phymath999: Hausdorff FPeano G 存在定义于实数轴上闭区间的连续映射,将区间映满平面上的二维区域,比如正方形或三角形,这样的映射称为皮亚诺曲线,对三维以上的空间也可用皮亚诺方法考虑,图3―2画出了皮亚诺曲线的两个层次,如果依此一直进行下去,可以填满一个正方形.按经典维数的定义,平面图形是二维的,而皮亚诺曲线为一维的

Thursday, October 29, 2015

Hausdorff FPeano G 存在定义于实数轴上闭区间的连续映射,将区间映满平面上的二维区域,比如正方形或三角形,这样的映射称为皮亚诺曲线,对三维以上的空间也可用皮亚诺方法考虑,图3―2画出了皮亚诺曲线的两个层次,如果依此一直进行下去,可以填满一个正方形.按经典维数的定义,平面图形是二维的,而皮亚诺曲线为一维的

路径积分的积分区域是实数域，但是其有效测度确实复数域。只有维克旋转之后才能转化为维纳测度，而维纳测度就是一个勒贝格意义下的测度，是严格的。所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的。
但路径积分不是泡利，我觉得路径积分一定还有更深刻的形式，因为这里的积分显然是不严格的。因为它不是一个测度，我们找不到这样一种测度路径。

图形的维数问题

首先我们回顾一下欧几里德维数（又称经典维数）.在欧氏空间中一个几何点要用三个独立坐标来确定它的位置,空间维数为3,在平面上一个几何点可用两个独立坐标表示,平面是二维的,直线是一维的,点是0维的,推广一下,若空间中的一个点要用n个独立坐标（x₁,x₂,….x_n）才能确定,则称空间为n维的,这就是欧几里德维数或经典维数.例如相对论涉及的就是欧氏空间加上时间所构成的4维空间，可用坐标（x,y,z,t）来表示.
历史上,对图形维数的定义经历了漫长的探索,两千多年前,欧几里德对图形的维数作过这样的描述:"曲面有两个量度,曲线有一个量度,点连一个量度也没有".后来由空间维数定义进行推广, 将几何图形的维数定义为确定图形上的一个点的位置所需要的独立坐标个数（或连续参数的最小数目）.如空间曲线可表示为：

, a<t<b
只需一个连续参数t,曲线为一维的,曲面可定义为：

, a<u<b,c<v<d
只需两个独立参数，通常曲面是二维的，而象立方体、球体是3维的.
image23.gif (4459 字节)

         经典维数都是整数,其缺陷是明显的.如果有人问:雪花、云彩、烟圈、花朵等自然构型的维数是多少?传统数学是难于回答的.遗憾的是,直观长期迷惑了我们,直到19世纪末意大利数学家皮亚诺（Peano G）作出了一个初看起来甚至以为是悖论的惊人发现.他指出,存在定义于实数轴上闭区间的连续映射,将区间映满平面上的二维区域,比如正方形或三角形,这样的映射称为皮亚诺曲线,对三维以上的空间也可用皮亚诺方法考虑,图3―2画出了皮亚诺曲线的两个层次,如果依此一直进行下去,可以填满一个正方形.按经典维数的定义,平面图形是二维的,而皮亚诺曲线为一维的,这就产生了矛盾,为解决这一问题,本世纪初前苏联科学家乌雷松重新定义了图形的维数,这里不拟深入.按乌雷松的定义,皮亚诺曲线维数为2.想想看,曲线的维数可以为1和2,那么在直线和皮亚诺曲线之间还有复杂程度、所占空间不一样的许许多多的曲线,其维数理应扩展到1与2之间的实数,也即允许维数为非整数（有时也称为分数）. 同样曲面的维数也应根据其复杂程度扩展到2与3之间.
    分形几何学把维数推广到可以连续取值,不局限于整数,这是数学史上一个划时代的进步. 曼德布罗特认为,只有在传统的欧氏几何意义下现实世界才存在复杂性,即分数维的几何体在整数维空间才表现出复杂性.我们设想一下,如果有与非整数维几何体相对应的维数空间,我们看来很复杂的几何体将不再复杂.其实分维的思想并不是近代才有,早在1919年,大数学家豪斯多夫(Hausdorff F)就提出了维数可以取分数的思想,并创立了豪斯多夫维数,但由于历史的局限性,他的工作没有引起更多人的重视.

百度文库搜“费曼量子力学”，全是用路径积分讲的

这套由费曼想出的方法，对于理解量子力学是有利的，但是对于一些简单计算和了解量子力学发展历史确实不利的。

如果一个粒子从A点运动到B点，那么原则上，它可以选择无穷多种路径，当量子效应显著的时候，粒子的确是走过无穷多的路径。如果在A点的粒子状态是ψ(x0,t0)，运动到B点时的离子状态是ψ(x,t)，那么应当有这样一个函数K(x,t;x0,t0)，粒子状态通过它传播到ψ(x,t)，这过程只需要一个积分来完成，而它并不是很难理解：

ψ(x,t)=∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0…………（1）

K(x,t;x0,t0)也应当是一个波函数，一般的平面波是这个样子的：Cexp[i(px-Et)/h]（我们只考虑最简单的一维运动，此处的h是约化plank常数），如果仔细观察它指数的量纲，应该与能量×时间的相同。作用量S=∫Ldt不是正好有这样的量纲吗？我们受到这个东西的启发，把指数做替换：i(px-Et)/h→iS/h。当然，既然将路径积分引入到了传播函数中，那么对所有路径求和的步骤也应当在这里完成，我们把传播函数写成：

K=∑Cexp[iS/h]…………（2）

而且我们还知道S=∫Ldt=∫(p^2/2m-U(x))dt……（3）

现在将（1）两侧式对时间t求偏导数，并且利用（2）和（3）：

∂ψ(x,t)/∂t=∫i/h(p^2/2m-U(x))·K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
            =i/h(p^2/2m-U(x))·∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
             =i/h(p^2/2m-U(x))·ψ(x,t)…………（4）

我们早就知道，由于不确定性原理，在求动量平均值<p>时，是不能写成<p>=∫ψ(x,t)pψ*(x,t)dx的，因为在x确定的状态前乘以一个确定的动量p是没有意义的——动量和位置不能同时确定，所以就引入了一个动量算符p~=-ih∂/∂x来代替动量。也就是说，作用在ψ(x,t)前的动量算符必须是p~=-ih∂/∂x。所以应当把（4）式中的p换为p~=-ih∂/∂x，然后在式子两侧都乘以ih，我们就得到了schrodinger方程：

ih∂ψ(x,t)/∂t=-h^2/2mψ(x,t)+U(x)ψ(x,t)

好了，下面让我们再来谈谈，既然粒子实际上走过无穷多的路径，那么为什么经典粒子只走过一条？啊哈，这完全是传播子的相位在捣鬼！我们现在选择一条路径的传播子exp[iδ/h]，此处我们忽略了不重要的常系数，因为我们总是可以通过选取合适的单位来保证系数为1，在此不必过多考虑这些细节。好了，假设它就是经典粒子选择的那一条唯一的路径，那么此时退化到经典情况，h已经小得无足轻重，所以δ稍稍改变一些，相位都会产生很大变化，从而把相差较多的相位的相都抵消掉，而全部向exp[iδ/h]靠拢。现在让我们取那些变化的相位来参与运算，比如，一些可以是δ+ε或δ-ε的变化，其中ε只是一个小量：

……+exp[i(δ-ε)/h]+exp[iδ/h]+exp[i(δ+ε)/h]+……
=……+(1+2cosε)exp[iδ/h]+……（用到三角函数的欧拉定理）
≈……+3exp[iδ/h]+……

你们看，这简直是戏剧性的效果，在h小到无足轻重的时候，一些相位会趋向于同一个值，而其它相差过多的则抵消掉了。

好了，我已经讲的够多了，现在我要停下来了。虽然我在前面说它并不利于计算一些简单问题（只有高斯型积分可以手算出来），但当分析技术得到改观时，这应当能更多地得到应用。

()

这并不是严格的推导，我们只是半定量的研究了一下这个东西。对于整个推导过程我只能说，为了降低理解的难度，我们做了弊，但原则上它是正确的。希望能对希望了解这方面知识的初学者有有所帮助。

回复：4楼
是么……可这方法（作弊的方法）是我自己想出来的……

cyqsdik
理论斗士

1

给给路径积分的详细资料呗！谢谢了！

LS可以去百度文库搜“费曼量子力学”，全是用路径积分讲的

注：当初写文的时候有一个错误，就是按照这计算步骤最后得到的薛定谔方程右侧第一项系数不是负的，而应当是正的，但这是不对的，错误的原因是S对t求偏导数而不是全导数，这样，还要利用哈密顿-雅可比方程才能得到争取的薛定谔方程。

这贴的目的是什么。

泡利，我觉得路径积分一定还有更深刻的形式，因为这里的积分显然是不严格的。因为它不是一个测度，我们找不到这样一种测度路径。

我的ID不错吧。哈哈。你说这里不是一个测度是什么意思？

不是一个测度，简单来说，就是它并不满足一个积分所具备的数学前提。

我不明白你的意思，你所说的一个积分所具备的数学前提具体是指什么？
物理学中很多积分是物理学家造出来的，数学家不承认没关系。而且我觉得单就路径积分理论而言没有什么不正常的积分行为。你指的是不是希尔伯特空间完备性条件？

物理学家可以造出积分，但是一个很大的问题就是，可能不严格。比如路径积分，尽管可以借助其形式推导，但是一个显然的缺陷是“连最基本的氢原子解都算不出”，而这早已被薛定谔方程解决。
路径积分的积分区域是实数域，但是其有效测度确实复数域。只有维克旋转之后才能转化为维纳测度，而维纳测度就是一个勒贝格意义下的测度，是严格的。所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的。
但路径积分不是。