Lebesgue 积分 我们能够通过将红色矩形下的面积相加

第九课

As a rst warmup step toward consciousness, let us
rst consider a state of matter that we would characterize
as memory | what physical features does it have?
For a substance to be useful for storing information, it
clearly needs to have a large repertoire of possible longlived
states or attractors (see Table I). Physically, this
means that its potential energy function has a large number
of well-separated minima. The information storage
capacity (in bits) is simply the base-2 logarithm of the
number of minima. This equals the entropy (in bits)
of the degenerate ground state if all minima are equally
deep. For example, solids have many long-lived states,
whereas liquids and gases do not: if you engrave someone's
name on a gold ring, the information will still be
there years later, but if you engrave it in the surface of a
pond, it will be lost within a second as the water surface
changes its shape.

概述

变分学研究的主要内容是泛函的极值，凡是求泛函极值的问题都称作变分问题。
边界都是固定的，端点都有不变的值。 固定边界且无条件的泛函是最简单也是最基本的泛函
变分概念：定义 定义J[y(x)]是定义在函数集合Y = {y(x)}上的泛函，称y(x)为J[y(x)]的宗量，Y为J[y(x)]的定义域。
定理：若具有变分的泛函J[y(x)]在y = y0(x)达到极致，则δJ|y=y0(x) =δJ[y0(x)] = 0
求偏微分方程的定解问题的解可以转化为求某个泛函的极值问题，这是求解偏微分方程的变分方法的基础。
泛函分析研究的特点： 1、无线维的线性空间 2、代数、几何以及分析本身的方法 3、重点研究空间变化 4、用数学形式能够表达的问题，非线性的问题要想方设法变成线性的问题。

赵杰伊编写

函数空间

函数空间是一个由函数构成的空间。在该空间中的每一个函数可以被看作是一个点。例如： 1.C[a,b]，在区间[a,b]中的所有实值连续函数的集合。 2. L1[a,b]，在区间[a,b]绝对值可积的所有实值函数的集合。 3. L2 [a,b]，在区间[a,b]平方可积的所有实值函数的集合。 注意在2 和3 中的函数并不一定是连续的！ 度量空间 度量空间意味着包含一个空间X 和一个距离ρ 的对(X,ρ)，对于所有的x,y∈X所定义的单 值、非负的实函数具有如下的三个特性： 1. ρ(x,y) =0当且仅当x = y ； 2. ρ(x,y) = ρ(y,x)； 3.三角不等式： ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 例子 1.距离为ρ(x,y)=|x-y|的所有实数的集合是度量空间R1。 2.距离为ρ(x,y)=√Σ(xi-yi)2的所有有序实数n 元组是度量空间Rn

袁杰编写

例子

* 1.距离为
的所有实数的集合是度量空间Ŗ1。
* 2.距离为
的所有有序实数 n 元组是度量空间Ŗn。
* 3.满足准则
且距离为
的所有函数的集合是度量空间L2(Ŗ)。
* 4.具有Kullback-Leibler 散度

的所有概率密度集合并不是一个度量空间。散度不是对称的

收敛

度量空间 S 中的一个开/闭球是满足如下条件的的点x ∈ 􀀀 的集合

半径为ε ，且中心是x0的开球将被称为x0的一个ε 邻域。表示为Oε(x0 )。如果x的每一个邻域Oε(x)都包含从某一个整数开始的所有的点xn，那么度量空间S中的一个点序列{xn}= x1,x2,…,xn ,… 收敛于一个点x∈S 。给定任意的ε > 0，存在一个整数Nε ，使得当n>Nε时Oε(x)包含所有的点xn 。{xn}收敛于x 当且仅当

测度

在整个课程中，我们会常看到如下形式的积分

式中，ν(x)是测度。
一个集合E的测度概念ν(E)是如下概念的自然扩展
1)一个线段Δ的长度l(Δ)
2)一个空间G 的容量V(G)
3)空间一个区域的非负函数的积分。

Lebesgue 测度

设 f 是一个ν可测函数（它具有有限测度），它取不超过可数个不同值

则通过在集合 A 上f 的Lebesgue 积分，记为

我们有这么一个量

式中

只要级数是绝对收敛的。测度ν 为Lebesgue 测度。

Lebesgue 积分

我们能够通过将红色矩形下的面积相加

来计算积分

Riemann 积分

更为传统的积分形式是 Riemann 积分。直觉上它是无穷小的矩形的无限和的极限。

在 Riemann 意义下的积分需要连续或者是分段连续函数，先前介绍的Lebesgue 积分放宽了这一 条件。因此，积分

式中f:[0,1]→R 被定义为

在 Riemann 意义下并不存在。

Lebesgue-Stieltjes 积分

设 F 是定义在闭区间[a,b]上的一个非降函数并且假设F 在区间[a,b) 是连续的。F 被称为 Lebesgue-Stieltjes 测度νF的生成函数。
一个函数 f 的Lebesgue-Stieltjes 积分可表示为

它是 Lebesgue 积分

dνF的一个例子是概率密度p(x)dx。这里νF对应于累积分布函数。

稠密

设 A 和B 是一个度量空间R子空间。如果Ā⊆B，那么说A在B中稠密。 Ā是子集A 的闭包。特别的，如果Ā = R，那么说A在􀀀 中处处稠密。
如果 x 的每一个邻域都包含A 中的点，则点x∈R为集合A∈R的的一个接触点。 集合 A 的所有接触点的集合，记为Ā，被成为A 的闭包。

例子

1.所有有理数的集合在实数轴上是稠密的。
2.具有有理数系数的所有多项式的集合在C[a,b] 中是稠密的。
3.设K是一个正定的径向基函数，则函数

在L2中稠密。
注意：一个假设空间在 2 L 中稠密是任何逼近方法所希望得到的特性。

可分

如果一个度量空间具有可数个处处稠密的子集，则它被称为可分的。
例子：
1.空间R1,Rn,L2[a,b] 以及C[a,b] 均是可分的。 2.实数的集合是可分的，因为有理数集合是实数的一个可数的子集并且有理数集是处处稠密的。

宋光慧编写

在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间 X 及其子集 A ，如果对于 X 中任一点 x，x 的任一邻域同 A 的交集不为空，则 A 称为在 X 中稠密。直观上，如果 X 中的任一点 x 可以被A中的点很好的逼近，则称 A 在 X 中稠密。
等价地说，A 在 X 中稠密当且仅当 X 中唯一包含 A 的闭集是 X 自己。或者说，A 的闭包是 X ，又或者 A 的补集的内部是空集。