此两式中就是类氢原子中最小轨道半径的数值。
1 
n=1，=1 n=3，=3 
n=2，=1
n=2，=2 n=3，=2
=2 n=3，=2
图3 椭圆轨道的相对大小
这些轨道的相对大小如图3所示。注意图中显示原子核处在圆形轨道的圆心上，并在每一个椭圆轨道的一个焦点上，所以图中椭圆轨道都偏向一边。
把 
代入式 
得：
代入式 得：
（n=1,2,3,） （22）
（22）式所示的能量只决定于 n ，与 无关。那么同一 n ，有 n 个可能的轨道，也就是说有 n 种运动方式，也可以说有
n 个状态。但这 n 个状态的能量是相同的，这种情况称为 n 重简并。那么在类氢原子中，同一 n 的那些状态究竟是否简并的呢？实际不是简并，下面简单地讨论这问题。
无关。那么同一 n ，有 n 个可能的轨道，也就是说有 n 种运动方式，也可以说有
n 个状态。但这 n 个状态的能量是相同的，这种情况称为 n 重简并。那么在类氢原子中，同一 n 的那些状态究竟是否简并的呢？实际不是简并，下面简单地讨论这问题。
按照相对论原理，物体的质量随它的运动速度而改变，质量与速度的关系是：
式中 v 是物体的速度，c 是光在真空中的速度。当 v 等于零时，m = m0,所以 m0 是物体的静止质量。当 v 趋近于 c 时，m 趋近于无限大。电子在椭圆轨道中运动时，速度是变的，近原子核快，远离原子核时慢，而保持角动量不变。这样的情况产生的效果是，电子的轨道不是闭合的,好像椭圆轨道有一个连续进动。n 相同而 不同的那些轨道，速度的变化不同，因而质量的变化和进动的情况不完全相同。因此这些轨道运动的能量是略有差别的。索末菲按相对论的力学原理进行推算，进一步揭示了电子轨道运动的这类复杂情况，并求得类氢原子的能量等于
不同的那些轨道，速度的变化不同，因而质量的变化和进动的情况不完全相同。因此这些轨道运动的能量是略有差别的。索末菲按相对论的力学原理进行推算，进一步揭示了电子轨道运动的这类复杂情况，并求得类氢原子的能量等于
（23）
式中
为了便于应用，（23）式可展成级数，由此推得光谱项
T(n, )的表达式如下：
)的表达式如下：
此式中
的高次项
，
，可忽略。这里可以看到，第一项就是（22）式，第二项起是相对论效应的结果。对同一
n ,不同 ，第二项的数值是不同的，可见同一
n 而 不同的那些轨道运动具有不同的能量。但第二项代表的数值比第一项要小得多，所以只有微小的差别。前面未考虑相对论效应，才得到（22）式所示的能量，实际不是那么简单的。
的高次项，，可忽略。这里可以看到，第一项就是（22）式，第二项起是相对论效应的结果。对同一
n ,不同 ，第二项的数值是不同的，可见同一
n 而 不同的那些轨道运动具有不同的能量。但第二项代表的数值比第一项要小得多，所以只有微小的差别。前面未考虑相对论效应，才得到（22）式所示的能量，实际不是那么简单的。
4 结论
类氢原子中核外电子在原子核的库仑场中运动正如行星绕太阳运动，原子核处在椭圆的一个焦点上，电子在库仑场中运动一般是一个平面上的椭圆运动，电子在椭圆轨道中运动时，速度是变的，近原子核快，远离原子核时慢，而保持角动量不变。类氢原子可以处在不同状态，在每一个状态具有一定内部能量，这些不同状态的能量值是彼此分隔的，具有不同的能级。在能级的简并的情况下，对于同一个
n ，可能有 n 个不同的轨道，忽略这 n 个不同状态能量的微小的差别，不考虑相对论效应，可以得到类氢原子椭圆轨道能量只决定于 n ，与
无关，即
（n=1,2,3,）。
无关，即 （n=1,2,3,）。
参考文献
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[2] 李文博, 类氢原子椭圆轨道的动能、势能和能级[J] ，大学物理，1998 , 17(2) :23 – 24。
[3] 郭振华, 类氢原子中电子椭圆轨道量子化的一个简易推导[J ] ，大学物理,1997 ,16 (12) :45。
[4] 刘连寿等，理论物理基础教程[M]，北京，高等教育出版社，2003，43-44。
[5] 哈里斯E C, 现代理论物理导论[M]，上海，上海科学技术出版社,1984，79 – 84。
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[7] 钱伯初,星星轨道问题与玻尔量子论，大学物理，1985，4（6）：7。
[8] 清泉, 普通物理学，原子物理学部分(修订本) ，北京，高等教育出版社, 1964 , 53～58。
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[11] Imbo
T and snknatme V[J],Phys，Rev，1985,A32:2655～2659。
Elliptical
orbit and Energy of Hydrogen-like atom
Han Jiusong
(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing
Normal College, Anqing 246011)
Abstract: Electron move in electrostatic field of atomic
nucleus, are forced, just like planet
circling the solar, there is inverse ratio between the distance square and
force. This article, a quantized elliptical orbit of electron in hydrogen-like atom is
concisely derived from Binet equation with the aid of Bohr-sommerfeld’s
quantized condition .Then the discussion on the stability of the orbit is
given. Electron is influenced by the attraction of being in inverse proportion
to distance square, kinetic energy and quantize semi-ax is of elliptical orbit
of electron in hydrogen-like atom are concisely derived with the help
sommerfeld’s quantize condition and based on equation of elliptical orbit.
Key word: Hydrogen-like atom , Elliptical orbit, sommerfeld’s
quantize condition, stability of the orbit.
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