爱因斯坦模型是一种固体模型,基于三种假设:
- 晶格中的每一个原子都是三维量子谐振子;
- 原子不互相作用;
- 所有的原子都以相同的频率振动(与德拜模型不同)。
第一个假设是相当准确的,而第二个假设则不是。如果原子真的不互相作用,那么声波就不会在固体内传播。
历史上的影响[编辑]
原先的理论是由
爱因斯坦在1907年提出的,具有很大的历史相关性。由
杜隆-珀蒂定律所预言的
固体的
热容已经知道是与
经典力学一致的。然而,低温下的实验观察表明,热容在绝对零度时趋于零,在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的
量子化假设,爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与
光电效应在一起,这成为需要量子化的最重要的证据之一(值得注意的是,爱因斯坦是在现代
量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题)。尽管它成功了,但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零,而正确的表现则是遵守

幂定律。这个缺陷后来由
德拜模型在1912年纠正。
爱因斯坦固体的热容与温度的关系,高温时趋于3
Nk的实验值。
恒定体积
V的物体的
热容,通过
内能U定义为:


是系统的温度,可以从
熵求出:

为了求出熵,考虑由

个原子所组成的固体,每一个原子都有3个自由度。因此,总共有

个
量子谐振子(以下称SHO)。

SHO的可能的能量为:

或者说,能级是均匀分隔的,我们可以定义能量的
量子:

它是SHO的能量可以增长的最小的,也是唯一的数量。接着,我们必须计算系统的多重性。也就是说,计算有多少种方法把

个能量量子分布在

个SHO。我们可以想象把

个石头分布在

个盒子中:
-

或把一堆石头分成

份:
-

或把

个石头和

个划分排成一行:
-
-

最后一个图最能说明问题。把

样东西排成一行,有

种方法。因此,把

个石头和

个划分排成一行的方法有

种,然而,如果把第2个划分和第5个划分互换位置,是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的
不可区分的排列方法,我们必须把排列的总数除以
不可区分的排列的数目。一共有

种相同的量子排列,以及

种相同的划分排列。因此,系统的多重性为:

正如上面所提及的,这就是把

个能量量子放在

个谐振子中的方法数目。系统的
熵具有下列形式:


是一个很大的数,把它减去一总体上没有任何影响:

利用
斯特灵公式的帮助,熵可以简化:

固体的总能量为:

我们现在来计算温度:

把这个公式两边取倒数,以求出
U:

两边关于温度求导,以求出

:

或

虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容,在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算,参见
德拜模型。
热容可以通过利用SHO的
正则配分函数来获得。

其中

把该式代入配分函数的公式,得:

这是
一个SHO的配分函数。因为,统计上来说,固体的热容、能量,以及熵,都是在它的原子(SHO)中均匀分布的,因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量,然后直接把它们乘以

以得出总量。接着,我们来计算每一个谐振子的平均能量:

其中

因此:

于是,
一个谐振子的热容为:

整个固体的热容由

给出:

它与前面推导的公式是相等的。
物理量

的量纲是温度,是晶体的一个特有的性质。它称为“爱因斯坦温度”。因此,爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率

的通用函数。类似地,德拜模型预言了比率

的通用函数。
No comments:
Post a Comment