伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分,这里X是布朗运动，或者更广义地，是一个半鞅，H是一个适配于由X生成的筛选的，本地平方可积分的过程(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。

伊藤積分

隨機過程 微積分 隨機變數

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布朗運動及布朗運動的伊藤積分

伊藤微積分（英語：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗運動（維納過程）就可以用伊藤微積分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微積分的中心概念是伊藤積分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤積分，可以將一個隨機過程（被積分函數）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗運動。從到的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。
伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分

這裏X是布朗運動，或者更廣義地，是一個半鞅，H是一個適配於由X生成的篩選的，本地平方可積分的過程(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求。特別地，其在任意點不可微，並且在每一個時間間隔都有無限方差。其結果是，無法用普通的方法定義積分(參考Riemann–Stieltjes integral)。主要的創新是只要調配被積函數，就可以定義一個積分，不嚴格的講，即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用信息。 股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模，例如布朗運動，或者，更經常的，幾何布朗運動(參見Black–Scholes)。然後，伊藤隨機積分代表，在時間t持有一定數量Ht的股票，對其進行連續交易的回報。這種情況下，調配H就相應於，在任何時候只使用可用信息的交易策略限制。這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性：市場中每個上漲之前買入股票，每個下跌之前賣出股票。相似地，調配H的條件暗示，當作為黎曼和極限進行計算的時候，隨機積分不會收斂(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。 伊藤過程的重要結果包括，部分公式的集成和伊藤引理，即變量公式的變形。這些由於二次方差項，都與標準微積分公式不同，

伊藤积分[编辑]

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布朗运动及布朗运动的伊藤积分

伊藤微积分（英语：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗运动（維納過程）就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。
藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗运动。從到的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。
伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分

这里X是布朗运动，或者更广义地，是一个半鞅，H是一个适配于由X生成的筛选的，本地平方可积分的过程(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地，其在任意点不可微，并且在每一个时间间隔都有无限方差。其结果是，无法用普通的方法定义积分(参考Riemann–Stieltjes integral)。主要的创新是只要调配被积函数，就可以定义一个积分，不严格的讲，即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。 股票价格和其他可交易资产的价格可以通过随机过程进行建模，例如布朗运动，或者，更经常的，几何布朗运动(参见Black–Scholes)。然后，伊藤随机积分代表，在时间t持有一定数量Ht的股票，对其进行连续交易的回报。这种情况下，调配H就相应于，在任何时候只使用可用信息的交易策略限制。这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性：市场中每个上涨之前买入股票，每个下跌之前卖出股票。相似地，调配H的条件暗示，当作为黎曼和极限进行计算的时候，随机积分不会收敛(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。 伊藤过程的重要结果包括，部分公式的集成和伊藤引理，即变量公式的变形。这些由于二次方差项，都与标准微积分公式

Semimartingale

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In probability theory, a real valued process X is called a semimartingale if it can be decomposed as the sum of a local martingale and an adapted finite-variation process. Semimartingales are "good integrators", forming the largest class of processes with respect to which the Itō integral and the Stratonovich integral can be defined.
The class of semimartingales is quite large (including, for example, all continuously differentiable processes, Brownian motion and Poisson processes). Submartingales and supermartingales together represent a subset of the semimartingales.

Contents

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• 1 Definition
• 2 Alternative definition
• 3 Examples
• 4 Properties
• 5 Semimartingale decompositions
  • 5.1 Continuous semimartingales
  • 5.2 Special semimartingales
  • 5.3 Purely discontinuous semimartingales
• 6 Semimartingales on a manifold
• 7 See also
• 8 References

Definition[edit]

A real valued process X defined on the filtered probability space (Ω,F,(F_t)_t ≥ 0,P) is called a semimartingale if it can be decomposed as

where M is a local martingale and A is a càdlàg adapted process of locally bounded variation.
An Rⁿ-valued process X = (X¹,…,Xⁿ) is a semimartingale if each of its components Xⁱ is a semimartingale.

Alternative definition[edit]

First, the simple predictable processes are defined to be linear combinations of processes of the form H_t = A1_{{t > T}} for stopping times T and F_T -measurable random variables A. The integral H · X for any such simple predictable process H and real valued process X is

This is extended to all simple predictable processes by the linearity of H · X in H.
A real valued process X is a semimartingale if it is càdlàg, adapted, and for every t ≥ 0,

is bounded in probability. The Bichteler-Dellacherie Theorem states that these two definitions are equivalent (Protter 2004, p. 144).不同，