虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，Bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。
数学家发现可以用a和b之间的曲线的最短长度的下确界来定义它们之间的距离。那么什么是曲线的长度呢？？你用什么尺来量这个曲线的长度？答案是度量。度量就是生活中的尺。
度量=米尺，三角板，螺旋测微器+秒表
最后一项秒表是用来测量时间的，在非广义相对论的情况下， 不需要秒表。
写到这里，已经初步解释了度量的意思，换句微分几何的话说，度量是一个2阶对称张量。它的原始意义非常简单。
爱因斯坦张量G-ab可以由度量和它的微分一起表出
引力子的自旋为2。如果你刚好熟悉量子场论，或者手头有徐一鸿的《quantum field theory in a netshell 》，或者有Peskin, M. E., 和 D. V. Schroeder合著的《 An Introduction to Quantum Field Theory》，你就可以知道，自旋为2的粒子，它们传递的相互作用力是吸引力。
（Peskin他们的书也已经在中国大陆出版）
但迄今还没有探测到引力子或者引力波。
读者们也许应该注意的是：引力波是爱因斯坦方程线性化以后的结果。换句话说，引力波是在平坦时空上传播的波动。
但其实我们的时空是弯曲的，因此引力波是一个值得商榷的概念。
后来的相对论专家彭罗斯企图用扭量方法在爱因斯坦方程的解里直接得到非线性引力波。但这个工作只实施了一半，被称为一个“瘸子计划”（leg-break）。这具体情节，让我们在以后漫谈。
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相对论通俗演义(包括PDF)
相对论通俗演义(PDF版本
http://www.qiji.cn/eprint/abs/2953.html )
张轩中
序1
美妙的爱因斯坦引力方程
人类历史,始于蒙昧.置身悬崖,若无必死之心,望而却步.引力做功,碎骨粉身.虽引力乃最弱之力量,然其统治大宇宙之脉搏呼吸.亚里士多德指出引力秘密,为世人所奉.而千年之下,伽利略用思想实验,得自由落体真谛.此情此景,历历在目.几百年来,比萨斜塔,默默无语.上帝造物,宇宙洪荒,乃至牛顿,方显露一丝天机.牛顿引力,F=GM1M2/R2.方程曼妙,让人叹为观止.
牛氏遗腹,少年孤冷,其引力方程,上穷碧落.下至黄泉.玉兔升空,苹果落地,牛顿方程,半窥天机.方程横空出世,世间犹惊.返谷溯源,乃开普勒之鞠躬尽。.白日西匿，开普勒于月牙高台,夜观天象,夙夜不眠.经济窘迫而身形憔悴,然于故纸之间,发行星运动之三定理.此乃呕心沥血之作也.
红尘百草,阡陌凋零,牛顿之后百年,法拉弟铁匠之后,瓮壅绳黍之子,其英雄气长,研习安培之环路电流.奥斯特发现电可成磁,法拉第十年一剑,磁能产电.此间十年,实验无数,遍尝失败.
电磁相生,法拉第立场论.隔四十年,麦克斯韦设位移电流,写积分方程,电磁统一大成.然方程之中,未现磁单极子.狄拉克沉默寡言,深思熟虑,考虑量子力学,得电磁对偶。若单极存在,焉能以单一磁势覆盖球面?此乃纤维丛也.
场论既成,天下太平.爱因斯坦,犹太之子,叛逆之徒,其遍习引力历史,深通场论之奥义.厚积薄发,终成绝响.麦氏方程,天生超越伽利略之单纯空间变换.闵可夫斯基,乃得四维时空变换,保持麦氏方程,彭加莱亦有所闻,一时间群雄并起,狭义相对论,若隐若现,爱因斯坦,确凿物理实在,于线性时空变换下不变.若较爱因斯坦之于彭加莱,彭氏深谙数学,而爱氏直指背后物理,深邃迥异于常人.此西元1905,爱因斯坦,声名鹊起于天下,此洞见时间须于空间一起,共铸时空流形,此乃千年来最广博深远之发见,天下唯此一人.
历史机缘巧合,全在暝暝之中.狭义相对论已大白于天下,然世间芸芸众生,依然不知所云.所谓动尺收缩,此中可见牛顿引力方程,水火不容于狭义相对论.牛顿引力,描述空间两点之距离,然空间两点之距离不复绝对,牛顿引力,势必依赖于观察之士.物理勿须依赖于观察之士,乃广义相对论性原理，此为物理之基本也.爱因斯坦,深味其中悲哀.方十一年,其演习黎曼几何,工于张量计算.友士格罗斯曼,居功至伟.数学家推动物理学之发展,此一例也.爱因斯坦日复一日,确信物理之规律,为人力所不能撼动,须臾之间,乃相信物理之规律,应于人人平等.其思辨于升降机中遇见等效原理,偶遇一生之最快慰思想.自由落体,于其深邃双眸,复现璀璨光明.
物理于几何,一衣带水.黎曼几何,天才之手,问世三十余年,遂转入爱因斯坦之手,发扬广大,天下人膜拜而熟习之.爱因斯坦引力方程,几何等于物理.G-ab=T-ab.方程美妙.意味隽永.此西元1915,希尔伯特,殊途同归,翁乃数学界之泰山北斗.引力历史于数学物理两家携手推动,此后数十年,荒烟蔓草,.爱因斯坦方程未绝于物理学,虽人迹罕至,丛生皆云高山仰止,引力冷艳孤傲.转念人生几何?
人生不相见,动若参商,然爱翁之于宇宙洪荒之回响,余音绕梁.
之后数十年,黑洞兴起,宇宙加速膨胀.一切归于漫漫黑暗.
张轩中
序1
美妙的爱因斯坦引力方程
人类历史,始于蒙昧.置身悬崖,若无必死之心,望而却步.引力做功,碎骨粉身.虽引力乃最弱之力量,然其统治大宇宙之脉搏呼吸.亚里士多德指出引力秘密,为世人所奉.而千年之下,伽利略用思想实验,得自由落体真谛.此情此景,历历在目.几百年来,比萨斜塔,默默无语.上帝造物,宇宙洪荒,乃至牛顿,方显露一丝天机.牛顿引力,F=GM1M2/R2.方程曼妙,让人叹为观止.
牛氏遗腹,少年孤冷,其引力方程,上穷碧落.下至黄泉.玉兔升空,苹果落地,牛顿方程,半窥天机.方程横空出世,世间犹惊.返谷溯源,乃开普勒之鞠躬尽。.白日西匿，开普勒于月牙高台,夜观天象,夙夜不眠.经济窘迫而身形憔悴,然于故纸之间,发行星运动之三定理.此乃呕心沥血之作也.
红尘百草,阡陌凋零,牛顿之后百年,法拉弟铁匠之后,瓮壅绳黍之子,其英雄气长,研习安培之环路电流.奥斯特发现电可成磁,法拉第十年一剑,磁能产电.此间十年,实验无数,遍尝失败.
电磁相生,法拉第立场论.隔四十年,麦克斯韦设位移电流,写积分方程,电磁统一大成.然方程之中,未现磁单极子.狄拉克沉默寡言,深思熟虑,考虑量子力学,得电磁对偶。若单极存在,焉能以单一磁势覆盖球面?此乃纤维丛也.
场论既成,天下太平.爱因斯坦,犹太之子,叛逆之徒,其遍习引力历史,深通场论之奥义.厚积薄发,终成绝响.麦氏方程,天生超越伽利略之单纯空间变换.闵可夫斯基,乃得四维时空变换,保持麦氏方程,彭加莱亦有所闻,一时间群雄并起,狭义相对论,若隐若现,爱因斯坦,确凿物理实在,于线性时空变换下不变.若较爱因斯坦之于彭加莱,彭氏深谙数学,而爱氏直指背后物理,深邃迥异于常人.此西元1905,爱因斯坦,声名鹊起于天下,此洞见时间须于空间一起,共铸时空流形,此乃千年来最广博深远之发见,天下唯此一人.
历史机缘巧合,全在暝暝之中.狭义相对论已大白于天下,然世间芸芸众生,依然不知所云.所谓动尺收缩,此中可见牛顿引力方程,水火不容于狭义相对论.牛顿引力,描述空间两点之距离,然空间两点之距离不复绝对,牛顿引力,势必依赖于观察之士.物理勿须依赖于观察之士,乃广义相对论性原理，此为物理之基本也.爱因斯坦,深味其中悲哀.方十一年,其演习黎曼几何,工于张量计算.友士格罗斯曼,居功至伟.数学家推动物理学之发展,此一例也.爱因斯坦日复一日,确信物理之规律,为人力所不能撼动,须臾之间,乃相信物理之规律,应于人人平等.其思辨于升降机中遇见等效原理,偶遇一生之最快慰思想.自由落体,于其深邃双眸,复现璀璨光明.
物理于几何,一衣带水.黎曼几何,天才之手,问世三十余年,遂转入爱因斯坦之手,发扬广大,天下人膜拜而熟习之.爱因斯坦引力方程,几何等于物理.G-ab=T-ab.方程美妙.意味隽永.此西元1915,希尔伯特,殊途同归,翁乃数学界之泰山北斗.引力历史于数学物理两家携手推动,此后数十年,荒烟蔓草,.爱因斯坦方程未绝于物理学,虽人迹罕至,丛生皆云高山仰止,引力冷艳孤傲.转念人生几何?
人生不相见,动若参商,然爱翁之于宇宙洪荒之回响,余音绕梁.
之后数十年,黑洞兴起,宇宙加速膨胀.一切归于漫漫黑暗.
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-28 17:41:00
第一章 早期的英雄时代
（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，同时，历史总是由后来者写就。当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，即使模糊不清，仍让人感觉到心潮澎湃。历史是人与人之间的搏弈，虽然有很多人相信历史存在着必然的客观规律。
是人民群众创造了历史？
还是英雄人物创造了历史？
广义相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的研究对象是我们的宇宙。
宇宙是不是我们的？
我们在宇宙中存在自由意志吗？
我们的命运是不是仅仅是外星人或者更高智慧生物所设计的给定的程序？
一切是否已经注定？
假设因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。
宇宙洪荒，（在本书中，“洪荒”一词，将作为对英文“bulk”的中文翻译，bulk指在膜宇宙模型种专指高维时空）很玄很妙。关键在于如何认识它，历史上很多人的思想在这里汇集。尤其是北宋苏东坡在《题西林壁》的一句诗影响深远，他说：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。 ”
苏东坡是一个很大的才子，（现在杭州的餐馆最流行的是东破肉，让幼稚的人联想起唐僧肉——苏东坡在历史上是一个著名的人物，他的诗歌被挂在人民大会堂里面——看来他最能够代表中华民族的那种雍容大气。）
他的这个诗“不识庐山真面目，只缘身在此山中。 ”本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。
爱因斯坦说：“宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。” 纵然在一个迷信的愚昧的村庄，有些人也会认为宇宙是可以理解的。宗教是理解宇宙的一种方式，佛教的思想是非常厉害的，佛教总是叫人不要执著，同时叫人要执著。
在科学上，一定要执著。
可知论和不可知论这两种论调是人类个体不同性情的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。
宇宙是很复杂的，正如你不知道英国的海岸线到底有多长。
你不知道的东西可能有很多……
（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，同时，历史总是由后来者写就。当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，即使模糊不清，仍让人感觉到心潮澎湃。历史是人与人之间的搏弈，虽然有很多人相信历史存在着必然的客观规律。
是人民群众创造了历史？
还是英雄人物创造了历史？
广义相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的研究对象是我们的宇宙。
宇宙是不是我们的？
我们在宇宙中存在自由意志吗？
我们的命运是不是仅仅是外星人或者更高智慧生物所设计的给定的程序？
一切是否已经注定？
假设因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。
宇宙洪荒，（在本书中，“洪荒”一词，将作为对英文“bulk”的中文翻译，bulk指在膜宇宙模型种专指高维时空）很玄很妙。关键在于如何认识它，历史上很多人的思想在这里汇集。尤其是北宋苏东坡在《题西林壁》的一句诗影响深远，他说：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。 ”
苏东坡是一个很大的才子，（现在杭州的餐馆最流行的是东破肉，让幼稚的人联想起唐僧肉——苏东坡在历史上是一个著名的人物，他的诗歌被挂在人民大会堂里面——看来他最能够代表中华民族的那种雍容大气。）
他的这个诗“不识庐山真面目，只缘身在此山中。 ”本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。
爱因斯坦说：“宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。” 纵然在一个迷信的愚昧的村庄，有些人也会认为宇宙是可以理解的。宗教是理解宇宙的一种方式，佛教的思想是非常厉害的，佛教总是叫人不要执著，同时叫人要执著。
在科学上，一定要执著。
可知论和不可知论这两种论调是人类个体不同性情的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。
宇宙是很复杂的，正如你不知道英国的海岸线到底有多长。
你不知道的东西可能有很多……
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-28 17:54:00
（2）
宗教在理解宇宙的时候往往是带有很大的欺骗性。虽然有的宗教劝人向善，有的提倡与世无争。
我们仰望星空，俯仰天地，态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。一直到现在，还是这样的，很多人心灵极端苦闷，因为他想理解宇宙，而苦苦地上下求索而没有结果，于是萌生了自己发明一个怪异理论的奇怪念头。
数学家们，相对于其他的一批人，以其特有特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。
他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。
预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。
数是基本的，数学是仰望宇宙的透镜。
对于数字的分类就有很深的学问。
如果你不知道什么叫无理数？
那么你就不知道圆周率里的数字会不会出现循环？
你就不知道圆周率能不能成为一个代数方程的根。
你就不知道圆周率的根号二次方是什么东西？
因此，数字是一个黑暗的大海，你所到达的海滨，所见到的浪花……
是一朵，还是两朵？……
广义相对论更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。得Fields奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”
在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。
宗教在理解宇宙的时候往往是带有很大的欺骗性。虽然有的宗教劝人向善，有的提倡与世无争。
我们仰望星空，俯仰天地，态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。一直到现在，还是这样的，很多人心灵极端苦闷，因为他想理解宇宙，而苦苦地上下求索而没有结果，于是萌生了自己发明一个怪异理论的奇怪念头。
数学家们，相对于其他的一批人，以其特有特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。
他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。
预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。
数是基本的，数学是仰望宇宙的透镜。
对于数字的分类就有很深的学问。
如果你不知道什么叫无理数？
那么你就不知道圆周率里的数字会不会出现循环？
你就不知道圆周率能不能成为一个代数方程的根。
你就不知道圆周率的根号二次方是什么东西？
因此，数字是一个黑暗的大海，你所到达的海滨，所见到的浪花……
是一朵，还是两朵？……
广义相对论更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。得Fields奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”
在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-28 18:59:00
（3）
虽然有的大数学家喜欢考古，能考证出欧几里得之前的大数学家尤多克索司具有非凡的数学才能。
但对大多数人来说， 欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在明朝的徐光启时代。徐光启和一个叫利玛窦的外国人翻译了这本书，从此中国才开始有了完整的数学书。利玛窦是一个西方来华的传教士，传教士能影响中国的历史脉动，这是历史上很奇特的现象。后来的传教士汤若望影响孝庄皇太后选择了八岁的康熙成为大清帝国的皇帝。这不免让人想起蝴蝶效应，假如当时康熙没有继承顺治的皇位，那么你还有没有可能在这里看书呢？
《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，有的人勉强结巴能说出来说所有直角全相等，……第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。这一条对铺设高压电线的工人来说，是无比正确的。但有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。
《几何原理》好象是一个古代数学的神庙，它有五个巨大的石头做为地基。但第五块石头，有的人认为，靠不住。
爱因斯坦的广义相对论，与第五公设这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的演义往往与数学相隔遥远，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。
第五公设折磨了一代又一代的人。当他折磨到高斯的时候，这个折磨就告结束，高斯得到了新的几何学，他称之为星空几何。但高斯的数学成就太大，他是一个保守的革命者，没有发表这个结果。高斯的数学成绩很大，以至于他上了德国的货币，以前的德国人花钱的时候，总是要看到高斯的头像。欧几里德的几何学，是关于平坦空间的几何学，在这个几何里有非常不明显的假定，这个假定说：矢量在平面上平行移动不变。
这是一个致命的假定。它其实相当于初等几何王国的宪法中的某条款。在中国现在的宪法里，也有人人平等的条款。但当发生车祸的时候，往往出现农村户口和城市户口的赔偿有天壤之别的时候。
在某些时候，人们似乎总能够违背宪法。
违背宪法貌似很恐怖，但其实上在某些时候是不得不违反宪法。
总之，数学家在经历了多年的沉默之后，终于有勇气违反初等几何王国的宪法中的某条款：“矢量在平面上平行移动不变。”！
真正广泛的几何学，它不仅仅要处理平坦空间里的情景。黎曼（Riemann）是研究弯曲空间几何学的大师。他死的时候才39岁，但他活着的时候一直很优秀，1854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，演讲的题目是《论几何学之基础》，这次讲演是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，几乎没有人能够听懂，频频点头表示赞同人只有一个人，是一个老头，名字叫高斯。 高斯很清楚黎曼在干什么，因为他自己干过星空几何。
这个故事发生在黎曼为了在大学得到讲师职位的时候。那为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这说明黎曼实在是太有才华了。一般地，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，都可能有这样的感受：
博导不如教授，教授不如副教授，副教授不如讲师。
这是正常的好大学必须的。我们知道，在当时，黎曼讲师是最伟大的，他后来的贡献繁多，以其在微分几何和复分析里的伟大建树影响历史，现在的黎曼猜想还在领导数学的潮流，这个猜想说黎曼级数的零点全在z=1/2这根直线上。在物理学里，黎曼级数在量子场论中经常出现，在相对论中，研究量子场在含有边界的区域的casimir效应，也要用到。
黎曼几何的出现，给爱因斯坦的引力理论，提供了一个先天的数学工具。历史表明，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。 黎曼几何是一部新的宪法，在那里存在某个全新条款：“矢量，一般得，在平行移动之下不能保持不变。”
这个条款的司法解释权归属于黎曼，或者是列维——西维塔。“如果矢量平行移动不变，那么它不是一般的矢量，它一定是测地线的切矢量。”
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-28 19:36:00
（4）
英雄时代的一个伟大人物是黎曼，他告诉人们，矢量平行移动后保持不变这不是一个亘古的箴言。
其实，更奇怪的事情还有呢。
“ 今月也曾照古人。”这是李白说的。看到月亮，文人总说烟笼寒水月笼沙，寂寞啊寂寞，其实很多人对月球有一些基本的问题，比如为什么月球在公转的时候总是以同一面对向地球，更深刻的问题是：“人不看月亮的时候月亮是否存在？”
这个问题起源于量子力学。
先在这里简单而且迫切地解释一下量子力学。
量子力学是处理一氧化碳分子和电子这样的尺度上的物理理论。
如果认为量子力学理论可以推广到宏观世界，那么月球就象是一个电子，它的位置和动量不能同时确定。那么我们必须用波函数来描述这个电子，而在波函数中，电子在不同的位置具有不同的出现概率，确定电子的位置依赖于观测电子的人的行为——这就是波函数的坍塌。
换句话说，在没有人观测电子的时候，电子其实并不以一个粒子的状态存在。
那么，在没有人看月亮的时候，月亮还存在吗？
在量子力学理论中，科学家把宏观物体从量子世界跑到经典的牛顿世界的过程称为量子退相干。
量子退相干是一个秘密！
我们先暂时不谈论量子理论。
再比如说，1665年，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关满人开始在中国执政的时代。英国的剑桥大学三一学院毕业了一个本科生，一个叫牛顿的人，因为伦敦地区闹瘟疫他回到了乡下老家，伍尔索普领地。牛顿在乡下的一年半，后来被证明只有爱因斯坦在瑞士专利局的1905年，可以媲美。牛顿解决了一个千古之谜，他发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而广义相对论，就是研究万有引力的。
牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前，几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿！ 牛顿的少儿暴怒症起因在于他曾经是一个遗腹子，并且在少年时代受过贫穷和冷眼。鲁迅在《父亲的病》里也表现出同样的对世态炎凉的理解。
在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，仅这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现，比如微积分和白光的七色分解。盖棺论定套用李敖的话说：“牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。 ”
当然牛顿有很多大的贡献，他的微积分也是一门艺术。
没有微积分，人们不能知道一段抛物线的长度。
英雄时代的一个伟大人物是黎曼，他告诉人们，矢量平行移动后保持不变这不是一个亘古的箴言。
其实，更奇怪的事情还有呢。
“ 今月也曾照古人。”这是李白说的。看到月亮，文人总说烟笼寒水月笼沙，寂寞啊寂寞，其实很多人对月球有一些基本的问题，比如为什么月球在公转的时候总是以同一面对向地球，更深刻的问题是：“人不看月亮的时候月亮是否存在？”
这个问题起源于量子力学。
先在这里简单而且迫切地解释一下量子力学。
量子力学是处理一氧化碳分子和电子这样的尺度上的物理理论。
如果认为量子力学理论可以推广到宏观世界，那么月球就象是一个电子，它的位置和动量不能同时确定。那么我们必须用波函数来描述这个电子，而在波函数中，电子在不同的位置具有不同的出现概率，确定电子的位置依赖于观测电子的人的行为——这就是波函数的坍塌。
换句话说，在没有人观测电子的时候，电子其实并不以一个粒子的状态存在。
那么，在没有人看月亮的时候，月亮还存在吗？
在量子力学理论中，科学家把宏观物体从量子世界跑到经典的牛顿世界的过程称为量子退相干。
量子退相干是一个秘密！
我们先暂时不谈论量子理论。
再比如说，1665年，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关满人开始在中国执政的时代。英国的剑桥大学三一学院毕业了一个本科生，一个叫牛顿的人，因为伦敦地区闹瘟疫他回到了乡下老家，伍尔索普领地。牛顿在乡下的一年半，后来被证明只有爱因斯坦在瑞士专利局的1905年，可以媲美。牛顿解决了一个千古之谜，他发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而广义相对论，就是研究万有引力的。
牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前，几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿！ 牛顿的少儿暴怒症起因在于他曾经是一个遗腹子，并且在少年时代受过贫穷和冷眼。鲁迅在《父亲的病》里也表现出同样的对世态炎凉的理解。
在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，仅这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现，比如微积分和白光的七色分解。盖棺论定套用李敖的话说：“牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。 ”
当然牛顿有很多大的贡献，他的微积分也是一门艺术。
没有微积分，人们不能知道一段抛物线的长度。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-28 20:11:00
（5）
其实我们可以用铁丝去重合画在纸张上的抛物线，然后把铁丝拉直了，用尺子来测量铁丝的长度。
这种测量是非常物理的，甚至在有些时候可以逼近微积分的结果，或者说是一个好的近似，但理论物理的魅力在于，有些事情不是实验可以逼近的，首先必须有新的思想。
物理学最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年，出版的时候，作者已经快死了，原因是因为这本书在当时是一本很反动的书，著者选择在临死之前出版它，是一种对自己负责的态度。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家，一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事，康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵，一是人类的道德情操，一是我们头顶的星空。可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切，全来自星云的演化，这是一个比生物进化论更强大的进化的观点。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政。国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程。拉普拉斯算子的四维形式是达朗贝耳算子。达朗贝耳算子可以被开方，得到狄拉客（dirac）算子，dirac算子背后是一片原始森林， dirac是20世纪最伟大的物理学家之一，他和薛定格一起得到1933年的诺贝尔奖金。薛定格说：“我们得奖的时候，dirac还非常年轻，我是带着我老婆去领奖的，但dirac是带着他妈妈去的”。由此可见，dirac是曾经是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对论和量子力学结合起来的道路。关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。 当然经典物理学中也有离散谱，例如驻波。
回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是虚头八脑地研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把银河系当做尘埃？
广义相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，似乎不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。
无论如何，相对论还是一如既往地预备去理解宇宙。
而概率也是很重要的，因为它出现在量子力学的波函数中。
概率很重要，研究概率不但对赌徒有意义，对于很多人同样具有非凡的意义，比如一年内有20万人到了某机场，那么在10小时内，有200人到达机场的概率是多少？
假如到达机场的人近似满足泊松分布的话……
故事还很长很长。
20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。广义相对论是“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声。
dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。
这个美，引得无数英雄竞折腰。
是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。
其实我们可以用铁丝去重合画在纸张上的抛物线，然后把铁丝拉直了，用尺子来测量铁丝的长度。
这种测量是非常物理的，甚至在有些时候可以逼近微积分的结果，或者说是一个好的近似，但理论物理的魅力在于，有些事情不是实验可以逼近的，首先必须有新的思想。
物理学最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年，出版的时候，作者已经快死了，原因是因为这本书在当时是一本很反动的书，著者选择在临死之前出版它，是一种对自己负责的态度。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家，一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事，康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵，一是人类的道德情操，一是我们头顶的星空。可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切，全来自星云的演化，这是一个比生物进化论更强大的进化的观点。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政。国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程。拉普拉斯算子的四维形式是达朗贝耳算子。达朗贝耳算子可以被开方，得到狄拉客（dirac）算子，dirac算子背后是一片原始森林， dirac是20世纪最伟大的物理学家之一，他和薛定格一起得到1933年的诺贝尔奖金。薛定格说：“我们得奖的时候，dirac还非常年轻，我是带着我老婆去领奖的，但dirac是带着他妈妈去的”。由此可见，dirac是曾经是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对论和量子力学结合起来的道路。关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。 当然经典物理学中也有离散谱，例如驻波。
回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是虚头八脑地研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把银河系当做尘埃？
广义相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，似乎不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。
无论如何，相对论还是一如既往地预备去理解宇宙。
而概率也是很重要的，因为它出现在量子力学的波函数中。
概率很重要，研究概率不但对赌徒有意义，对于很多人同样具有非凡的意义，比如一年内有20万人到了某机场，那么在10小时内，有200人到达机场的概率是多少？
假如到达机场的人近似满足泊松分布的话……
故事还很长很长。
20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。广义相对论是“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声。
dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。
这个美，引得无数英雄竞折腰。
是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 10:25:00
第二章 一个美丽的椭圆
（1）
现在市场上会出来一些很奇怪的书，比如一本书的题目可能是《世界是平坦的》，或者《世界是椭圆的》。对于地球来说，它绕着太阳运动的空间轨道近似是一个美丽的椭圆。这对于人类有很重要的意义。
如果你看过一本叫做《天遇》的书，那你也许知道，在一般的三体运动中，行星的运动是非常复杂的，在那里行星的运动轨道是不稳定的，一个空间尘埃撞击地球，都可能把地球撞出预先的轨道，而在10年之后地球将在何处，没人可以知道。
在这里做出了重要的贡献的中，有一个是叫夏志宏的中国人。
当然三体问题是很复杂的，一开始的故事是仅仅考虑太阳很地球这2个星体的关系。
刚开始的故事是这样的：
1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子，所以他后来有半个金鼻子，长相显得非常怪异。他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人，但第谷的本意，好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中，那是在1630年，他几个月领不到薪水，经济困难，不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧，几天后在贫病交困中去世。他去世的时候，觉得自己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力，全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。
但开普勒的几本书《新天文学》和《宇宙和谐》先后给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛，往往不够，这个定理说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。
这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不好，相比第谷，他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。
他的行星运动第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。
值得人们深思的是，这个椭圆是稳定的，也就是说，当太空尘埃撞在地球上的时候，地球会晃动，当地球会继续保持椭圆运动。物理上这被称为微扰论。
地球和太阳这个地日系统的稳定性是一件可喜可贺的事情。在这个意义上,世界是椭圆的。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 11:09:00
(2)
世界是椭圆的。
根据牛顿万有引力和理论力学，地日系统是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。这个椭圆轨道是稳定的。
可惜牛顿万有引力在引力场很强的时候是不正确的。
因此世界不是椭圆的。
在广义相对论之前，我们还是要继续看一下牛顿万有引力。
首先问自己什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n维流形嵌入到高维空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情被一个华人数学家周炜良做过了。可惜的是，周炜良的结果只能处理复流形，而不能处理实流形。
解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿，也就是说，计算椭圆的周长肯定是一个积分，但这个积分积不出来，或者说积分的结果不能表达为初等的函数。什么是初等函数呢？多项式函数，以及象sinx这样的函数——其实全可以用exp（x）生成……。
先不说椭圆积分。
虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，Bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。
在牛顿万有引力中，行星运动的轨道是一个椭圆，很多人没有注意的一个严重的事实是：“椭圆是封闭的”。封闭的椭圆具有对称性，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候杨振宁认为，Noether的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。
龙格—楞次矢量不是显然的，但只要一个人相信Noether的理论，就可以猜出这个矢量的存在。
后来你将看到，龙格—楞次矢量可以在广义相对论中得到推广，那就是卡特张量。是一个对称的2阶张量。
世界是椭圆的。
根据牛顿万有引力和理论力学，地日系统是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。这个椭圆轨道是稳定的。
可惜牛顿万有引力在引力场很强的时候是不正确的。
因此世界不是椭圆的。
在广义相对论之前，我们还是要继续看一下牛顿万有引力。
首先问自己什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n维流形嵌入到高维空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情被一个华人数学家周炜良做过了。可惜的是，周炜良的结果只能处理复流形，而不能处理实流形。
解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿，也就是说，计算椭圆的周长肯定是一个积分，但这个积分积不出来，或者说积分的结果不能表达为初等的函数。什么是初等函数呢？多项式函数，以及象sinx这样的函数——其实全可以用exp（x）生成……。
先不说椭圆积分。
虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，Bertrand定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。
在牛顿万有引力中，行星运动的轨道是一个椭圆，很多人没有注意的一个严重的事实是：“椭圆是封闭的”。封闭的椭圆具有对称性，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候杨振宁认为，Noether的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。
龙格—楞次矢量不是显然的，但只要一个人相信Noether的理论，就可以猜出这个矢量的存在。
后来你将看到，龙格—楞次矢量可以在广义相对论中得到推广，那就是卡特张量。是一个对称的2阶张量。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 13:53:00
（3）
世界不是椭圆的。
离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，广义相对论的修正最明显，之前，1859年的天文学家已经观测到水星近日点存在进动，也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆，近日点不是固定的一个点。但问题是没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，在引力比较强的时候，也是不对的。
爱因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动，爱因斯坦认为水星是太阳这个史瓦西时空里做自由运动的质点，它的世界线是测地线。这个测地线投影到三维空间不是一个封闭的椭圆。他计算水星轨道的进动基本符合天文观测，这是对广义相对论的三大验证之一。
广义相对论还有其他的可观测效应。
光不是永远都走直线的。
1919年的时候，英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，因为日全食的时候，太阳被遮挡了起来，在地球上可以在白天就可以看到太阳背后的星光。爱丁顿领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。当时正是第一次世界大战，德国和英国是敌对国，所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了，报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答说：“没有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信还会出现别的结果。”
1919年爱因斯坦的声望如日中天。
黄仁宇写了一本书，叫《万历15年》，或者说《1587，a year of no significance》。在万历15年这个并不特殊的年代来做横断面，但书写的非常有意思。
他一直在提倡一种大历史观。
1919年是一个特殊的年代，在中国因为五四运动，新文化思潮，民主和科学理念开始传播；在科学史上，1919年，爱因斯坦的理论被大众广泛传播。当时的报纸上还出现了一副漫画，漫画的题目是《爱因斯坦抓小偷》，意思是小偷在黑暗里盗窃，但因为光线偏折，小偷还是被人发现了。
总的说来，1919年是一个历史的横断面。
1919，a year of significance
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 14:30:00
（4）
虽然1919年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们，质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引，这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样，肚子不由自主地膨胀。但目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，已经成为了21世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云，这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安。情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整个宇宙的100%，后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说，“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”。质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代Schoen和Yau对该猜想的的证明。更加简单的证明出自威腾，用的是旋量和超对称的方法。
当然，如何定义质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题，在正质量猜想里的是ADM质量（Arnowitt，Deser，Misner）。
牛顿的万有引力是瞬时超距作用的，也就是说，假如现在太阳突然消失了，那么地球马上就会因为离心力摔出去。实际上按照爱因斯坦理论的线性引力近似（不是牛顿近似），得到的引力波具有光速。这说明，引力的传播和电磁波一样，其实是需要时间的。但是假如按照牛顿万有引力，辐射引力波的星体会越辐射质量越大——这情景很象是一个在健身房汗流浃背的女孩子，人们看到她流了很多汗，但身子却同时在变胖。所以，牛顿万有引力是无法处理引力辐射的。引力辐射问题或者说引力波问题到今天还是一个没有解决的大问题。
在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。
有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹，现在关于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。现在在剑桥和在牛顿的乡下老家，还是有2棵备受政府保护的苹果树。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆，也许是相互勾引，——后来两人一起私奔。
1727年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的：“他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。“牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：“自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。”
牛顿是一个聪明人，他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家Abel证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解， Hermite证明可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而广义相对论在经历了1980年代的超引力之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在超弦理论这个量子引力的理论中，椭圆函数等等，也全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。
椭圆的故事到这此就结束了。
下一章我们要看一看抛物线。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 14:49:00
第三章 抛物线：等效原理
（1）
牛顿引力虽然不能精确地描述引力，但它依然是一个非常强大的理论。
在我们太阳系的行星运动规律中，因为太阳的质量不是很大，所以太阳的引力场不是很强，我们用牛顿引力理论来处理发射火箭这样的问题也是足够了。爱因斯坦的引力理论告诉人们，时空容易被引力弯曲。
我们知道，在测量汽车是不是超载的时候，要弯曲一块钢板，需要一辆20吨的大卡车压在钢板上面。假如是一辆小汽车，一般来说，钢板是不会明显弯曲的。
空间总的说来，比一般的钢板要难弯曲一点。
好的物理学家能做出正确的估计。我们这里仅仅是泛泛而谈。
只是想说，在引力场不是很强的时候，我们不需要考虑空间的弯曲。
1841年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843年10月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。
另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G伽勒寻找这颗未知的行星。1846年9月23日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35岁。
亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。
水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带。它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。
但前面已经说过，20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实说明，椭圆不能精密描述行星运动。
在牛顿引力里，要处理的更加复杂的事情已经没有了，要有的话，就是三体运动，或者土卫七的混沌自转这样的问题了。
（1）
牛顿引力虽然不能精确地描述引力，但它依然是一个非常强大的理论。
在我们太阳系的行星运动规律中，因为太阳的质量不是很大，所以太阳的引力场不是很强，我们用牛顿引力理论来处理发射火箭这样的问题也是足够了。爱因斯坦的引力理论告诉人们，时空容易被引力弯曲。
我们知道，在测量汽车是不是超载的时候，要弯曲一块钢板，需要一辆20吨的大卡车压在钢板上面。假如是一辆小汽车，一般来说，钢板是不会明显弯曲的。
空间总的说来，比一般的钢板要难弯曲一点。
好的物理学家能做出正确的估计。我们这里仅仅是泛泛而谈。
只是想说，在引力场不是很强的时候，我们不需要考虑空间的弯曲。
1841年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843年10月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。
另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G伽勒寻找这颗未知的行星。1846年9月23日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35岁。
亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。
水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带。它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。
但前面已经说过，20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实说明，椭圆不能精密描述行星运动。
在牛顿引力里，要处理的更加复杂的事情已经没有了，要有的话，就是三体运动，或者土卫七的混沌自转这样的问题了。
楼主：轩轩爱 时间：2006-10-29 17:58:00
（2）
在另外的一个侧面，抛物线也蠢蠢欲动，它终于也粉墨登场，进入引力历史的舞台。从抛物线中可以看到等效原理。
首先你可以在教室里抛一个粉笔头……
然后你对这个粉笔头花过的狐线进行分析。
在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线，比如一个中学生在操场上跑圈。在空间上来看，他的轨迹在400米标准跑道内，但看他的世界线，仿佛是庙宇里的一个盘香,是螺旋上升的曲线。而“Dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称”，这样的看法还为时尚早，我第一次看到这个话的时候，还是在超弦学友论坛上，那兴许是2003年的事情吧。 超对称和超引力使得1980年代的引力，有一抹清艳，霍金甚至相信N=8的超引力是终极理论，
先不说超引力，我们先来看看自由落体到底是怎么一回事情。
伽利略 (1564 ~ 1642年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考。十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在教堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关，而与摆角和摆锤的质量无关（当摆角a小于5度时，a=sin a），这真是一个出人意料的发现，简直可以作为上帝存在的明证。看这吊灯或者钟摆做出物理是一个很好的传统，江山代有才人出，比如为了证明地球在自转,法国物理学家傅科(1819——1868)于1851年做了一次成功的摆动实验,傅科摆由此而得名。先不说地球自转和傅科。单说伽利略他大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程。
他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师，聪颖过人，心比天高，这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。 牛顿说自己是站在巨人的肩膀上，其本来的意思之一是讽刺胡克身材太矮小。胡克现在还留在中学物理教科书里，以他命名的定理研究的是一个弹簧，说在弹性限度内，伸长与拉力成正比。胡克定理的动力学版本就是伽利略发现的简谐振动。
伽利略的第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”
这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。！
在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。
一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，这一点与单摆一样，再次证明上帝存在，抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象，说明这好象是一个内禀的几何效应。
简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力，是一种几何效应。 1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界。狭义相对论是在1905年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他坐在书桌边，突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,“我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,’如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。’“
换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。
作者：夜雨秋凉 时间：2006-10-31
00:44:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-01 12:08:00
（3）
黄浦江畔，高耸如云的东方明珠塔。
如果你站在东方明珠塔上，朝下俯瞰，看到美丽的大上海，但你知道自己不能跳下去，因为引力能量贮藏在你的身体里。
我们真的了解引力势能吗？
在序文中谈到，引力虽然很弱，但它却能引起跳楼自杀的人毙命。这背后的原因，按照牛顿引力，在于站在高处的人具有巨大的引力势能。
势能的存在在于牛顿引力是一个保守力。
类似的，静电力是一个保守力，存在一个标量势能。但电磁波的存在使得电场和磁场的洛仑兹力不是保守力，我们必须引进矢量势和标量势。
引力是不是也有类似的情况呢？
先不做具体的分析。
同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得后来的人们发现了一些引力场不同于电磁场的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量密度。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程，电荷受恒。电场和磁场的总能量是一个洛仑兹不变量。如果一个静止的人看到一个静电场，在另外一个跑动的人看来，既有电场还有磁场，但他们两个人看到的电场和磁场的总能量是一样的，这就是说，电场和磁场的能量是可以局部到一点来谈论它的密度。引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往，一次一次开会讨论，但好象全是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。
引力与其他的几种力不同的一个原因就是在于引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。研究的领导人物是乃斯特（nester）。他在台湾中央大学，中华民国。他是德国人，在美国maryland大学跟惠勒的学生米斯纳读书的时候，他从 vincent moncrief那里学到很多。 vincent moncrief和他同年同月同日生，但乃斯特说， vincent moncriefhas been one of my heros。准局域能量是广义相对论最前沿的领域之一，我们暂且回避它。
当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的，比如Komar有一个定义，这个定义只要求时空存在一个类时的凯林（killing）场，就可以定义一个包围在2维球面内的空间的总质量，并且，这个总质量跟包围它的2维球面的选择没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了，说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量，结果是点电荷的电量，与曲面无关。
这是从等效原理就能够看出来的一个前沿问题。
在背后的原因在于引力是一个背景，因此引力其实可能不是一种力，而仅仅是几何学。
这需要在以后的章节里慢慢叙述，这里先给读者一个印象： 引力也许不是一种力。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-01 13:38:00
（4）
20世纪的头20年，爱因斯坦的的狭义相对论和广义相对论的发现导致了物理学的变化。设想在1905年爱因斯坦没有发现狭义相对论，估计洛仑兹或者别的物理学家也能很快的发现狭义相对论，因为电动力学里蕴涵了狭义相对论。
但广义相对论的发现是一个奇迹，在发现广义相对论的过程中，爱因斯坦几乎没有别的同伴。
历史的发展到底有没有必然性，在发现广义相对论这个历史事件里，似乎没有什么必然性，要是爱因斯坦没有发现它，也许其他的物理学家也不能在当时就发现广义相对论。
而爱因斯坦发现广义相对论的契机其实隐藏在抛物线里。
但很少有人在抛物线里看出引力是一个几何效应：不同质量的物体，在相同的初速度和抛射角下，轨迹互相重合。
轨迹与质量无关，这就是几何学。
其实抛物线还有其他的启示。
抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到。比如虫子的繁殖包括人类的繁殖，全可以用抛物线这个模型。在这个被称为非线性的领域，有一个叫郝柏林的中国科学家做出了贡献，他写了一本小书《从抛物线谈起》。
1974年，一个叫李天岩的中国人在美国的马里兰大学和他的导师约克得到了一个惊人的结果：“周期三必然导致混沌”。出现了周期三，其他什么周期都将出现。（李天岩当时并不知道沙尔可夫斯基的结论。）
而所谓周期三，其实就是你把函数迭代3次，就能看出周期性。
在这里不能很详细地研究混沌动力学和广义相对论之间那么深刻的关系，但相信它们之间存在某种关系。混沌动力学是20世纪后半个世纪里对经典物理的又一次突破。在这个过程之前，一个叫伯克霍夫的人做出了巨大的贡献，但我们要在以后才能遇见他。
唯一要注意的是：爱因斯坦的方程是非线性的，这种非线性的来历是引力子自己与自己的相互作用。当然这是比较粗糙的看法。
我们还没有讲到爱因斯坦方程。
爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。直观地看，似乎类似于圆是弯曲的，但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数和自然数一之间的关系。为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907年之后的这段时间内自觉地转向黎曼几何，他需要跟他的老同学数学家格罗斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。可以把测地线方程和牛顿第二定理放在一起看。我们就知道克氏符相当于惯性力。等爱因斯坦建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知，本来一些大数学家已经认为，微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了。高斯时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的黎曼几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。苏轼的庐山还有外面，但在广义相对论中，宇宙没有外面，人们永远只能在宇宙里面。如果把宇宙放在一个更加大的洪荒（bulk）里面，那就是膜宇宙模型了。
可能后来的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形（manifold）上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。在爱因斯坦当时那个时代，manifold这样的概念已经存在，就是1854年左右的Riemann引进的（Riemann引进的流形概念和现在的概念相差很大，真正的是在1901年Hilbert定义而在1913年由Weyl精确定义）。数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。《少年维特之烦恼》的作者歌德在这方面很烦恼，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。
总之，等效原理说惯性质量等于引力质量，这就意味着引力是一种几何效应。爱因斯坦方程是非线性的，它很复杂。
反过来，正因为爱因斯坦方程很复杂，我们可以用等效原理来想清楚一些事情。
比如搞清楚什么是惯性参考系。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-01 14:02:00
（5）
在上高中的时候，很多人会思考一个问题，那就是牛顿第二定律是正确的，那么我们为什么还要牛顿第一定律？
牛顿第二定律中，当加速度为零的时候，作用力为零。
但牛顿第一定律却不能省略。
原因在于，牛顿第二定律只在惯性参考系里才成立。——如果你想不清楚这个，你可以考虑一个由静止开始加速启动的火车，火车餐车里的人会发现，放在光滑水平桌子上的啤酒瓶会滑下来，掉到地上？但啤酒瓶根本就没有受到水平方向的力，它的运动状态为什么改变？
原因就在于，加速的火车不是一个惯性参考系。
因此，牛顿第一定律其实是定义了什么叫惯性参考系。
惯性参考系就是，在这个参考系里，不受力的物体总保持静止或者匀速运动状态。
这是一个很好的定义，但其实不具备可操作性。
宇宙中，又有什么东西是可以看作是惯性参考系呢？
我们能用等效原理了？
物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的（德国的物理学基尔霍夫认为热辐射的频谱函数仅仅是温度和频率的函数，但他得不出这个函数的具体形式，后来最终由普郎克得到，开始了关于辐射的量子理论）。电路中的等效原理叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性。
某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆，但接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。 synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会错误地以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。
这是一个错误的看法。几何学家一定不同意。 因为时空是否平坦，就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量，而不依赖于坐标系。 观察者和坐标系是同一个事物的2个说法。物理学家说的观察者，就是数学家口中的坐标系。
在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，——也就是说它在数学上只能是一个点，电梯没有大小，在电梯里，引力消失了。（假如电梯有大小，从数学上来说，这个时候引力场引起的测地偏离还是可以在电梯里看出来）。
几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。
总的说来，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个局部的惯性参考系。
如果你是一个执著的人，那么也许你会问，那么什么叫参考系呢？
现在唯一可以说的是，参考系是一个类时的矢量场。
简单地说，参考系是一群人。
在这里“人”是时空中的类时曲线，一群人就组成了参考系……
事情似乎变得越来越复杂了。
经济学现象里，买卖现象是很复杂的，我们可以用价值规律来想清楚一些事情。价格一般不会跑离价值太远。价值规律似乎是一只看不见的手在操纵着市场。
那么在广义相对论中，它的那只看不见的手会是什么呢？
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-01 14:12:00
第四章 平坦的闵氏时空和弯曲时空
(1)
我们又要出发了。
既然在上一章已经看到，引力是一种几何效应。
现在的问题在于，这个几何学到底是什么样子的呢？
引力背后的规律到底是什么？
我们要看清楚操纵着引力现象的那只神秘的手。
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。自由落体成为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642年，同一年牛顿诞生，而其自由落体的思想一直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，在一个古老的思想里发现了新的真理——发现了等效原理。
如果把广义相对论比作经济学，那么等效原理并不是价值规律。
广义相对论中的价值规律简单地说是早年的相对论学家惠勒最喜欢讲的一句话：
“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-02 09:49:00
（2）
因此说广义相对论最精华的部分不是等效原理，而是以下的等式。
物质分布==时空的弯曲
当然，对于爱好数学的人士，我们可以把它写成
T-ab=G-ab
著者暂时不想解释G-ab到底是什么东西，而它的来历是什么。但有一点可以肯定，那就是，这个等式被称为爱因斯坦方程，并且它的物理意义非同一般。
最出人意料的结果是：假如没有物质分布，时空也可能是弯曲的。——这一点是本书的重点之一，称之为真空爱因斯坦方程，它具有不同的种类，称为佩多夫（petrov）分类。
真空引起时空弯曲也可以类似于经济现象，一样东西它的价值为零，那么它的价格有可能不是零。根据这一原理，最近在市场上出现了卖空气的生意人。
接下来我们要解释什么是引力场，在广义相对论中，引力场就是度量。
如果问什么是流形上的度量，它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量（引起的黎曼曲率）刻画时空流形的弯曲。
古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。
柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。” 毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。
通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被邱成桐（S T yau）赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西——阿蒂亚——辛格指标定理。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2维平坦空间。
毕达哥拉斯定理在中国，被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公（这个人是周武王姬发的弟弟，周文王姬昌的儿子，我们注意到文王被拘蝤里城，传说发愤著《周易》，不过这事情可能不是真的）与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。
毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b的正方形内内接一个边长为c的正方形来作，利用面积相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方。
欧几里德初等几何的精华是勾股定理。他的平面几何暗中假定矢量在平行移动和转动下保持不变。在平面上2点之间的距离是直线段。
但前面说过，一般引力场（弯曲空间）没有这样高对称性。在引力场中研究勾股定理非常有意思。在给定一个弯曲空间，a和b是两点，问什么是a和b之间的距离。你可能会说，是它们之间的测地线吧，但它们之间的测地线唯一吗？存在吗？？假如在测地线上正好有一个点被人为挖去……
数学家发现可以用a和b之间的曲线的最短长度的下确界来定义它们之间的距离。那么什么是曲线的长度呢？？你用什么尺来量这个曲线的长度？答案是度量。度量就是生活中的尺。
度量=米尺，三角板，螺旋测微器+秒表
最后一项秒表是用来测量时间的，在非广义相对论的情况下， 不需要秒表。
写到这里，已经初步解释了度量的意思，换句微分几何的话说，度量是一个2阶对称张量。它的原始意义非常简单。
爱因斯坦张量G-ab可以由度量和它的微分一起表出。
作者：袁士霄 时间：2006-11-02
11:02:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-02 13:07:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-02 13:45:00
（3）
有了度量,我们就可以计算时空上2点之间的距离.
计算距离的方法其实就是勾股定理的推广.
勾股定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，隋朝以来的科举考试也没有想到要测试一下数学能力.
在外国,到了17世纪，有一个叫费马（Fermat）的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，他和帕斯卡讨论了赌博的概率问题,试图研究这样的问题:证明连续掷2个骰子24次,证明出现一对六的概率小于1/2.
再比如，在数论中，他就有费马大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a小的素数的个数引进了关于a的一个函数。判定一个数是不是素数还有一个定理就是威尔逊定理。费马在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，如果abc不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat大猜想,或者Fermat大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat大定理独领风骚三百年。
后来，据说这成了一种文化，在纽约地铁站，墙壁上可以看到这样的话：Fermat大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明，因为我的地铁来了。到了1995年左右，Fermat猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似于越王勾践，Andrew Wiles深闭门而不出，在普林斯顿研究所一度不发表任何文章，人们还以为他是在淡出学术届。他十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。
任何中学生都知道，毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。陈省身有一个比喻，大概意思是，微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人。衣服相当于坐标系，是可以更换的。但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量。
这相当于说,北京和广州之间的距离是2200公里,在飞机上测量和在卫星上测量,还是徒步测量,这个结果应该是不变的.
在广义相对论中,存在一个不变量,有了它,我们才可以列出等式.
在任何时候,不变量是很重要的,只有找到那些在变化的过程中保持不变的事物,才能成立一门可以研究的学问.
做学问就好象是在海滩的沙子上写字,沙子马上会被海浪抹平,字迹也会渐次地模糊,因此很多年以后,唯一还留下的往往不是沙滩上的字迹,而是那种在沙滩上写字的心情.
一旦在做学问的过程中抓住了不变量,一般来说,你永远也忘不掉了
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-02 14:46:00
(4)
如果你曾经看过kip.索恩的《黑洞与弯曲的时间》，你可能已经注意到第2章的标题下面印着几个小字：
“赫尔曼. 闵可夫斯基
统一了时间和空间
而爱因斯坦另它们发生了弯曲”
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他确实出生于当时俄国的 Alexotas ， (现在是立陶宛的Kaunas)。
闵可夫斯基年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的哥尼斯堡定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与Hilbert的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。
1900年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校ETH教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。
1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1月12日去世，年仅45岁。
急性阑尾炎在现在已经不会导致病人死亡，在北京一次手术费用为4000元即可痊愈。
闵可夫斯基在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。
闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。1907年，Minkowski猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和Einstein的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为“Minkowski时空“。
根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。
换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1分解是人为的，它破坏了本来的对称性。
狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。
闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”
假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。
4年后，1912年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。
学数学的大学生多数会被告诫，不要去直观想像一个黎曼面是什么样子。同样道理，在广义相对论中，不要去直观想像一个4维时空是什么样子。一个蚂蚁趴在篮球皮上，如果它不懂得数学，它无法判断篮球的形状和曲率。看了热力学和统计的书，很多人会计算一个3维球面或者一个4维球面的体积。但这对于相对论来说还不够，我们需要研究的不仅仅是他们的体积，还包括他们的曲率。
而平坦的闵可夫斯基时空，被称为是描写弯曲时空的爱因斯坦方程的一个平庸解。
如果你曾经看过kip.索恩的《黑洞与弯曲的时间》，你可能已经注意到第2章的标题下面印着几个小字：
“赫尔曼. 闵可夫斯基
统一了时间和空间
而爱因斯坦另它们发生了弯曲”
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他确实出生于当时俄国的 Alexotas ， (现在是立陶宛的Kaunas)。
闵可夫斯基年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的哥尼斯堡定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与Hilbert的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。
1900年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校ETH教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。
1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1月12日去世，年仅45岁。
急性阑尾炎在现在已经不会导致病人死亡，在北京一次手术费用为4000元即可痊愈。
闵可夫斯基在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。
闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。1907年，Minkowski猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和Einstein的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为“Minkowski时空“。
根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。
换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1分解是人为的，它破坏了本来的对称性。
狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。
闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”
假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。
4年后，1912年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。
学数学的大学生多数会被告诫，不要去直观想像一个黎曼面是什么样子。同样道理，在广义相对论中，不要去直观想像一个4维时空是什么样子。一个蚂蚁趴在篮球皮上，如果它不懂得数学，它无法判断篮球的形状和曲率。看了热力学和统计的书，很多人会计算一个3维球面或者一个4维球面的体积。但这对于相对论来说还不够，我们需要研究的不仅仅是他们的体积，还包括他们的曲率。
而平坦的闵可夫斯基时空，被称为是描写弯曲时空的爱因斯坦方程的一个平庸解。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-02 17:18:00
（5）
曲率最简单的当然是完全平坦的闵可夫斯基时空。时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群。这个群是10维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质，引力场退化，在经典广义相对论看来，这是一个虚空，没有多少有趣的东西。
闵可夫斯基时空是平坦的，看上去平淡无奇。数学家唐纳森等人在1983年发现，4维度的Minkowshi时空流形（是Euclidean空间，它与Minkowshi时空流形无法建立整体的微分同胚，但可以局部微分同胚）具有无穷多个微分结构。这个发现利用的是量子场论，结论是惊人的，因为其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。闵可夫斯基时空时空那样特殊，而人类生活其中，这简直成了又一个上帝存在的明证。
但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。麦克斯维（Maxwell）的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如电磁场的存在可能会引起时空的弯曲，因为电磁场有一个能动张量T-ab，一般情景下不为0。那么有没有在平坦时空上的电磁场呢？在欧几里得4维空间之上可以存在电磁场，当电磁场是自对偶或者反自对偶的时候，被称为瞬子。这个时候作用量是一个拓扑不变量，它对度量的变分为0，也就是能动张量退化。
而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹（unruh）也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现， 在Minkowski时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中，也就是说，这组加速观察者看不到整个Minkowski时空，而是存在一个看不到的区域，就是有一个视界，这个视界象一个黑洞视界一样，在热辐射粒子。波格留波夫变换是两套产生湮灭算子之间的线性变换，在弯曲时空量子场论中，这个变换可以产生的效果是把纯态变成混合态，把纯态变成混合态被认为是引力的作用效果。Minkowski时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi时空，人们到底晓得多少.。一直以为Minkowshi时空是真空，但它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海。
到这里我们基本看到了完全平坦的闵可夫斯基时空的一些高深的东西，但叙述远远不是严格而且通俗的。
而弯曲的时空则完全体现在度量和它的微分里，弯曲的程度由黎曼张量刻画。爱因斯坦当初请教了他的一个学数学的朋友格罗斯曼，他基本学会了微分几何，并且用之来描述引力场。
但在现在，你仅需要记得：引力场就是度量。
问题的关键在于“引力场”这三个字的前两个你似乎很清楚，但什么是“场”呢？还是让我们在下一章回顾一下。
作者：袁士霄 时间：2006-11-02
18:12:00
作者：袁士霄 时间：2006-11-02
18:16:00
作者：袁士霄 时间：2006-11-02
18:30:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 09:45:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 10:22:00
第五章 经典场
(1)
写到这里，其实想起《经典场》其实是一本书的名字，这本书的作者是纽约大学石溪分校的卡玫利（carmeli），他在这本书的扉页里写着：献给杨振宁。这本书已经在中国大陆出版。当时我在北京某书店看到这本书的时候，我暗想：中国现在能引进外国的很多书公开地出版了，这对中国科学的发展俨然是一件好事。
场是一个大家或多或少比较熟悉的概念。
在1980年代的中国，一台黑白电视机和一部叫做《射雕英雄传》的电视连续剧，曾经让多少七八年代出生的孩子魂牵梦萦。为什么一台电视机能在天空中接受到信号？如果电视机里出现了雪花，你可能还要出去摇一摇在屋子外面的天线。这其实就是电磁波在空间传播，虽然肉眼看不到它，但电磁波确实改变了历史。
引力波也将改变历史，如果引力波存在的话。
春秋战国末期，荆轲刺杀秦王嬴政。壮士慷慨悲歌，易水之滨，风萧萧兮易水寒。
荆轲在秦王王宫里，谎称燕国欲献城池于秦国，他献上城池地图，缓缓展开于嬴政面前，图穷而匕首现。
嬴政大惊失色，慌忙逃窜。
大殿之上，百官惊恐，无一敢上前施救于秦王。
荆轲奋力用匕首掷向秦王。
匕首却钉在了大殿的柱子之上。
嬴政拔出佩剑，将荆轲砍倒于地。
这一连串的画面发生在历史里，发生在我们的过去——我们现在全生活在这些画面的未来光锥里。假如在野外的太子丹送别荆轲的场景已经被光信号带到了2000光年之外，——在2000光年外的人还是可以看到当初易水之滨的悲壮的饯行场面。那么在大殿内的搏斗的场景如何被2000光年外的人看到呢？？如果有足够灵敏的机器可以探测到搏斗时候的引力波，那么这个引力波同样已经传到2000光年之外。虽然引力波的强度是非常非常弱的，但很多粒子物理学家相信它的存在，并且认为引力波的量子形式就是引力子。
引力子的自旋为2。如果你刚好熟悉量子场论，或者手头有徐一鸿的《quantum field theory in a netshell 》，或者有Peskin, M. E., 和 D. V. Schroeder合著的《 An Introduction to Quantum Field Theory》，你就可以知道，自旋为2的粒子，它们传递的相互作用力是吸引力。
（Peskin他们的书也已经在中国大陆出版）
但迄今还没有探测到引力子或者引力波。
读者们也许应该注意的是：引力波是爱因斯坦方程线性化以后的结果。换句话说，引力波是在平坦时空上传播的波动。
但其实我们的时空是弯曲的，因此引力波是一个值得商榷的概念。
后来的相对论专家彭罗斯企图用扭量方法在爱因斯坦方程的解里直接得到非线性引力波。但这个工作只实施了一半，被称为一个“瘸子计划”（leg-break）。这具体情节，让我们在以后漫谈。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 11:04:00
（2）
荆轲刺秦是中国历史上的大事——所谓大事就是这事件引起的蝴蝶混沌效应足可以是的你我都可能不能在历史上出现——幸运的是历史不存在假设。如果视历史为一个整体，等同于时间，换句粗糙的话来说，我们仅仅有一个时间。嬴政第一个在中国建立了统一的封建皇朝。六合平，天下定，嬴政修长城，建阿房宫。详细而有富有幻想的参考书是黄易的《寻秦记》。但我看到黄易还有上千万字的其他文字作品，使得我怀疑黄易不是一个人，而是一个集体创作的团队，类似于数学历史上一开始很神秘的的“布尔巴基”，这个学派其实是一个包括韦伊、迪厄多内、H.嘉当、谢瓦莱、德尔萨特在内的强大阵容。
为了防止刺客，在阿房宫这极度奢华的宫殿的大门上，安装了磁石。磁石产生的磁场可以吸引任何试图带着铁制匕首进宫行刺的刺客。当然在这种情景下，要想进阿房宫行刺嬴政，最好带上铜匕首或者金匕首。可惜的是，阿房宫没多久就被项羽给烧毁成一片焦土。
在中国历史上，除了指南针，阿房宫的磁大门是对磁场的伟大应用。因为地理南极合地磁北极有沈括发现的地磁偏角。所以指南针也不是完全指向正南方。地磁偏角的角度也许会随着时间偏大，到未来的某个时刻，指南针也许完全不在指向南方，而是指向东方了。当然地磁场和地磁偏角的起源不是广义相对论关心的重要内容。
电磁波是电磁场在时空中变化产生的。正如微积分是微分和积分这两种运算的统称，电磁场是电场和磁场的统称。在电磁波里电场和磁场的方向是相互垂直的，与电场与磁场都垂直的矢量就是波印廷矢量。
牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说，想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家，他有一些哲学思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空。19世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬时力相互吸引或排斥。
法拉第正式发现超距作用是错误的，并且找到了一个新的物理概念，那就是场。
比如在电荷与电荷之间，其实可以画上很多连接线，这些线被称为“法拉弟力线”。法拉弟力线的切矢量就是电场，而法拉弟力线的密度象征电场的强度。
法拉弟的力线是一个很直观的概念。
后来人们觉得在夸克与夸克之间也可以画上力线，把这个解释为弦（string），用来处理强相互作用的理论后来发展为弦论，组成了物理学江湖的一个大门派，这个门派在中国也吸引了大量的门徒。另外一帮人把力线画成了一个封闭的，称为loop，然后把场沿着封闭曲线积分，把这个积分的结果美其名曰“和乐”（holonomy），这个和乐对应的量子态是一个基本的激发态，这个结果一开始出现在离散的量子场论，后来被推广到处理引力。
总之，这一切思想，启蒙于法拉弟的力线。
法拉弟的力线是物理研究的典范，简单直观，思想深刻。
荆轲刺秦是中国历史上的大事——所谓大事就是这事件引起的蝴蝶混沌效应足可以是的你我都可能不能在历史上出现——幸运的是历史不存在假设。如果视历史为一个整体，等同于时间，换句粗糙的话来说，我们仅仅有一个时间。嬴政第一个在中国建立了统一的封建皇朝。六合平，天下定，嬴政修长城，建阿房宫。详细而有富有幻想的参考书是黄易的《寻秦记》。但我看到黄易还有上千万字的其他文字作品，使得我怀疑黄易不是一个人，而是一个集体创作的团队，类似于数学历史上一开始很神秘的的“布尔巴基”，这个学派其实是一个包括韦伊、迪厄多内、H.嘉当、谢瓦莱、德尔萨特在内的强大阵容。
为了防止刺客，在阿房宫这极度奢华的宫殿的大门上，安装了磁石。磁石产生的磁场可以吸引任何试图带着铁制匕首进宫行刺的刺客。当然在这种情景下，要想进阿房宫行刺嬴政，最好带上铜匕首或者金匕首。可惜的是，阿房宫没多久就被项羽给烧毁成一片焦土。
在中国历史上，除了指南针，阿房宫的磁大门是对磁场的伟大应用。因为地理南极合地磁北极有沈括发现的地磁偏角。所以指南针也不是完全指向正南方。地磁偏角的角度也许会随着时间偏大，到未来的某个时刻，指南针也许完全不在指向南方，而是指向东方了。当然地磁场和地磁偏角的起源不是广义相对论关心的重要内容。
电磁波是电磁场在时空中变化产生的。正如微积分是微分和积分这两种运算的统称，电磁场是电场和磁场的统称。在电磁波里电场和磁场的方向是相互垂直的，与电场与磁场都垂直的矢量就是波印廷矢量。
牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说，想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家，他有一些哲学思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空。19世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬时力相互吸引或排斥。
法拉第正式发现超距作用是错误的，并且找到了一个新的物理概念，那就是场。
比如在电荷与电荷之间，其实可以画上很多连接线，这些线被称为“法拉弟力线”。法拉弟力线的切矢量就是电场，而法拉弟力线的密度象征电场的强度。
法拉弟的力线是一个很直观的概念。
后来人们觉得在夸克与夸克之间也可以画上力线，把这个解释为弦（string），用来处理强相互作用的理论后来发展为弦论，组成了物理学江湖的一个大门派，这个门派在中国也吸引了大量的门徒。另外一帮人把力线画成了一个封闭的，称为loop，然后把场沿着封闭曲线积分，把这个积分的结果美其名曰“和乐”（holonomy），这个和乐对应的量子态是一个基本的激发态，这个结果一开始出现在离散的量子场论，后来被推广到处理引力。
总之，这一切思想，启蒙于法拉弟的力线。
法拉弟的力线是物理研究的典范，简单直观，思想深刻。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 11:24:00
（3）
以下主要是对法拉弟的简单介绍。
19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，每次要收钱1先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖·吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情，而且还让法拉第和仆人们一桌吃饭。法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功。”这说明锲而不舍是多么地重要。物理学实验不同于社会学的实验，戊戌变法失败后，政治教材告诉我们，这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取，民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国，于是，一个伟大的历史决定论就浮现了，只有社会主义才能挽救当时的中国。但是，在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败，不断战斗的精神。
日复一日，十年过去了。
直到1831年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。磁场产生了电流，他终于成功了！！
法拉第是这个黑暗长夜时代的光明。2004年的春节，在大街小巷到处都是SHE的新歌《superstar》，她们甜美可人的声音在城市的上空飘扬：“你是电，你是光，你是唯一的神话……你是意义……”
在这个灯红酒绿的花花世界，似乎她们的歌颂放在法拉第身上非常合适。
牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。场也就是传递力的“力线”。能量存在的方式之一就是场，物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场。如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子，它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家当时28岁的汤川秀树提出了介子，用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章，看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去。真是太有趣了，这个小球，就是传递相互作用的介子。 汤川秀树通过量子力学中最简单的测不准关系，依靠原子核的半径，就可以估计出介子的质量，其质量为电子质量的200倍。
这是一个大学物理系毕业的学生会做的估计，但汤川秀树的结果得到了诺贝尔奖。
简单地说，法拉弟认为场传递相互作用，而汤川秀树认为粒子传递相互作用，并且传递相互作用的粒子可能具有质量。
这些观念的进步就是时代的进步。虽然实际上在量子场论的程面上还不知道质量的起源是什么。而在广义相对论中，太阳的质量是一个自由的参数，而宇宙的总质量是一个谜——问题的严重性在于很多人不晓得如何来正确表诉这个问题。
“如果宇宙是从大爆炸开始，那么根据质量守恒，宇宙现在的总质量应该与大爆炸开始时候的总质量一样。”一个声音在脑子里说。
可惜这是不对的。
涉及到引力的时候，很多观念都要重新审视。
以下主要是对法拉弟的简单介绍。
19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，每次要收钱1先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖·吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情，而且还让法拉第和仆人们一桌吃饭。法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功。”这说明锲而不舍是多么地重要。物理学实验不同于社会学的实验，戊戌变法失败后，政治教材告诉我们，这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取，民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国，于是，一个伟大的历史决定论就浮现了，只有社会主义才能挽救当时的中国。但是，在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败，不断战斗的精神。
日复一日，十年过去了。
直到1831年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。磁场产生了电流，他终于成功了！！
法拉第是这个黑暗长夜时代的光明。2004年的春节，在大街小巷到处都是SHE的新歌《superstar》，她们甜美可人的声音在城市的上空飘扬：“你是电，你是光，你是唯一的神话……你是意义……”
在这个灯红酒绿的花花世界，似乎她们的歌颂放在法拉第身上非常合适。
牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。场也就是传递力的“力线”。能量存在的方式之一就是场，物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场。如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子，它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家当时28岁的汤川秀树提出了介子，用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章，看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去。真是太有趣了，这个小球，就是传递相互作用的介子。 汤川秀树通过量子力学中最简单的测不准关系，依靠原子核的半径，就可以估计出介子的质量，其质量为电子质量的200倍。
这是一个大学物理系毕业的学生会做的估计，但汤川秀树的结果得到了诺贝尔奖。
简单地说，法拉弟认为场传递相互作用，而汤川秀树认为粒子传递相互作用，并且传递相互作用的粒子可能具有质量。
这些观念的进步就是时代的进步。虽然实际上在量子场论的程面上还不知道质量的起源是什么。而在广义相对论中，太阳的质量是一个自由的参数，而宇宙的总质量是一个谜——问题的严重性在于很多人不晓得如何来正确表诉这个问题。
“如果宇宙是从大爆炸开始，那么根据质量守恒，宇宙现在的总质量应该与大爆炸开始时候的总质量一样。”一个声音在脑子里说。
可惜这是不对的。
涉及到引力的时候，很多观念都要重新审视。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 11:39:00
（4）
后来28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，这时候后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。” 麦克斯维听从了这个意见。
麦克斯维1831年出生在英国爱丁堡。1831年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！
麦克斯维不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与牛顿抗衡的人。他16岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，麦克斯维是一个土包子。三年后，19岁的他到剑桥三一学院，为一窥上帝之书。再后来麦克斯维就留在剑桥教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。
电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律。丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁。他注意到，每当接通电流时，磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期，安德烈·安培（Anure ， rtillpere）提出了一个理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力。安培是一个很用功的物理学家，人们在大街上看见一个人拿着粉笔跟着马车在跑，粉笔在车厢上画着，似乎是在算什么数学物理——哦，天啊，这个人把马车的车厢后背当作是黑板了！！磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道，他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系。24岁的麦克斯维发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。麦克斯维比起法拉第来，数学见长，其实后者几乎不懂数学，而前者对微积分了如指掌。1862年麦克斯维发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。1873年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这个理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成，召唤着相对论的诞生。
麦克斯维把那些定律统一起来，这必然需要微积分。现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，麦克斯维的方程组预言一点：光也是电磁波。牛顿时代以来，对于光是什么，讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案，麦克斯维基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了。
本书将按照彭罗斯等人的精神，把对类光测地线的分类当作侧重点之一来介绍现代相对论。实际上也很好理解，在目前这样的情景下，引力子没有探测到，能看到引力效应的现象比如光线偏折，引力透镜，……全是光子告诉我们的。
后来28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，这时候后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。” 麦克斯维听从了这个意见。
麦克斯维1831年出生在英国爱丁堡。1831年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！
麦克斯维不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与牛顿抗衡的人。他16岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，麦克斯维是一个土包子。三年后，19岁的他到剑桥三一学院，为一窥上帝之书。再后来麦克斯维就留在剑桥教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。
电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律。丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁。他注意到，每当接通电流时，磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期，安德烈·安培（Anure ， rtillpere）提出了一个理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力。安培是一个很用功的物理学家，人们在大街上看见一个人拿着粉笔跟着马车在跑，粉笔在车厢上画着，似乎是在算什么数学物理——哦，天啊，这个人把马车的车厢后背当作是黑板了！！磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道，他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系。24岁的麦克斯维发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。麦克斯维比起法拉第来，数学见长，其实后者几乎不懂数学，而前者对微积分了如指掌。1862年麦克斯维发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。1873年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这个理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成，召唤着相对论的诞生。
麦克斯维把那些定律统一起来，这必然需要微积分。现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，麦克斯维的方程组预言一点：光也是电磁波。牛顿时代以来，对于光是什么，讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案，麦克斯维基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了。
本书将按照彭罗斯等人的精神，把对类光测地线的分类当作侧重点之一来介绍现代相对论。实际上也很好理解，在目前这样的情景下，引力子没有探测到，能看到引力效应的现象比如光线偏折，引力透镜，……全是光子告诉我们的。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-03 11:56:00
（5）
在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量本身不是零，它能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。 什么叫洛仑兹号差（-，+，+，+）呢？我们知道，在三维空间可以用勾股定理，2个空间点之间的距离是三项平方和。在一个四维时空，2个时空点之间的时空距离是空间的三项平方和，然后减去时间的平方。
因此一个人要坐飞机从北京到杭州旅行。
A：飞机在北京首都机场起飞。
B：飞机到杭州萧山机场落地。
英文A和B是2个事件（event）。A和B之间的时空距离是是多少呢？
从北京到杭州的距离是x米，飞机飞行的时间是y秒。
相对论告诉我们，设A和B之间的时空距离的平方为D。则D==x^2 —yc^2
小写字母c表示光速.
以上的科普的讲法，在多如牛毛的相对论科普书上全可以看到雷同的说法。
类光矢量的长度也有洛仑兹号差的度量来定义，在这个度量下面，光子所走过的绝对距离总是零。
因此，类光矢量又被称为零矢量（null vector）。
本书按照现代的微分几何来通俗演义相对论,闵氏时空上的麦克斯维真空方程组可以写为:
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，著者也就不管了。（非专业读者可以跳过公式，一笑而过，如果觉得方程莫名其妙，那就随便翻一本微分几何的书，从微分形式开始学起。）
为什么这里的Maxwell是这样写的？
方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2形式场。这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。
方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶。
如果写成F=dA，其中A是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz规范条件。
在这个语言里，所谓瞬子其实很简单。
F=*F
如果你把F成了规范场强，那么这方程就是说场是自对偶的瞬子。
如果F=-*F，那么这就是反自对偶的瞬子。
以后可以再慢慢讨论这些。到这里已经是一整套关于电的理论。1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美，但不是很对称，因为，他的方程里有电荷，但没有磁荷。其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时，其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播，这就是辐射场。
辐射场和静电场是不一样的。
在广义相对论中，辐射场被称为类光电磁场，而静电场是非类光电磁场。
在相对论出现的道路上，麦克斯韦场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。
爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性，无质量场除了引力全具有共形不变性。因此甚至连黑洞的霍金辐射也有共形不变性，于是霍金辐射也可以被理解为是一个几何效应。但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质，因为很多人知道自旋为2的引力子质量为零，但真空爱因斯坦方程不是描述引力子的方程，退一步说应该是描述非线性引力子的方程。
在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量本身不是零，它能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。 什么叫洛仑兹号差（-，+，+，+）呢？我们知道，在三维空间可以用勾股定理，2个空间点之间的距离是三项平方和。在一个四维时空，2个时空点之间的时空距离是空间的三项平方和，然后减去时间的平方。
因此一个人要坐飞机从北京到杭州旅行。
A：飞机在北京首都机场起飞。
B：飞机到杭州萧山机场落地。
英文A和B是2个事件（event）。A和B之间的时空距离是是多少呢？
从北京到杭州的距离是x米，飞机飞行的时间是y秒。
相对论告诉我们，设A和B之间的时空距离的平方为D。则D==x^2 —yc^2
小写字母c表示光速.
以上的科普的讲法，在多如牛毛的相对论科普书上全可以看到雷同的说法。
类光矢量的长度也有洛仑兹号差的度量来定义，在这个度量下面，光子所走过的绝对距离总是零。
因此，类光矢量又被称为零矢量（null vector）。
本书按照现代的微分几何来通俗演义相对论,闵氏时空上的麦克斯维真空方程组可以写为:
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，著者也就不管了。（非专业读者可以跳过公式，一笑而过，如果觉得方程莫名其妙，那就随便翻一本微分几何的书，从微分形式开始学起。）
为什么这里的Maxwell是这样写的？
方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2形式场。这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。
方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶。
如果写成F=dA，其中A是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz规范条件。
在这个语言里，所谓瞬子其实很简单。
F=*F
如果你把F成了规范场强，那么这方程就是说场是自对偶的瞬子。
如果F=-*F，那么这就是反自对偶的瞬子。
以后可以再慢慢讨论这些。到这里已经是一整套关于电的理论。1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美，但不是很对称，因为，他的方程里有电荷，但没有磁荷。其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时，其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播，这就是辐射场。
辐射场和静电场是不一样的。
在广义相对论中，辐射场被称为类光电磁场，而静电场是非类光电磁场。
在相对论出现的道路上，麦克斯韦场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。
爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性，无质量场除了引力全具有共形不变性。因此甚至连黑洞的霍金辐射也有共形不变性，于是霍金辐射也可以被理解为是一个几何效应。但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质，因为很多人知道自旋为2的引力子质量为零，但真空爱因斯坦方程不是描述引力子的方程，退一步说应该是描述非线性引力子的方程。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 12:20:00
(1)
让我们先举两个事情来说明狭义相对论的效应。
第一个事情是著者假想的，有点夸张。
1984年在天安门广场上举行了盛大阅兵仪式，如果把在战斗机上的飞行员看做是参考系A，而把天安门城楼下金水桥上站岗的战士看做是参考系B。那么A和B看到邓小平向被检阅的战士举了一下手，邓小平的这个举手的动作是一个事件。如果我们假定战斗机是匀速直线运动，对于这个事件的描述，可以在A里进行，也可以在B里进行。但描述的结果是，邓小平举手的高度，A说邓小平举手的时候，他的手只到了肩膀这里，而B说，邓小平举手的时候，手是高过头顶的。那么到底谁是对的呢？
其实A和B之间存在一个洛仑兹变换。这个变化下，象高度，长度这样的概念，不是固定的——原因是因为空间是参考系依赖的。因此A和B这两个战士其实全做出了好的描述。
洛仑兹变换的出现可能会迷糊了很多人，其实这正是我们的第二个事例。
在1969年，苏联和中国在边界上有了军事摩擦，在珍宝岛上，双方边防军进行了小规模的战斗。在后来的谈判中，双方对到底是苏联士兵还是中国士兵首先开枪起了争执。
中国当时正在进行文化大革命，对相对论进行批判。一些批判相对论的人认为，假如爱因斯坦的狭义相对论是正确的，那么在珍宝岛上到底是哪一方先发射第一枚子弹成了不可判断真相的政治事件——因为时间也是参考系依赖的。
1969年的珍宝岛永远是一个谜，到底是哪一方先开枪？答案是这依赖于在那一个参考系来看，是坦克司机的角度，还是克里姆林宫的角度，还是天安门的角度，还是月球的角度，还是火星的角度，还是织女星的角度……角度太多了，在这些不同的参考系下，哪一方先开枪，确实是各有可能。
让我们慢慢地看看狭义相对论的简单历史。
让我们先举两个事情来说明狭义相对论的效应。
第一个事情是著者假想的，有点夸张。
1984年在天安门广场上举行了盛大阅兵仪式，如果把在战斗机上的飞行员看做是参考系A，而把天安门城楼下金水桥上站岗的战士看做是参考系B。那么A和B看到邓小平向被检阅的战士举了一下手，邓小平的这个举手的动作是一个事件。如果我们假定战斗机是匀速直线运动，对于这个事件的描述，可以在A里进行，也可以在B里进行。但描述的结果是，邓小平举手的高度，A说邓小平举手的时候，他的手只到了肩膀这里，而B说，邓小平举手的时候，手是高过头顶的。那么到底谁是对的呢？
其实A和B之间存在一个洛仑兹变换。这个变化下，象高度，长度这样的概念，不是固定的——原因是因为空间是参考系依赖的。因此A和B这两个战士其实全做出了好的描述。
洛仑兹变换的出现可能会迷糊了很多人，其实这正是我们的第二个事例。
在1969年，苏联和中国在边界上有了军事摩擦，在珍宝岛上，双方边防军进行了小规模的战斗。在后来的谈判中，双方对到底是苏联士兵还是中国士兵首先开枪起了争执。
中国当时正在进行文化大革命，对相对论进行批判。一些批判相对论的人认为，假如爱因斯坦的狭义相对论是正确的，那么在珍宝岛上到底是哪一方先发射第一枚子弹成了不可判断真相的政治事件——因为时间也是参考系依赖的。
1969年的珍宝岛永远是一个谜，到底是哪一方先开枪？答案是这依赖于在那一个参考系来看，是坦克司机的角度，还是克里姆林宫的角度，还是天安门的角度，还是月球的角度，还是火星的角度，还是织女星的角度……角度太多了，在这些不同的参考系下，哪一方先开枪，确实是各有可能。
让我们慢慢地看看狭义相对论的简单历史。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 12:22:00
第六章 狭义相对论
(1)
让我们先举两个事情来说明狭义相对论的效应。
第一个事情是著者假想的，有点夸张。
1984年在天安门广场上举行了盛大阅兵仪式，如果把在战斗机上的飞行员看做是参考系A，而把天安门城楼下金水桥上站岗的战士看做是参考系B。那么A和B看到邓小平向被检阅的战士举了一下手，邓小平的这个举手的动作是一个事件。如果我们假定战斗机是匀速直线运动，对于这个事件的描述，可以在A里进行，也可以在B里进行。但描述的结果是，邓小平举手的高度，A说邓小平举手的时候，他的手只到了肩膀这里，而B说，邓小平举手的时候，手是高过头顶的。那么到底谁是对的呢？
其实A和B之间存在一个洛仑兹变换。这个变化下，象高度，长度这样的概念，不是固定的——原因是因为空间是参考系依赖的。因此A和B这两个战士其实全做出了好的描述。
洛仑兹变换的出现可能会迷糊了很多人，其实这正是我们的第二个事例。
在1969年，苏联和中国在边界上有了军事摩擦，在珍宝岛上，双方边防军进行了小规模的战斗。在后来的谈判中，双方对到底是苏联士兵还是中国士兵首先开枪起了争执。
中国当时正在进行文化大革命，对相对论进行批判。一些批判相对论的人认为，假如爱因斯坦的狭义相对论是正确的，那么在珍宝岛上到底是哪一方先发射第一枚子弹成了不可判断真相的政治事件——因为时间也是参考系依赖的。
1969年的珍宝岛永远是一个谜，到底是哪一方先开枪？答案是这依赖于在那一个参考系来看，是坦克司机的角度，还是克里姆林宫的角度，还是天安门的角度，还是月球的角度，还是火星的角度，还是织女星的角度……角度太多了，在这些不同的参考系下，哪一方先开枪，确实是各有可能。
让我们慢慢地看看狭义相对论的简单历史。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 12:38:00
（2）
先看看数学领域和物理领域的2次新世纪会议。
1900年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23个世纪难题，其中包括费马大定理的证明，但不包括庞加莱猜想，庞加莱猜想出现于1904年，这个猜想说假如某三维流形具有与三维球面一样的同伦群，那么这个三维流形只能是三维球面。三维球面是二维球面的推广。一个篮球的表面就是一个二维球面。从一点出发，在篮球表面可以画很多不相交的封闭曲线。把这些封闭曲线集中起来，组成一个集合，这个集合大致上就是篮球表面的同伦群。数学家不习惯直接研究篮球，因为他们的志不在于成为篮球运动员。数学家研究篮球上的封闭曲线。这些封闭曲线给数学家非凡的快感。这些数学家被称为拓扑学家，他们和卡车司机的区别是拓扑学家找不到汽车内胎和面包圈的任何区别。
这个为什么提到庞加莱？
因为庞加莱差不多和爱因斯坦同时发现了狭义相对论。当因为庞加莱是一个数学家，他很难给他的发现以物理解释。
众多版本关于狭义相对论的故事也多数从1900年开始。
这一年，在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月, 他充满自信地说:物理学的大厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊—莫雷实验有关。 黑体辐射的理论曲线在紫外和红外全失效。迈克尔逊—莫雷实验则说明一个绝对静止的参考系不存在。但可惜开尔文看不清楚很多事情，他仅仅是一个对热力学比较熟悉的物理学家，否则他可能象希尔伯特一样，提出物理学的23个问题出来。
从开尔文的语言里可以看出来，那时候是世纪之初，确实有一种新时代的浮躁。没有人知道当时的物理学神殿压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中。
在爱因斯坦之前，物理学家洛仑兹和数学家庞加莱都已经在这个方向上作了大量的工作，用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是庞加莱变换群，而lorentz变换群就是poincare变换群的一个子群，洛仑兹变换群有4个互不连通的区域组成，这4个区域中包含恒等变换的那一片叫做固有洛仑兹群——其二重覆盖群就是SL（2，C）群，即旋量变换群。旋量就是在这个意义上与时空几何的关系情同手足，先暂且不提。但庞加莱似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。所以庞加莱虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲。但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。 在骨子里，poincare可能看不起爱因斯坦这个年轻的大学生，偶然地，数学家有的会对物理学家产生一定的鄙夷态度，以为物理学家不懂数学，玩起数学来象小丑一样。鄙夷往往是相互的，有的物理学家也就会鄙夷数学家，觉得他们沉静在一个虚幻的世界，显得有点幼稚。
先看看数学领域和物理领域的2次新世纪会议。
1900年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23个世纪难题，其中包括费马大定理的证明，但不包括庞加莱猜想，庞加莱猜想出现于1904年，这个猜想说假如某三维流形具有与三维球面一样的同伦群，那么这个三维流形只能是三维球面。三维球面是二维球面的推广。一个篮球的表面就是一个二维球面。从一点出发，在篮球表面可以画很多不相交的封闭曲线。把这些封闭曲线集中起来，组成一个集合，这个集合大致上就是篮球表面的同伦群。数学家不习惯直接研究篮球，因为他们的志不在于成为篮球运动员。数学家研究篮球上的封闭曲线。这些封闭曲线给数学家非凡的快感。这些数学家被称为拓扑学家，他们和卡车司机的区别是拓扑学家找不到汽车内胎和面包圈的任何区别。
这个为什么提到庞加莱？
因为庞加莱差不多和爱因斯坦同时发现了狭义相对论。当因为庞加莱是一个数学家，他很难给他的发现以物理解释。
众多版本关于狭义相对论的故事也多数从1900年开始。
这一年，在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月, 他充满自信地说:物理学的大厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊—莫雷实验有关。 黑体辐射的理论曲线在紫外和红外全失效。迈克尔逊—莫雷实验则说明一个绝对静止的参考系不存在。但可惜开尔文看不清楚很多事情，他仅仅是一个对热力学比较熟悉的物理学家，否则他可能象希尔伯特一样，提出物理学的23个问题出来。
从开尔文的语言里可以看出来，那时候是世纪之初，确实有一种新时代的浮躁。没有人知道当时的物理学神殿压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中。
在爱因斯坦之前，物理学家洛仑兹和数学家庞加莱都已经在这个方向上作了大量的工作，用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是庞加莱变换群，而lorentz变换群就是poincare变换群的一个子群，洛仑兹变换群有4个互不连通的区域组成，这4个区域中包含恒等变换的那一片叫做固有洛仑兹群——其二重覆盖群就是SL（2，C）群，即旋量变换群。旋量就是在这个意义上与时空几何的关系情同手足，先暂且不提。但庞加莱似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。所以庞加莱虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲。但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。 在骨子里，poincare可能看不起爱因斯坦这个年轻的大学生，偶然地，数学家有的会对物理学家产生一定的鄙夷态度，以为物理学家不懂数学，玩起数学来象小丑一样。鄙夷往往是相互的，有的物理学家也就会鄙夷数学家，觉得他们沉静在一个虚幻的世界，显得有点幼稚。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 12:53:00
（3）
某个时候，爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工学院)要聘请爱因斯坦当教授，庞加莱写了一封信，大大的夸奖了爱因斯坦一番,但最后一段比较微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从事的方向那么多，因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同。但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功，而某一个成功，就足够了。”
庞加莱于1912年去世，他的贡献可以彪炳千古，其在微分几何上有一个庞加莱引理，这个引理应该称为相对论和微分几何书籍中出镜率很高的明星引理。
该引理解决的问题是一个闭形式能不能整体地写成一个恰当形式，这句话翻译成物理语言是，假如我们知道电场，我们能不能对这个电场写出它的势函数？答案是不一定的，假如我们考虑一个封闭圆周上的电场线，你会发现，电场不是无旋的，因此不能整体引进一个势函数。对于这个，著者建议读者看齐民友的书《重温微积分》。这个书在市场上还有销售，并且售价不高，仅为39元人民币。
这完全不是为书做广告，因为这书卖的好不好，与著者完全没有关系。
庞加莱引理说，如果微分形式F=dA，称F是恰当的，那么dF=0；如果反过来，dF=0，称F是闭的，但不一定能有整体的F=dA，要想实现整体的F=dA这样的结果，要求流形是可以缩为一点的。庞加莱引理言简意赅，但很容易在三维欧空间上引出高斯-斯托克斯积分公式，以及格林公式。也就是大学物理里经常用到的“矢量场的梯度的旋度为零，旋度的散度为零”。
庞加莱引理也可以引出纤维丛的示性类。
所以把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是庞加莱引理。假如答不出来，那他一定是假的。
因此，我们在这里采用最简明的记号。
连续两次外微分dd=0
这就是庞加莱引理。
后来庞加莱去世了，有个数学界的组织者给爱因斯坦去了一封信，说要出个纪念文集来纪念庞加莱,爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁，信刚刚收到，估计已经晚了，偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系，你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说，由于事务繁忙，实在没力气写了，然后不了了之。
在当时的时代背景之下，要想发现狭义相对论是一个迟早的事情，不是庞加莱就是爱因斯坦，或者其他人，这个事情很容易完成，也就是所谓的历史必然性。因为狭义相对论完全地埋伏在麦克斯韦电磁方程里。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 13:04:00
（4）
麦克斯韦同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。普朗克（Max Plank）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈。从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天体物理学跟钱道拉塞卡做过研究，在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流，后来又与杨振宁合作证明了单位圆分解定理。湍流是非常重要的，国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流。瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子，但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情，在那个时候，热传导方程就不能再使用了。在那里，人们看到了湍流，纳维叶-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流。没有问题，湍流一直跟生活关系密切。
与生活有关的东西往往与混沌有关系，比如股票，比如天气预报，比如爱情。因此，要试图用数学的方法来认识生活。 但数学不能完全解释生活，这一点可以从当时的爱因斯坦身上看出。
1900年，爱因斯坦从ETH大学毕业，他的学习成绩不是很坏，作为当时的天之骄子，他难免意气风发，爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话，爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但是韦伯似乎不喜欢爱因斯坦，他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦，于是，爱因斯坦非常失望，对于前途的打算，被韦伯悉数破坏，韦伯不要爱因斯坦的原因是因为爱因斯坦在上大学期间没有表现出一个好学生的勤奋和循规蹈矩，爱因斯坦在课堂上几乎没有学到另自己振奋人心的物理。他沉默寡言，上大学要记笔记和写作业，一个叫米列娃的女生默默地帮助爱因斯坦做这些事情，爱因斯坦就开始爱上了米列娃，虽然她是斯拉夫人，并且腿有残疾。在爱因斯坦1905年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚,但女朋友米列娃就给他生了一个女儿，他的父母不喜欢米列娃，也不同意他们的婚事。因此据说他们的这个女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，最终在历史里这个女儿成为一个历史的谜。因为爱因斯坦的父母非常反对他与米列娃结婚。他找不到工作，四处碰壁，还做了一阵家庭教师，生活显示出巨大的不稳定性，就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸。为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信，但没有一个成功，爱因斯坦认为，很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他，韦伯一定说了不少坏话。
当时的爱因斯坦，大学刚毕业就失业，人生完全处于危机之中。而现在中国的大学生泛滥成灾，失业的人比比皆是。其实在这个大学生通货膨胀的环境中，按道理也许能出现中国的爱因斯坦。于是，2005年的相对论100年的时候，市场上出现了一本书《召唤中国的爱因斯坦》。
中国人在苹果树下象等待戈多一样等待着。
也许有一天，出现一个小孩，跑来告诉中国人，说：“哎呀，别等了，戈多说他不来了。”
这无疑似乎是中国人悲剧性的一幕。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 13:09:00
（5）
1902年，在爱因斯坦的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在瑞士伯尔尼的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作。这份工作是三等技术员，每天鉴定别人的奇怪发明，有大量的空闲时间可以自由思考。
早在16岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波，他想，如果一个人以光速运动，他看到的世界会是一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题，一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑。爱因斯坦之所以那样想，是因为牛顿告诉他惯性参考系的相对性。爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，虽然用光子来做参考系是没有意义的。但参考系是重要的，中国古代有庄周梦蝶的故事，很是朴素，大致是在说同样的事情。我上大学一年级的时候，第一次听到这个故事，觉得很惊人，朴素的思想，很大的奥妙。在运动学上，如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是，苍蝇与该人的地位是平等的，因为在苍蝇看来，人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单，在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski惯性系，这个参考系中，我们必须考虑时间和空间在一起的时空图：人的世界线是一条测地线，而苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线——形状非常象庙宇里的盘香——不是测地线。通俗地讲，在四维时空里看来，苍蝇和人，不具有同等的地位。
时间这个维度一定要被加了进来，一个四维的参考系，显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语，变成狭义相对论中最时髦的词语之一。 光子不能作为参考系，一个光子的世界线的切矢量是一个类光矢量。这里切矢量的概念是解析几何里对曲线求导数的四维推广。一个类光矢量在时空中积出一条类光曲线，表示光子的世界线。一个类光矢量可以在旋量的意义上开根号，得到一对共轭的二分量旋量。反过来，一个旋量可以决定时空里的一个类光矢量，类光矢量被称为该旋量的旗杆（flag ploe）。但光子还有其他的自由度，极化方向体现在旋量上被称为一个旗帜面（flag-plane），给定旗杆，旗帜面是可以转动的，这个事情在有风的星期一，任何小学操场上就可以看到。有了旗杆和旗帜面，光子就在时空中被确定下来。
光子= 旗杆+ 旗帜面
这就是彭罗斯用旋量语言描述光子的第一个形象的等式。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 13:20:00
（6）
狭义相对论的最主要的公式是洛伦兹变换，是洛伦兹最先给出的，但相对论的创始人却不是洛伦兹而是爱因斯坦。洛伦兹也认为，相对论是爱因斯坦提出的。
洛伦兹变换考虑闵氏时空上的线性变换，也就是说坐标系之间的海塞矩阵是一个常数矩阵。假如是非线性的变换，就可能把一个没有零温度的惯性参考系变成一个热辐射的参考系，这就是林德勒变换。
爱因斯坦推着婴儿车走在伯尔尼的林荫道上。
他一边走一边思考。
他的思考彻底改变了人们对时间和空间的几千年来的看法。
从麦克斯韦可以知道电磁波以光速传播，而且光速是一个恒定的常数。伽利略相对性原理说，物理规律在一切惯性系中都是相同的。麦克斯韦方程组在所有惯性系中都应成立，这就是说，光速在任何惯性系中都应该相同，都应是同一个常数c 。但同时按照伽利略相对性，惯性系之间可以差一个相对运动速度v 。依照速度(矢量)迭加的平行四边形法则，电磁波(即光波)的速度如果在惯性系A 中是c，那么，在相对于A 以速度v运动的另一个惯性系B 中，就不应再是c 了，而应是c＋v或c－v。但是，麦克斯韦电磁理论说光速只能是c ，不能是c＋v或c－v。那么，爱因斯坦意识到，一定有什么地方出错了。
下面的三条理论，肯定有某一条是错误的了。
(1). 麦克斯韦电磁理论，它要求光速只能是常数c；
(2). 相对性原理，它要求包括电磁理论在内的所有物理规律在一切惯性系中都相同；
(3). 伽利略变换，作为三维空间矢量迭加原理的平行四边形法则。
第（3）点后来看来不满足四维的相对论，原因是对于一个四维矢量，这个平行四边形法则不能继续使用。
因此，用现代的眼光来看问题，狭义相对论其实告诉我们，矢量合成的平行四边形法则只在三维空间成立。
假如时空是四维的，我们被迫忘记初中时代以来一直很熟悉的“平行四边形法则”。从此以后，我们要考虑的，全是四维矢量了。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 13:30:00
（7）
忘记平行四边形法则吧。
爱因斯坦想认定，前面的第（3）条是错的，在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。
不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”
根据狭义相对论，很容易得到“尺缩效应”，“钟慢效应”，这些比较全建立在2个不同的观察者之间，就比如我们一开始讲的二个战士。看法的不同是很正常的，因为他们看到了同一个四维矢量，在不同的坐标系下的表示，这些分量之间的联系就是洛伦兹变换矩阵。
狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出双生子悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911年4 月的演讲：“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。
双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的双生子悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章和教科书的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。
双生子悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian时空的切空间（Minkowski时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边。
因此，我们要记得的另外一句话是：“在狭义相对论中，两边之和小于第三边。”
可惜一直到现在，还有很多人在质疑相对论，他们的质疑反映了在中国科学普及的不足。狭义相对论诞生到现在已经100多年，纠缠在双生子悖论的人，渐渐落后于时代的步伐。
忘记平行四边形法则吧。
爱因斯坦想认定，前面的第（3）条是错的，在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。
不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”
根据狭义相对论，很容易得到“尺缩效应”，“钟慢效应”，这些比较全建立在2个不同的观察者之间，就比如我们一开始讲的二个战士。看法的不同是很正常的，因为他们看到了同一个四维矢量，在不同的坐标系下的表示，这些分量之间的联系就是洛伦兹变换矩阵。
狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出双生子悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911年4 月的演讲：“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。
双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的双生子悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章和教科书的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。
双生子悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian时空的切空间（Minkowski时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边。
因此，我们要记得的另外一句话是：“在狭义相对论中，两边之和小于第三边。”
可惜一直到现在，还有很多人在质疑相对论，他们的质疑反映了在中国科学普及的不足。狭义相对论诞生到现在已经100多年，纠缠在双生子悖论的人，渐渐落后于时代的步伐。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-04 13:33:00
（8）
因为麦克斯韦场方程在伽利略变换下是破坏的，我们不能只做空间上的变换，而保持时间不变。lorentz变换的出现，迫使人们接受一个四维的时空观。lorentz变换=空间变换+时间变换+保持2点之间的绝对距离不变。
天地者万物之逆旅，光阴者百代之过客。
当李白把时间和空间分离开来理解的时候，他没有想到的是，把时间和空间结合起来理解，具有非凡的快感。往来成古今，26岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空。到了1960年代，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被彭罗斯引进来，电磁场和引力场可以很好的写成优美的旋量形式。旋量具有天生的lorentz协变的性质。电磁场理论的出现打开了相对论的广阔的舞台，帷幕已经拉开，灯光已经打开，观众也已经就位，只等着好戏上台，这是一幕《天鹅湖》芭蕾，还是一幕相声，抑或是一幕京剧，或者是一场帕瓦罗蒂的音乐会，还是王菲的演唱会……来的人将会是谁？
爱因斯坦，霍金，彭罗斯，威腾……一个一个上台来了——科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。
因为麦克斯韦场方程在伽利略变换下是破坏的，我们不能只做空间上的变换，而保持时间不变。lorentz变换的出现，迫使人们接受一个四维的时空观。lorentz变换=空间变换+时间变换+保持2点之间的绝对距离不变。
天地者万物之逆旅，光阴者百代之过客。
当李白把时间和空间分离开来理解的时候，他没有想到的是，把时间和空间结合起来理解，具有非凡的快感。往来成古今，26岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空。到了1960年代，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被彭罗斯引进来，电磁场和引力场可以很好的写成优美的旋量形式。旋量具有天生的lorentz协变的性质。电磁场理论的出现打开了相对论的广阔的舞台，帷幕已经拉开，灯光已经打开，观众也已经就位，只等着好戏上台，这是一幕《天鹅湖》芭蕾，还是一幕相声，抑或是一幕京剧，或者是一场帕瓦罗蒂的音乐会，还是王菲的演唱会……来的人将会是谁？
爱因斯坦，霍金，彭罗斯，威腾……一个一个上台来了——科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。
作者：袁士霄 时间：2006-11-04
16:43:00
作者：轩轩爱 回复日期：2006-11-4 12:20:00
(1)
让我们先举两个事情来说明狭义相对论的效应。
第一个事情是著者假想的，有点夸张。
1984年在天安门广场上举行了盛大阅兵仪式，如果把在战斗机上的飞行员看做是参考系A，而把天安门城楼下金水桥上站岗的战士看做是参考系B。那么A和B看到邓小平向被检阅的战士举了一下手，邓小平的这个举手的动作是一个事件。如果我们假定战斗机是匀速直线运动，对于这个事件的描述，可以在A里进行，也可以在B里进行。但描述的结果是，邓小平举手的高度，A说邓小平举手的时候，他的手只到了肩膀这里，而B说，邓小平举手的时候，手是高过头顶的。那么到底谁是对的呢？
其实A和B之间存在一个洛仑兹变换。这个变化下，象高度，长度这样的概念，不是固定的——原因是因为空间是参考系依赖的。因此A和B这两个战士其实全做出了好的描述。
***************
轩轩兄的这个举例大意了。
如果你是说邓大人的手臂长度有尺缩效应，那么身体的其它部位也是等比例缩短的。
显然，我们不应该以视角变化说明狭义相对论效应。
(1)
让我们先举两个事情来说明狭义相对论的效应。
第一个事情是著者假想的，有点夸张。
1984年在天安门广场上举行了盛大阅兵仪式，如果把在战斗机上的飞行员看做是参考系A，而把天安门城楼下金水桥上站岗的战士看做是参考系B。那么A和B看到邓小平向被检阅的战士举了一下手，邓小平的这个举手的动作是一个事件。如果我们假定战斗机是匀速直线运动，对于这个事件的描述，可以在A里进行，也可以在B里进行。但描述的结果是，邓小平举手的高度，A说邓小平举手的时候，他的手只到了肩膀这里，而B说，邓小平举手的时候，手是高过头顶的。那么到底谁是对的呢？
其实A和B之间存在一个洛仑兹变换。这个变化下，象高度，长度这样的概念，不是固定的——原因是因为空间是参考系依赖的。因此A和B这两个战士其实全做出了好的描述。
***************
轩轩兄的这个举例大意了。
如果你是说邓大人的手臂长度有尺缩效应，那么身体的其它部位也是等比例缩短的。
显然，我们不应该以视角变化说明狭义相对论效应。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-05 14:39:00
作者：袁士霄 时间：2006-11-06
00:17:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 10:13:00
袁兄
时间机器的设计我想很难实现
但本质上不应该是狭义相对论效应 而应该是广义相对论效应(哥德尔时空的闭和类时曲线)
或者更加深的可能时空的拓扑效应(惠勒的虫洞)
但这不是现在技术上能实现的
我看过<老人的玩具>,一本好书.
广义相对论大尺度拓扑结构研究得到磁单极必然存在的结论.
这我没有注意到.但这不是正统的说法,磁单极的存在是量子力学的结论,也就是说,电荷量子化导致磁单极存在(dirac)
但这似乎也不是一个必然的结论
因为我觉得电子的电荷其实不是一个固定的常数,而只是一个象征电子与电场相互作用的耦合参数.这个参数,应该是会在高能量情景下跑动.
至于最后你的说法,
在广义相对论中,我们很少单独处理磁场,因为磁场不是一个协变的观念.
我们把电场和磁场放在一起,称之为电磁张量.
时间机器的设计我想很难实现
但本质上不应该是狭义相对论效应 而应该是广义相对论效应(哥德尔时空的闭和类时曲线)
或者更加深的可能时空的拓扑效应(惠勒的虫洞)
但这不是现在技术上能实现的
我看过<老人的玩具>,一本好书.
广义相对论大尺度拓扑结构研究得到磁单极必然存在的结论.
这我没有注意到.但这不是正统的说法,磁单极的存在是量子力学的结论,也就是说,电荷量子化导致磁单极存在(dirac)
但这似乎也不是一个必然的结论
因为我觉得电子的电荷其实不是一个固定的常数,而只是一个象征电子与电场相互作用的耦合参数.这个参数,应该是会在高能量情景下跑动.
至于最后你的说法,
在广义相对论中,我们很少单独处理磁场,因为磁场不是一个协变的观念.
我们把电场和磁场放在一起,称之为电磁张量.
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 10:37:00
第七章 二维球面
（1）
警察们把A级通缉令张贴满了大街小巷。
通缉令
2038年8月18日，一名蒙面男子在某小区制造连环杀人案。……该男子在小区监控摄象机下留下唯一画面是：该男子头发很长，似乎天灵盖的头发没有旋涡。……
一名数学家看到这个通缉令，迅速拨通了警察局的电话。
这是一个虚拟的故事。但有经验的看客会至少马上想到，通缉令中的犯罪嫌疑人根本就不可能存在。
早在100年前，拓扑学家就知道，在2维球面上，要想有一个处处光滑没有旋涡的矢量场那是根本不可能。
这涉及到几何与拓扑的对偶关系，本书将在后面适合的地方进行展开。本章的题目是《二维球面》，其主要的宗旨是通过我们最熟悉的地球或者篮球表面来展开对几何学展开进一步的观察。在第2章，我们可以从椭圆里学到很多东西，现在我们将从球面这里汲取精神上的娱乐。
以下两点，以后会很有用处，先写出来给那些比较急迫的读者：第一，所有的2维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann球和Poincare上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。第二，在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。
（1）
警察们把A级通缉令张贴满了大街小巷。
通缉令
2038年8月18日，一名蒙面男子在某小区制造连环杀人案。……该男子在小区监控摄象机下留下唯一画面是：该男子头发很长，似乎天灵盖的头发没有旋涡。……
一名数学家看到这个通缉令，迅速拨通了警察局的电话。
这是一个虚拟的故事。但有经验的看客会至少马上想到，通缉令中的犯罪嫌疑人根本就不可能存在。
早在100年前，拓扑学家就知道，在2维球面上，要想有一个处处光滑没有旋涡的矢量场那是根本不可能。
这涉及到几何与拓扑的对偶关系，本书将在后面适合的地方进行展开。本章的题目是《二维球面》，其主要的宗旨是通过我们最熟悉的地球或者篮球表面来展开对几何学展开进一步的观察。在第2章，我们可以从椭圆里学到很多东西，现在我们将从球面这里汲取精神上的娱乐。
以下两点，以后会很有用处，先写出来给那些比较急迫的读者：第一，所有的2维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann球和Poincare上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。第二，在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 10:54:00
（2）
古代的人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓普拉托（Plateau）问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上，这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想，区别与牛顿，lagrange化30年写了一本书，这本书是讲力学的，但全书没有一个图，lagrange非常自豪。
古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，航海家麦哲伦环球航行，他是一个冒险大王，他当然知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦的船队成功地回到了原来的出发点，（麦哲伦本人航行到菲律宾的时候被当地土著人杀害）大家才知道，原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个二维球面之上。但如若事后诸葛，仔细看一下，人类的武断似乎让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
我们算大概了解了地球的外形：它是一个蓝色的2维球面。如果你对此深表怀疑，最好的方法是向中国的第一位上过太空的航天员杨利伟求证。
古代的人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓普拉托（Plateau）问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上，这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想，区别与牛顿，lagrange化30年写了一本书，这本书是讲力学的，但全书没有一个图，lagrange非常自豪。
古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，航海家麦哲伦环球航行，他是一个冒险大王，他当然知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦的船队成功地回到了原来的出发点，（麦哲伦本人航行到菲律宾的时候被当地土著人杀害）大家才知道，原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个二维球面之上。但如若事后诸葛，仔细看一下，人类的武断似乎让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
我们算大概了解了地球的外形：它是一个蓝色的2维球面。如果你对此深表怀疑，最好的方法是向中国的第一位上过太空的航天员杨利伟求证。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 11:15:00
（3）
古代人丈量大地，几何学就起源了。因此微分几何学里有一个词语，“测地线“。测地线顾名思义，就是测量大地。直观地，测地线在是地球上2点之间最短的线。这个概念可以推广，推广以后产生了微分几何，后来一直发展。
微分几何大致分为三种，黎曼几何，辛几何，复几何。这是根据微分流形上的度量来分类的。在相对论看来，黎曼几何不是最好的，最好的是伪黎曼几何，上面有因果结构；辛几何是有用的，但可是描述哈密顿系统，圈量子引力，就是从哈密顿系统里开始做量子化的；复几何与彭罗斯一直推销的扭量（twistor）理论相关。陈省身考虑了复示性类，明显区别与庞德里亚金和惠特尼的示性类不同，但取得最大的成就。因为复数比实数要优越，要自然，正如任何多项式方程在复数范围里全有解。
杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。
“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:“我死了“。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。陈示性类是一种整体拓扑不变量。
高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫“高斯绝妙定理“,这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部欧氏空间无关。 但如果外部空间不是平坦的，那么它能在2维曲面上诱导出曲率，这就是膜宇宙模型。在哈佛的单身美女科学家丽莎.兰多（lisa Randall）等人的膜宇宙模型里，我们的宇宙被放在并不平坦的反德西特空间里。
黎曼1854年的时候生活窘迫，他为了得到一个没有薪水的讲师的职位发表了那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。欧几里得的几何学暗中假定矢量在平行移动下是不变的，黎曼放弃了这个暗中的假定，那么比较流形上不同点的切空间内的矢量，需要一个“联络”（connection）。流形上不同的点好象是地球上不同的城市，要想把一个城市的人运到另外一个城市，需要的交通工具是飞机，联络在流形上，充当了飞机的角色。
嘉当（E.cartan）是法国数学家，是陈省身的导师。嘉当非常喜欢在数学里使用活动标架，活动标架在大学力学的刚体运动中也被运用到，嘉当找到了标架满足的方程。在流形上每一点，可以定义一个标架，这个标架可不是局部惯性系，因为它上面的联络不是零。
陈省身是华人数学家，2004年10月他在清华大学做了最后一次讲演，而我也有幸在现场瞻仰他的巨大身影，他在讲演的过程中提供了一个他最近的文章，文章是证明6维球面上存在复结构的。文章下面写着“纪念郑士宁”。郑士宁是陈省身的亡妻，可见二人感情至深。两个月后，2004年12月陈省身在南开大学去世，数学物理痛哭泪流。丘成桐先生题写挽联寄托对陈省身老师的哀思。
“
呜呼，大厦倾矣，二千年勾弦求根，割园三角，终不抵陈氏造类， 孤学西传，置几
何于大观，扬华夏于世界。
哀哉，哲人萎乎，卅五载提携攻错，赏誉四方，犹未忘柏城授业，中土东归，传算学
之薪火，立科学之根基。
弟子 成桐 敬挽
2004年12月4日”
陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。高斯-博内定理可以把曲率和拓扑联系起来。一个2维球面的曲率是半径的平方的倒数，曲率对整个球面积分，得到欧拉示性数。
2维球面的欧拉示性数为2。这就是本章一开始说的不存在头顶没有旋涡的人的原因。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 11:51:00
（4）
假如我们生活的时空是一个二维球面，那么会发生什么呢？
因为时空是2维的，因此空间是1维的，也就是说，我们只可以有一个空间方向。这样的话，我们失去了很多自由度，比如只有东西方向，没有上下的观念。因为时空是一个球面，于是时间是闭合的，也就是说我们可以回到自己的过去。
那么这个时候的还有引力的自由度吗？
答案是引力根本就不可能存在。
在2维和3维时空，爱因斯坦方程描述的引力是退化的。
当然，以后我们会看到，一个时空在整体上必然满足一定的拓扑限制，也就是至少它的欧拉示性数为零。2维球面具有欧拉示性数2——这一点可以从很多书上找到，也就是任何一个凸多面体的顶点数加上面数再减去棱数。对熟悉化学的人来说，碳60分子的足球模型到底是什么样子，比如依赖这个欧拉示性数。
做为一个玩具模型，2维球面时空其实与引力没有什么关系，如果将之做为研究论文，那么这必定是一个足够糟糕的论文。这是一个没有多大意义的事情，为了研究引力，我们必然要走向更高的维度。
爱因斯坦最初知道的是，时空是四维的，他只研究时空局部的性质，局部的东西在数学上就是求导或者微分，这就是微分几何进入的原因。
为了在以后介绍扭量理论的方便，我们必须强调复几何。也要把2维球面当作是一个复流形。
S^2=CP1
也就是说，2维球面其实就是复一维射影空间。
这背后有很长的故事，这一章的意义在于，我们要相信几何与拓扑有相互的限制，几何是一个妻子，拓扑是她的丈夫，一个妻子在生活中有多大的自由度，这可能会受限制于她的丈夫，至少一些丈夫不允许妻子在外面偷情。
如果你觉得自己已经有点晕掉了，那么一定要记得，几何是一个美丽的女人，她最重要的性质体现在她的曲率。
作者：袁士霄 时间：2006-11-06
14:08:00
作者：轩轩爱 回复日期：2006-11-6
10:13:00
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徐一鸿是对一般科学爱好者说的，描述的方法是类比，先讲小时与同龄孩子数脱发漩涡的故事，然后谈旋转台风之内必然有风平浪静的台风眼，最后说放射分布形状场必然有场源，可是没有明确交代引力场与磁场的关联就告诉人们磁单极存在。
关于时光机器，加来道雄（M-Kaku）的<超越时空>也是列举这几种模式。而初步掌握狭义相对论原理的初学者总是喜欢这样去附会。
你猜想耦合常数e会在极端情况下变化，Dirac也猜想过引力常数G随时间变化，我觉得他这个猜想与他一贯倡导的物理规律美学精神相违背。
新发的帖子慢慢消化。
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徐一鸿是对一般科学爱好者说的，描述的方法是类比，先讲小时与同龄孩子数脱发漩涡的故事，然后谈旋转台风之内必然有风平浪静的台风眼，最后说放射分布形状场必然有场源，可是没有明确交代引力场与磁场的关联就告诉人们磁单极存在。
关于时光机器，加来道雄（M-Kaku）的<超越时空>也是列举这几种模式。而初步掌握狭义相对论原理的初学者总是喜欢这样去附会。
你猜想耦合常数e会在极端情况下变化，Dirac也猜想过引力常数G随时间变化，我觉得他这个猜想与他一贯倡导的物理规律美学精神相违背。
新发的帖子慢慢消化。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-06 14:23:00
作者：袁士霄 时间：2006-11-06
14:37:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-07 12:08:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-07 13:21:00
第八章 黎曼曲率和群论
（1）
飞机起飞了。你和你的朋友都要从北京去柏林。可是你们的飞行路线是不一样的。
你的路线是：北京——莫斯科——柏林
你的朋友的路线是：北京——慕尼黑——柏林
等到了柏林，你们又见面了，发现你们的机票花费是不一样的，一个是4800元，一个是5800元。同样是从北京飞到柏林，为什么两个人整整差了1000元呢？
当然在生活中这差价反应的是不同线路在不同时间里的航空市场。现在假设你是一个在矢量，你的朋友是同一个矢量，你们属于一个切空间（北京）。你们分别被飞机平行移动到了另外一个切空间（柏林），你们不再是同一个矢量。
地球是一个二维球面，它具有非零的曲率。矢量沿着不同的曲线在平行移动以后有了差距，这个差距类似于机票的差价，就是这一章要郑重推出的“黎曼曲率”。
在本书一开始，我们就介绍了，一般的引力场中矢量不是平行移动不变的，这说明一般的引力场没有平坦空间那么高的对称性。在这里暂时不分析黎曼曲率的对称性，只是强调一点：在黎曼几何里，矢量平行移动的结果是路径依赖的。
也许你已经听说，爱因斯坦的方程是偏微分方程，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，黎曼曲率是度量函数的2阶偏导数（和一些非线性项），因此求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。已经说过，引力仿佛一个大美女，她所以漂亮在于她的曲率。她之所以吸引人亦在于她的曲率。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（x）=0，那么，它必然有n个复数根。
代数基本定理是一个很深刻的定理，后来米尔诺写了一本书《从微分观点看拓扑》，很简单地给出了一个炉火纯青的证明。米尔诺跟纳什（nash）一起从普林斯顿大学毕业，当时前者表现的比后者更出色以至于把后者淘汰出留校名单。
（1）
飞机起飞了。你和你的朋友都要从北京去柏林。可是你们的飞行路线是不一样的。
你的路线是：北京——莫斯科——柏林
你的朋友的路线是：北京——慕尼黑——柏林
等到了柏林，你们又见面了，发现你们的机票花费是不一样的，一个是4800元，一个是5800元。同样是从北京飞到柏林，为什么两个人整整差了1000元呢？
当然在生活中这差价反应的是不同线路在不同时间里的航空市场。现在假设你是一个在矢量，你的朋友是同一个矢量，你们属于一个切空间（北京）。你们分别被飞机平行移动到了另外一个切空间（柏林），你们不再是同一个矢量。
地球是一个二维球面，它具有非零的曲率。矢量沿着不同的曲线在平行移动以后有了差距，这个差距类似于机票的差价，就是这一章要郑重推出的“黎曼曲率”。
在本书一开始，我们就介绍了，一般的引力场中矢量不是平行移动不变的，这说明一般的引力场没有平坦空间那么高的对称性。在这里暂时不分析黎曼曲率的对称性，只是强调一点：在黎曼几何里，矢量平行移动的结果是路径依赖的。
也许你已经听说，爱因斯坦的方程是偏微分方程，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，黎曼曲率是度量函数的2阶偏导数（和一些非线性项），因此求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。已经说过，引力仿佛一个大美女，她所以漂亮在于她的曲率。她之所以吸引人亦在于她的曲率。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（x）=0，那么，它必然有n个复数根。
代数基本定理是一个很深刻的定理，后来米尔诺写了一本书《从微分观点看拓扑》，很简单地给出了一个炉火纯青的证明。米尔诺跟纳什（nash）一起从普林斯顿大学毕业，当时前者表现的比后者更出色以至于把后者淘汰出留校名单。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-07 13:28:00
（2）
但是真正求解n次代数方程，不是很简单的一件事情。
历史上一点一滴进步，都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘，也难免记住一些英雄。代数方程的历史上最早的英雄是塔塔里亚，他解决了三次方程，
塔塔里亚活着的时候被人砍伤，成为比较接近于哑巴的口吃者。据说在意大利语中，塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程：
x^3-21x^2+78x-55=0
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法，没有发表，每天压枕头底下暗爽，后来被人剽窃了。世道浇漓，剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑，1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人。结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答，成为剽窃史上空前丑闻，也让后人引以为戒。解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子，他证明了，n大于等于5的时候，n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家，是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加，27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷，他濒死去的时候，巴黎大学给他一个聘书，聘他去做教授，可是，Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响。
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国的19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院。他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫，别人看起来有点南腔北调。投稿2次，人家竟然把原稿给丢失了。
伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才，他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有传奇色彩，当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板，在街道上筑起街垒，互扔石头。伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科学校竟然2次没有考上，上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校。伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子，很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除，后来又因为政治入了监狱，再上了法庭，在法庭上，他说：“我们是孩子，我们精力充沛，勇往直前。”
21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗，在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言，在某个地方他写道：我的时间不多了……
第2天天才在决斗中牺牲。
1832年5月的这天。
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。
整个世界都快哭了。
Abel和伽罗华全在年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远，直接的影响是导致了群论的诞生。他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首，以表哀思：
“原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚
过去你曾寻过某段失去了的声音
落日远去人祈望留住青春的一刹
风雨思念置身梦里总会有唏嘘
若果他朝此生不可与你那管生命是无奈
过去也曾尽诉往日心里爱的声音
就像隔世人期望重拾当天的一切
此世短暂转身步进萧刹了的空间
只求望一望让爱火永远的高烧
青春请你归来再伴我一会”
挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel，还有一个大名鼎鼎的是索飞斯·李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，李群是连续群，不想正方形的对称性群，后者是离散群，两者全很重要，但李群与相对论关系密切一些，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子。Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种，这就是九个Bianchi宇宙。 这具体细节，等到我们讲宇宙学里再来描绘当年的历史风云。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-07 13:47:00
（3）
李群也是微分流形，它上面的嘉当-凯林度量使得它成为黎曼流形。从拓扑的角度看它，会有一些直观的印象。比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群，为什么呢，因为可以类比，我们很容易知道，SO（3）群是标准的二球面S^2上的等度量群。那么，什么是三球面呢？读者往后读就能读到详细介绍三维球面的一章。中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，我们生活的空间是3维的。
2维的面，很简单，有的看上去是弯曲的，比如篮球的表面，或者北京昌平十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮——柱面。
但可以看到，一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，所以，不太严格地说，柱面的内在的曲率是0，而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开始接触黎曼几何时，就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。
但还是有一些问题，比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。
显然圆锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应该排除。
内在的曲率，实际上就是本章所说的黎曼曲率张量。
那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念，它可以被放在坐标系下被确定下来。比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就仿佛是一个张量。
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能，那么，转动惯量就是一个很好的例子。真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立刻象花朵一样开放在眼前。
如果你实在是很想知道张量到底是什么了，那么建议你熟悉线性代数，知道了什么是矢量空间和它们的直积之后。你就可以知道，张量就是矢量空间上的矩阵，或者直积空间上的超级矩阵（这不是一个通用的讲法）。好了，如果你觉得还不过瘾，你想自学，你要发奋图强，好的，那么著者建议你阅读梁灿彬和周彬的书《微分几何入门和广义相对论》。著者在北京师范大学接受教育，受到这两位先生的影响。梁灿彬教授在北京师范大学讲授广义相对论，年复一年，他的故事，你将在本书中略知一二。如果你请教他什么是张量，他必然会告诉你张量具有多面性。你将听到一个智者的声音在鼓膜里振荡：“矢量空间……对偶空间……张量面面观……”
总之张量是一个基本概念，其实并不难以理解。张量的一个显著特点是不依赖于坐标系，因此在这个意义上黎曼曲率张量刻画的时空是不是弯曲不依赖于观察者。也在这个意义上，联络不是一个张量，它在坐标系下的表现被称为克里斯多夫符号。
有了这些,我们就可以触及爱因斯坦方程了.
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-08 10:33:00
第九章 广义相对论
（1）
狭义相对性原理说，“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”基于狭义相对性原理和光速不变原理，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论。洛仑茨得到了坐标系之间的线性变换，其实是光速不变的推论。爱因斯坦得到狭义相对论的那一年，发表了著名的三篇文章，其中第二篇里叙述了E=mc^2。E=mc^2后来引起大众的关注，因为这个公式认为，质量和能量是等效的。在这个公式里，m不是静止质量，而是运动质量。
一百年过去了，现在看来，狭义相对论是很自然的想法，因为4维平坦时空的Maxwell方程具有与生俱来的Lorentz协变性。但惯性系不是一个自然的概念。爱因斯坦不是一个普普通通的男人，他1905年左右做了一些光电效应这样的文章，然后继续回到相对论，决定抛弃惯性系。在物理学里，惯性系是一个有特权的王国，爱因斯坦想，这个物理世界应该是民主的，不应该存在具有特权的参考系。他有了这样的思想——姑且称之为“参考系的民主”。
民主是一样好东西，近代中国在1919年开始了五四运动，疯狂追寻民主，这个运动的思想根源是新文化运动，当时人们大声疾呼“德先生”和“赛先生”，知识分子试图挽中国之狂澜于既倒。蔡元培希望请最大的“赛先生”爱因斯坦来中国讲学。那时，正是爱因斯坦和相对论名声大噪的时候。蔡元培通过各种渠道，一再邀请爱因斯坦访问中国，爱因斯坦也表示愿意访问中国。然而好事多磨，由于种种原因，爱因斯坦都未能成行。有的文章称：“直到１９２２年，事情才有了眉目。爱因斯坦将访问日本的消息传来，蔡元培又一次发出邀请。爱因斯坦也回信了，双方就访华的条件，协商了一下。蔡元培提出，如能到北大演讲，愿出酬金每月一千元。下榻处选在最高档的北京饭店。爱因斯坦倒也直率，他在回信中提出，每月一千元的酬金，数目尚可，但是要改成一千美元。住北京饭店，他是满意的，不过要按两人付费，也许他是考虑带夫人同行。一千美元的酬金，在当时是非常高的，因为那时爱因斯坦尚在德国，而德国‘马克’正在经历一场大贬值。对于一位在德国任职的科学家来说，即使是爱因斯坦这样的著名科学家，一千美元也不是一个小数。再说，北京饭店的客房也是以昂贵著称的。然而，蔡元培先生还是答应了爱因斯坦的这些条件。蔡元培认为，爱因斯坦如能光临北大，比什么鼎鼎大名的政治家、军事家都重要百倍！于是，北京饭店做了相关的准备，北京大学师生更是满腔热情、积极筹备，还特意组织了多场报告会，由丁西林等人讲解相对论，（丁西林后来是北大图书馆的职员）一时间掀起了一个宣传、普及相对论的高潮。可惜的是，由于种种原因，爱因斯坦最终未能访问北京，他只是在往返日本的途中，在上海停留了两天，就匆匆地走了。”这件事情到现在已经是明日黄花，但真相现在还有人在争论之中。可以肯定，爱因斯坦不是一个会轻易放人鸽子的人。 爱因斯坦没有访问中国，也许跟当时中国社会的动荡有很大的关系。那时的北方是军阀政府，南方是孙中山的政府，这个国家处于一种极端不稳定的状态。
回过头看，万有引力的大小依赖于两个物体之间的空间间隔，但在四维几何里，3维空间间隔不是一个不变量，参考系改变以后，这个空间间隔就变化了，于是万有引力大小就变化；万有引力定律与狭义相对论的矛盾水火不容。这个矛盾大致可以这样看出来，两个物体之间的空间间隔依赖于观察者，所以在不同的惯性观察者看来，2个物体之间的万有引力大小依赖于观察者。这区别于库仑定律，在库仑定律中，除了电力还有磁力，在电荷加速的时候还有辐射。
万有引力定律对吗？狭义相对论对吗？爱因斯坦开始陷入了深深的思考。后来他意识到，应该抛弃惯性系了，他于是抛弃了惯性系。惯性系成了一个完美的弃妇，新人胜旧人，他得到了新的原理。这个原理有三种等价的表达：
1。广义相对性原理。
2。广义协变性原理。
3。微分同胚不变性原理。
到时候了，爱因斯坦提出了广义相对性原理，“所有的参考系中，物理规律是一样的。”有了这样一个原理，爱因斯坦要做的事情就是思考一下万有引力了，他要做的时候很简单，就是要让万有引力理论不依赖与参考系，不依赖于观察者。因为，爱因斯坦相信，物理规律是普适的，它是物理王国的法律，有上帝制定，对谁都一样，在任何时间任何地点，全是一样的，这正是人人平等的民主观念。就这样爱因斯坦用他的思辩构造了了他的引力理论——广义相对论。在他的理论中，引力不是一种力，也许可以说，引力根本就不存在，所谓引力，其实是空间和时间（统称时空）被物质扭曲。正如一个人躺在席梦丝床上把床睡得陷了下去。引力不再是引力，所以福克研究引力，写的书名字却叫《时间，空间和物质》。
1915年６，７月，爱因斯坦在阿廷根作了６次关于广义相对论的学术报告。１１月他提出广义相对论引力方程的完整形式，并且成功地解释了水星近日点运动。爱因斯坦是从广义协变性里推导出引力场方程的。
１９１６年，３月他完成总结性论文《广义相对论的基础》， 广义相对论正式地出炉了！几乎在同时，数学家希尔伯特构造了引力场的希尔伯特-——爱因斯坦作用量，用物理学的标准化程序通过对度量变分也得到了引力场方程，他说：“哥廷根大街的每一个小孩都比爱因斯坦更懂四维几何，但发明广义相对论的是爱因斯坦而不是数学家。”
对于物理学家来说，作用量是物理中最基本的。但是对希尔伯特-爱因斯坦作用量变分有一些任意处置边界项的问题，现在有的研究者认为，边界项根据全息原理很重要，引力场方程可能可以从时空的边界导出。
爱因斯坦方程是天人合一的典范，它的出世，表明纯粹理性具有非凡美感，人类心智，极富荣耀。
G-ab=T-ab （3）
在真空情景下，爱因斯坦方程可以写成：
R-ab=0 （4）
爱因斯坦一开始并不知道可以从毕安基恒等式得到能动张量T-ab的守恒。G-ab是爱因斯坦张量，R-ab是里奇张量。
在有些情景下，人们处理带有宇宙项的爱因斯坦方程。
爱因斯坦方程（3）的思想精髓众所周知：物质等于时空的弯曲。这一点是最重要的，如果问爱因斯坦理论最震撼人心的思想是什么，一半人会回答是等效原理，另外一半人会回答是物质等于时空的弯曲。真正思考过这个问题的人，多数会选择后者。这个后者，也被很多研究圈量子引力和扭量理论的人喜欢，他们把这个叫做“背景无关性”。可以相信，一个正确的量子引力理论，它肯定不需要事先假定理论适用的背景。
有一个问题，是很自然的，假如没有物质，时空是不是会弯曲？很多人马上会讲，schwarzschild时空的外部解，没有物质，但是弯曲的。它是真空爱因斯坦方程的解。但注意，schwarzchild的外部不是闭的空间。真空爱因斯坦（4）引起了很多几何学家的兴趣。在某个时候，我还是一个年轻的大学本科学生，听丘成桐在中国科学院的一次公众演讲，他是当代最杰出的几何学家之一，他问：“是否存在一个闭空间，那里没有物质，但时空弯曲？”
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-08 10:37:00
（2）
爱因斯坦在最后得到他的引力方程的时候，心中徒生了“众里寻她千百度，那人却在，灯火阑珊处”的良好感觉。爱因斯坦是在太阳系的引力场里推出了爱因斯坦方程，牛顿引力方程其实是一个泊松方程，起源于对地球和太阳系这样的系统的研究。泊松方程里面有一个拉普拉斯算子，这个平坦欧空间上的拉普拉斯算子是一个空间算子，为了把时空全包含进去，必然需要把这个拉普拉斯算子推广到四维闵氏时空。在推广到四维的过程中，可以得到达朗贝尔算子，但达朗贝尔算子没有反映时空弯曲的性质。而达朗贝尔算子是一个2阶微分算子，时空弯曲的时候，它里面就必然出现曲率项。
那么为什么爱因斯坦知道需要反映时空弯曲的性质呢？因为爱因斯坦在1911年已经提出了光线在引力场中弯曲，而光线是类光测地线，因此假定时空不弯曲，光线是不会弯曲的，于是，时空必然要弯曲。
其实爱因斯坦方程可以应用到整个宇宙，因为宇宙不能由牛顿引力描述，假如宇宙是牛顿引力描述的，那么宇宙空间必然是要在引力作用下坍塌成为一个点，而事实上，现在宇宙学的强烈证据是，宇宙空间将永远膨胀下去，如果你愿意把宇宙相象成一个孕妇，这个孕妇似乎没有分娩的那一天。
为什么这个宇宙孕妇会怀孕？
我们知道，一个女子要怀孕，必然需要一个男子提供精子。
你将在下一章读到宇宙学，但还没有到著者解释宇宙少女怀孕之谜的时候，我们只能先接受已经怀孕这个事实。
爱因斯坦在最后得到他的引力方程的时候，心中徒生了“众里寻她千百度，那人却在，灯火阑珊处”的良好感觉。爱因斯坦是在太阳系的引力场里推出了爱因斯坦方程，牛顿引力方程其实是一个泊松方程，起源于对地球和太阳系这样的系统的研究。泊松方程里面有一个拉普拉斯算子，这个平坦欧空间上的拉普拉斯算子是一个空间算子，为了把时空全包含进去，必然需要把这个拉普拉斯算子推广到四维闵氏时空。在推广到四维的过程中，可以得到达朗贝尔算子，但达朗贝尔算子没有反映时空弯曲的性质。而达朗贝尔算子是一个2阶微分算子，时空弯曲的时候，它里面就必然出现曲率项。
那么为什么爱因斯坦知道需要反映时空弯曲的性质呢？因为爱因斯坦在1911年已经提出了光线在引力场中弯曲，而光线是类光测地线，因此假定时空不弯曲，光线是不会弯曲的，于是，时空必然要弯曲。
其实爱因斯坦方程可以应用到整个宇宙，因为宇宙不能由牛顿引力描述，假如宇宙是牛顿引力描述的，那么宇宙空间必然是要在引力作用下坍塌成为一个点，而事实上，现在宇宙学的强烈证据是，宇宙空间将永远膨胀下去，如果你愿意把宇宙相象成一个孕妇，这个孕妇似乎没有分娩的那一天。
为什么这个宇宙孕妇会怀孕？
我们知道，一个女子要怀孕，必然需要一个男子提供精子。
你将在下一章读到宇宙学，但还没有到著者解释宇宙少女怀孕之谜的时候，我们只能先接受已经怀孕这个事实。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-09 10:03:00
第十章 宇宙膨胀 ：宇宙少女怀孕之事实
（1）
1916年爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。他成了现代宇宙学的开拓者，爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……”
爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。 但爱因斯坦时代的数学已经过时了，大体上他用广义相对论代替牛顿引力来研究宇宙。我们换一个比较现代的说法来介绍一下宇宙的几何学。
宇宙是一个四维流形，要研究它的演化，就是要研究3维空间超曲面如何在时间里演化，这一点很象证明彭加莱猜想的里奇流方法，但后者需要在流形上做“外科手术”，改变流形的拓扑，爱因斯坦方程里的演化，是几何的演化，而拓扑保持不变。
演化要满足爱因斯坦方程。除了爱因斯坦方程，3维空间超曲面上的初始数据,也就是曲率和外曲率，与四维时空的曲率，相互之间要满足微分几何里的高斯-科达奇方程。对于真空爱因斯坦方程来说，高斯方程表示哈密顿约束，而科达奇方程象征着空间微分同胚约束，是4维广义相对论的对称性的体现。广义相对论的对称性，就是广义协变性，或者称为微分同胚不变性。微分同胚群是无限维的，研究起来非常复杂，圈量子引力要保持这样的群，也就是要保持这样的对称性，所以明显不同于弦论，这是弦论和圈论之争的本质。
爱因斯坦他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。那么广义相对论最重要的品质是什么？这个品质就是上面所说的微分同胚不变性。
但在广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量 g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，仅仅是一个微分流形，它上面是没有距离概念的，也没有光锥结构，也就是没有过去和未来这样的因果结构。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。
那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个diff（M）李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单，su（2）李群是3维的。在圈量子引力中，su（2）群上的平方可积函数空间是一个希尔伯特空间，内积通过海尔（Haar）测度定义。但对于diff（M）李群，因为它无限维，所以不存在海尔测度，圈量子引力再次遇见困难。
写到这里，你一定觉得这完全是在讲广义相对论，而不是宇宙学。并且云山雾绕，你几乎很失望，到底什么是宇宙，为什么说宇宙是一个怀孕的少女呢？
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-09 10:21:00
（2）
首先，为什么说宇宙是一个少女，而不是一个中年妇女，或者是一个老太太？这个问题的回答很好回答，至少从现在来看，宇宙似乎才刚刚开始，虽然它已经演化了大概137亿年，但它未来可以存在的的时间还很长，它未来到底还能存活多久，科学不能回答永远有多远，但大概可以确定，宇宙会持续膨胀下去，直到物质变得很稀疏，进入真空为主的膨胀阶段，这个阶段就是德西特宇宙了。从开始到现在，宇宙是一个少女，这可以确定。
因此附带出一个问题，什么是宇宙的时间呢？
在相对论里，度量 g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相合变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。
是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。 这在前面章节已经提到，但很少人这样考虑问题。总之，Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。
宇宙是有时间的，比如热力学时间箭头或电磁辐射时间箭头等等，全是浮现在宇宙大海之上的航标，如何正确地用纯几何来定义时间也是广义相对论中的大问题了。宇宙在演化，它由熵为零的状态变大熵增加的状态。如果宇宙最初是最大对称的，那么它可以是德西特宇宙，这个宇宙是共形平坦的，所以外尔曲率退化为零。当宇宙演化，在引力的作用下，外尔曲率发散。penrose认为，外尔曲率的演化可以表示宇宙的时间，这就是极其著名的外尔曲率猜想，也就是用几何的方法来表示宇宙的时间。 可惜这不是一个公认的猜想。
而现在的宇宙学根本不考虑这样的问题，宇宙学是一上来就假定宇宙具有唯一的时间。银河系和各个河外星系是这个宇宙的一个一个没有大小的质点。
这个假设背后的依据是宇宙学原理。
换句话说，是对于宇宙这样的超级大时空，我们对它最3+1分解的方式是唯一的。换句话说，在这个时候，你只能用一种方式来切一根香肠。
初看起来，这有点违反爱因斯坦的关于3+1分解的任意性的精神，这是因为，对于宇宙，爱因斯坦一开始就加了一个额外的原理。
首先，为什么说宇宙是一个少女，而不是一个中年妇女，或者是一个老太太？这个问题的回答很好回答，至少从现在来看，宇宙似乎才刚刚开始，虽然它已经演化了大概137亿年，但它未来可以存在的的时间还很长，它未来到底还能存活多久，科学不能回答永远有多远，但大概可以确定，宇宙会持续膨胀下去，直到物质变得很稀疏，进入真空为主的膨胀阶段，这个阶段就是德西特宇宙了。从开始到现在，宇宙是一个少女，这可以确定。
因此附带出一个问题，什么是宇宙的时间呢？
在相对论里，度量 g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相合变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。
是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。 这在前面章节已经提到，但很少人这样考虑问题。总之，Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。
宇宙是有时间的，比如热力学时间箭头或电磁辐射时间箭头等等，全是浮现在宇宙大海之上的航标，如何正确地用纯几何来定义时间也是广义相对论中的大问题了。宇宙在演化，它由熵为零的状态变大熵增加的状态。如果宇宙最初是最大对称的，那么它可以是德西特宇宙，这个宇宙是共形平坦的，所以外尔曲率退化为零。当宇宙演化，在引力的作用下，外尔曲率发散。penrose认为，外尔曲率的演化可以表示宇宙的时间，这就是极其著名的外尔曲率猜想，也就是用几何的方法来表示宇宙的时间。 可惜这不是一个公认的猜想。
而现在的宇宙学根本不考虑这样的问题，宇宙学是一上来就假定宇宙具有唯一的时间。银河系和各个河外星系是这个宇宙的一个一个没有大小的质点。
这个假设背后的依据是宇宙学原理。
换句话说，是对于宇宙这样的超级大时空，我们对它最3+1分解的方式是唯一的。换句话说，在这个时候，你只能用一种方式来切一根香肠。
初看起来，这有点违反爱因斯坦的关于3+1分解的任意性的精神，这是因为，对于宇宙，爱因斯坦一开始就加了一个额外的原理。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-09 10:31:00
（3）
前面是说宇宙的时间，现在来看哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它涉及到宇宙的空间部分，该原理说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是1965年发现的宇宙微波背景辐射。（当然这个背景也不是绝对均匀的。）
在数学上，这样的空间就是最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，它的空间部分到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，拓扑只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1, H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。poincare猜想已经被俄罗斯数学家perelman证明，其中用到Ricci flow加上“外科手术”的方法，Ricci flow方程为 d/dt g-ij=-2R-ij。样子就是物理上的热传导方程，但是非线性的，因为方程里含有里奇曲率，它是度量的2阶导数和一些非线性项。
历史地看，毕达哥拉斯最早知道，在三维欧空间，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，可以推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成数学家的南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,它们一结合，出来的结果就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。
宇宙膨胀是一个事实，那么人们是怎么发现宇宙少女的肚子正在膨胀呢？
前面是说宇宙的时间，现在来看哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它涉及到宇宙的空间部分，该原理说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是1965年发现的宇宙微波背景辐射。（当然这个背景也不是绝对均匀的。）
在数学上，这样的空间就是最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，它的空间部分到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，拓扑只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1, H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。poincare猜想已经被俄罗斯数学家perelman证明，其中用到Ricci flow加上“外科手术”的方法，Ricci flow方程为 d/dt g-ij=-2R-ij。样子就是物理上的热传导方程，但是非线性的，因为方程里含有里奇曲率，它是度量的2阶导数和一些非线性项。
历史地看，毕达哥拉斯最早知道，在三维欧空间，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，可以推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成数学家的南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,它们一结合，出来的结果就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。
宇宙膨胀是一个事实，那么人们是怎么发现宇宙少女的肚子正在膨胀呢？
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-09 10:58:00
（4）
当你站在月台，火车朝站台冲来，随着它的靠近，它发出的鸣叫声变得越来越尖利。等火车离开站台，它的鸣叫声变得越来越低沉。这就是声波的开普勒效应。光波也会有类似的效应，一个足够快的赛车手他开飞车闯了红灯可以这样说：“因为当时车速太快，他看到的不是红灯，而分明是绿灯。”
1916年之前，美国的斯里仆（slipher）已经在天文台观测河外星系，他发现有的星系正在离开我们银河系。通过对来自这些星系的光的分析，可以知道，这些星光存在红移。红移可能有3个原因，一个是闵氏时空上的多普勒红移，一个是宇宙膨胀引起的宇宙学红移，另外一个就是引力红移。但当时因为广义相对论还没有应用到宇宙，所以斯里仆的观测只能被解释为闵氏时空上的多普勒红移，因为斯里仆观测的尺度相对于宇宙尺度是很小的，因此在这个尺度时空很接近平坦，所以多普勒红移解释还是基本正确的。当然正确的解释应该是宇宙学红移，也就是这说明宇宙正在膨胀。
但这必须等到1923年哈勃能够测量河外星系到银河系的距离，哈勃在那一年得到了一个近似的结论：红移跟距离成正比。
离银河系越远的星系，它离开银河系的速度越快。这是一个很让人吃惊的事情。我们的银河系好像一个幼儿园的孩子，她忧伤地发现突然发现所有的小朋友正在离开自己。
几乎很难相信宇宙膨胀这个事实。
在现在的中国，经常有高中女生怀孕的消息，一开始大家觉得很震惊。后来这样的事情多了，人们也已经见怪不怪了。对于宇宙膨胀这个事情，到了现在，人们已经能平静地接受这个既成事实。
但同样在这些人们之中，很多观念还是在被滥用。
比如，有人认为，很遥远的星系在远离银河系的时候速度会超过光速，这违背了狭义相对论。——这完全不对，狭义相对论要求的速度不能超光速是指固定时空点上的速度矢量不能类空，或者说是当时当地人测量到的速度。宇宙膨胀是一个空间的膨胀，是时空本身的膨胀，这是区别于固定时空上的质点运动的。
比如，还有人认为，宇宙空间在膨胀的时候，宇宙的总能量应该守恒。——这也不对，这种把宇宙当作是一箱子理想气体的观念有很严重失误，第一是因为我们的宇宙不是渐近平坦时空，宇宙的总能量根本没有很好的定义；第二，如果我们研究宇宙中所有的基本粒子，而不考虑引力，那么宇宙的这些粒子的总能量也是一个值得思考的概念。如果你盯住一个粒子看，因为宇宙的膨胀，它的波长会变长。也就是说，粒子的能量会被红移掉。
因此，对于宇宙，读者们可能需要谨慎缓慢的思考。宇宙这个少女，她敏感的秘密等待着你来开启！
当你站在月台，火车朝站台冲来，随着它的靠近，它发出的鸣叫声变得越来越尖利。等火车离开站台，它的鸣叫声变得越来越低沉。这就是声波的开普勒效应。光波也会有类似的效应，一个足够快的赛车手他开飞车闯了红灯可以这样说：“因为当时车速太快，他看到的不是红灯，而分明是绿灯。”
1916年之前，美国的斯里仆（slipher）已经在天文台观测河外星系，他发现有的星系正在离开我们银河系。通过对来自这些星系的光的分析，可以知道，这些星光存在红移。红移可能有3个原因，一个是闵氏时空上的多普勒红移，一个是宇宙膨胀引起的宇宙学红移，另外一个就是引力红移。但当时因为广义相对论还没有应用到宇宙，所以斯里仆的观测只能被解释为闵氏时空上的多普勒红移，因为斯里仆观测的尺度相对于宇宙尺度是很小的，因此在这个尺度时空很接近平坦，所以多普勒红移解释还是基本正确的。当然正确的解释应该是宇宙学红移，也就是这说明宇宙正在膨胀。
但这必须等到1923年哈勃能够测量河外星系到银河系的距离，哈勃在那一年得到了一个近似的结论：红移跟距离成正比。
离银河系越远的星系，它离开银河系的速度越快。这是一个很让人吃惊的事情。我们的银河系好像一个幼儿园的孩子，她忧伤地发现突然发现所有的小朋友正在离开自己。
几乎很难相信宇宙膨胀这个事实。
在现在的中国，经常有高中女生怀孕的消息，一开始大家觉得很震惊。后来这样的事情多了，人们也已经见怪不怪了。对于宇宙膨胀这个事情，到了现在，人们已经能平静地接受这个既成事实。
但同样在这些人们之中，很多观念还是在被滥用。
比如，有人认为，很遥远的星系在远离银河系的时候速度会超过光速，这违背了狭义相对论。——这完全不对，狭义相对论要求的速度不能超光速是指固定时空点上的速度矢量不能类空，或者说是当时当地人测量到的速度。宇宙膨胀是一个空间的膨胀，是时空本身的膨胀，这是区别于固定时空上的质点运动的。
比如，还有人认为，宇宙空间在膨胀的时候，宇宙的总能量应该守恒。——这也不对，这种把宇宙当作是一箱子理想气体的观念有很严重失误，第一是因为我们的宇宙不是渐近平坦时空，宇宙的总能量根本没有很好的定义；第二，如果我们研究宇宙中所有的基本粒子，而不考虑引力，那么宇宙的这些粒子的总能量也是一个值得思考的概念。如果你盯住一个粒子看，因为宇宙的膨胀，它的波长会变长。也就是说，粒子的能量会被红移掉。
因此，对于宇宙，读者们可能需要谨慎缓慢的思考。宇宙这个少女，她敏感的秘密等待着你来开启！
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-10 14:06:00
第十一章 最早的光
（1）
如果有一个冰箱的生产厂商宣称能生产出超级低温的冰箱，摄氏零下280度的冰箱是肯定不可能的，因为现在宇宙的最低温度是摄氏零下270度。
太阳的温度很高，因为太阳是发光的。太阳光是可见光，通过观察光的波长可以大致推断出发光的物体的温度。有经验的炼钢师傅对此一定深有体会。炼钢炉子需要3000度的温度，这就是中国在大跃进时代砸锅卖铁但土窑子炼不出好钢的原因之一，因为土窑子达不到那么高的温度。这样高的温度，用水银温度计或者酒精温度计来测量是不行的，光波的波长告诉人们，波长和温度的乘积大概等于一个常数。
宇宙中最早的光已经很冷。
上帝说要有光，于是就有了光。外尔把电子场的规范变换局部化，发现了光子必须存在。光子的起源是一个有意思的话题，文小刚出了一本新书，叫《量子多体理论》，那里有很好的解释。但我们暂时不追求那样的解释，只是先接受光的存在性。
宇宙中最早的光叫做宇宙背景辐射，它是什么时候发出来的呢？宇宙是大爆炸产生的，但在大爆炸的瞬间，是没有火光的——人类无法观测到大爆炸的情景，一切在黑暗中产生。 这是一次非常黑暗的爆炸，——原因是因为那时候还没有自由的光子可以跑出来让我们看到。拉普拉斯说，宇宙中最大的星星可能是不发光的，这引起了后来的黑洞。套用拉普拉斯的话，可以说：宇宙中最大的爆炸是不发光的。
（1）
如果有一个冰箱的生产厂商宣称能生产出超级低温的冰箱，摄氏零下280度的冰箱是肯定不可能的，因为现在宇宙的最低温度是摄氏零下270度。
太阳的温度很高，因为太阳是发光的。太阳光是可见光，通过观察光的波长可以大致推断出发光的物体的温度。有经验的炼钢师傅对此一定深有体会。炼钢炉子需要3000度的温度，这就是中国在大跃进时代砸锅卖铁但土窑子炼不出好钢的原因之一，因为土窑子达不到那么高的温度。这样高的温度，用水银温度计或者酒精温度计来测量是不行的，光波的波长告诉人们，波长和温度的乘积大概等于一个常数。
宇宙中最早的光已经很冷。
上帝说要有光，于是就有了光。外尔把电子场的规范变换局部化，发现了光子必须存在。光子的起源是一个有意思的话题，文小刚出了一本新书，叫《量子多体理论》，那里有很好的解释。但我们暂时不追求那样的解释，只是先接受光的存在性。
宇宙中最早的光叫做宇宙背景辐射，它是什么时候发出来的呢？宇宙是大爆炸产生的，但在大爆炸的瞬间，是没有火光的——人类无法观测到大爆炸的情景，一切在黑暗中产生。 这是一次非常黑暗的爆炸，——原因是因为那时候还没有自由的光子可以跑出来让我们看到。拉普拉斯说，宇宙中最大的星星可能是不发光的，这引起了后来的黑洞。套用拉普拉斯的话，可以说：宇宙中最大的爆炸是不发光的。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-10 14:29:00
（2）
大爆炸开始了，这个时候我们有了时间和空间。可惜的是，这个时候我们只能用一个至今还不清楚的理论——量子引力来解释这个事情。
在我上大学的时候，天高云淡。我的一个老师在上课的时候跟我们说起一件小事情，说历史系有某个教授，鄙视我们物理系的一个学生没有历史感，我的这个老师有点不平，他告诉我们说：“历史学是从大约5000多年前开始的，可是，我们物理学研究的历史是从10的负34次方秒开始的”。听到这个话，下面的学生哄堂大笑，单纯的笑声似乎对历史系充满了鄙视。
物理学是一个伟大的学科，但人们必须时刻弄清楚理论的适用范围。物理学只能处理10的负34次方秒以后的时间和空间，这是很重要的一个观念。换句话说，我们不知道宇宙0秒时候的物理条件，迄今还没有找到适合描述那时候的物理的一个理论。
10的负34次方秒是一个尺度，是一个必须把广义相对论和量子理论结合起来的尺度。尺度是一个相当重要的概念，比如量子力学，它能适合应用的尺度基本上是在原子分子尺度，如果有人有量子力学来处理飞机的气体动力学，这其实是一个可怕的错误。可惜的是，在很多时候，很多人甚至于大学的教授还会犯错。
大爆炸发生的时候，我们可以称这个宇宙是量子宇宙。
这个量子宇宙是怎么样变成一个经典宇宙的呢？
一般说来，这个过程就是古斯等人在1981年开始倡导的暴涨。我们先跳过暴涨理论，来看这之后的宇宙历史。——但暴涨理论会在本书后面的章节被提及，因为这个理论非常重要，它马上要引起诺贝尔奖委员会的慎重考虑。
大爆炸开始了，这个时候我们有了时间和空间。可惜的是，这个时候我们只能用一个至今还不清楚的理论——量子引力来解释这个事情。
在我上大学的时候，天高云淡。我的一个老师在上课的时候跟我们说起一件小事情，说历史系有某个教授，鄙视我们物理系的一个学生没有历史感，我的这个老师有点不平，他告诉我们说：“历史学是从大约5000多年前开始的，可是，我们物理学研究的历史是从10的负34次方秒开始的”。听到这个话，下面的学生哄堂大笑，单纯的笑声似乎对历史系充满了鄙视。
物理学是一个伟大的学科，但人们必须时刻弄清楚理论的适用范围。物理学只能处理10的负34次方秒以后的时间和空间，这是很重要的一个观念。换句话说，我们不知道宇宙0秒时候的物理条件，迄今还没有找到适合描述那时候的物理的一个理论。
10的负34次方秒是一个尺度，是一个必须把广义相对论和量子理论结合起来的尺度。尺度是一个相当重要的概念，比如量子力学，它能适合应用的尺度基本上是在原子分子尺度，如果有人有量子力学来处理飞机的气体动力学，这其实是一个可怕的错误。可惜的是，在很多时候，很多人甚至于大学的教授还会犯错。
大爆炸发生的时候，我们可以称这个宇宙是量子宇宙。
这个量子宇宙是怎么样变成一个经典宇宙的呢？
一般说来，这个过程就是古斯等人在1981年开始倡导的暴涨。我们先跳过暴涨理论，来看这之后的宇宙历史。——但暴涨理论会在本书后面的章节被提及，因为这个理论非常重要，它马上要引起诺贝尔奖委员会的慎重考虑。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-10 14:48:00
（3）
近代宇宙学，大爆炸模型已经被很多人接受，被称为标准宇宙模型。标准宇宙模型的基础是暴涨和RW度量。如果暴涨以后，早期宇宙是按照RW度量膨胀的，那么在极早期宇宙，宇宙以相对论性的粒子为主。因为这个时候粒子的速度非常大，能量非常高，所以粒子的静质量可以忽视，电子和质子全可以近似看成无质量粒子。因此扭量理论处理无质量粒子，也可以近似地处理早期宇宙的量子场论情景。
早期宇宙是极高温度和极高密度的均匀气体——在这里，著者用词非常小心哆嗦，因为其实宇宙早期的气体是不是均匀这是一个大问题——，但是，总之，随着宇宙的膨胀，尺度因子变大，早期宇宙的温度就反比例地降低了，为什么是反比例呢？
因为宇宙的尺度因子和光子波长成正比，随着宇宙的膨胀，尺度因子变大。因此光子波长正比例变长。因为波长和频率的乘积是光速，是一个常数，所以光子的频率与宇宙的尺度因子成反比。这就是宇宙学红移将引起光子的能量变低。能量在热力学上是波尔兹曼常数和温度的乘积，能量同时与光子频率成正比，所以光子的频率应该与温度成正比。所以尺度因子应该与温度成反比。
当温度降低到退耦温度(Td=0.26eV，相当于3000K)以下时，质子与电子会结合起来生成氢原子。当大多数自由电子被质子俘获后，光子就可以自由地在宇宙中传播，即宇宙对光子变得透明了，这就是我们能够观察到的宇宙中最早也是最古老的光，它携带了宇宙大爆炸后遗留下来的信息。由于宇宙学红移，现在观察到大爆炸后遗留下来光子频率的极大值已经移 动到了微波波段，这就是宇宙微波背景辐射(CMBR, Cosmic Microwave Background Radiation)。
在这一段里，只想解释一下一个粒子物理的能标的大概感觉。一个电子伏特大约是等于摄氏10000度。
近代宇宙学，大爆炸模型已经被很多人接受，被称为标准宇宙模型。标准宇宙模型的基础是暴涨和RW度量。如果暴涨以后，早期宇宙是按照RW度量膨胀的，那么在极早期宇宙，宇宙以相对论性的粒子为主。因为这个时候粒子的速度非常大，能量非常高，所以粒子的静质量可以忽视，电子和质子全可以近似看成无质量粒子。因此扭量理论处理无质量粒子，也可以近似地处理早期宇宙的量子场论情景。
早期宇宙是极高温度和极高密度的均匀气体——在这里，著者用词非常小心哆嗦，因为其实宇宙早期的气体是不是均匀这是一个大问题——，但是，总之，随着宇宙的膨胀，尺度因子变大，早期宇宙的温度就反比例地降低了，为什么是反比例呢？
因为宇宙的尺度因子和光子波长成正比，随着宇宙的膨胀，尺度因子变大。因此光子波长正比例变长。因为波长和频率的乘积是光速，是一个常数，所以光子的频率与宇宙的尺度因子成反比。这就是宇宙学红移将引起光子的能量变低。能量在热力学上是波尔兹曼常数和温度的乘积，能量同时与光子频率成正比，所以光子的频率应该与温度成正比。所以尺度因子应该与温度成反比。
当温度降低到退耦温度(Td=0.26eV，相当于3000K)以下时，质子与电子会结合起来生成氢原子。当大多数自由电子被质子俘获后，光子就可以自由地在宇宙中传播，即宇宙对光子变得透明了，这就是我们能够观察到的宇宙中最早也是最古老的光，它携带了宇宙大爆炸后遗留下来的信息。由于宇宙学红移，现在观察到大爆炸后遗留下来光子频率的极大值已经移 动到了微波波段，这就是宇宙微波背景辐射(CMBR, Cosmic Microwave Background Radiation)。
在这一段里，只想解释一下一个粒子物理的能标的大概感觉。一个电子伏特大约是等于摄氏10000度。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-10 15:19:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-12 13:06:00
第十二章 黑洞的惊鸿一瞥
（1）
苹果落地的那一天，牛顿顿悟了引力可以延伸到月球，万有引力的平方反比性质是一个近似，其实这个力还应该包含立方反比项，已经其他更加高级的反比项，这些附加项在引力变强的时候不能忽律，时空的性质将发生异常的改变。
引力为什么和其他三种力那么不一样？
引力是这4个力中唯一能决定和改变时空的因果结构的力。
黑洞是渐近平坦时空里的概念。它的存在，似乎告诉人们一切全有终结。
在几乎所有的物理学的书籍中，可能费曼的三卷物理学讲义最引人注目，这个讲义大致是1960年代他在加洲理工大学给大学一年级与二年级的学生做的演讲。当时大概有180个学生聚集在一个大的演讲厅里，一周两次去听物理学家费曼的讲座。这些学生在听完以后分成15到20个人一组在助教的指导下背诵和理解这些讲座。费曼说在这些讲座的最主要的任务是要使得那些从高中来到加洲理工的非常聪明的学生保持他们对物理学的热情。因为这些学生他们曾经听说过物理学是多么有趣以及激动人心——相对论，量子力学，以及其他现代的观念。但是一般地，在他们真正进入大学的前期2年的入门课程里，他们往往听到的是让人沮丧的缺乏现代新鲜感的课程。这些学生们被迫着去研究斜面，静电学，诸如此类有点罗嗦的东西，其实这些东西有的学生在高中的时候就了解的很清楚了。所以，一般来说，大学物理系的前2年非常徒劳。费曼用他的精彩讲座试图来改变这样的局面。他的讲座里，也讲了一两次广义相对论。
古典的传统的物理学确实有非常令人乏味的地方。在大学里，很多年轻学生对诸如“黑洞”，“虫洞”这样的事物充满激情和美丽幻想。
这就是生活。
很多人全幻想着超越生活。
黑洞。
最早使用这个名词的人是费曼的导师，后者被称为“美国相对论之父”，因为爱因斯坦之后，几乎在美国的所有一流的相对论专家，全是他的徒弟和徒孙，他的学生包括贝肯斯坦，盖罗奇（R.Geroch），米斯纳（Misner），索恩（K.Thorne），沃德（R.Wald）。他就是惠勒。附带地说，我上研究生的时候，在学校里听一位印度学者做相对论的报告，这位学者在开场白里戏称刘辽为“Father of Chinese General Relativity”，当时座下的刘辽教授当即表示了谦虚地反对，于是，大家一笑而过，实际上中国的相对论研究，起源于周培源等先生的工作，后来比较著名的就是胡宁，方%励%之，郭汉英等等老前辈，具体的细节不能详细谈论，但方%励%之因为牵扯到1989年的民主问题，而出走美国，其实1989年的事件起源于大学生企图和政府平等对话，而对话被当局拒绝，我的师姐柴%玲%等被运动推到前台，她希望用流血来警醒中国，但同时表示“为这样的中国，不值得”，公正评价这段历史故事需要时间，但当下的中国经济发展，社会繁荣，也实属不易，这是一个大国最近的民主故事，虽然有很多戏剧的成分。回到相对论，但后来周培源喜欢上了湍流，湍流是自然界里常见的现象，当我们给一杯水加热，那么一开始热传导方程可以很好地被使用，我们甚至可以预见加热多长时间后水将要沸腾，在沸腾之前，水面是那么平静，平静地让你觉得不再希奇。但事情没有那样简单，一旦水开始沸腾了，平静的水面上开始出现渐渐出现诡波谲流，继续加热，水就沸腾了。这是一个普通的场景，但对瓦特来说，这就是蒸汽机，对于1883年的雷诺（Reynolds）来说，这也许是另一个奇异的世界，雷诺指出：当流体的雷诺系数R大于某个临界值Rc时，流体就从层流向湍流转化。不久，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而他始终没有得到明确的结果。后来人们发现，描述湍流的动力学性质，最好的方程是Navier-Stokes方程。Navier-Stokes也是2阶非线性方程。
总之后来的中国，相对论研究不是很热闹，在文化大革命时期，掀起了批判相对论和爱因斯坦的高潮，封建社会主义露出畸形的一面。刘辽受到一定的迫害，但坚贞不屈，证明了知识分子真是社会的良心。
其实很多人有报国的情怀，可是在很多问题上意见相左，这就是历史。
（1）
苹果落地的那一天，牛顿顿悟了引力可以延伸到月球，万有引力的平方反比性质是一个近似，其实这个力还应该包含立方反比项，已经其他更加高级的反比项，这些附加项在引力变强的时候不能忽律，时空的性质将发生异常的改变。
引力为什么和其他三种力那么不一样？
引力是这4个力中唯一能决定和改变时空的因果结构的力。
黑洞是渐近平坦时空里的概念。它的存在，似乎告诉人们一切全有终结。
在几乎所有的物理学的书籍中，可能费曼的三卷物理学讲义最引人注目，这个讲义大致是1960年代他在加洲理工大学给大学一年级与二年级的学生做的演讲。当时大概有180个学生聚集在一个大的演讲厅里，一周两次去听物理学家费曼的讲座。这些学生在听完以后分成15到20个人一组在助教的指导下背诵和理解这些讲座。费曼说在这些讲座的最主要的任务是要使得那些从高中来到加洲理工的非常聪明的学生保持他们对物理学的热情。因为这些学生他们曾经听说过物理学是多么有趣以及激动人心——相对论，量子力学，以及其他现代的观念。但是一般地，在他们真正进入大学的前期2年的入门课程里，他们往往听到的是让人沮丧的缺乏现代新鲜感的课程。这些学生们被迫着去研究斜面，静电学，诸如此类有点罗嗦的东西，其实这些东西有的学生在高中的时候就了解的很清楚了。所以，一般来说，大学物理系的前2年非常徒劳。费曼用他的精彩讲座试图来改变这样的局面。他的讲座里，也讲了一两次广义相对论。
古典的传统的物理学确实有非常令人乏味的地方。在大学里，很多年轻学生对诸如“黑洞”，“虫洞”这样的事物充满激情和美丽幻想。
这就是生活。
很多人全幻想着超越生活。
黑洞。
最早使用这个名词的人是费曼的导师，后者被称为“美国相对论之父”，因为爱因斯坦之后，几乎在美国的所有一流的相对论专家，全是他的徒弟和徒孙，他的学生包括贝肯斯坦，盖罗奇（R.Geroch），米斯纳（Misner），索恩（K.Thorne），沃德（R.Wald）。他就是惠勒。附带地说，我上研究生的时候，在学校里听一位印度学者做相对论的报告，这位学者在开场白里戏称刘辽为“Father of Chinese General Relativity”，当时座下的刘辽教授当即表示了谦虚地反对，于是，大家一笑而过，实际上中国的相对论研究，起源于周培源等先生的工作，后来比较著名的就是胡宁，方%励%之，郭汉英等等老前辈，具体的细节不能详细谈论，但方%励%之因为牵扯到1989年的民主问题，而出走美国，其实1989年的事件起源于大学生企图和政府平等对话，而对话被当局拒绝，我的师姐柴%玲%等被运动推到前台，她希望用流血来警醒中国，但同时表示“为这样的中国，不值得”，公正评价这段历史故事需要时间，但当下的中国经济发展，社会繁荣，也实属不易，这是一个大国最近的民主故事，虽然有很多戏剧的成分。回到相对论，但后来周培源喜欢上了湍流，湍流是自然界里常见的现象，当我们给一杯水加热，那么一开始热传导方程可以很好地被使用，我们甚至可以预见加热多长时间后水将要沸腾，在沸腾之前，水面是那么平静，平静地让你觉得不再希奇。但事情没有那样简单，一旦水开始沸腾了，平静的水面上开始出现渐渐出现诡波谲流，继续加热，水就沸腾了。这是一个普通的场景，但对瓦特来说，这就是蒸汽机，对于1883年的雷诺（Reynolds）来说，这也许是另一个奇异的世界，雷诺指出：当流体的雷诺系数R大于某个临界值Rc时，流体就从层流向湍流转化。不久，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而他始终没有得到明确的结果。后来人们发现，描述湍流的动力学性质，最好的方程是Navier-Stokes方程。Navier-Stokes也是2阶非线性方程。
总之后来的中国，相对论研究不是很热闹，在文化大革命时期，掀起了批判相对论和爱因斯坦的高潮，封建社会主义露出畸形的一面。刘辽受到一定的迫害，但坚贞不屈，证明了知识分子真是社会的良心。
其实很多人有报国的情怀，可是在很多问题上意见相左，这就是历史。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-12 13:46:00
（2）
在美国，惠勒1933年在欧洲研究生毕业以后就开始大展宏图，他回到美国以后在二战期间做过原子弹的研究工作。战争结束以后用计算机模拟过黑洞形成，这是一门很好的学问，现在还有人在研究形成黑洞时候的临界现象，在里面发现标度律。因为，黑洞是恒星演化的产物，恒星的核反应，这其实就是原子弹的原理，对于高密度下的物体，将有什么性质，一直到现在也不是很确定。因此对于黑洞一开始的研究，是很物理的，而不是象现在，由于霍金和彭罗斯的威望，相对论显得偏于几何和数学化。
“黑洞”这个词，在法语里感觉起来比较淫秽。但钱德拉塞卡曾经说过，广义相对论作为一门理论，其实验依据不是非常充足，但他相信，广义相对论是真理，为什么？因为从他做黑洞微扰的经验，他得到了一些震撼人心的美的体验。
黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当宇航员进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失（虽然远处的人一直能看到宇航员在那地方缓慢蠕动，步伐越来越慢，颜色越来越红，实际上那宇航员早已经进入黑洞了）。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了——时间坐标与空间坐标发生了逆转，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。
美国康奈尔大学的研究者林德勒，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。顾名思义， 这是一个视觉的界限。在广义相对论中，黑洞外面的事件视界是一个保持时空对称性的类光超曲面，这是时空的一个特征曲面。时空还有其他的特征曲面叫做无限红移面和表观视界，无限红移面又被称为类时极限面，人静止地站在地球上，人的世界线是一条类时曲线，人要保持不被地球引力吸引，人所站立的土地必须提供支持力。但站立做人不是永远可以做到的，在时空的某些区域，无论大地如何坚实，你的腿骨如何强壮，你不可能站立着保持静止不动，你若要保持静止，你的世界线将不是类时曲线，因此你将不可避免地被时空拖动。对史瓦西黑洞来讲，无限红移面和事件视界和表观视界是相互重合的。但对于转动的黑洞，对于动态的黑洞，这三个特征曲面是不重合的。
如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是：
奇点+视界=黑洞。
当然你可以问一个问题，有没有没有视界包裹的奇点？
但著者不预备在这里就讲到宇宙监督假设。只想做如下的总结。
黑洞，就好象是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对人生命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞似乎是一个完全黑色的星体——而实际上它也不是完全黑色的。
在美国，惠勒1933年在欧洲研究生毕业以后就开始大展宏图，他回到美国以后在二战期间做过原子弹的研究工作。战争结束以后用计算机模拟过黑洞形成，这是一门很好的学问，现在还有人在研究形成黑洞时候的临界现象，在里面发现标度律。因为，黑洞是恒星演化的产物，恒星的核反应，这其实就是原子弹的原理，对于高密度下的物体，将有什么性质，一直到现在也不是很确定。因此对于黑洞一开始的研究，是很物理的，而不是象现在，由于霍金和彭罗斯的威望，相对论显得偏于几何和数学化。
“黑洞”这个词，在法语里感觉起来比较淫秽。但钱德拉塞卡曾经说过，广义相对论作为一门理论，其实验依据不是非常充足，但他相信，广义相对论是真理，为什么？因为从他做黑洞微扰的经验，他得到了一些震撼人心的美的体验。
黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当宇航员进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失（虽然远处的人一直能看到宇航员在那地方缓慢蠕动，步伐越来越慢，颜色越来越红，实际上那宇航员早已经进入黑洞了）。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了——时间坐标与空间坐标发生了逆转，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。
美国康奈尔大学的研究者林德勒，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。顾名思义， 这是一个视觉的界限。在广义相对论中，黑洞外面的事件视界是一个保持时空对称性的类光超曲面，这是时空的一个特征曲面。时空还有其他的特征曲面叫做无限红移面和表观视界，无限红移面又被称为类时极限面，人静止地站在地球上，人的世界线是一条类时曲线，人要保持不被地球引力吸引，人所站立的土地必须提供支持力。但站立做人不是永远可以做到的，在时空的某些区域，无论大地如何坚实，你的腿骨如何强壮，你不可能站立着保持静止不动，你若要保持静止，你的世界线将不是类时曲线，因此你将不可避免地被时空拖动。对史瓦西黑洞来讲，无限红移面和事件视界和表观视界是相互重合的。但对于转动的黑洞，对于动态的黑洞，这三个特征曲面是不重合的。
如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是：
奇点+视界=黑洞。
当然你可以问一个问题，有没有没有视界包裹的奇点？
但著者不预备在这里就讲到宇宙监督假设。只想做如下的总结。
黑洞，就好象是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对人生命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞似乎是一个完全黑色的星体——而实际上它也不是完全黑色的。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-14 09:45:00
第十三章 史瓦西解
(1)
为了在数学上理解黑洞——现在还不能断言，在物理条件下，黑洞会必然形成——我们先来看史瓦西解。刚开始，有了爱因斯坦方程，剩下的任务就是解方程,在时空流形上每一点的切空间看，爱因斯坦方程是一个张量等式，这样的张量等式包含足够多的信息了，可以对其中的张量进行分类，比如对其中的外尔张量进行分类，称为petrov代数分类。如果在流形上附加了坐标系，那么爱因斯坦方程的解可以用分析的方法得到，解就是度量函数，是10个方程组成的偏微分方程组，这个方程非常复杂，因为它不象一般的n次代数方程，后者人们可以根据代数基本定理，可以知道，有n个解。爱因斯坦方程到底有多少解，没有人能够说出来，也不能说出来，能找到解的人就是奇才，人中龙凤。虽然人们已经发展了一系列由已知解推出未知解的生成解技术，比如纽曼在1965年就从已经知道的带电磁场的RN解中生成了带角动量的克尔-纽曼解，当然其中的生成过程用到解析延拓和复坐标系转换，可谓是变幻莫测。所谓偏微分方程，要想解答出来，很多时候就是靠特殊函数之类的方法。在我上大学的时候，对特殊函数非常不妥，当第一次读到薛定格不解偏微分方程，而用因式分解的方法，或者说，用超对称量子力学的方法得到一维谐振子的能谱的时候，我觉得整个世界是天昏地暗，薛定格的计算过程里的每一个字有豆腐干那样大，朝我迷糊的眼睛砸过来。接着看史温格（schwinger）用同样一套方法，引进了两套产生湮灭算子，表示了su（2）李代数，也就是得到了角动量，我不再怀疑道上的传言，说史温格其实比费曼还要聪明。物理学要是少了史温格，那真叫麻辣汤里忘了放辣椒，处女缺少贞操。当时的我就象一个正在祈祷的少女被惊讶,似乎看到天父的影子。
原来，schrodinger方程这样的PDE（偏微分方程），可以通过不解PDE而利用上升下降算子的代数方法来处理。 （其实用代数方法解答常微分方程，可以在历史上找到影子，亥维赛这个电机工程师把积分和微分看成是互相为导数的2个算子用代数方法解出了微分方程，其实他是利用了拉普拉斯变换）
从某个时候起，我看到Einstein方程，就会想，能不能不用PDE的方法，来解决它。
寻找爱因斯坦方程解的故事非常之长，1980年剑桥大学出版社出有一本专门这方面的书，叫《爱因斯坦方程的精确解》，作者是伦敦的Queen Mary 学院的马考可仑姆（M.MacCALLUM）和当时民主德国的几个相对论专家。作者马考可仑姆和彭罗斯在1972年写的《扭量：一种量子化场和时空的方法》已经成为最近研究扭量弦理论的人的必备参考文献。《爱因斯坦方程的精确解》这本书已经出了新版,在一次国内的相对论会议上,我听王世坤研究员说该书引用了他们以前解爱因斯坦场方程的一些结果.在一本名著里被人引用，是一件很值得高兴的事情。
中国国内也涌现过一些人解过爱因斯坦方程，比如，翻开尘封的历史之书，可以看到先驱束星北走过的峥嵘岁月崎岖山路，现在市场上有一本被批评写得比较夸张的书《束星北档案》，当然“束星北是我国早期从事相对论研究的理论物理学家之一。爱因斯坦广义相对论的引力定律，开始时只得到球对称静力场的近似解，随后Ｋ．史瓦西（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）得到球对称静力场的精确解。３０年代初，束星北曾试图推广到球对称的动力场，得到有质量辐射的近似解。……1950年代，Ｈ．外尔（Ｗｅｙｌ）、爱丁顿和爱因斯坦想通过黎曼几何把引力场和电磁场统一起来，基本没有成功。其实早在1930年前后，束星北就探索引力场与电磁场的统一理论，他考虑了引力场与电磁场的根本异同，提出用质量密度ρ和虚数电荷密度ｉσ之和ρ十ｉσ代替广义相对论中的能动张量中的质量密度ρ，从而导出一级近似的复数黎曼线元，实数部分正好代表引力场，虚数部分正好代表电磁场，并由之进一步推导出麦克斯韦方程组和洛仑兹力方程。”束星北是国内研究相对论的先驱之一，虽然他的这个工作看起来似乎有点粗糙，但他是李政道在浙江大学时的老师之一，但他后来受到了沉重的政治打击。其人生经历现在留下人们谜一样的感觉，下面是他简单的年表：
１９０７年１０月１日 出生于江苏省南通。
１９２４—１９２５年 求学于杭州之江大学一年级。
１９２５—１９２６年 求学于济南齐鲁大学二年级。
１９２６—１９２７年 求学于美国堪萨斯州拜克大学物理系三年级 。
１９２７年 在 美国旧金山加州大学学习。
１９２７—９２８年 经日本、朝鲜，过莫斯科、华沙到柏林、汉诺威等欧洲各地游历及工作。
１９２８—１９３０年 在英国爱丁堡大学攻读研究生，获硕士学位。
１９３０年 在英国剑桥大学攻读研究生。
１９３０—１９３１年 任美国麻省理工学院研究生兼研究助教。１９３１年５月获理学硕士学位。
１９３２年 任南京中央军官学校物理教官。
１９３２—１９３５年 任浙江大学物理系副教授。
１９３５—１９３６年 任上海暨南大学数学系教授兼主任，上海交通大学物理系教授。
１９３６—１９５２年 任浙江大学物理系副教授、教授。
１９４４—１９４５年 被重庆军令部技术研究室借聘，研制雷达。
１９５２—１９５８年 任青岛山东大学物理系教授，海洋系气象研究室主任。
１９６０—１９７８年 在青岛医学院兼任教员。
１９７８—１９８３年 任青岛国家海洋局第一海洋研究所研究员。
１９８１—１９８３年 任山东和青岛市物理学会名誉理事长，中国海洋学会副理事长、名誉理事长。
１９８３年１０月３０日 病逝于青岛。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-14 09:56:00
（2）
回过头来，让我们重新看一下爱因斯坦方程。
时空的几何用Einstein方程G_ab=T_ab描述，场方程左边只出现背景流形的度量(以及它的派生量)而右边只出现物质场的能动张量。度量张量g-ab是场方程中最基础的概念之一，它是一个对称张量，但它同时具有（- ，+ ，+，+）的号差，称之为号差为2，这是相对论不完全等价与黎曼几何的全部原因，这样的号差使得流形成为时空，上面甚至可以有类光标架，也就是NP标架。最原初，度量它指的是两点之间距离长短，但因为是弯曲时空，所以，任意两个时空点之间的距离变得很奥妙。北京到杭州之间的球面距离，大约是1700公里，这个距离之所以能够出来，是因为，我们在地球球面上赋予了一个度量，这个度量是由3维平坦空间的欧几里得度量在球面上诱导而得到的。由此可见，假如知道了地球球面的度量，我们就可以直接算出距离。现在，史瓦西是要在爱因斯坦方程里解出度量。
爱因斯坦场方程是一个张量方程，方程的成立是不需要坐标系的，但真正的计算必然是要选择坐标系，使得这个坐标系覆盖时空流形的某个区域。很重要的一点是，人们可以在同一个地方选择不同的坐标系，但真正的物理的东西是不依赖于坐标系的选择的，这就是广义协变性。通常的比喻是这样的：时空流形好象是一个房间，而坐标系好象是摄象机，摄象机可以从不同角度来拍摄这个房间。广义协变原理指出,无论怎么拍，都是反应同样的房间，房间是不依赖于摄象机的。
第一次世界大战期间，1916年。有一个人给爱因斯坦寄来一封信，他说他找出了爱因斯坦引力方程的一个解，想要请爱因斯坦帮忙在物理学的学术大会上代为发表。写信的这个人当时在俄国，他忙着在战壕里计算弹道。战争是惨烈的，生命在弹指间灰飞烟灭。四起的狼烟与隆隆的炮声似乎为运命太息。
史瓦西在沉思。
他是德国的天文学家，欧洲一些国家要求科学家和数学家也到战争前线去，在著者看来是一件糟糕的事情。当史瓦西死的时候，爱因斯坦不无悲戚地写了悼念的文章，文章的第一句是：死神从我们的队伍里带走了卡尔.史瓦西。
史瓦西考虑的情景是最简单的，他考虑的是一个不带恒星，不带电荷和不带自转，那么，这个恒星的存在将引起时空弯曲具有球对称性。从他的解可以解释后来爱丁顿观测到的星光偏折的结论，也可以看在恒星的光子将在引力场里发生红移。
求解爱因斯坦引力方程=引力方程+对称性
他得到了一个结论：
ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] （4）
之后，他在冬天的战场上得了严重的皮肤病。
等他跑回德国就匆匆地离开了尘世。
一生象闪电般出现流星般消失。
公式（4）描写了史瓦西时空的弯曲情况，当r=2M的时候，第2项系数1/(1-2M/r)是一除以零，小学数学告诉我们这是没有意义的。所以，史瓦西解仅仅描述了r比2M大的区域，也就是恒星的外部解，但要想完全搞清楚整个史瓦西时空以及它的边界，必须使用彭罗斯图，史瓦西时空的类光无限远的附近是渐近平坦的，它可以共形嵌入到一个非物理的时空，这种嵌入不能保史瓦西时空的度量，但保持光锥结构。共形变换后的史瓦西时空将成为这个非物理时空的开子流形，而它的边界就是类光无限远——是一个在非物理时空中的类光超曲面，这个类光超曲面的拓扑是S^2 X R,它的母线是没有剪切的（shear-free），其上的外尔张量退化。这是共形嵌入的很数学的结果。这些要等我们讲到共形变换以后再讲。
要清楚地看到史瓦西时空的弯曲情况，后来的人做了很多工作，人们还试图把史瓦西时空保度量地嵌入到更高维度的时空之中，保度量的嵌入来得比较直观，比如一个篮球表面，它可以在操场上放着，保持完美的最高对称性，它保度量得嵌入在3维空间里，假定这时候来了一个调皮的小孩，她拿起篮球跑到一个小山坡上，山坡上有一个比篮球看上去小的石洞，她把篮球硬塞进了石洞之中，篮球被拓扑地嵌入了石洞之中，但不是保度量的。这样人们看问题会稍微清楚一点，Eisenhart有一个定理说，如果n维Ricci平坦的流形可以到n+1平坦空间，那么n维流形必然是Riemann平坦的。但4维史瓦西时空不是Riemann平坦的，它仅仅是Ricci平坦，所以它不能嵌入到5维平坦空间。但它可以嵌入到了6维平坦空间。 这也是米斯纳的结论，米斯纳也喜欢把时空嵌入到高维，以获得直观一点的想像。突破维数的障碍不是动辄可以完成的事情，人类被幽禁在四维时空。对从来没有见过的高维空间，正确的意识很难形成。
二战期间，太平洋的一个荒岛上有一些土著人，他们过着茹毛饮血的生活，后来美军的飞机在荒岛上中转，从战斗机上下来面带头盔的飞行员把食物和啤酒分给这些土著人，在阳光的照耀下，这些带着封闭头盔的美军飞行员非常象外星人。飞机隔三差五地来了又走，土著人经常翘首盼望美军战斗机的来临。二战结束了，美军飞行员再也没有去那个荒岛，土著人觉得外星人也许再也不会来，于是他们在荒岛上用木头搭建了战斗机的模型，在岩石上刻下面带头盔的飞行员的样子，然后虔诚地跪拜。
史瓦西时空非常象那个荒岛，我们人类就生活于此，不同于那些土著人的是，在这个时空黎曼发明了弯曲流形的几何学，爱因斯坦发展了引力理论，彭罗斯告诉我们用共形图整体地看时空……
回过头来，让我们重新看一下爱因斯坦方程。
时空的几何用Einstein方程G_ab=T_ab描述，场方程左边只出现背景流形的度量(以及它的派生量)而右边只出现物质场的能动张量。度量张量g-ab是场方程中最基础的概念之一，它是一个对称张量，但它同时具有（- ，+ ，+，+）的号差，称之为号差为2，这是相对论不完全等价与黎曼几何的全部原因，这样的号差使得流形成为时空，上面甚至可以有类光标架，也就是NP标架。最原初，度量它指的是两点之间距离长短，但因为是弯曲时空，所以，任意两个时空点之间的距离变得很奥妙。北京到杭州之间的球面距离，大约是1700公里，这个距离之所以能够出来，是因为，我们在地球球面上赋予了一个度量，这个度量是由3维平坦空间的欧几里得度量在球面上诱导而得到的。由此可见，假如知道了地球球面的度量，我们就可以直接算出距离。现在，史瓦西是要在爱因斯坦方程里解出度量。
爱因斯坦场方程是一个张量方程，方程的成立是不需要坐标系的，但真正的计算必然是要选择坐标系，使得这个坐标系覆盖时空流形的某个区域。很重要的一点是，人们可以在同一个地方选择不同的坐标系，但真正的物理的东西是不依赖于坐标系的选择的，这就是广义协变性。通常的比喻是这样的：时空流形好象是一个房间，而坐标系好象是摄象机，摄象机可以从不同角度来拍摄这个房间。广义协变原理指出,无论怎么拍，都是反应同样的房间，房间是不依赖于摄象机的。
第一次世界大战期间，1916年。有一个人给爱因斯坦寄来一封信，他说他找出了爱因斯坦引力方程的一个解，想要请爱因斯坦帮忙在物理学的学术大会上代为发表。写信的这个人当时在俄国，他忙着在战壕里计算弹道。战争是惨烈的，生命在弹指间灰飞烟灭。四起的狼烟与隆隆的炮声似乎为运命太息。
史瓦西在沉思。
他是德国的天文学家，欧洲一些国家要求科学家和数学家也到战争前线去，在著者看来是一件糟糕的事情。当史瓦西死的时候，爱因斯坦不无悲戚地写了悼念的文章，文章的第一句是：死神从我们的队伍里带走了卡尔.史瓦西。
史瓦西考虑的情景是最简单的，他考虑的是一个不带恒星，不带电荷和不带自转，那么，这个恒星的存在将引起时空弯曲具有球对称性。从他的解可以解释后来爱丁顿观测到的星光偏折的结论，也可以看在恒星的光子将在引力场里发生红移。
求解爱因斯坦引力方程=引力方程+对称性
他得到了一个结论：
ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] （4）
之后，他在冬天的战场上得了严重的皮肤病。
等他跑回德国就匆匆地离开了尘世。
一生象闪电般出现流星般消失。
公式（4）描写了史瓦西时空的弯曲情况，当r=2M的时候，第2项系数1/(1-2M/r)是一除以零，小学数学告诉我们这是没有意义的。所以，史瓦西解仅仅描述了r比2M大的区域，也就是恒星的外部解，但要想完全搞清楚整个史瓦西时空以及它的边界，必须使用彭罗斯图，史瓦西时空的类光无限远的附近是渐近平坦的，它可以共形嵌入到一个非物理的时空，这种嵌入不能保史瓦西时空的度量，但保持光锥结构。共形变换后的史瓦西时空将成为这个非物理时空的开子流形，而它的边界就是类光无限远——是一个在非物理时空中的类光超曲面，这个类光超曲面的拓扑是S^2 X R,它的母线是没有剪切的（shear-free），其上的外尔张量退化。这是共形嵌入的很数学的结果。这些要等我们讲到共形变换以后再讲。
要清楚地看到史瓦西时空的弯曲情况，后来的人做了很多工作，人们还试图把史瓦西时空保度量地嵌入到更高维度的时空之中，保度量的嵌入来得比较直观，比如一个篮球表面，它可以在操场上放着，保持完美的最高对称性，它保度量得嵌入在3维空间里，假定这时候来了一个调皮的小孩，她拿起篮球跑到一个小山坡上，山坡上有一个比篮球看上去小的石洞，她把篮球硬塞进了石洞之中，篮球被拓扑地嵌入了石洞之中，但不是保度量的。这样人们看问题会稍微清楚一点，Eisenhart有一个定理说，如果n维Ricci平坦的流形可以到n+1平坦空间，那么n维流形必然是Riemann平坦的。但4维史瓦西时空不是Riemann平坦的，它仅仅是Ricci平坦，所以它不能嵌入到5维平坦空间。但它可以嵌入到了6维平坦空间。 这也是米斯纳的结论，米斯纳也喜欢把时空嵌入到高维，以获得直观一点的想像。突破维数的障碍不是动辄可以完成的事情，人类被幽禁在四维时空。对从来没有见过的高维空间，正确的意识很难形成。
二战期间，太平洋的一个荒岛上有一些土著人，他们过着茹毛饮血的生活，后来美军的飞机在荒岛上中转，从战斗机上下来面带头盔的飞行员把食物和啤酒分给这些土著人，在阳光的照耀下，这些带着封闭头盔的美军飞行员非常象外星人。飞机隔三差五地来了又走，土著人经常翘首盼望美军战斗机的来临。二战结束了，美军飞行员再也没有去那个荒岛，土著人觉得外星人也许再也不会来，于是他们在荒岛上用木头搭建了战斗机的模型，在岩石上刻下面带头盔的飞行员的样子，然后虔诚地跪拜。
史瓦西时空非常象那个荒岛，我们人类就生活于此，不同于那些土著人的是，在这个时空黎曼发明了弯曲流形的几何学，爱因斯坦发展了引力理论，彭罗斯告诉我们用共形图整体地看时空……
作者：秋燕饵 时间：2006-11-15
10:33:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-15 11:16:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-15 11:17:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-15 11:48:00
第十四章 伯克霍夫定理
(1)
史瓦西解是真空爱因斯坦方程的球对称解，于是，有一个很自然的问题就是，真空爱因斯坦方程的球对称解是不是一定是史瓦西解？答案是肯定的，这就是著名的伯克霍夫（Birkhoff）定理,虽然1923年的伯克霍夫是这样表达他的定理的：真空爱因斯坦方程的球对称解一定是静态的。这个原始表达在1964年被苏联的佩多夫批评，因为史瓦西解内部解就是真空爱因斯坦方程的球对称解，但它不是静态的。
这样讲已经有点难了。但所谓的史瓦西解内部解大致就是黑洞内部，黑洞内部的质点要不断撞向中心的奇点而不能停止，因此，显然不是静态的。关于静态时空的严格定义马上就会写到。
伯克霍夫生前来过中国,他是一个美国数学家，也是研究动力学系统演化的鼻祖之一，什么叫动力学呢？通俗地说，方程中出现对速度做时间微分，或者说出现加速度，那就叫动力学。
动力学的一个特点是，系统在时间里演化。一个人的一生，一个星的一生，一个宇宙的一生，全是在时间里演化的。但在相对论里，用四维的眼光看问题，会有一个基本的障碍，这个障碍在于，如何定义时间。
什么是时间？
爱因斯坦曾经说过：时间是一个错觉。
威腾讲：时间应该被埋葬。
广义相对论是一个背景不依赖的理论，也就是说，万有引力可以被认为不是一种力，而仅仅是时空背景本身。一只蚂蚁趴在一个大象的背上，蚂蚁可能觉得大象不会运动。对于蚂蚁来说，大象就是一个背景。时空很象是一只大象，控制这个大象活动的物理学规律就是广义相对论。
对4维时空做了认为的3+1分解之后，可以考虑3维空间超曲面随着时间的演化。
4=3+1+演化
动力学系统可以用Hamilton体系来阐述。正则量子化也在Hamilton体系体系下进行。Hamilton力学在数学上就是“辛流形”。“辛流形”是华罗庚对“symplectic manifold”的翻译。symplectic这个词也是外国数学家外尔造出来的，这个数学家一开始发现，这种流形上可以定义处处非退化的闭的2形式场，于是觉得这个问题真是忒复杂，那得给这个复杂的小孩造一个名字，于是想叫它“complex manifold”（复杂的流形）。但是数学家发现，不妥啊，complex manifold已给复数流形做名字了，那很混淆啊，于是这位大数学家有点生气了，觉得不应该叫它复杂流形，而反其道而行之，叫它简单流形，于是就生造了一个与simple相近的词语，symplectic。但这个事情到了中国，华罗庚考虑了，他想，我们得用天干地支，于是子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥里一找，觉得应该从甲乙丙丁戊己庚辛壬癸里排查，最后选择了辛。这一次遴选在技术上不亚于皇宫在民间选妃，这个妃子被选上以后，明显影响了数学的历史。民国时代的中国数学家喜欢中华文化，比如把复正交群叫做酉群。
在量子力学中，氢原子的能级，体现出的是SO （4）的对称性，这叫动力学对称性，直观地看，氢原子的存在使得位形空间具有的是SO （3）的对称性。所以，动力学对称性是高于位形空间的对称性。
动力学的对称性是非常重要的，伯克霍夫定理是一种动力学的对称性的体现，在loop量子引力中，所要解答的哈密顿约束——是一个量子算子，也就是要研究这个理论的动力学对称性，但在那里人们更加关心的是这个量子算子的解空间。 比如高中数学里的2次方程，它有实数解的条件是根的判别式要大于零。在loop量子引力里，哈密顿约束的解是什么，还不清楚。
要想在直观上理解伯克霍夫定理，不是一件容易的事情。史瓦西解实际上不是覆盖整个时空的，它的外部解大致可以描述太阳外部的时空弯曲的情况，假如不考虑太阳的自转。这个解很有实际意义，因为地球运行在被史瓦西解刻画的时空之中。这样的时空到底有性质呢？地球每一年绕着太阳转一圈，它的轨道每年都几乎是一样的——这一点很重要，假如地球和太阳之间的距离，是随着年头而变化的，换句话说，假如地球在1689年离太阳很近，热得要死，在1989年又离太阳很远，冷得要死，那么，这样的地球和太阳的距离具有振荡型的时空就不是我们所熟悉的史瓦西解所刻画的时空了。史瓦西解刻画的空间不随着时间演变，大致地称这样的时空为静态时空。当然这是一个很不严格的说法，在几何意义上，要想定义静态时空，首先要定义稳态时空。
稳态时空的定义为，时空区域存在一个处处类时的凯林（killing）矢量场。这相当于说，度量沿着时间平移不变，也就是时空具有时间平移的不变性。粗率地说就是存在这样的度量矩阵，使得这个矩阵的各个分量对时间求导全是零，如果是这样，人们就说，时空是稳态的。如果时空不仅稳态，而且还有更加好的性质——存在与该类时killing矢量场正交的超曲面，那么，这个时空就是静态时空，不但具有时间平移不变性，而且具有时间反演不变性。
史瓦西外部（r>2M时）线元：
ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] （4）
观察一下（4）这个度量，坐标t是时间吗？抑或r是时间？因为是外部解，r>2M，所以线元的第一项是负的，第一项表示时间项，也就是说坐标t是时间。那么，度量矩阵的各个分量对时间求导全是零，可见，史瓦西外部是稳态的。而要判定它是不是静态的，就需要证明这个类时killing矢量场是超曲面正交的，在数学上有复杂性，原则上就是用到微分几何的佛罗般尼斯定理。 这就是所说的可积条件。在三维空间的矢量分析中，我们知道，一个矢量场如果可以写成一个标量场的微分，那么这个标量场就是这个矢量场的势，也就是这个矢量场的积分。这就是可积的情景。假如这个矢量场是有旋度的，那么这个矢量场就没有势，也就是不可积的了。
以上讲的这些，已经不是很通俗，缺少演义的成分，但对很多有钻研精神的读者，这是一个值得好好注意的地方。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-15 12:01:00
（2）
非常粗拙地说：证明一个矢量场与一个超曲面正交，还有一些可能是思路。比如要证明某电电荷与一个包围它的二维球面处处正交，我们知道，这就是点电荷的高斯通量。
那么有没有可能，点电荷产生的电场与这个二维球面处处不正交呢？
可以用反证法，假定这个电场与球面相交处处有切分量，于是在球面上就有光滑的切矢量场，但这些切分量不可能光滑地布满整个二维球面——原因是因为霍普夫—庞加莱（Hopf—poincare）指数定理，——也就是在前面第七章的内容。于是，只好让所有的切分量全退化，那么，这个矢量场就与二维球面处处正交了。 从霍普夫—庞加莱（Hopf—poincare）指数可以看出，任何时刻，地球上不可能处处刮风。或者说人的头发上总有旋涡，这也是同样道理。说白了，这还是拓扑与几何之间的限制。
什么叫球对称时空呢？
时空由度量刻画，度量沿着一个矢量场不变，那么称矢量场为凯林（killing）场。凯林（killing）场是等度量群的生成元。如果时空存在3个凯林（killing）场，这三个场它们能生成SO（3）群，就称时空是球对称的。 SO（3）群其实就是2维球面的等度量群，或者说对称性群。
一个不转动的星体外部的时空，是球对称的。如果你假想太阳是一个质点，在它的史瓦西半径之外，你可以做一个等半径的球面，这个球面上r和t全是常数。这样的话，你其实得到了一个2维球面。
伯克霍夫定理表明，假如这个星体在球对称地震荡或者收缩，它外部的时空依然是球对称静态的。静态表明时空存在额外的类时凯林（killing）场。所以伯克霍夫定理可表示为：
真空爱因斯坦方程+SO（3）对称性====》额外的类时凯林（killing）场。
对于一般读者，读了这里还不满足，著者建议参考霍金和爱里斯的《大尺度时空结构》的附录B。这本书的中英文版本，也已经在中国大陆出版了。
非常粗拙地说：证明一个矢量场与一个超曲面正交，还有一些可能是思路。比如要证明某电电荷与一个包围它的二维球面处处正交，我们知道，这就是点电荷的高斯通量。
那么有没有可能，点电荷产生的电场与这个二维球面处处不正交呢？
可以用反证法，假定这个电场与球面相交处处有切分量，于是在球面上就有光滑的切矢量场，但这些切分量不可能光滑地布满整个二维球面——原因是因为霍普夫—庞加莱（Hopf—poincare）指数定理，——也就是在前面第七章的内容。于是，只好让所有的切分量全退化，那么，这个矢量场就与二维球面处处正交了。 从霍普夫—庞加莱（Hopf—poincare）指数可以看出，任何时刻，地球上不可能处处刮风。或者说人的头发上总有旋涡，这也是同样道理。说白了，这还是拓扑与几何之间的限制。
什么叫球对称时空呢？
时空由度量刻画，度量沿着一个矢量场不变，那么称矢量场为凯林（killing）场。凯林（killing）场是等度量群的生成元。如果时空存在3个凯林（killing）场，这三个场它们能生成SO（3）群，就称时空是球对称的。 SO（3）群其实就是2维球面的等度量群，或者说对称性群。
一个不转动的星体外部的时空，是球对称的。如果你假想太阳是一个质点，在它的史瓦西半径之外，你可以做一个等半径的球面，这个球面上r和t全是常数。这样的话，你其实得到了一个2维球面。
伯克霍夫定理表明，假如这个星体在球对称地震荡或者收缩，它外部的时空依然是球对称静态的。静态表明时空存在额外的类时凯林（killing）场。所以伯克霍夫定理可表示为：
真空爱因斯坦方程+SO（3）对称性====》额外的类时凯林（killing）场。
对于一般读者，读了这里还不满足，著者建议参考霍金和爱里斯的《大尺度时空结构》的附录B。这本书的中英文版本，也已经在中国大陆出版了。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-15 12:08:00
（3）
这里先不讲伯克霍夫定理了，但对其窥一斑兴许也就能知全豹了。余下的问题就是，听说宇宙不是静态的，它在膨胀，如何理解？
已知了静态时空的定义，回头来看宇宙，宇宙是不是静态的，这是一个很重要而且迫切的问题，爱因斯坦曾经有一段时间，深受牛顿等人的影响，认为宇宙是静态的，或者说，爱因斯坦那样深刻的人，也曾经错误地认为，宇宙是一个存在，它亘古不变。
昔日的神甫，勒梅特（Lemaitre.Georges）生于1894年，在中国来讲当时正好是中日甲午战争时代，第一次世界大战爆发了，年轻的勒梅特作为土木工程师在比利时军队中担任炮兵军官。战后，他进入神学院并在1923年接受神职,担任司铎，也就是一个神甫，故事也就在这个时候，要开始了，历史选择了他来拉开现代宇宙论的帷幕，作为一个神甫，他可能有一个考虑，就是要证明上帝创世——1923年，也是美国加洲维金森山天文台上的哈勃开始观察到星系红移的时刻——1923年和1924年间，他在剑桥大学太阳物理实验室学习，后来又到美国麻省理工学院学习，在那里他了解了美国天文学家哈勃的发现。他在1927年任卢万大学天体物理学教授时，正式地提出宇宙大爆炸理论，宇宙从一个很小的原子开始爆炸产生，用这一理论，哈勃发现的星系的退行可以在爱因斯坦广义相对论框架内得到解释。后来他的这个理论被伽莫夫所发展，大爆炸宇宙论的影响力开始空前高涨。当时的爱因斯坦还是不相信勒梅特的理论，他认为勒梅特的物理不行。但是到了1931年，爱因斯坦已经确定知道是错了，于是他去了加州，会见了哈勃和勒梅特。会见结束了，爱因斯坦认为，这是他一生最愉悦的会面，他接受了勒梅特的大爆炸宇宙学说。爱因斯坦再次认为，自己在爱因斯坦方程里引进宇宙学常数，这是他一生最大的错误。
这已经是很久以前的事情了，现在看来，大爆炸宇宙模型在大方向上完全是正确的。而用来描述大爆炸之后的宇宙，最好的度量就是RW度量，当然因为富里德曼在1922年就从爱因斯坦方程里解出了非静态的宇宙，所以RW度量又被称为FRW度量。可是，当时的富里德曼把论文投出去的时候，爱因斯坦是审稿人，他很快地枪决了富里德曼的论文，富里德曼写信申辩，爱因斯坦就不再管了，于是，富里德曼差点被埋没进了历史。
FRW度量描述我们的宇宙，这个度量把银河星系当作是尘埃（一个没有内部结构的质点）。而星系之间的距离是在膨胀的，而至于星系内部，这种膨胀效应就是很小很小了。这因为这个原因，我们才没有感觉到太阳在渐渐地远离地球，更多解释可以参考本书关于暗能量或者宇宙常数的章节。
星系之间的膨胀大致可以用哈勃定理描述，哈勃常数有一个几何解释。一个参考系也就是一个类时矢量场，矢量场有三个指标：膨胀（expansion），剪切（shear），扭转（twist），哈勃常数正是宇宙标准参考系的膨胀。宇宙的各向同性观察者对应的类时矢量场的扭转为零，扭转为零的矢量场是超曲面正交的，这个超曲面，正是我们宇宙的空间部分，但因为这个类时矢量场不是凯林场，所以宇宙不是静态的。
这就是用数学方法，很好地解释了宇宙的膨胀，这里值得强调的是矢量场有三个指标：膨胀（expansion），剪切（shear），扭转（twist）。研究流体力学的人，多数能体会到这背后的含义。
宇宙不是静态的，宇宙包含了太阳系，但太阳系（史瓦西外部解）是静态的，这是不是互相矛盾了呢？
当我们谈论宇宙学的时候永远要记住，银河系是一个没有大小的质点，是（假装）没有内部结构的。
太阳系是银河系边缘的一个微不足道的星系。膨胀的宇宙好像是一辆在黑暗里开动的地铁，地铁根本不在乎一只蚂蚁有没有买票上车。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 11:25:00
第十五章 从可见光到电磁张量
（1）
窗户外面阳光明媚，若你静坐在黑暗的房间里。一束光从窗户的罅隙里进入房间，你陷入了思考。《圣经》上曾经说过，上帝说要有光，于是就有了光。 我们先暂时跳开黑暗的黑洞，来分析一下光线的一些性质。
到底是谁安排这样离奇的人生？从牛顿发现三棱镜能折射出七色光线之后，16岁的少年爱因斯坦是第一次再次从不同的方向思考可见光的一个人。这个少年曾经一度不是很开心，他的世界冷漠疏离，他甚至认为，学校教育不能给他带来什么新鲜的知识，而他一生中最快乐的少年时光，也仅仅是在瑞士阿劳中学复读的那一年，偶然有些快乐。
少年的爱因斯坦曾经也思考过指南针：他的爸爸曾经送给孩提时代的爱因斯坦一个小指南针。他在磁铁上花的工夫不大，否则的话他可能是历史上最著名的凝聚态物理学家。如果你是一个小孩子，你可以思考磁铁为什么不能吸引铜这样的问题，你也可以按照爱因斯坦的思路，来思考一个的问题。
“一个人要是跑得跟光一样快，他将看到一个什么样子的世界？”
一百多年过去了，答案当然已经在相对论里面，在相对论里，一个人不能跑得跟光一样快，否则这个人的质量将是无穷大.因为狭义相对论里有一个公式
m=m0/squr(1-q^2),其中q=v/c，m0是静止质量。
同时，光子是不能做参考系的，这个是因为光子的世界线的长度总是零。
相对论到底是什么呢？它一般被认为是以下三个理论：
1。时间和空间的理论
2。能量和质量的理论
3。引力与物质的理论。
也许可以同时认为广义相对论是
4。几何光学
几何光学无疑是一门优美的数学物理理论，在牛顿之前的数学物理，达到高峰的是阿基米德，他曾经在黑暗年代豪气冲天：“给我一个支点，我就能撬动地球”。阿基米德对杠杆的熟悉把握可以从一个事情看出，那就是他利用杠杆得到了球体的体积公式。这就是他那个时代最杰出的智慧。当然中国人也丝毫没有逊色，祖冲之和他的儿子也做到了这个事情。但祖冲之的方法是纯数学的，而阿基米德的方法，是数学物理的。这也许是2000多年前的中西科学思路的微小差异的写照，而这种差异随着时间流程好象被放大镜放了一下，使得之后在中国，几乎产生不出数学物理。唯一的数学成绩是宋朝杨辉得到了牛顿二项式。宋朝是一个文弱又开明的时代，也是文人墨客大喜过望的时代。这个时候西方也几乎没有物理，除了阿基米德的杠杆，但后来到了明末清初，中国出现了王夫之，陷入天人合一之哲学思辩；而西方出现了牛顿，牛顿一生之中曾经写过两本巨著，一本就是《自然哲学的数学原理》，另外一本就是《光学》。在牛顿的这本《光学》书里，牛顿认为，引力（和电力）是明显的长程力，而他猜想可能存在其他短程力。在这一点上，牛顿的预见也是惊人的，后来的一批人，发现了奇异的原子世界，实验上发现了强衰变和弱衰变，这些衰变又各种不同的衰变道，各种变化有不同的几率，于是这个世界本质上的量子性被大家看到了。
几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说：光线从A点跑到B点，总花费最短的时间。这个费马原理是一种奇特的伟大，很多平面几何的题目可以由它迅速得到。
一个长方体的长宽高分别是12，13，23。一个蚂蚁从底面的a点爬到侧面的b点，蚂蚁能爬的最短距离是多少。这个问题当然很简单，你可以把长方体的表面展开，成为一个平面。如果是圆柱面，这个问题同样可以解答。但如果是球面，就不是那么简单了，因为你无法把一个球面展平了，于是你想要去计算这个蚂蚁从球面上a点爬到b点所需要的最短距离的时候，你陷入了僵局。
这个僵局完全可以用几何光学来处理，你可以让光线在球面上传播，但是你知道光线很难沿着球面前进，如果可以，也许必然需要引力的作用——这大约就是相对论了。
费马原理天生就是一个相对论的原理，原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲，光子跑过的时间，总等于它走过的路程，无论在谁看来，全一样。 本书将强调光线在相对论中的独特作用，主要的参考文献是彭罗斯和林德勒的《旋量和时空》，这需要很漫长的时间来阐释。
（1）
窗户外面阳光明媚，若你静坐在黑暗的房间里。一束光从窗户的罅隙里进入房间，你陷入了思考。《圣经》上曾经说过，上帝说要有光，于是就有了光。 我们先暂时跳开黑暗的黑洞，来分析一下光线的一些性质。
到底是谁安排这样离奇的人生？从牛顿发现三棱镜能折射出七色光线之后，16岁的少年爱因斯坦是第一次再次从不同的方向思考可见光的一个人。这个少年曾经一度不是很开心，他的世界冷漠疏离，他甚至认为，学校教育不能给他带来什么新鲜的知识，而他一生中最快乐的少年时光，也仅仅是在瑞士阿劳中学复读的那一年，偶然有些快乐。
少年的爱因斯坦曾经也思考过指南针：他的爸爸曾经送给孩提时代的爱因斯坦一个小指南针。他在磁铁上花的工夫不大，否则的话他可能是历史上最著名的凝聚态物理学家。如果你是一个小孩子，你可以思考磁铁为什么不能吸引铜这样的问题，你也可以按照爱因斯坦的思路，来思考一个的问题。
“一个人要是跑得跟光一样快，他将看到一个什么样子的世界？”
一百多年过去了，答案当然已经在相对论里面，在相对论里，一个人不能跑得跟光一样快，否则这个人的质量将是无穷大.因为狭义相对论里有一个公式
m=m0/squr(1-q^2),其中q=v/c，m0是静止质量。
同时，光子是不能做参考系的，这个是因为光子的世界线的长度总是零。
相对论到底是什么呢？它一般被认为是以下三个理论：
1。时间和空间的理论
2。能量和质量的理论
3。引力与物质的理论。
也许可以同时认为广义相对论是
4。几何光学
几何光学无疑是一门优美的数学物理理论，在牛顿之前的数学物理，达到高峰的是阿基米德，他曾经在黑暗年代豪气冲天：“给我一个支点，我就能撬动地球”。阿基米德对杠杆的熟悉把握可以从一个事情看出，那就是他利用杠杆得到了球体的体积公式。这就是他那个时代最杰出的智慧。当然中国人也丝毫没有逊色，祖冲之和他的儿子也做到了这个事情。但祖冲之的方法是纯数学的，而阿基米德的方法，是数学物理的。这也许是2000多年前的中西科学思路的微小差异的写照，而这种差异随着时间流程好象被放大镜放了一下，使得之后在中国，几乎产生不出数学物理。唯一的数学成绩是宋朝杨辉得到了牛顿二项式。宋朝是一个文弱又开明的时代，也是文人墨客大喜过望的时代。这个时候西方也几乎没有物理，除了阿基米德的杠杆，但后来到了明末清初，中国出现了王夫之，陷入天人合一之哲学思辩；而西方出现了牛顿，牛顿一生之中曾经写过两本巨著，一本就是《自然哲学的数学原理》，另外一本就是《光学》。在牛顿的这本《光学》书里，牛顿认为，引力（和电力）是明显的长程力，而他猜想可能存在其他短程力。在这一点上，牛顿的预见也是惊人的，后来的一批人，发现了奇异的原子世界，实验上发现了强衰变和弱衰变，这些衰变又各种不同的衰变道，各种变化有不同的几率，于是这个世界本质上的量子性被大家看到了。
几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说：光线从A点跑到B点，总花费最短的时间。这个费马原理是一种奇特的伟大，很多平面几何的题目可以由它迅速得到。
一个长方体的长宽高分别是12，13，23。一个蚂蚁从底面的a点爬到侧面的b点，蚂蚁能爬的最短距离是多少。这个问题当然很简单，你可以把长方体的表面展开，成为一个平面。如果是圆柱面，这个问题同样可以解答。但如果是球面，就不是那么简单了，因为你无法把一个球面展平了，于是你想要去计算这个蚂蚁从球面上a点爬到b点所需要的最短距离的时候，你陷入了僵局。
这个僵局完全可以用几何光学来处理，你可以让光线在球面上传播，但是你知道光线很难沿着球面前进，如果可以，也许必然需要引力的作用——这大约就是相对论了。
费马原理天生就是一个相对论的原理，原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲，光子跑过的时间，总等于它走过的路程，无论在谁看来，全一样。 本书将强调光线在相对论中的独特作用，主要的参考文献是彭罗斯和林德勒的《旋量和时空》，这需要很漫长的时间来阐释。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 11:40:00
（2）
数学家伯努利或者别人用折射定理或者说斯涅尔定理得到最速降线。这是古典数学物理的伟大成就。这些结果全来自肉眼可以看到的可见光的运动规律。
整个牛顿时代的天空只有白天和黑夜，从来也没有灯光绚烂的不夜之城，没有灯红酒绿的街楼市景，大家还点着煤油灯 ，过着寂寞的日子。但有的人也许曾经向往光明，这是人类的追求。顾城后来写到“黑夜给了我黑色的眼睛，我全用它来寻找光明”。顾城的诗在物理学历史上没有多少象征意义，古代人在等待着一个灯火绚烂夜夜笙歌的时代的来临。某一天阳光不再普照大地，电光也能照亮璀璨俗世。
人们是在历史里等待。等待与太阳光不一样的灯火的出现。
牛顿时代没有霓虹，唯一的电磁现象是太阳光。牛顿把握住了光的折射，但没有可能得到光的进一步的性质，这需要法拉第和麦克斯维来完成。
没有人可以超越时代，风流总被雨打风吹过。宋朝苏轼写下《赤壁怀古》
“大江东去，浪淘尽，千古风流人物。古垒西边，人道是三国周朗赤壁，惊涛拍岸，卷起千堆雪。遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。故国神游，多情应笑我，早生华发，人生如梦，一尊还酹江月。”
在此反思牛顿的业绩，牛顿在那个黑暗时代最接近广义相对论的时候，是提出牛顿水桶的思想实验，而可以相信，牛顿水桶，无非就是200多年后的爱因斯坦转盘。
牛顿水桶和马赫把水桶壁加厚的争论，非常哲学，在现代广义相对论里，爱因斯坦提出一个平面转盘，这个转盘在平坦的四维时空里转动，因为转盘上不同半径上的观察者，转动角速度一样，而线速度不一样，所以根据狭义相对论的尺缩效应，平面转盘必然需要扭曲。这个思想实验完全与牛顿水桶一样，用现代的数学语言来说：转盘上的观察者组成的参考系，它们是一组4矢量场，这矢量场的扭转（twist）非零，所以它无法超曲面正交。或者说，它们无法有同时面。
牛顿属于他的时代，但他对光学的审美可以与万有引力统一起来，广义相对论在一定程度上可以再次被看成是一种几何光学。
我们绕过爱因斯坦，直接找到了彭罗斯。从彭罗斯主义出发，二分量旋量正好是类光矢量的平方根。
但这一章还没有机会详细介绍二分量旋量，我们先在这里留一个悬念。
二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。如果一定要找一个类比，也许二分量旋量就是经济学里索罗斯的反射理论。我们大致可以知道，在经济学里，一个商品的价格是大约反映价值，但细节非常复杂，因为价值不可具体算出，而价格可以有很大的涨落。广义相对论也一样，虽然几何学大约反映物质的分布。但实质上几何里含有更多的信息，这更多的信息就是引力。因为引力就是黎曼曲率，但黎曼曲率中真正反映物质的自由度的是里奇张量，而反映引力自由度的是外尔张量。总之，我们将在以后的章节讨论其细节，现在只需要知道：1。二分量旋量正好是类光矢量的平方根。2。二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。
数学家伯努利或者别人用折射定理或者说斯涅尔定理得到最速降线。这是古典数学物理的伟大成就。这些结果全来自肉眼可以看到的可见光的运动规律。
整个牛顿时代的天空只有白天和黑夜，从来也没有灯光绚烂的不夜之城，没有灯红酒绿的街楼市景，大家还点着煤油灯 ，过着寂寞的日子。但有的人也许曾经向往光明，这是人类的追求。顾城后来写到“黑夜给了我黑色的眼睛，我全用它来寻找光明”。顾城的诗在物理学历史上没有多少象征意义，古代人在等待着一个灯火绚烂夜夜笙歌的时代的来临。某一天阳光不再普照大地，电光也能照亮璀璨俗世。
人们是在历史里等待。等待与太阳光不一样的灯火的出现。
牛顿时代没有霓虹，唯一的电磁现象是太阳光。牛顿把握住了光的折射，但没有可能得到光的进一步的性质，这需要法拉第和麦克斯维来完成。
没有人可以超越时代，风流总被雨打风吹过。宋朝苏轼写下《赤壁怀古》
“大江东去，浪淘尽，千古风流人物。古垒西边，人道是三国周朗赤壁，惊涛拍岸，卷起千堆雪。遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。故国神游，多情应笑我，早生华发，人生如梦，一尊还酹江月。”
在此反思牛顿的业绩，牛顿在那个黑暗时代最接近广义相对论的时候，是提出牛顿水桶的思想实验，而可以相信，牛顿水桶，无非就是200多年后的爱因斯坦转盘。
牛顿水桶和马赫把水桶壁加厚的争论，非常哲学，在现代广义相对论里，爱因斯坦提出一个平面转盘，这个转盘在平坦的四维时空里转动，因为转盘上不同半径上的观察者，转动角速度一样，而线速度不一样，所以根据狭义相对论的尺缩效应，平面转盘必然需要扭曲。这个思想实验完全与牛顿水桶一样，用现代的数学语言来说：转盘上的观察者组成的参考系，它们是一组4矢量场，这矢量场的扭转（twist）非零，所以它无法超曲面正交。或者说，它们无法有同时面。
牛顿属于他的时代，但他对光学的审美可以与万有引力统一起来，广义相对论在一定程度上可以再次被看成是一种几何光学。
我们绕过爱因斯坦，直接找到了彭罗斯。从彭罗斯主义出发，二分量旋量正好是类光矢量的平方根。
但这一章还没有机会详细介绍二分量旋量，我们先在这里留一个悬念。
二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。如果一定要找一个类比，也许二分量旋量就是经济学里索罗斯的反射理论。我们大致可以知道，在经济学里，一个商品的价格是大约反映价值，但细节非常复杂，因为价值不可具体算出，而价格可以有很大的涨落。广义相对论也一样，虽然几何学大约反映物质的分布。但实质上几何里含有更多的信息，这更多的信息就是引力。因为引力就是黎曼曲率，但黎曼曲率中真正反映物质的自由度的是里奇张量，而反映引力自由度的是外尔张量。总之，我们将在以后的章节讨论其细节，现在只需要知道：1。二分量旋量正好是类光矢量的平方根。2。二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 11:45:00
（3）
光是宇宙与地球之间的最紧密的纽带。而光速的有限性小说家可以构造无穷多凄美的爱情故事。
如果你现在是深圳城市里的一个23岁的男孩子，开始在公司上班，每天忙得象一个雨前的蚂蚁，在都市的高楼丛林里穿梭。织女星上“现在”有一个女孩，她用天文望远镜朝地球望去，能看到26年前的地球景象，她“现在”看到的是中国刚刚打开国门，深圳还是一片农村，你还没有出生。她在远方，经历多年的风霜月痕，要等待着你的出生，与你相爱。光速的有限性在体现出来了。
当然你也可以反过来问一句，那么，什么是所谓织女星上的“现在”？如何定义地球和织女星的同时面？你如何才能告诉那个织女星上的女孩子，告诉她你已经出生了，并且也很爱她。
你需要面临的是一场穿越时空的爱恋。
总的来说，这就是时空结构。时空结构就象是一条鲸鱼，而人类就象是活在鲸鱼背脊的小动物，以前这些小动物以为自己生活在小岛之上，现在他们开始觉悟了，自己是生活在另外一个动物之上。
唐代杜牧在《秋夕》中写道:“银烛秋光冷画屏,轻罗小扇扑流萤。天阶夜色凉如水,坐看牵牛织女星。”这是无比欢乐的古代的少女生活的写照，也是时空之中优美的图案。但他没有办法知道具体的时空结构是什么，现在的人是何其幸运。
因为只要你想守望星空，你已经有机会完全地理解时空结构。看到漫天星光，懂得如何能让自己超越璀璨俗世。
光是宇宙与地球之间的最紧密的纽带。而光速的有限性小说家可以构造无穷多凄美的爱情故事。
如果你现在是深圳城市里的一个23岁的男孩子，开始在公司上班，每天忙得象一个雨前的蚂蚁，在都市的高楼丛林里穿梭。织女星上“现在”有一个女孩，她用天文望远镜朝地球望去，能看到26年前的地球景象，她“现在”看到的是中国刚刚打开国门，深圳还是一片农村，你还没有出生。她在远方，经历多年的风霜月痕，要等待着你的出生，与你相爱。光速的有限性在体现出来了。
当然你也可以反过来问一句，那么，什么是所谓织女星上的“现在”？如何定义地球和织女星的同时面？你如何才能告诉那个织女星上的女孩子，告诉她你已经出生了，并且也很爱她。
你需要面临的是一场穿越时空的爱恋。
总的来说，这就是时空结构。时空结构就象是一条鲸鱼，而人类就象是活在鲸鱼背脊的小动物，以前这些小动物以为自己生活在小岛之上，现在他们开始觉悟了，自己是生活在另外一个动物之上。
唐代杜牧在《秋夕》中写道:“银烛秋光冷画屏,轻罗小扇扑流萤。天阶夜色凉如水,坐看牵牛织女星。”这是无比欢乐的古代的少女生活的写照，也是时空之中优美的图案。但他没有办法知道具体的时空结构是什么，现在的人是何其幸运。
因为只要你想守望星空，你已经有机会完全地理解时空结构。看到漫天星光，懂得如何能让自己超越璀璨俗世。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 12:03:00
（4）
时空结构是由物质分布决定的，但它可以通过上面的类光测地线的性质来描述。
哥腾伯格—塞司（goldberg-sach）定理从类光测地线汇可以推论出外尔张量的代数性质……塞司是一个相对论学家，他和一个华人数学家伍洪熙合写了一本相对论的书，书名叫《给数学家讲广义相对论》。哥腾伯格—塞司定理是一个代数定理，它涉及到外尔张量的代数性质。因为外尔张量是一个具有四个指标的张量，比较复杂。
我们可以首先看看比较简单的电磁张量F-ab，F-ab具有2个指标，是一个2形式场。 先不考虑弯曲时空，在平坦时空上一个电磁场，它的电场和磁场可以组成一个4乘4的反对称矩阵。这个4乘4的反对称矩阵，就是电磁张量在坐标系下的表现。
众所周知，一个点电荷的静电场在另外一个有速度的观察者看来，不但有电场，还有磁场。但我们知道，这个运动观察者无论他的速度有大，他不可能只看到磁场不看到电场。这就是一个重要的结论，在洛仑兹变换下，电场的平方减去磁场的平方是一个洛仑兹不变量。
这个不变量可以用电磁张量的自我缩并来实现。张量的自我缩并是一个标量，天生就具有洛仑兹不变性，也就是说，这个结果是不依赖于观察者的。
因此，电场和磁场是依赖于观察者的，而它们组成的电磁张量是一个绝对客观的东西。
这个结果可以推到弯曲时空，但我们先要继续介绍一个概念，那就是霍奇对偶。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 12:27:00
（5）
霍奇对偶是微分几何里的重要的概念，它总是在m维流形上定义，把一个p形式对应为一个（m-p）形式。在4维中，因为电磁场是2形式，因此其对偶形式也是2形式。这就有意想不到的好处。
因此，某个4乘4的反对称矩阵，就是电磁张量在坐标系下的表现。如果你交换矩阵中电场和磁场的位置，在适当添加负号，就可以得到这个电磁张量的对偶张量在坐标系下的表现。
做完这些，你有了2个4乘4的反对称矩阵。
你把它们分别叫做矩阵小张和矩阵小王。
现在你可以让小张和小王相乘，然后取结果矩阵的迹。这就是一个另外的洛仑兹不变量：电场和磁场的乘积。
那么我们之前的不变量——电场的平方减去磁场的平方是什么呢？它不是别的东西，正是小张自己和自己相乘以后取结果矩阵的迹。
因此，我们得到了电磁场的2个洛仑兹不变量：
1．电场的平方减去磁场的平方。
2．电场和磁场的乘积。
现在来看F-ab是在四维平坦时空之上。
那么，考虑本征方程如下
F A=f A （5）
如果矢量A存在的话，显然A是一个类光矢量，本征值f是非零的复数。
这无非是说，如果把F-ab看成一个矩阵的话，那么它有特征向量，这个特征向量的长度是0，或者说零模矢量，类光矢量。
因此来一个简单的总结，电磁场张量Fab它有一个对偶场，当然就是霍奇（hodge）对偶*算子作用一下。因为时空是4维的，所以Fab对偶场*Fab也是一个2形式场。
再次用霍奇（hodge）对偶*算子作用一下*Fab，我们得到一个非常重要的方程
**Fab=-Fab （14）
由此可见在平坦时空上*算子的平方的特征值是-1。所以*算子的特征值是+i或者-i。
这预示了，量子化以后，电磁场光子的螺旋度是s=1。霍奇（hodge）对偶*算子正好是螺旋度算子。艾虚卡1985年的文章有记录。
艾虚卡（ashtekar）是比较有能力的广义相对论学家,他曾经写了一个文章,1985年,题目叫做A note on helicity and self duality.这个文章很优美,体现了他的水平。loop量子引力是什么?是一种量子场论。我某一个时间一直看不出艾虚卡思想的来源，后来看到艾虚卡的博士导师盖罗奇（geroch）1973年在芝大的讲义a special topic on particle phisics。而在这本讲量子场论的内部讲义里，完全用几何的方法演义了量子场论的一些内容。
至此，我们已经基本清楚了电磁张量的一些重要的性质。也就是说，你对电磁场的了解，已经拔高到一个很高的高度了。多余的细节我们在以后的章节展开，希望这不是拔苗助长,严谨的推导必须参考正宗的教科本。
霍奇对偶是微分几何里的重要的概念，它总是在m维流形上定义，把一个p形式对应为一个（m-p）形式。在4维中，因为电磁场是2形式，因此其对偶形式也是2形式。这就有意想不到的好处。
因此，某个4乘4的反对称矩阵，就是电磁张量在坐标系下的表现。如果你交换矩阵中电场和磁场的位置，在适当添加负号，就可以得到这个电磁张量的对偶张量在坐标系下的表现。
做完这些，你有了2个4乘4的反对称矩阵。
你把它们分别叫做矩阵小张和矩阵小王。
现在你可以让小张和小王相乘，然后取结果矩阵的迹。这就是一个另外的洛仑兹不变量：电场和磁场的乘积。
那么我们之前的不变量——电场的平方减去磁场的平方是什么呢？它不是别的东西，正是小张自己和自己相乘以后取结果矩阵的迹。
因此，我们得到了电磁场的2个洛仑兹不变量：
1．电场的平方减去磁场的平方。
2．电场和磁场的乘积。
现在来看F-ab是在四维平坦时空之上。
那么，考虑本征方程如下
F A=f A （5）
如果矢量A存在的话，显然A是一个类光矢量，本征值f是非零的复数。
这无非是说，如果把F-ab看成一个矩阵的话，那么它有特征向量，这个特征向量的长度是0，或者说零模矢量，类光矢量。
因此来一个简单的总结，电磁场张量Fab它有一个对偶场，当然就是霍奇（hodge）对偶*算子作用一下。因为时空是4维的，所以Fab对偶场*Fab也是一个2形式场。
再次用霍奇（hodge）对偶*算子作用一下*Fab，我们得到一个非常重要的方程
**Fab=-Fab （14）
由此可见在平坦时空上*算子的平方的特征值是-1。所以*算子的特征值是+i或者-i。
这预示了，量子化以后，电磁场光子的螺旋度是s=1。霍奇（hodge）对偶*算子正好是螺旋度算子。艾虚卡1985年的文章有记录。
艾虚卡（ashtekar）是比较有能力的广义相对论学家,他曾经写了一个文章,1985年,题目叫做A note on helicity and self duality.这个文章很优美,体现了他的水平。loop量子引力是什么?是一种量子场论。我某一个时间一直看不出艾虚卡思想的来源，后来看到艾虚卡的博士导师盖罗奇（geroch）1973年在芝大的讲义a special topic on particle phisics。而在这本讲量子场论的内部讲义里，完全用几何的方法演义了量子场论的一些内容。
至此，我们已经基本清楚了电磁张量的一些重要的性质。也就是说，你对电磁场的了解，已经拔高到一个很高的高度了。多余的细节我们在以后的章节展开，希望这不是拔苗助长,严谨的推导必须参考正宗的教科本。
作者：大头鱼鱼 时间：2006-11-16
13:46:00
作者：袁士霄 时间：2006-11-16
14:04:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-16 14:35:00
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-17 12:05:00
第十六章 外尔张量
（1）
如果你到过海边，比如说北戴河。
你站在海边的时候，总能看到海浪不断冲刷海滩。到了涨潮的时候，海浪会变得很大，你会思索，这个海浪是谁在给它提供能量？
这可能是一个很不简单的问题。
但粗略地说，潮汐力量就是外尔张量，外尔张量是黎曼曲率张量的一部分。
或者我们可以换一个角度。一个刚接触广义相对论的人可能会问这样的问题：“在真空之中，还有没有时空弯曲？”
一个连物质也没有的真空，时空会弯曲吗？？
一辆汽车如果没有汽油，它能在大马路上奔跑吗？当然可以，如果马路是一个很大的斜坡，也就是说汽车具有不为零的势能，（其实外尔张量相当于潮汐力）。同样道理，没有物质的时空也会弯曲，只要时空的外尔张量不为零。
因为黎曼曲率可以做分解。
彭罗斯把这分解写成科普的形式，让大家很容易记住：
黎曼=里奇+外尔
里奇是意大利数学家，他是张量分析的鼻祖。
到底什么是里奇张量，什么叫外尔张量呢？？？
在爱因斯坦自由下落的电梯里，电梯朝恒星下落，如果把电梯看成一个点，那它当然是自由落体，电梯上感受不到引力。但其实电梯总有一定的空间大小，这个时候，引力的全部效应会体现出来。
电梯里的一个气球，会被引力的潮汐力（外尔张量）拉成一个椭球面，原因是因为恒星引力场不是完全均匀的——相当于点电荷的辐射状的力线，当然要更加复杂，因为根本不存在力线，而是弯曲的几何。所以说，里奇张量在引力中使得物体朝引力源下落，而外尔张量使得物体被拉伸，或者扭曲——这个就是潮汐力，它不是牛顿引力那样的平方反比的，而是立方反比的。当然这是在四维时空之中的情景，假如在二维或者三维时空（当爱因斯坦方程成立），外尔张量是不存在的。霍金在《时间简史》里曾经证明了人类不可能生活在二维空间。在这里也可以看到，在三维时空，没有钱塘江大潮。
宋朝柳永曾经在杭州看到钱塘江的潮水，后来创作了一个词牌《望海潮》，他写下千古绝唱，描摹四维时空之中的人间美景：“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华。烟柳画桥，参差十万人家。云树绕堤沙。怒涛卷霜雪，天堑无涯……”
钱塘江的潮水其实是外尔张量在起作用。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-17 12:21:00
（2）
一般说来，从相对论的角度大体可以把微分几何分成以下四块：
1。张量场
2。微分形式
3。旋量分析
4。偏微分方程和泛函分析
里奇在第一块领域做出重要的业绩。而第二块领域的鼻祖是嘉当，陈省身。第三块领域的鼻祖当然就是彭罗斯，虽然欧拉曾经在三维空间引进旋量，而嘉当在四维时空引进了旋量。第四块领域，当然是首推丘成桐。
里奇张量是黎曼张量中的含迹部分。而外尔张量则为黎曼张量中的不含迹部分。
两类张量全可以做仔细的分析，最简单的情景是张量退化为零。
a，里奇平坦。 这相当于没有物质分布。
b，外尔平坦，或者说共形平坦。 这说明具有极高的对称性。
我们先来介绍一下外尔。
相对论的发展当然吸引很多人。在20世纪20年代，量子力学的诞生，是物理学的又一场革命。哥廷根学派为量子力学提供了数学框架。冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》，外尔的《群论与量子力学》成为一个时期的经典著作。以外尔对量子力学的理解，他完全懂得暧昧是最好的男女关系。薛定格有几个秘密情人，从外尔与薛定格的老婆的暧昧关系看来，数学家外尔与物理学交往确实很密切。这可能是三个人的《情难枕》。
引用歌词曰：
如果一切靠缘份
何必痴心爱着一个人
最怕藕断丝连难舍难分
多少黎明又黄昏
就算是不再流伤心泪
还有魂萦梦牵的深夜
那些欲走还留一往情深
都已无从悔恨
早知道爱会这样伤人
情会如此难枕
当初何必太认真
早明白梦里不能长久
相思不如回头
如今何必怨离分
除非是当作游戏一场
红尘任它凄凉
谁能断了这情份
除非把真心放在一旁
今生随缘聚散
无怨无悔有几人
从历史发展的轨迹来看，科学似乎可以有少数几个人来推动，所以这是一种英雄史观。外尔在微分几何上的业绩，导致一个在相对论中起着重要作用的张量——外尔张量的诞生。在20世纪20年代，在哥廷根大学，克莱因已经退休，希尔伯特也已老了。闵可夫斯基因病早在1909年去世。但是，新人不断在成长。希尔伯特的继承人正是外尔(Weyl，1885一1955)。他是数学物理上广泛的天才，类似于彭加勒，他创立的学科数不胜数，例如，数论中的一致分布理论、黎曼曲面、微分流形、算子谱论、偏微分方程、胞腔概念、规范理论、李群表示等等。其中李群表示里的彼特——外尔定理相当于把傅里叶分析推广到了李群之上的平方可积函数空间
在爱因斯坦把引力并入时空结构后，外尔也希望引进外尔变换把电磁场和引力场一起并入时空结构，成为一个背景无关的理论，物理性质用黎曼几何刻画，矢量的平行移动只改变方向不改变矢量的长度，为了融合电磁力，把电磁力也融入时空的几何性质，外尔觉得必须推广黎曼几何，让矢量平行移动后不但方向改变，并且长度也改变。但这个思想被爱因斯坦否决，因为根据外尔的思想，一个粒子依赖于它过去的历史。但他的思想后来被杨振宁等人借鉴，发展出规范场论。狄拉克在方程里得到了正电荷的粒子，以为应该是质子，外尔说，根据群论，你这个粒子应该与电子有相同的质量，不可能是质子，于是狄拉克灵感迸发：“那就让它是正电子吧”。外尔把规范变换局部化，就发现电子存在必须要求光子存在。
换句话说：“外尔说要有光，于是就有了光。”
因此，外尔是一个极端重要的人物。在前一章介绍了电磁张量，这一章介绍的外尔张量则相当于真空爱因斯坦方程里出现的非线性引力子。
如果按照彭罗斯的旋量写法，因为引力子是自旋为2的粒子，而弯曲时空上的外尔张量的旋量形式满足自旋为2的运动方程，所以外尔张量可以被认为是引力子。这是非微扰的看法，因此在共形平坦的时空，比如闵氏时空和（反）德西特时空没有引力子，原因是因为共形平坦的时空上外尔张量是退化的。但这不是一个非常成熟的理论。
在平坦时空上讨论的引力子，其实就是线性化的外尔张量，这个张量与外尔张量具有相同的对称性。
因此大致的说法总是对的：“外尔张量几乎是表示引力子的最好的张量”。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-17 12:36:00
（3）
在超弦理论里，需要额外维度的空间，威腾和斯特罗明格等人得到了这个空间，就是卡拉比-丘成桐空间。在这个空间之上，存在一个凯林旋量，可以证明这是里奇平坦的。里奇平坦不是黎曼平坦，后者过分平坦，会有非常多的凯林旋量。
根据黎曼张量的对称性，在n维流形上它有1/3（n^2）（n^2-1）个独立的分量。如果这些分量全是零，那就是一个平坦流形，很多时候人们需要对曲率张量进行一些分类，对里奇张量的分类称为plebanski分类，对外尔张量的分类称为佩多夫分类。
佩多夫（petrov ）是俄国人，他在1954年左右开始考虑外尔张量或者黎曼张量的代数分类，到1966年，思路已经完全成熟。他显然是俄国人中研究相对论而在历史留名的少数人了。当然其他的俄国人就是朗道，泽尔多维奇等人，朗道他们写的《经典场论》被认为是一代经典。郎道研究相对论的时候，有个中国人跟他一起做研究，他就是段一士。段一士被郎道认为是无比聪明的中国青年。这是几十年前的事情了。段一士对广义相对论的能量问题，有一个自己的表述，被称为“段一士能量表述”。佩多夫也是最早几个认识到1920年代伯克霍夫的定理有缺陷的人之一。他在1963年指出这个错误，离伯克霍夫证明那个定理已经40年了， 而伯克霍夫1944年就去世了，他活着的时候未能看到自己的错误被指出，不失为一件快慰的事情。
什么是外尔张量W-abcd的代数分类呢？佩多夫用的是线性代数的方法，因为外尔张量的下指标（ab）和（cd）是对称的，它可以被看成是一个对称矩阵。
给定一个矩阵M-ab，再给定矢量空间的基，那当然可以把这个矩阵写出来。这个矩阵无论怎么复杂，总可以讨论它的本征矢量。当然本征矢量很有可能是重复的，也可能找不到它的本征矢量。
对于外尔张量W-abcd，情景很类似，这个时候，佩多夫只考虑它的类光本征矢量。当然这四个类光本征矢量也有可能是有重复的，或者找不到这样的类光本征矢量。以下的数字i表示i次重复的本征矢量。
（1，1，1，1）
（2，1，1）
（3，1）
（2，2）
（4）
（退化）
以上五种情景就是外尔张量的分类。对组合数学熟悉的人也许会惊讶，这不是正是整数4的无序分拆吗？4=1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4。这些型号的名字分别是第一类叫I型，最后一类叫O型——外尔平坦，（2，2）型叫做D型。史瓦西时空和克尔时空全是D型时空。
有了对外尔张量的分类的数学，人们才能很好的处理引力辐射问题。莎斯（sachs）得到了无质量场的剥皮（peeling off）定理。后来彭罗斯则用旋量语言很简单地重新得到了皮特夫分类。外尔张量其实对应一个前面说过的自旋为2的旋量场。任何一个自旋为n的无质量场全可以用2n个2分量旋量的对称直积来表示。在每一个时空点，这2n个2分量旋量——如果你还记得“旋量是类光矢量开根号”——对应2n个类光矢量，这些类光矢量被称为这个自旋为n的无质量场的“主类光方向”（principal null direction）。这些类光矢量在任一时空点的光锥之上。如果这些主类光方向全部重合，那么这个场就是类光的。对于外尔张量，是自旋为2的场，它有4个主类光方向，皮特夫分类说明了这4个主类光方向的重合情况。
如果时空是里奇平坦的，那么它可能是代数特殊的。一个真空引力场称为代数特殊的，即外尔张量不是1型或O型的，或者说外尔张量的主类光方向有重合，那就是代数特殊的。
哥腾伯格—塞司（Goldberg-sachs）定理说的是非O型真空引力场是代数特殊的充要条件为它的主类光方向所定出的类光测地线是无剪切的（shear-free）的。前面已经讲过，剪切是矢量场的distortion的对称无迹部分。扭转是矢量场的distortion的反对称部分。一个扭转的但没有剪切的类光测地线汇被称为“罗宾逊线汇”，罗宾逊在这里也到达了发现扭量理论的边缘。
总之，这样就把时空几何和类光测地线在某个地方联系了起来。
在超弦理论里，需要额外维度的空间，威腾和斯特罗明格等人得到了这个空间，就是卡拉比-丘成桐空间。在这个空间之上，存在一个凯林旋量，可以证明这是里奇平坦的。里奇平坦不是黎曼平坦，后者过分平坦，会有非常多的凯林旋量。
根据黎曼张量的对称性，在n维流形上它有1/3（n^2）（n^2-1）个独立的分量。如果这些分量全是零，那就是一个平坦流形，很多时候人们需要对曲率张量进行一些分类，对里奇张量的分类称为plebanski分类，对外尔张量的分类称为佩多夫分类。
佩多夫（petrov ）是俄国人，他在1954年左右开始考虑外尔张量或者黎曼张量的代数分类，到1966年，思路已经完全成熟。他显然是俄国人中研究相对论而在历史留名的少数人了。当然其他的俄国人就是朗道，泽尔多维奇等人，朗道他们写的《经典场论》被认为是一代经典。郎道研究相对论的时候，有个中国人跟他一起做研究，他就是段一士。段一士被郎道认为是无比聪明的中国青年。这是几十年前的事情了。段一士对广义相对论的能量问题，有一个自己的表述，被称为“段一士能量表述”。佩多夫也是最早几个认识到1920年代伯克霍夫的定理有缺陷的人之一。他在1963年指出这个错误，离伯克霍夫证明那个定理已经40年了， 而伯克霍夫1944年就去世了，他活着的时候未能看到自己的错误被指出，不失为一件快慰的事情。
什么是外尔张量W-abcd的代数分类呢？佩多夫用的是线性代数的方法，因为外尔张量的下指标（ab）和（cd）是对称的，它可以被看成是一个对称矩阵。
给定一个矩阵M-ab，再给定矢量空间的基，那当然可以把这个矩阵写出来。这个矩阵无论怎么复杂，总可以讨论它的本征矢量。当然本征矢量很有可能是重复的，也可能找不到它的本征矢量。
对于外尔张量W-abcd，情景很类似，这个时候，佩多夫只考虑它的类光本征矢量。当然这四个类光本征矢量也有可能是有重复的，或者找不到这样的类光本征矢量。以下的数字i表示i次重复的本征矢量。
（1，1，1，1）
（2，1，1）
（3，1）
（2，2）
（4）
（退化）
以上五种情景就是外尔张量的分类。对组合数学熟悉的人也许会惊讶，这不是正是整数4的无序分拆吗？4=1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4。这些型号的名字分别是第一类叫I型，最后一类叫O型——外尔平坦，（2，2）型叫做D型。史瓦西时空和克尔时空全是D型时空。
有了对外尔张量的分类的数学，人们才能很好的处理引力辐射问题。莎斯（sachs）得到了无质量场的剥皮（peeling off）定理。后来彭罗斯则用旋量语言很简单地重新得到了皮特夫分类。外尔张量其实对应一个前面说过的自旋为2的旋量场。任何一个自旋为n的无质量场全可以用2n个2分量旋量的对称直积来表示。在每一个时空点，这2n个2分量旋量——如果你还记得“旋量是类光矢量开根号”——对应2n个类光矢量，这些类光矢量被称为这个自旋为n的无质量场的“主类光方向”（principal null direction）。这些类光矢量在任一时空点的光锥之上。如果这些主类光方向全部重合，那么这个场就是类光的。对于外尔张量，是自旋为2的场，它有4个主类光方向，皮特夫分类说明了这4个主类光方向的重合情况。
如果时空是里奇平坦的，那么它可能是代数特殊的。一个真空引力场称为代数特殊的，即外尔张量不是1型或O型的，或者说外尔张量的主类光方向有重合，那就是代数特殊的。
哥腾伯格—塞司（Goldberg-sachs）定理说的是非O型真空引力场是代数特殊的充要条件为它的主类光方向所定出的类光测地线是无剪切的（shear-free）的。前面已经讲过，剪切是矢量场的distortion的对称无迹部分。扭转是矢量场的distortion的反对称部分。一个扭转的但没有剪切的类光测地线汇被称为“罗宾逊线汇”，罗宾逊在这里也到达了发现扭量理论的边缘。
总之，这样就把时空几何和类光测地线在某个地方联系了起来。
楼主：轩轩爱 时间：2006-11-17 12:41:00
（4）
矢量平行移动的Levi-Civita联络是Levi-Civita在1917年提出的，但那时候只用于n维空间中的超曲面，也是外尔在1918年澄清这个概念并把联络这个概念推广到流形之上,所谓流形,就是没有外部空间的一个几何体,宇宙也是无所不包的没有外部的一个几何体。所以，对于联络理论，外尔起到一个承前启后的作用。“流形”这一概念虽然希尔伯特在1901年有过比较清晰的定义，但是真正的定义也是外尔在1913年的《论黎曼面》中给出的。这也是现代流形的普遍定义。外尔在生活中的爱恨似乎已经远去，但在这个言必称流形的数学物理时代，暮色深沉之中，外尔在相对论中的光辉印象矗立在宇宙的山峰。
斯人已逝，几何永存。
对外尔张量精辟入里的分析在等待着有追求的青年们。
矢量平行移动的Levi-Civita联络是Levi-Civita在1917年提出的，但那时候只用于n维空间中的超曲面，也是外尔在1918年澄清这个概念并把联络这个概念推广到流形之上,所谓流形,就是没有外部空间的一个几何体,宇宙也是无所不包的没有外部的一个几何体。所以，对于联络理论，外尔起到一个承前启后的作用。“流形”这一概念虽然希尔伯特在1901年有过比较清晰的定义，但是真正的定义也是外尔在1913年的《论黎曼面》中给出的。这也是现代流形的普遍定义。外尔在生活中的爱恨似乎已经远去，但在这个言必称流形的数学物理时代，暮色深沉之中，外尔在相对论中的光辉印象矗立在宇宙的山峰。
斯人已逝，几何永存。
对外尔张量精辟入里的分析在等待着有追求的青年们。
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