Sunday, March 8, 2015

投资组合的HJB方程 爱因斯坦的引力场方程是一个关于gij的二阶偏微分方程 力学中单参数变换群的应用'

果

  1. 投资组合的HJB方程及其粘性解研究- 豆丁网

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    2011年3月13日 - 投资组合的HJB方程及其粘性解研究投资组合的HJB方程及其粘性解研究 ... 它与最优控制理论及微分对策的关联，众所周知，常微分方程和随机微分方程的 ..... 工，）， （阶数k≥2）是一个线性偏微分方程，它具有一个单参数变换群，其 ...

 

 

[PDF]力学中单参数变换群的应用' - 应用数学和力学

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由 X Xue-zi 著作
力学中单参数变换群的应用'. 许学咨陈怀永. (浙江大学,. 198 9 年8 月17 日收到). 摘. 要. 本文包括无限小形式的变换群用于减少偏微分方程中的自变量,. 获得相似变量 ...

 

 

第十一章_多元函数的极限与连续_百度文库

wenku.baidu.com/view/dbac1721aaea998fcc220e76

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2011年8月14日 - 是开集充分性： 由于E 充分性：对?x∈EC,由于C是开集，因此存∈ 由于是开集， 的邻域U{x,δ}，使得在x的邻域的邻域δ ，使得U{x,δ}∈EC,即x不是δ ...

  • 就称为单连通域（图114（a））一个区域如果不是单连通域- 道客 ...

    www.doc88.com/p-902977737454.html

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    2012年12月16日 - 设G为一平面点集，如果存在都属于G， 那末称个点都是它的内点， 那末称G为开集.的邻域（图1 .1 0） ， 而所确定的点集为的为G中任意一点.的一个 ...

  • 投资组合的HJB方程及其粘性解研究- 豆丁网

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    2011年3月13日 - 由定义2．2即知：在n维流形上的每一点，都有一个I司胚于n维欧式空间尺“（或尺” 的一个开集）的邻域。也可以形象地说，微分流形就是一块块欧式 ...

    •  
     

    非线性偏微方程求解与可积系统_百度文库

    wenku.baidu.com/view/9accbb6eb84ae45c3b358cd9.html

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    2010年12月24日 - 第二章基于将非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导 .... 同时也促进了一些传统数学理论的发展，为非线性偏微分方程提供了求显式解的 .... 间最高阶数可部分平衡的原则，确定非线性方程解（含有待定函数）应具有 .... 了一个常微分方程如果在点变换的单参数李群的作用下保持不变，则其阶数可以降一阶。

  • I07660114+盛凌云+开题报告_百度文库

    wenku.baidu.com/view/c7522918a216147917112873.html

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    2013年3月6日 - 如果一个偏微分方程系统在经典李变换群作用下是不变的， 我们得到微分 ... 具体说，如果知道了一个微分方程的一个单参数不变群，一阶的方程就 ... 边界层方程被称为Blasius方程，它是一个非线性边值问题． ... 2）(2b)式中虽然仍保留有非线性对流项， 但由于对x 的二阶偏导数项消失，用计算机作数值计算更容易了。

  • 行列式- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

    zh.wikipedia.org/zh-hk/行列式

    行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。 ... 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。 ... 2.1 早期研究; 2.2 任意階數的行列式; 2.3 行列式的現代概念 ... 他從三個方程的系統中消去了兩個未知量後得到一個行列式。 ...... 根據劉維爾定理，n維空間上的線性微分方程：.

  • 几类非线性偏微分方程解法及解的性质的探讨.pdf-文档可在线 ...

    max.book118.com › 海量文档 › 专业论文 › 毕业论文 - 轉為繁體網頁
    2014年7月2日 - 一个偏微分方程完全可积当且仅当它可以用反演散射法求解，然而却没有一个 ... 以上述第二部分内容为基础的学术论文《非线性弦振动方程的相似约化》已 .... 证明了一个微分方程如果在单参数群的变换下不变，则其阶数可减少一次． .... 如果一个奇点依赖于ODE的积分常数那么它是流动奇点【251． .... 当k是鸣共振．

  • [PPT]近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所

    www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/20054411421524.ppt

    2. 一個質點在空間的移動，可以由映射x : [0,T]  R3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 ... 往往發現它是某種幾何的Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。 ... Atiyah 和Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。 .... Hamilton 和其他工作者證明這個方程有光滑解並當t，這個解收歛於K = 常數的度量，他 ...

  • [PDF]力学中单参数变换群的应用' - 应用数学和力学

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    由 X Xue-zi 著作
    它在力学中具有两个自变量、. 两个因变量的非 ... 曾给出了两个自变量和一个因变量的偏微分方程应用无限小变换群时的. 例子, ... 因变量为u , v 的非线性偏微分方程组,. 一. 则无限小变换群为. (2 . 1 ). 式中参数 ... 二阶偏导数变换前后的关系式。 如 .... 它是一阶拟线性. 偏 ..... o n e 一d im en s io n a l Fo k k e r 一Pla n e k e q u a 、 t io n.

  • 微分方程——基本概念和常微分方程的发展史__脚本百事通

    www.csdn123.com/html/itweb/20131009/157165.htm

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    2013年10月9日 - (1) 常微分方程和偏微分方程 ... 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分 ... 微分方程中出现的未知函数最高阶的阶数称为微分方程的阶数。 ... 方程具有形式. image. 不是线性方程的方程称为非线性方程。例如方程 ... 视t为参数，有非常好的性质：可看成为D到D的单参数变换群，也就是： ...

  • 第二节几何、规范场、拓扑学和代数几何 - 上海市地方志办公室 ...

    www.shtong.gov.cn › 专业志 › 上海科学技术志

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    同年，谷超豪和苏步青在面积空间的仿射联络论上建立一个公理，撰写出《关于多重 ... 1955年，苏步青讨论了芬斯拉、巴尔台尔空间极小超曲面的同构变换，并在《数学 ... 同年，谷超豪提出道路空间的安装问题，1956年又进行仿射联络空间安装的阶数问题 ... 1956～1959年，谷超豪进行二阶偏微分方程组的几何学研究，弄清方程组的 ...

  • 请教excel里的光谱的一阶微分怎么做_科学_天涯问答

    wenda.tianya.cn/question/2385e5602c5d1da5

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    2009年9月13日 - 广义相对论 爱因斯坦的第二种相对性理论（1916年）。 ... 但因为场方程式是一个非线性偏微分方程，很难得出解来，所以在电脑 ..... 库默尔于1834年找出24个变换，使得具有三个至多是简单奇点的二阶富克斯方程化为具有不同参数的超几何方程。 ... 设G是一分式线性变换群,ƒ（z）为一单值亚纯函数，如对于任一g∈G ...

  • 科学网—[转载]『数学之神』Differential Geometry - 王伟华的博文

    blog.sciencenet.cn/blog-81613-725431.html

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    2013年9月16日 - 数学的一个分支学科，它主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质 ... 按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称 ... 极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯 ..... 爱因斯坦的引力场方程是一个关于gij的二阶偏微分方程(8)式中Rij 称为里奇 ...

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    非线性偏微方程求解与可积系统_百度文库

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    2010年12月24日 - 第二章基于将非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导 .... 同时也促进了一些传统数学理论的发展，为非线性偏微分方程提供了求显式解的 .... 间最高阶数可部分平衡的原则，确定非线性方程解（含有待定函数）应具有 .... 了一个常微分方程如果在点变换的单参数李群的作用下保持不变，则其阶数可以降一阶。

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  • 行列式- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

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    行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。 ... 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。 ... 2.1 早期研究; 2.2 任意階數的行列式; 2.3 行列式的現代概念 ... 他從三個方程的系統中消去了兩個未知量後得到一個行列式。 ...... 根據劉維爾定理，n維空間上的線性微分方程：.

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    2. 一個質點在空間的移動，可以由映射x : [0,T]  R3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 ... 往往發現它是某種幾何的Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。 ... Atiyah 和Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。 .... Hamilton 和其他工作者證明這個方程有光滑解並當t，這個解收歛於K = 常數的度量，他 ...

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    它在力学中具有两个自变量、. 两个因变量的非 ... 曾给出了两个自变量和一个因变量的偏微分方程应用无限小变换群时的. 例子, ... 因变量为u , v 的非线性偏微分方程组,. 一. 则无限小变换群为. (2 . 1 ). 式中参数 ... 二阶偏导数变换前后的关系式。 如 .... 它是一阶拟线性. 偏 ..... o n e 一d im en s io n a l Fo k k e r 一Pla n e k e q u a 、 t io n.

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    同年，谷超豪和苏步青在面积空间的仿射联络论上建立一个公理，撰写出《关于多重 ... 1955年，苏步青讨论了芬斯拉、巴尔台尔空间极小超曲面的同构变换，并在《数学 ... 同年，谷超豪提出道路空间的安装问题，1956年又进行仿射联络空间安装的阶数问题 ... 1956～1959年，谷超豪进行二阶偏微分方程组的几何学研究，弄清方程组的 ...

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    2013年9月16日 - 数学的一个分支学科，它主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质 ... 按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称 ... 极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯 ..... 爱因斯坦的引力场方程是一个关于gij的二阶偏微分方程(8)式中Rij 称为里奇 ...

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    几何学与力学



    武际可
    北京大学力学与工程科学系
    退休教授
    电话：010-81724121
    Email：wu_jike@sina.com
    网上专栏：http://www.tecn.cn/homepage/wujike.htm
    提要


    ∎ §1. 名人谈几何学与力学
    ∎ §2. 从历史发展看几何与力学
    ∎ §3. 从变换的角度看不变量理论与几何学
    ∎ §4. 从计算的角度看几何学与力学
    ∎ §5. 结语
    §1. 名人谈几何学与力学


    ∎ 在中国明末，由西方传教士邓玉函（瑞士人）口


    授、王徵笔录、并于1627年出版的《远西奇器图
    说》。这本书谈到力学与数学的关系时说：“造物
    主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即
    算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有
    重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此
    重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。故
    数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而
    生，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里数学是计
    算的意思，和现今数学的含义不同。度学是指测
    量学，更宽一点，指的是几何学。
    《远西奇器图说》
    ∎ 美国印第安那大學的牛頓學專家S·韦斯特福


    尔（R.S.Westfall）在他的著作《近代科学
    的建构》一书的导言中说：“两个主题统治
    着17世纪的科学革命——柏拉图-毕达哥拉
    斯传统和机械论哲学。柏拉图-毕达哥拉斯
    传统以几何关系来看待自然界，确信宇宙
    是按照数学秩序原理建构的；机械论哲学
    则确信自然是一架巨大的机器，并寻求解
    释现象后面隐藏着的机制。”
    ∎ 哥白尼1653年出版的


    《天体运行论》的扉
    页上，由出版商约翰
    尼斯彼得奥斯
    （Johannes Petreius）
    写上的一句话：“没有
    学过几何学的人，不
    准入内。”
    ∎ 牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书第一版的序言中


    是这样说的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世纪）
    所告诉我们的）在研究自然事物方面，把力学看得最为重
    要，而今人则舍弃其实体形状和隐蔽性质而力图以数学定
    律说明自然现象，因此我在本书中也致力于用数学来探讨
    有关的哲学问题。古人从两方面来研究力学，一方面是理
    性的，用论证来精确地进行，另一方面是实用的。一切手
    艺都属于实用力学，力学之得名就是为这个缘故。”


    ∎ “几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学


    的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。但因手艺主
    要应用于物体的运动方面，所以通常认为几何学涉及物体
    的大小，而力学则涉及它们的运动。在这个意义上，推理
    力学是一门能准确提出并论证不论何种力所引起的运动，
    以及产生任何运动所需要的力的科学。”
    牛顿（１６４２－１７２７）
    ∎ “在力学中，平衡的叠


    加就像在几何中图形
    的叠加一样丰富多
    彩。”
    （拉格朗日，1788）


    拉格朗日，１７３６－１８１３
    ∎ “他（Riemann）用纯


    粹数学推理的方法，
    得出了关于几何学同
    物理学不可分割的思
    想；七十年后，这个
    思想实际上体现在那
    个把几何学同引力论
    融合成为一个整体的
    广义相对论中。”（爱
    因斯坦，1925）


    爱因斯坦，１８７９－１９５５
    ∎ 总结以上一些名人的说法，力学与几何学


    有不可分离的密切关系。没有几何学，就
    不能准确描述天体的运动、没有几何学就
    不能精确描述物体的运动、几何学是和力
    学有着相同的内容、没有几何学，就不可
    能有相对论，等等。
    §2. 从历史发展看几何与力学


    ∎ 古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclites,约公


    元前540年~前480年）说:“人不能两次踏入
    同一条河”。极言万物无时无刻不在变化。
    研究事物的变化乃是科学的真谛。不过，
    为了区分事物、为了识别变化的事物，我
    们必须抓住变化事物的不变性质。所以认
    识在变化过程中，事物的不变性质，乃是
    研究这种事物的关键。
    ∎ 在力学中，最早朴素


    地认识不变性质的，
    大约是物体处于平衡
    时，进行微扰平衡不
    改变。13世纪约旦努
    在他的《重物的科学》
    中，就以这种观点来
    处理杠杆平衡问题。
    实际上，这就是后来
    发展的虚功原理的萌
    芽。
    ∎ 力学是研究物质在空间中位置变化的科


    学，而几何学是专门研究空间结构的学科。
    所以力学和几何学有着天生不可分的联系。
    所以在1627年出版的我国最早的力学文献
    《远西奇器图说》中说“数学、度学，重学
    之必须，为兄弟内亲，不可相离者也。”这
    里重学就是力学，度学就是指几何学。
    ∎ 所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什


    么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的
    程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数
    学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量
    两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数
    学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究
    物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所
    以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理
    学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的


    ∎ 从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研究内容是静


    力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应
    的计算工具是常量的代数运算。
    ∎ 从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时


    代，力学研究的主要内容是自由质点的运
    动，特别是解决在引力作用下的自由质点
    的运动。在几何方面的主要工具是解析几
    何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在
    计算方面的主要工具则是引进了变量，发
    明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与
    莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个
    时期的力学学科的开拓者。
    ∎ 从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力


    学主要的研究内容是约束运动。在几何方
    面的主要工具是引进了n维空间的概念，后
    来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几
    何。而在分析方面的主要工具则是引进了
    泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方
    法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早
    期开拓变分法的主将。
    1
    2


    i j
    ij


    T
    g qq
    =


    d
    d


    i
    i
    i


    T
    T
    Q
    t q
    q
    ⎛
    ⎞
    ∂
    ∂
    −
    =
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂
    ⎝
    ⎠


    (
    )


    1


    ,


    n


    q
    q


    i
    i
    j k
    ij
    jk
    j


    q
    qq gQ
    +Γ
    =
    ∂
    ⎧
    = −
    ⎪
    ∂
    ⎪
    =
    ⎨
    ∂
    ⎪
    =
    ⎪
    ∂
    ⎩
    1 , 2 , ,


    i
    i
    i


    H
    p
    q
    i
    n
    H
    q
    p


    0
    0


    H
    p
    H
    q


    p
    I
    q
    I


    ∂
    ∂
    ∂
    ∂


    ⎧ ⎫
    −
    ⎧ ⎫ ⎛
    ⎞⎪ ⎪
    =
    ⎨ ⎬
    ⎨ ⎬
    ⎜
    ⎟
    ⎩ ⎭ ⎝
    ⎠⎪ ⎪
    ⎩ ⎭


    i
    ∎ 在19世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以


    庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时
    代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提
    出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至
    在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与
    应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数
    而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环
    的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的
    主要工具就是拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分
    等。至今经过了100多年的发展，它仍然是世界上都很关
    心的研究领域。
    §3. 从变换的角度看不变量理论
    与几何学


    ∎ 在所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。为了


    描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来
    表述。这就是坐标的引进。


    ∎ 1637年笛卡尔（Rene Descartes ，1596 - 1650)发表《La


    Géométrie 》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变


    换的概念。
    一些重要变换的历史


    ∎ 1893年李（Marius


    Sophus Lie ，1842 -


    1899）出版了他积九
    年研究的成果于三卷
    书《Theorie der


    Transformationsgrupp
    en 》中。奠定了李群


    也就是变换群的基础。
    一些重要变换的历史


    ∎ 1872年，德国数学家克莱


    因（Felix Christian
    Klein，1849-1925）


    ∎ 在论文《Vergleichende


    Betrachtungen über
    neuere geometrische
    Forschungen》中提出以


    变换来区分非欧几何的理
    论。后来被称为Erlangen
    program爱尔朗根纲领。
    一些重要变换的历史


    ∎ 在引进了坐标和时间的变换后，人们自然


    要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不
    变。于是人们定义了以下三个力学量


    ∎ 即：动量＝


    、角动量＝
    和能量
    ＝
    。人们立即发现，这三个力学
    量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移
    之下保持不变。这就是著名的力学中的三
    大守恒定律。


    mr


    m r
    r


    ×


    2


    1
    ( )
    2


    m r
    U r


    +
    一些重要变换的历史


    ∎ 1904年罗伦茨


    （H.Lorentz，1853-1928）
    引进了时间和空间变量的
    罗伦茨变换，在罗伦茨变
    换下，时空距离


    ∎


    是不变
    量。其中c是光速。罗伦茨
    变换在后来相对论的发展
    中起了非常重要的作用。


    d
    d
    d
    d


    2
    2
    2
    2
    2


    x + y + z -c t
    一些重要变换的历史


    ∎ 在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一


    般的观点来讨论变换和不变量。


    ∎ 在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程


    组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，
    ，设给定初值为
    ，它的解是
    （1）


    ∎ 这个解实际上给出了从


    到
    的一个带参数t
    的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个
    变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李
    群。


    ( ),


    n


    ∈R
    x= f x
    x,f


    0


    x


    0


    ( , )t


    ϕ


    x = x


    0


    x


    x
    一些重要变换的历史


    ∎ 设


    为　的任一函数，一般来说如果
    （2）
    则
    就是在变换（1）之下的一个不变量。
    显然这个条件是充分必要的，这是因为
    进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，
    都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以
    统一纳入不变量的理论中去讨论。


    ( )
    g x


    x


    1


    0


    n


    ∂
    =
    ∂


    ∑ i


    i


    g
    f
    x


    ( )
    g x


    d
    d
    d
    d


    1
    1


    0


    n
    n


    ∂
    ∂
    =
    =
    =
    ∂
    ∂


    ∑
    ∑


    i
    i
    i
    i


    x
    g
    g
    g
    f
    t
    t x
    x
    勒让德
    A.M. Legendre
    1752 －1833
    ∎ 勒让德变换是从以下偏微分方程出发的


    （3）
    其中令
    ，再令R、S、T 仅
    是p、q函数。


    ∂
    ∂
    ∂
    +
    +
    =
    ∂
    ∂ ∂
    ∂


    2
    2
    2
    2
    2


    0


    z
    z
    z
    R
    S
    T
    x
    x y
    y


    ,


    z
    z
    p
    q
    x
    y


    ∂
    ∂
    =
    =
    ∂
    ∂


    一些重要变换的历史
    ∎ 令曲面


    的切平面为
    （4）
    则应当有
    （5）
    （4）式就在函数变量x,y与p,q之给出了一
    个变换。
    即


    ( , )


    z
    f x y


    =


    0


    p x
    q y
    z
    v


    + − − =


    ∂
    ∂
    ∂
    −
    +
    =
    ∂
    ∂ ∂
    ∂


    2
    2
    2
    2
    2


    0


    v
    v
    v
    R
    S
    T
    p
    p q
    q


    ,
    ;
    ,


    v
    v
    z
    z
    p
    q
    x
    y
    x
    y
    p
    q


    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    =
    =
    =
    =
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂


    0


    p x
    q y
    z
    v


    + − − =
    ∎ 由(4)微分得


    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2


    0
    ,
    .
    z
    z
    z
    ,
    ,


    v
    v
    x d p
    p d x
    y d q
    q d y
    p d x
    q d y
    d p
    d q
    p
    q
    v
    v
    x
    x
    p
    p q
    p
    q
    v
    v
    x
    y
    y
    y
    p
    q
    v
    v
    p
    q
    p q
    q
    p
    p
    x
    x y
    x
    y
    z
    p
    q
    q
    x
    y
    z
    z
    x
    x y
    y


    ∂
    ∂
    +
    +
    +
    −
    −
    −
    −
    =
    ∂
    ∂
    ⎛
    ⎞
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎛
    ⎞
    ⎜
    ⎟ ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂ ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟ ⎜
    ⎟
    =
    =
    =
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟ ⎜
    ⎟
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂
    ∂ ∂
    ∂
    ⎝
    ⎠
    ⎝
    ⎠
    ⎛
    ⎞
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂ ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟
    =
    =
    =
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ∂
    ⎜
    ⎟
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ∂ ∂
    ∂
    ⎝
    ⎠
    即
    ，　由此
    同样因为
    由此
    .


    q
    y


    ⎛
    ⎞
    ⎜
    ⎟
    ⎜
    ⎟
    ⎜
    ⎟
    ⎜
    ⎟
    ∂
    ⎝
    ⎠
    ∎ 把以上结果代入（3）就得到（5），这一


    变换可以把一个拟线性方程化归为一个线
    性方程求解。


    ∂
    ∂
    ∂
    +
    +
    =
    ∂
    ∂ ∂
    ∂


    2
    2
    2
    2
    2
    0


    z
    z
    z
    R
    S
    T
    x
    x y
    y


    ∂
    ∂
    ∂
    −
    +
    =
    ∂
    ∂ ∂
    ∂


    2
    2
    2
    2
    2
    0


    v
    v
    v
    R
    S
    T
    p
    p q
    q
    勒让德变换的一般提法


    ∎ 把以上思想推广。设有n个自变量


    的函数


    ∎ 它具有直到二阶的连续微商，取新的一组


    变量


    ∎


    (6)


    1
    2


    , , ,


    n


    q
    q
    q


    …


    1
    2


    ( , , , )


    n


    U
    U q q
    q


    =
    …


    (
    1 , 2 , , )


    i
    i


    U
    Q
    i
    n
    q


    ∂
    =
    =
    ∂
    …
    ∎ 它们组成对


    的一组变量替
    换，设其Jacobi行列式
    从（6）就可以把原变量反解出来。得
    （7）
    （8）
    考虑新函数


    1
    2


    , , ,


    n


    q q
    q


    …


    2


    0


    i
    j
    i
    j


    Q
    U
    q
    q
    q


    ∂
    ∂
    =
    ≠
    ∂
    ∂ ∂


    1
    2


    ( , , ,
    )
    (
    1 , 2 , , )


    i
    i
    n


    q
    q
    Q
    Q
    Q
    i
    n


    =
    =
    …
    …


    1


    n
    c
    i
    i
    i


    U
    Q q
    U


    =


    =
    −


    ∑
    ∎ 可以证明


    （9）


    ∎


    在勒让德变数替换下，两个函数U，和
    的关系由（8）给出，对应的变量与
    函数的关系由（6）和（9）给出。它概括
    了力学与物理上各种作用量之间的关系。


    (
    1 , 2 , , )


    c
    i
    i


    U
    q
    i
    n
    Q


    ∂
    =
    =
    ∂
    …


    cU
    ∎ 亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它


    们和内能之间的关系是


    ∎ 变形能密度


    与余变形能
    密度之间有关系。


    W
    T


    δ
    δΓ


    ＝　：


    c


    W
    T


    δ
    δ


    Γ
    ＝　：


    c


    T
    W
    W
    0
    Γ
    ：　－　－　＝


    它们都是勒让德变换的实例


    d = d
    =
    d =-Sd
    d
    = +
    dH
    d
    d
    = +
    dG=- d + d
    U
    U T S pdv
    F U TS
    F
    T p v
    H U PV
    T S v p
    G U PV TS
    S T v p
    －
    －
    －
    ＝
    ＋
    －
    在分析力学中，拉格朗日方程是


    (
    )
    0 ,
    1 , 2 , ,


    i
    i


    d
    L
    L
    i
    n
    d t
    q
    q


    ∂
    ∂
    −
    =
    =
    ∂
    ∂


    其中拉格朗日函数是


    ( , , )
    ( , )
    ( , , )


    L q q t
    T q q
    U q q t


    =
    −


    T为动能，U为势能。哈米尔顿函数与拉格朗日函数
    之间的关系是


    1
    (
    ,
    )
    (
    ,
    ,
    )


    n
    i
    i


    H
    p q
    q p
    L q q t


    =
    −


    ∑


    这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，
    拉格朗日方程就变换为哈米尔顿方程


    1 , 2 , ,


    i
    i
    i


    H
    p
    q
    i
    n
    H
    q
    p


    ∂
    ⎧
    = −
    ⎪
    ∂
    ⎪
    =
    ⎨
    ∂
    ⎪
    =
    ⎪
    ∂
    ⎩


    。
    从应变能到胡—鹫原理也可以归结为勒让德变换
    令
    分别为弹性体的位移场、应力张量场和
    应变张量场。
    是应变能密度函数。D为弹性体
    所占的体积。则泛函
    取驻值的充分必要条件是


    ,T,Γ
    u
    ( )
    W Γ


    u
    u


    D
    D


    ( )
    (
    )
    +
    * S+ ( - *) S


    D
    D
    D


    W
    dV
    dV
    div
    dV
    d
    d


    ∂
    ∂


    Π =
    −
    −
    + ⋅
    ⋅ ⋅
    ⋅
    ⋅


    ∫
    ∫
    ∫
    ∫
    ∫


    T
    T
    T
    T
    :
    Γ
    Γ
    f u
    n
    u
    n t u


    ( ).


    σ
    γ


    ∂
    =
    +
    Γ Γ
    ∂
    ∂
    ⋅
    ∂
    T
    在　上）
    ＝
    在
    上，
    在
    上）
    f =0, = u
    u
    ,
    (
    *
    (
    )
    n T= * (


    ij
    ij
    u
    t


    W
    div
    D
    D
    D
    u
    t
    §4. 从计算的角度看几何学与力学


    ∎ 从历史上看，不仅在对线性问题的求解


    中，发展了一整套几何语言来表述求解问
    题的技术，如：投影、解空间、误差度量、
    梯度法，等等。就是近代受到充分注意的
    非线性问题的计算中，起最重要作用的两
    个算法：同伦算法和单形法，它们都是起
    源于近代几何并且用近代几何语言来描述
    的。
    ∎ 进一步，在计算力学中近年来引起注意的


    分叉问题的计算，则不仅要和上述非线性
    问题的计算打交道，还要和动力系统的流、
    微分拓朴、变换群等概念打交道。
    ∎ 最后，还应当提起一个在计算力学方面比较明显


    的趋势，即在相空间内直接求解。在用手工进行
    计算的时代，多事先对原来力学问题的控制方程
    的未知量进行消去，得到未知量较少或者只有一
    个未知量的方程。如在弹性力学中引进应力函数、
    在流体力学中引进流函数，在一般力学中引进势
    函数等。在用计算机求解问题时，这种事先的消
    去一般说来就没有必要了。因为这种消去增加了
    微分方程的阶数，会损失精度。而现在宁愿使用
    原来的方程组，或者引进更多的变量，使方程组
    降阶。这在几何上，相当于把求解的空间扩大。
    ∎ 例如直接从相空间求解即从哈密尔顿方程求解比


    从拉格朗日方程求解，方程的未知量增加了一
    倍，即求解的空间维数扩大了一倍，但方程的阶
    数从二阶降低为一阶。在求解弹性力学问题的时
    候，有时同时求解应力、应变和位移，使用通常
    说的杂交单元法，反而会获得较好的结果。这种
    扩大解空间维数的做法，实际上在早期的微分几
    何中已经得到充分的已经。近年来在物理中被充
    分应用的纤维丛理论，就是把流形连同它的切
    丛，扩展而成的一种具有特殊结构的高维空间
    §5. 结语


    ∎ 根据以上的讨论。我们在研究力学问题或


    是培养力学人才的时候，应当对几何学给
    以特别的注意。这无论是从事理论研究的
    还是从事实验和计算力学的都是非常重要
    的。


    ∎


    其次，在力学专业的教学计划中，应当
    适当增加几何学的学时。在研究生的培养
    上特别应当开设微分几何课程


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