从现代的矢量分析及场论的观点，可以对平方反比律解释得更深入一些。简略地说，服从平方反比律的场有一些“优美”的特点：是“无旋”的、是保守力场、是有心力场、无源处的场的散度为0、场强可以表示为某个标量的梯度、做功与路径无关等等。从场论的观点，在n维欧氏空间中，场强的变化与r(n-1)成反比，当n=3，便化简到了平方反比定律。
n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的n维球面称为单位n维球面，记为Sn。用符号来表示，就是：
圆是一种两维空间里的一维封闭曲面，又叫一维球面(1-sphere)。
球面是三维空间里的两维封闭曲面，又叫两维球面。
在n+1维空间里的n维封闭曲面，拓扑上是n维球面。
前一阵被证明的庞加莱猜想就是关于三维球面。
历史上，曾经有一套几何术语，把圆叫做两维球面 (2-sphere)，依此类推。
n 维球面意为 n 维空间里到定点距离相同的点的集合，和上面的定义不同。
这种说法可能已经过时，待验证。
另外你说的四维空间来自相对论。
这不是欧氏空间，而是Minkowski空间。
距离的定义变了，球面的定义也变了。
在闵氏空间，球面不一定封闭，也不一定连通。
在三维空间里我们用球极平面投影[1]将球面映射到平面。
方法是，把球放在桌子上，在球的顶部装个灯，球的影子就投在桌面上。
投影的效果是，球的底部仍在原点，球的顶部被投影到无穷远。
数学上我们用同样的方法，把四维球面投影到三维空间[2]，从而将其表示出来。
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere
球面是三维空间里的两维封闭曲面，又叫两维球面。
在n+1维空间里的n维封闭曲面，拓扑上是n维球面。
前一阵被证明的庞加莱猜想就是关于三维球面。
历史上，曾经有一套几何术语，把圆叫做两维球面 (2-sphere)，依此类推。
n 维球面意为 n 维空间里到定点距离相同的点的集合，和上面的定义不同。
这种说法可能已经过时，待验证。
另外你说的四维空间来自相对论。
这不是欧氏空间，而是Minkowski空间。
距离的定义变了，球面的定义也变了。
在闵氏空间，球面不一定封闭，也不一定连通。
在三维空间里我们用球极平面投影[1]将球面映射到平面。
方法是，把球放在桌子上，在球的顶部装个灯，球的影子就投在桌面上。
投影的效果是，球的底部仍在原点，球的顶部被投影到无穷远。
数学上我们用同样的方法，把四维球面投影到三维空间[2]，从而将其表示出来。
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere
宇宙最初是个奇点，在大爆炸的时候在11维同时展开。
不同的维度展开的速度不一，一些维度展开得太快，速度逐渐为0，于是开始崩塌，崩塌的能量转到其他维度，成为这些维度继续展开的能量。
这是我的理解。
那么我想问下：
1，现在有相关的观察可以证明现存的三个维度展开的速度不一样吗？
2，宇宙最终的结果是一条有限长的一维空间吗？
抱歉对物理学所知甚少。所以只能使用一些很散乱的词语来表达。
再次感谢。
不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，一个被巩固了地位的狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”狭义相对论的背景时空是Minkowski 平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911 年4月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。双生子悖论使人困惑。劳厄1911 年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912 年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。Twins 悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski 时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian 时空的切空间（Minkowski 时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边
谈一下微分几何中的额外维