量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。
（为了配合与季候风兄的讨论，我在众数学高手面前班门弄斧，向非数学专业人士科普一下一些基本概念。可能难免会含有诸般错误） 1. 测度 通常的函数是以某个变量为自变量的函数。而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法. 例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足. 再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积
. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度. 一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。 测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。 2. 量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。 在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。 但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。 为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。 但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H (2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在 H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。 需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭 dilation。
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“朗道有序ψ参数”原本是一种适合描述唯象导电固体在极端低温下的波函数。可是，它又能用来描述超导体内部的欧姆电流和超导电流之间的相变。这就意味“朗道有序ψ参数”也能描述各种流体（气体和液体等等）。电流在导电固体内的热力学状态，通常被物理学家描述为“电子气”；而化学家则把它们描述为属于“离域键”性质的“金属键”。对于同一个自然对象，同时掌握物理学家和化学家的两种不同观点，以及不同的研究立场和量化方案，不仅对于自然科学专业的大学生（即本科生、硕士生和博士生的统一称谓）很重要，就是对那些不同专业领域内的职业物理学家和职业工程师，职业化学家和职业化工工程师，同等重要。
在超导物理学上，作为波函数的朗道“有序参量ψ”的平方，才有实验可测的意义。并且这个朗道“有序参量ψ”的平方的物理量纲是单位体积的倒数，这意味着朗道的“波函数ψ的平方”的物理含义是单位体积内的空间密度。
可是，在“薛定谔量子力学”中，“波函数ψ的平方”被大物理学家玻恩解释为发现“粒子位置的分布几率”（即原子核外电子位置的概率分布，俗称为“电子云”）。“波函数ψ的平方”是无量纲的一种函数，相当于数学量，而且是还是一种概率。
我们就是把“波函数ψ的平方”放大、特写，以便职业科学家和工程师，以及高等研究院所的师生，看清楚“波函数ψ的平方”的物理诠释的多样性，明白玻尔旗下举世公认的“哥本哈根学派”的权威释义，并不是唯一的。
为何非要是“波函数ψ的平方”才能获得物理意义呢？这是因为“波函数ψ”本身是一种“椭圆角度测度性的复函数”，而这种“椭圆复函数”在真实自然界中，仅仅基于它的几何性质，一直都被数学家和物理学家视为无法用任何科学实验来证实其存在性。而“椭圆复函数”的平方，即<ψ*|ψ>=|ψ|^2=r=实数，于是获得了科学实验上的可测性。
在自然界中，没有任何科学理由，“波函数ψ”总是一定被预先假定为这种“椭圆复函数”，而不能是别的什么性质的“几何函数ψ”，当然，它也可以是“凯雷-克莱因几何函数”，或者别的什么函数。类似地，在自然界中，“波函数ψ”也未必一定处处都必须被强硬地预先规定为“波函数ψ”，而不能是别的什么性质的“待定函数ψ”！“哥本哈根学派”对“波函数ψ”的权威解释，虽然是正确的，但是这种解释决不是什么“放之四海而皆准”的“普遍诠释”！比如，金兹堡-朗道方程中的“波函数ψ”的诠释，明显不同于“哥本哈根学派”对“波函数ψ”的权威解释。不仅如此，在我们看来金兹堡-朗道方程中的“波函数ψ”的诠释，应用更加广泛，而且<ψ*|ψ>的物理含义是单位体积内的空间密度，具有物理量纲。这种特殊的空间密度量纲，使得它不但可以直接被应用到“麦克斯韦电动力学”，“流体力学”领域中，而且还被直接应用到具有极大普适性的“热力学”中。由于<ψ*|ψ>的物理含义是单位体积内的空间密度，具有物理量纲。这使得“朗道有序函数ψ”本身也获得了一种“分数维度”（3/2维度）性质的空间量纲。这暗示着“金兹堡-朗道方程”代表着一种“物理分形几何学”。所以，种种迹象表明，在自然界中，决没有任何科学理由，只能接受“波函数ψ”一定被预先假定为是“椭圆复函数”，而不能是别的什么性质的“几何函数ψ”。
为了获得最一般意义上的“几何函数ψ”，把<ψ*|ψ>推广为<ψ*|S*ijSjk|ψ>，|ψ>被定义为离散有限维数或者连续无限维数的正变仿射空间，<ψ*|被定义离散有限维数或者连续无限维数的逆变仿射空间，S*ijSjk=Gik ，Gik为对称矩阵，学名为“度规矩阵”，或者“度规张量”。
科学家和工程师必须放弃“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释，学会开拓视野，创建更加一般意义上的“普适量子物理学”。“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释，在今天事实上不仅已经丧失了推动科学向前发展的动力，反而变成了一种强烈阻碍科学向前发展的阻力！在我们看来，“几何函数ψ”（我们不再使用传统上那种人为狭隘化的“波函数ψ”这个名称了）的物理含义，完全可以按照所研究的自然对象的量纲来约定。尤其是它的平方的量纲，即<ψ*|ψ>的量纲可以被约定为正好符合某个任意、但又是确定的物理量的传统量纲。
尤其是这种单位体积内的空间密度量纲的<ψ*|ψ>，有着极为广泛的直接应用。除了众所周知的电流密度
之外，我们可以随心所欲地定义类似的物理量。比如，一系列的唯象的宏观量子力学方程式：
伽利略量子引力场重力密度：f=<ψ*|mg|ψ>
牛顿量子作用力密度：f=<ψ*|ma|ψ>
洛仑兹电磁量子力密度：f=<ψ*|qE+qu×B|ψ>
量子电能密度：w(q)=<ψ*|qU|ψ>
量子磁能密度：w(Φm)=<ψ*|ΦmI|ψ>
量子理想气体状态方程压强：P=<ψ*|nRT|ψ>
……………………………………………………
诸如此类，我们可把现有的全部经典物理学的所有分支学科量子化！这是一场真正的科学风暴，它将以排山倒海、势不可挡的滚滚科学洪流的形式，彻底冲击涤荡现有全球所有中学和大学的科学教材和科学著作！这就是当人们打碎了“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释的枷锁之后，直接获得“科学解放”，赢得“科学自由”，从未来回到现在的简单后果。
伽利略量子引力场重力：F=<ψ*|mg|ψ>
牛顿量子作用力：F=<ψ*|ma|ψ>
洛仑兹电磁量子力：F=<ψ*|qE+qu×B|ψ>
量子电能：w(q)=<ψ*|qU|ψ>
量子磁能：w(Φm)=<ψ*|ΦmI|ψ>
量子理想气体状态方程：<ψ*|PV|ψ>=<ψ*|nRT|ψ>
…………………………………………………………
诸如此类，我们照样能够把现有的全部经典物理学的所有分支学科量子化！彻底刷新升级现有全球所有中学和大学的科学教材和科学著作！这就是当人们打碎了“哥本哈根学派”对“波函数ψ”洞穴之见的“狭隘性”，而继续保留“几率统计诠释”之后，直接从未来回到现在所获得的一种“科学思想解放”和“科学思想自由”的简单后果。
white 对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积
"牛顿把下述规律宣布为宇宙的原理，即两个物体以与其质量成正比与其距离的平方成反比的力相互吸引。上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象"
2012年4月17日 - ... 电荷系产生的电场中， 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和这称为电势叠加原理代数和。"
对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积
量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。
（为了配合与季候风兄的讨论，我在众数学高手面前班门弄斧，向非数学专业人士科普一下一些基本概念。可能难免会含有诸般错误） 1. 测度 通常的函数是以某个变量为自变量的函数。而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法. 例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足. 再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度. 一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。 测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。 2. 量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。 在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。 但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。 为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。 但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H (2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在 H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。 需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭 dilation。
应该特别指出，从十九世纪物理学的基本原理中发展出来的，复杂的运动形态不可归结为简单的运动形式的思想，世界的无限复杂性的思想，以及其规律的非线性的思想，这些思想如此鲜明地反映于哲学和十九世纪科学思维的风格中，并且与上个世纪的情况完全不同。对十八世纪的文化来说是以其思想的单义性为特征的，也就是一个现象严格地，精确地依赖于另一个现象的观念。这种观念最高级的表现就是著名的拉普拉斯的最基本的模式，它的意思就是知道宇宙全部质点的位置和速度就可以预言日后自然界的发展过程和人类命运直至历史的和生活习惯的细节[2]科学就是把现象从宇宙间无穷尽的总体联系中人为地抽取出来并安置在原因——结果的链条之中。按照席勒的说法只有“纵的联系”才会使科学发生兴趣，而同时也就抛弃了使单纯的依存关系走样和复杂化的“横的联系”。此时的科学虽然意识到这种“横的联系”，但是依然力图把它分割为单纯的“纵的联系”。牛顿的引力论和摄动论就是一例。牛顿把下述规律宣布为宇宙的原理，即两个物体以与其质量成正比与其距离的平方成反比的力相互吸引。上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象。古典力学按照把两个物体的抽象的图景向着三个物体的更为具体的图景进行过渡，同时把第三个物体认为是使原来的简单的情况变得复杂起来的摄动的根源。需要指出：在真空中就是两个物体也算得上是一种复杂的具体的图景。第一步抽象是一个在真空中运动的孤立的物体。这个物体作匀速直线运动，其坐标是时间的线性函数。在宇宙力学图景的发展过程中每迈出新的一步都要回复到空间量与时间量的线性依存关系上来。那种线性化是以向较小的区域过渡而被实现的。在只有一个孤立的运动物体的最早的图景中（这正是机械论的自然科学的终极抽象），物体的位置是线性地依赖于时间的空间量。后来以牛顿为代表的自然科学考虑到开普勒定律和天体的加速度，并认为此加速度就相似于地球上物体的加速度，这样就从《自然哲学原理》中第一定律过渡到第二定律。但是，用匀加速运动代替加速运动，用现代的术语来说就要处于均匀力场之中，这时速度也就成为时间的线性函数了。这种先把坐标对时间的一阶导数线性化然后二阶导数线性化的意图表征牛顿力学的特点。从坐标开始，以后是速度，加速度等等，都被认为是时间的线性函数，线性化也成为数学分析的基础。科学只对所研究量的线性关系感兴趣，并引入微分的概念（函数增量的线性部分），和导数的概念（包含在无限小区域内增量的比值）。从宇宙间现象的不可胜数的联系中，抽象地提取出所要研究的量，这种抽象过程合理到什么程度，这些有限个量之间的联系特征也就是与实际符合到什么程度。当力场可以忽略时在惯性作用下匀速运动的图景是与物体的实际情况相一致的；在研究均匀力场时，匀加速运动的图景是与实际情况相一致的。数学的概念鲜明地显示出抽象分析的每一步的约定性。当哲学上对自然科学的知识进行概括以后，这样的一种约定性就变得可查觉的了。然而这种经常进行的认识过程一旦被绝对化后，有条件的抽象看起来就像是现实之中无条件精确的等价物了。
white 对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积
第一章 引论 - 上海交通大学科学史与科学哲学系
shc2000.sjtu.edu.cn/phy/phy1.htm
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上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象。古典力学按照把两个物体的抽象的图景向着三个物体的更为具体的 ...
shc2000.sjtu.edu.cn/phy/phy1.htm
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上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象。古典力学按照把两个物体的抽象的图景向着三个物体的更为具体的 ...轉為繁體網頁
phymath999: 体系对质点的引力,只与这两质点有关,与第三者 ...
phymath999.blogspot.com/2015/03/blog-post_32.html
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2015年3月17日 - 牛顿linear: 速度是加速度在时间上的线性叠加作用在一个粒子上的力是其他粒子的轉為繁體網頁
"牛顿把下述规律宣布为宇宙的原理，即两个物体以与其质量成正比与其距离的平方成反比的力相互吸引。上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象"
"第9章静电场_百度文库
220.181.112.102/view/6d67692f647d27284b7351f6.html
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应该特别指出，从十九世纪物理学的基本原理中发展出来的，复杂的运动形态不可归结为简单的运动形式的思想，世界的无限复杂性的思想，以及其规律的非线性的思想，这些思想如此鲜明地反映于哲学和十九世纪科学思维的风格中，并且与上个世纪的情况完全不同。对十八世纪的文化来说是以其思想的单义性为特征的，也就是一个现象严格地，精确地依赖于另一个现象的观念。这种观念最高级的表现就是著名的拉普拉斯的最基本的模式，它的意思就是知道宇宙全部质点的位置和速度就可以预言日后自然界的发展过程和人类命运直至历史的和生活习惯的细节[2]科学就是把现象从宇宙间无穷尽的总体联系中人为地抽取出来并安置在原因——结果的链条之中。按照席勒的说法只有“纵的联系”才会使科学发生兴趣，而同时也就抛弃了使单纯的依存关系走样和复杂化的“横的联系”。此时的科学虽然意识到这种“横的联系”，但是依然力图把它分割为单纯的“纵的联系”。牛顿的引力论和摄动论就是一例。牛顿把下述规律宣布为宇宙的原理，即两个物体以与其质量成正比与其距离的平方成反比的力相互吸引。上述依存关系是每一物体实际上都承受着来自无数个其它物体各个方面的引力这一情况的抽象。古典力学按照把两个物体的抽象的图景向着三个物体的更为具体的图景进行过渡，同时把第三个物体认为是使原来的简单的情况变得复杂起来的摄动的根源。需要指出：在真空中就是两个物体也算得上是一种复杂的具体的图景。第一步抽象是一个在真空中运动的孤立的物体。这个物体作匀速直线运动，其坐标是时间的线性函数。在宇宙力学图景的发展过程中每迈出新的一步都要回复到空间量与时间量的线性依存关系上来。那种线性化是以向较小的区域过渡而被实现的。在只有一个孤立的运动物体的最早的图景中（这正是机械论的自然科学的终极抽象），物体的位置是线性地依赖于时间的空间量。后来以牛顿为代表的自然科学考虑到开普勒定律和天体的加速度，并认为此加速度就相似于地球上物体的加速度，这样就从《自然哲学原理》中第一定律过渡到第二定律。但是，用匀加速运动代替加速运动，用现代的术语来说就要处于均匀力场之中，这时速度也就成为时间的线性函数了。这种先把坐标对时间的一阶导数线性化然后二阶导数线性化的意图表征牛顿力学的特点。从坐标开始，以后是速度，加速度等等，都被认为是时间的线性函数，线性化也成为数学分析的基础。科学只对所研究量的线性关系感兴趣，并引入微分的概念（函数增量的线性部分），和导数的概念（包含在无限小区域内增量的比值）。从宇宙间现象的不可胜数的联系中，抽象地提取出所要研究的量，这种抽象过程合理到什么程度，这些有限个量之间的联系特征也就是与实际符合到什么程度。当力场可以忽略时在惯性作用下匀速运动的图景是与物体的实际情况相一致的；在研究均匀力场时，匀加速运动的图景是与实际情况相一致的。数学的概念鲜明地显示出抽象分析的每一步的约定性。当哲学上对自然科学的知识进行概括以后，这样的一种约定性就变得可查觉的了。然而这种经常进行的认识过程一旦被绝对化后，有条件的抽象看起来就像是现实之中无条件精确的等价物了。
量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。
（为了配合与季候风兄的讨论，我在众数学高手面前班门弄斧，向非数学专业人士科普一下一些基本概念。可能难免会含有诸般错误） 1. 测度 通常的函数是以某个变量为自变量的函数。而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法. 例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足. 再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积
. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度. 一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。 测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。 2. 量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。 在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。 但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。 为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。 但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H (2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在 H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。 需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭 dilation。标签： 文化 |
“朗道有序ψ参数”原本是一种适合描述唯象导电固体在极端低温下的波函数。可是，它又能用来描述超导体内部的欧姆电流和超导电流之间的相变。这就意味“朗道有序ψ参数”也能描述各种流体（气体和液体等等）。电流在导电固体内的热力学状态，通常被物理学家描述为“电子气”；而化学家则把它们描述为属于“离域键”性质的“金属键”。对于同一个自然对象，同时掌握物理学家和化学家的两种不同观点，以及不同的研究立场和量化方案，不仅对于自然科学专业的大学生（即本科生、硕士生和博士生的统一称谓）很重要，就是对那些不同专业领域内的职业物理学家和职业工程师，职业化学家和职业化工工程师，同等重要。
在超导物理学上，作为波函数的朗道“有序参量ψ”的平方，才有实验可测的意义。并且这个朗道“有序参量ψ”的平方的物理量纲是单位体积的倒数，这意味着朗道的“波函数ψ的平方”的物理含义是单位体积内的空间密度。
可是，在“薛定谔量子力学”中，“波函数ψ的平方”被大物理学家玻恩解释为发现“粒子位置的分布几率”（即原子核外电子位置的概率分布，俗称为“电子云”）。“波函数ψ的平方”是无量纲的一种函数，相当于数学量，而且是还是一种概率。
我们就是把“波函数ψ的平方”放大、特写，以便职业科学家和工程师，以及高等研究院所的师生，看清楚“波函数ψ的平方”的物理诠释的多样性，明白玻尔旗下举世公认的“哥本哈根学派”的权威释义，并不是唯一的。
为何非要是“波函数ψ的平方”才能获得物理意义呢？这是因为“波函数ψ”本身是一种“椭圆角度测度性的复函数”，而这种“椭圆复函数”在真实自然界中，仅仅基于它的几何性质，一直都被数学家和物理学家视为无法用任何科学实验来证实其存在性。而“椭圆复函数”的平方，即<ψ*|ψ>=|ψ|^2=r=实数，于是获得了科学实验上的可测性。
在自然界中，没有任何科学理由，“波函数ψ”总是一定被预先假定为这种“椭圆复函数”，而不能是别的什么性质的“几何函数ψ”，当然，它也可以是“凯雷-克莱因几何函数”，或者别的什么函数。类似地，在自然界中，“波函数ψ”也未必一定处处都必须被强硬地预先规定为“波函数ψ”，而不能是别的什么性质的“待定函数ψ”！“哥本哈根学派”对“波函数ψ”的权威解释，虽然是正确的，但是这种解释决不是什么“放之四海而皆准”的“普遍诠释”！比如，金兹堡-朗道方程中的“波函数ψ”的诠释，明显不同于“哥本哈根学派”对“波函数ψ”的权威解释。不仅如此，在我们看来金兹堡-朗道方程中的“波函数ψ”的诠释，应用更加广泛，而且<ψ*|ψ>的物理含义是单位体积内的空间密度，具有物理量纲。这种特殊的空间密度量纲，使得它不但可以直接被应用到“麦克斯韦电动力学”，“流体力学”领域中，而且还被直接应用到具有极大普适性的“热力学”中。由于<ψ*|ψ>的物理含义是单位体积内的空间密度，具有物理量纲。这使得“朗道有序函数ψ”本身也获得了一种“分数维度”（3/2维度）性质的空间量纲。这暗示着“金兹堡-朗道方程”代表着一种“物理分形几何学”。所以，种种迹象表明，在自然界中，决没有任何科学理由，只能接受“波函数ψ”一定被预先假定为是“椭圆复函数”，而不能是别的什么性质的“几何函数ψ”。
为了获得最一般意义上的“几何函数ψ”，把<ψ*|ψ>推广为<ψ*|S*ijSjk|ψ>，|ψ>被定义为离散有限维数或者连续无限维数的正变仿射空间，<ψ*|被定义离散有限维数或者连续无限维数的逆变仿射空间，S*ijSjk=Gik ，Gik为对称矩阵，学名为“度规矩阵”，或者“度规张量”。
科学家和工程师必须放弃“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释，学会开拓视野，创建更加一般意义上的“普适量子物理学”。“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释，在今天事实上不仅已经丧失了推动科学向前发展的动力，反而变成了一种强烈阻碍科学向前发展的阻力！在我们看来，“几何函数ψ”（我们不再使用传统上那种人为狭隘化的“波函数ψ”这个名称了）的物理含义，完全可以按照所研究的自然对象的量纲来约定。尤其是它的平方的量纲，即<ψ*|ψ>的量纲可以被约定为正好符合某个任意、但又是确定的物理量的传统量纲。
尤其是这种单位体积内的空间密度量纲的<ψ*|ψ>，有着极为广泛的直接应用。除了众所周知的电流密度
之外，我们可以随心所欲地定义类似的物理量。比如，一系列的唯象的宏观量子力学方程式：
伽利略量子引力场重力密度：f=<ψ*|mg|ψ>
牛顿量子作用力密度：f=<ψ*|ma|ψ>
洛仑兹电磁量子力密度：f=<ψ*|qE+qu×B|ψ>
量子电能密度：w(q)=<ψ*|qU|ψ>
量子磁能密度：w(Φm)=<ψ*|ΦmI|ψ>
量子理想气体状态方程压强：P=<ψ*|nRT|ψ>
……………………………………………………
诸如此类，我们可把现有的全部经典物理学的所有分支学科量子化！这是一场真正的科学风暴，它将以排山倒海、势不可挡的滚滚科学洪流的形式，彻底冲击涤荡现有全球所有中学和大学的科学教材和科学著作！这就是当人们打碎了“哥本哈根学派”对“波函数ψ”那种“唯一性”的权威解释的枷锁之后，直接获得“科学解放”，赢得“科学自由”，从未来回到现在的简单后果。
伽利略量子引力场重力：F=<ψ*|mg|ψ>
牛顿量子作用力：F=<ψ*|ma|ψ>
洛仑兹电磁量子力：F=<ψ*|qE+qu×B|ψ>
量子电能：w(q)=<ψ*|qU|ψ>
量子磁能：w(Φm)=<ψ*|ΦmI|ψ>
量子理想气体状态方程：<ψ*|PV|ψ>=<ψ*|nRT|ψ>
…………………………………………………………
诸如此类，我们照样能够把现有的全部经典物理学的所有分支学科量子化！彻底刷新升级现有全球所有中学和大学的科学教材和科学著作！这就是当人们打碎了“哥本哈根学派”对“波函数ψ”洞穴之见的“狭隘性”，而继续保留“几率统计诠释”之后，直接从未来回到现在所获得的一种“科学思想解放”和“科学思想自由”的简单后果。
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