Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积
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chernzy 2011-3-30 15:18
路径积分的数学基础
请问有人熟悉这方面的研究吗，
henring 2011-3-30 17:28
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你指物理学中的路径积分吗？如果是，基础就是微积分。能算的情形只有高斯型的。
chernzy 2011-3-30 20:53
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不是计算的问题，一般听说路径积分还缺少严格的数学基础，所以问问。
fnsy 2011-3-31 09:03
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路径积分问题是否可以以微分几何为基础得以解决。
henring 2011-3-31 10:24
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哦 数学基础阿。这个问题以前这里略微讨论过。你可以翻老帖/。
chernzy 2011-3-31 12:20
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不知道是哪个贴，没找到。
PENG_Bo 2011-3-31 18:51
你说的是测度问题吗
chernzy 2011-3-31 21:44
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是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础
PENG_Bo 2011-3-31 23:52
这不是随机积分。
这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义，所以很困难。
这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义，所以很困难。
chernzy 2011-4-1 00:32
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"非常无限维的"怎么理解？
PENG_Bo 2011-4-1 00:38
特别高阶的无限。
季候风 2011-4-3 12:48
[quote]原帖由 [i]chernzy[/i] 于 2011-3-31 21:44 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=55329&ptid=6378][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础 [/quote]
非常不同。随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积（好像连续型随机变量在实数轴的分布那样，分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积）。而物理学家预期的，正是 [tex]e^{iS} [/tex] 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”，满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。
如果像随机积分一样把 [tex] e^{iS} [/tex] 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定，也许可以构成某种数学上可定义的测度（至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它），但现在还不确切地知道其可行性。
然而，现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标，从较高能标 [tex] \Lambda [/tex] 作用量导出较低能标 [tex]\lambda [/tex] 作用量可以完全由有限维积分描述
[tex] e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta [/tex]
其中积分域 [tex]F_{\Lambda,\lambda}[/tex] 包含两个能标之间的所有（有限个）自由度。当然，这个积分虽然肯定有定义，其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决，而 Witten 最近有些新的见解。即便如此，也并不能说物理学可以如此被数学简单描述，因为在不同的能标上，需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论，这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有，我们必须有一个参考点，即，必须在某个能标处确切地知道理论的形式，这样才能得到更低能标的作用量。至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处，所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处，即使无穷维积分的数学理论存在，它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理，我认为必须要有新的数学概念和数学工具，传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 [/i]]
是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础 [/quote]
非常不同。随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积（好像连续型随机变量在实数轴的分布那样，分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积）。而物理学家预期的，正是 [tex]e^{iS} [/tex] 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”，满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。
如果像随机积分一样把 [tex] e^{iS} [/tex] 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定，也许可以构成某种数学上可定义的测度（至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它），但现在还不确切地知道其可行性。
然而，现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标，从较高能标 [tex] \Lambda [/tex] 作用量导出较低能标 [tex]\lambda [/tex] 作用量可以完全由有限维积分描述
[tex] e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta [/tex]
其中积分域 [tex]F_{\Lambda,\lambda}[/tex] 包含两个能标之间的所有（有限个）自由度。当然，这个积分虽然肯定有定义，其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决，而 Witten 最近有些新的见解。即便如此，也并不能说物理学可以如此被数学简单描述，因为在不同的能标上，需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论，这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有，我们必须有一个参考点，即，必须在某个能标处确切地知道理论的形式，这样才能得到更低能标的作用量。至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处，所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处，即使无穷维积分的数学理论存在，它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理，我认为必须要有新的数学概念和数学工具，传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 [/i]]
henring 2011-4-3 19:19
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经常从季老师这里获益，赞。
一直想思考 2011-4-3 20:09
因此我上次就和fantadox兄在车上胡说，随着能标一直加，不同的拉氏项将进来，路径积分就不是那么简单的了。只是我们在物理上如何判断所有能标的物理了，加速器也有极限吧?比如普朗克能标上面还有物理么.因此数学上看来也只能简单建toy model?
有大牛认为在普朗克能标上物理是“随机的"当然这和弦论或者大统一观点相悖.
witten文章的技术都在推导什么了?(论坛没有膜拜的表情:L )谢谢
至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处
-------------------------------------------------------------------------------
其实（E）RG一直把裸量所需要的截断选在一个有限的值，这个值可以变到无穷。当然无穷的好处是洛伦兹对称性显然保持，但群流结构给搞"简单"了.
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:) witten最近的那篇文章太数学了，看了一页看不下去了，数学能力还很差...按季兄这么简练说的话，我怎么感觉这观点不新了？比如我觉得物理学家分析重整化群轨道的角度，如要求紫外不动点，就能预言高能有新物理，比如超对称，这样我们可以简单的在重整化轨道.因此我上次就和fantadox兄在车上胡说，随着能标一直加，不同的拉氏项将进来，路径积分就不是那么简单的了。只是我们在物理上如何判断所有能标的物理了，加速器也有极限吧?比如普朗克能标上面还有物理么.因此数学上看来也只能简单建toy model?
有大牛认为在普朗克能标上物理是“随机的"当然这和弦论或者大统一观点相悖.
witten文章的技术都在推导什么了?(论坛没有膜拜的表情:L )谢谢
至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处
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其实（E）RG一直把裸量所需要的截断选在一个有限的值，这个值可以变到无穷。当然无穷的好处是洛伦兹对称性显然保持，但群流结构给搞"简单"了.
chernzy 2011-4-9 18:23
照这样说，路径积分是要有新的积分理论，请问平移不变性的物理意义是什么呢。
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后面物理不太懂。照这样说，路径积分是要有新的积分理论，请问平移不变性的物理意义是什么呢。
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管中窥豹之非交换几何
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季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154    |
标题: 管中窥豹之非交换几何
作者: 季候风 最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教. 历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振. Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理. Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚. 应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已. 研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至. 一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何. von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学. 统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态. 为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应: (微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数. 在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度. 而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 <x|A|x>. 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件. Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴. 先看一个最简单的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 这里的 "+" 表示代数的直和, C 表示复数域作为自身上的一维代数. 更好的写法是用矩阵: C 0 0 C 现在, 如果我们有等价关系 aRb, 即, 我们把这两个点等同起来, 那么有两种看法可以得到商空间对应的代数, (1) 取在等价关系下不变的函数, 即所有函数 f 使得 f(a)=f(b), 所以是常数函数, 这个意义下的 C(Y) = C. 可能有点太平凡了, 并没有反映出 Y 是通过等同 X 中的两点得到的这个 "商" 过程; (2) 把对角矩阵组成的代数扩张到整个 2 x 2 矩阵代数 M_2(C). 这是一个单代数, 只有一个极大理想 0. 所以它的谱正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一个可能的选择. 显然第二种看法会保留更多的信息. 但是我们必须要有直观的几何解释, 要不然这种推广就太过任意. 这个几何解释就是, M_2(C) 是等价关系 R 的图像上所有连续函数组成的代数. 在这个简单情况下, R 的图像是离散的, 包括四个点 (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其实也就是笛卡儿积 X x X. 这个图像上的一个连续函数就是一个 2 x 2 矩阵( a,b 是脚标). 这样我们给了矩阵一个几何解释. 矩阵之间的乘法可以解释为在 R 这个群胚上的卷积 ( 一个等价关系自然是一个群胚. Heisenberg 已经告诉我们怎样在群胚上做卷积了). 回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数. 现在, Connes 所做的是把商空间 Y 加强为定义这个商空间的等价关系 R, 而把非交换的 C(R) (R 上的函数以对 R 的群胚结构的卷积作为乘法) 作为商空间 Y 所对应的 Banach 代数. 这种处理可以推广到拓扑流形. 一个紧致拓扑流形 M, 如果我们取定一个有限开覆盖 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一个商空间 --- 设 X 为 U_i 的无交并, 等价关系 R 就是 U_i 之间的粘合. 大家现在可以想象一下 R 的图像 (作为 X x X 的子空间). 其实这个图像就是所有 (U_i 交 U_j) 的无交并, 从而 C(R) 中每个元素可以写成一个 m x m 矩阵, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一个在边界趋于零的连续函数. C(R) 的乘法就是矩阵乘法, 而矩阵元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘积显然是 (U_i 交 U_k) 上消失在边界的函数. 所以乘法是定义好的. 当然, 这种构造必须要有好处, 要不然我们就白白牺牲了交换性这么好的性质. 这个构造最表面的好处就是, 一旦我们有 M 的一个开覆盖了, 我们不用理会 M 的任何整体性质就能构造出 C(R), 所涉及到的只是开覆盖的组合结构. 这就像用 Cech 上同调一样, 在某些情况下会方便很多. 理解 Connes 关于测度论的描述花了不少时间。测度的概念看似简单，但比较深入的思考让我意识到以前的理解有多么肤浅。当然，认识到自己肤浅并不代表现在就不肤浅，Connes 的好多议论还是让我一头雾水。 测度是长度，面积，体积，概率这些古典数学概念在二十世纪的统一的建立在集合论基础上的表述。Lebesgue 本人的动机是为了定义积分，所以现在普遍接受的观点是，要定义一种积分，首先要定义一个测度。比如 Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度，一些随机积分对应于 Wiener 测度，等等。（说到这里，应该提一下，为了给物理学中常用的路径积分建立一个数学基础，也许需要推广现有的测度概念，这当然也是 Connes 建立非交换几何这个框架的动机之一。） 在一个测度空间 X 上，有一个自然的交换 C* 代数，就是 L^无穷，所有 X 上本性有界的可测函数组成的空间，上面的乘法就是函数之间的点点乘法。有意思的是，所有的交换 C* 代数都可以实现为某个测度空间的 L^无穷。（这是一个深刻的定理，在寻找这个定理证明的过程中我接触到了所谓一般表示论，获益匪浅。）这个定理说明，经典的测度空间对应到交换 C*代数。 很自然的想法是，非交换的 C* 代数会不会是测度论的自然推广呢？Connes 认识到，这并不是空泛的推广，而有着深刻的经典几何背景。在各个几何分支里面，对于商空间的研究都产生出漂亮的理论，比如几何不变量理论，辛商空间，等变上同调等等。商空间可能会有很坏的性质，比如一个流形的商空间可能不仅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一个代数流形的商空间可能不再是代数流形。在测度论意义下，一个测度空间的商空间可以坏到无法谈论测度的地步。 一个非常有趣的例子就是环面 T 上的无理流。环面可以看作由所有经线组成，或者看成由所有纬线组成，数学上把这种结构叫“分叶”。现在我们来看环面上其它一些曲线。有一些曲线，绕经圆 p 圈，绕纬圆 q 圈，我们把这种曲线叫做斜率为 p/q 的曲线，所有这些曲线也组成整个环面。这个分叶叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因为这些曲线可以看作环面上某个微分方程的积分曲线。）现在斜率的概念已经很直观了，所以我们可以看看斜率为无理数的那些曲线。这些曲线不是闭合的－－－环面上的闭曲线必然绕经圆和纬圆整数次。实际上这些曲线同胚于直线。固定斜率 m, 所有这个斜率的曲线也组成整个环面，这个分叶叫做“无理流”。它的动力学可以从它同一个经圆的相交看出来：这样一条曲线每绕纬圆一周，就绕经圆 m 周，也就是说，连续两次同一个经圆的交点相差 2pi m 的距离。由于 m 是无理数，所以交点永远不会重复，而且根据 Poincare 回归定理，交点会无限次回到任意小邻域，所以交点会稠密地分布在这个经圆上。 如果我们想看看这个分叶的所有“叶子”的空间 X，也就是说，把每条斜率 m 的曲线看作一个点，组成一个空间，它是原来环面的一个商空间。X 上的一个可测函数应该对应于环面 T 上一个在每片叶子上为常数的可测函数，也可以看作经圆上的一个可测函数，在跟同一片叶子的所有交点上取值相同。但是根据回归性质，这样的函数必然几乎处处跟一个常数函数相等。所以说，这个商空间上的测度性质是平凡的。学过实变函数的同修也许会认识到这跟“不可测集”有点关系－－－如果在每一片叶子上取一个点组成 T 的一个子集（根据选择公理这个子集存在-所有叶子的笛卡儿积非空，从而非空），那么我们得到的是一个不可测集。 那么这种商空间到底有没有跟测度论类似的结构可以研究呢？Connes 告诉我们，有，就是从这个分叶构造出的非交换 C* 代数。这个构造的原理我们在最简单的例子（两个点被等同为一个点）里面已经看到了。分叶是一个等价关系，两个点等价如果它们在同一片叶子上。等价关系决定了一个群胚，这个群胚上的函数在卷积下形成一个非交换 C* 代数。对于环面上的无理流，这个非交换的 C* 代数就是著名的“非交换环面”。 如果这个分叶比较好，比如环面 T 上的有理流，以至于商空间 X 上有非平凡的测度论，那么以上构造的这个 C* 代数就有一个中心子代数，正好同构于 X 上的 L^无穷 函数代数。这说明如此构造的 C* 代数的确是经典测度论的一个推广。 [附录一] 也许我应该更仔细地解释一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理为例子, 记从 n 能级到 m 能级的跃迁发射光子的频率为 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一条谱线的频率. 所以群胚就好像一个 "图", 顶点之间有箭头, 这些箭头就是群胚里的元素, 它们能乘起来当且仅当一个箭头的终点是另一个箭头的起点。群就是只有一个顶点的群胚, 这样所有的元素都能相乘。从对群胚的描述来看, 它不仅是一个集合 (箭头的集合), 还需要指定每个箭头是从哪个顶点到哪个顶点的. 所以群胚最好被视为一个范畴而不仅仅是一个带有运算的集合. [附录二] 遍历假设并不意味着 (微观时间演化 <---> 系综) 这个对应. 这个对应只对热平衡态有效 ... 经典情况, Boltzmann 分布就是这种对应的所有例子. 量子统计, 在有限粒子情况, 有 Boltzmann 分布的类似物, Hamilton 量决定了分布, 但是在热力学极限 Hamilton 量不能决定分布, 可能有多个分布都反应微观态的时间演化. Kubo-Martin-Schwinger 条件就是对唯一性失效的补偿. 群上同调论是什么？它在物理学上有什么用？
1个答案
同调（Homology）是一个很深刻的数学方法。上同调是Cohomology。可以把很多大类无限维空间的之间的联系结构抽象为有限维空间，可以解释很多对称结构，这个展开讲没边了，我说几个同调理论在物理中的应用，讲完之后再举一个简单的微积分例子解释同调的方法论。
1. 电磁场 电场可以看做微分形式(differential form)中的1-形式，磁通量可以看成2-形式。二者都属于某种函数空间中，其有限能量空间可以通过微分算子联系，而通过微分算子构成的德拉姆上同调链(de Rham complex)的同调群正好是其电磁场的介质区域的Betti数。微分揭示拓扑结构，挺神奇的。 2. 规范场 规范场和李代数（或者李群 Lie algebra/group）联系紧密。李群的上同调理论则可以揭示很多规范场中的对称结构。 3. 拓扑量子场 上同调论的精彩战场之一，不用给空间加上度量的量子场论，纯粹在拓扑空间上的抽象积分，同调理论正好不需要依赖于度量空间，某些空间的商空间是特殊酉群(SU)，很多物理现象可以用特殊酉群来描述，比如标准模型中的弱电对称。 ------------------------------------------------------ 同调是什么呢？简单的例子可以从3维空间里面的向量微积分Stokes定理讲起，与我刚才说过的德拉姆上同调（de Rham cohomology）有关。 最基本Stokes公式如下：  在曲面  对于向量场旋度点乘上带有法向量的积分，是包围这个曲面的曲线上这个向量场的线积分。这个可以看做积分的牛顿-莱布尼兹公式在3维的推广。实际上我们还可以用下面非常抽象的，不依赖于度量的积分表示：  其中d是外微分算子，  是取边界。这个广义的不依赖于度量的公式，是说流形上，微分形式的外微分的积分，可以变成流形边界上的积分。这样就把外微分和取边界联系了起来。我们可以得到下面两个de Rham链式结构：   其中  是p维光滑流形，而 是光滑的p-形式。边界每取一次，维度下降，外微分每取一次，微分形式变高一阶。de Rham同调群的得到既可以由边界算子出发，也可以由外微分算子得到。在第一个链里面，同调群可以由对p维流形取边界的核空间模掉对(p+1)维流形取边界的相空间得到：  这个同调群的维度就是我刚才说的Betti数了。 通过另外一个微分算子的链，得到的叫上同调结构，在三维流形上，外微分d有几个比较好的性质，对0-形式的外微分d是grad（梯度），对1-形式的外微分d是curl（旋度），对2-形式的外微分d是div（散度）：  梯度场的旋度是0，旋转场的散度是0。 通过刚才第二个链结构在三维流形上构造出来的叫上同调群：  这是对p-形式取外微分的核空间模掉对(p-1)-形式的外微分的相空间。这个上同调群，竟然和刚才边界算子得到同调群结构相同！这是理论证明的结果，可以看成是一个同调群这种分析方法意外收获吧。 于是，我们还可以用同调的方法去分析传统的向量场势的构造问题，一个简单的例子就是，在一个2维环形面（有个洞）上，有一个散度0的向量场，那么我们能不能找到一个势函数，让其等于这个势的散度？当没洞的时候，微积分就可以得出结果，答案是可以。有洞的时候，这个时候借助同调群和上同调群结构相同，我们就可以很容易发现这个势其实和旋度场差了个1维空间。这个换面的例子的直接物理应用就是，可以看出空心金属圈里面的电磁环流是个什么样的场。 像下面两张图这样有复杂拓扑结构的区域里面的电磁场问题，有了用上同调群维度就是Betti数这个性质，就可以让很多麦克斯韦方程组导出的偏微分方程复杂混合边界问题里面的解的结构变得清晰起来：   --------------------------------------------------------- 我自己对同调理论也是只知皮毛，希望大家查漏补缺。最后我想说的是，很多人物理或者数学博士读完了都不一定会用得到同调理论，所以大家没看懂我在说什么狗屁也完全没有关系的呀。
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