为什么 空间二阶导（拉普拉斯算子）这么重要？
《数理方程》课上讲的三类基本方程，方程的一边都是拉普拉斯算符，另一边分别是时间二阶导、一阶导和0，为什么空间二阶导这么重要？它有什么样的数学和物理意义？
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12 个回答
本来不觉得这个问题提的好，但是看到这样一个答案：
坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。或者说这个答案指示了一种性质，但是这个性质也不是刻画性质（Characterizing Property），因此我觉得这个答案并没有答到点子上。
另外一个看似合理的答案：
简短的这句话，“从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.”我来断一下句，作者的原意应该是Laplacian可以看作是Lie代数上的Casmir元，这在sl^{n}(\mathbb{C})中很显然，但是在更加一般的场合，甚至说gl^{n}(\mathbb{C})就并不显然。而且Casmir元如果我没记错的话主要是用来证对应表示的完全可约性的(complete reducibility,usage by Harris& Wallach)，它在gl中，可给定坐标计算，如果它还有更深刻的与Laplacian的联系或者我的理解有不足的地方，请指教。
最合理的解释要用到所谓的Hodge-Laplace理论。浅显地说，我们能够定义一种Hodge*算子，这种算子的定义形式上是这样的：对于至少是浸入（immersed）到某个n维流形里面的p维闭子流形，我们考虑其子外代数上的Hodge*算子:
而Hodge-Laplace算子在给定R^n的典型坐标下可以计算出这确实是传统上定义在Riem流形上的trace(D^2)。然后我们把
的p次微分形式称为p次调和形式。读者最好检查一下这个算子的线性性，因为我宣称这些定义在同一个Riem流形上的p次调和形式全体是实向量空间，记作
。好了，那么为什么要研究这套看似更复杂的语言来刻画简单定义的Laplacian呢？答案是Hodge定理：
上面所说的在于实的状况，但是Hodge理论本身重要性在于研究复流形，就不多讲了。
假如读者有进一步的兴趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全书，所知道的一定比我更全面。
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Hu：我敦促L来写这个答案，很大程度上是因为现在我们似乎需要一些稍微serious的问题，和一些稍微serious的答案。
Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。
by L
revised by L JiangD Hu Zhu
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。我觉得有必要更深刻地解答一下。
坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。或者说这个答案指示了一种性质，但是这个性质也不是刻画性质（Characterizing Property），因此我觉得这个答案并没有答到点子上。
另外一个看似合理的答案：
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.这个也许是一个可能的解释，但是同样不很正确。
简短的这句话，“从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.”我来断一下句，作者的原意应该是Laplacian可以看作是Lie代数上的Casmir元，这在sl^{n}(\mathbb{C})中很显然，但是在更加一般的场合，甚至说gl^{n}(\mathbb{C})就并不显然。而且Casmir元如果我没记错的话主要是用来证对应表示的完全可约性的(complete reducibility,usage by Harris& Wallach)，它在gl中，可给定坐标计算，如果它还有更深刻的与Laplacian的联系或者我的理解有不足的地方，请指教。
最合理的解释要用到所谓的Hodge-Laplace理论。浅显地说，我们能够定义一种Hodge*算子，这种算子的定义形式上是这样的：对于至少是浸入（immersed）到某个n维流形里面的p维闭子流形，我们考虑其子外代数上的Hodge*算子:
而Hodge-Laplace算子在给定R^n的典型坐标下可以计算出这确实是传统上定义在Riem流形上的trace(D^2)。然后我们把
给定实紧定向Riem流形M，这就直接告诉我们研究上同调，研究调和形式就足够了。为什么这个结果这样漂亮？因为PDE理论可以告诉我们一些调和（算子）方程的优良性质，这是一般的微分方程所不具备的。最简单的就是调和方程的特征函数解法，这直接关系到第一特征值的估计。（实调和p形式）同构于（上同调向量空间）
上面所说的在于实的状况，但是Hodge理论本身重要性在于研究复流形，就不多讲了。
假如读者有进一步的兴趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全书，所知道的一定比我更全面。
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Hu：我敦促L来写这个答案，很大程度上是因为现在我们似乎需要一些稍微serious的问题，和一些稍微serious的答案。
Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。
by L
revised by L JiangD Hu Zhu
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
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确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。
物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉普拉斯算子就是对空间求二阶导啦
钟德亮，理论物理
Death Thermal、知乎用户、覃覃 等人赞同
常见的current都正比于空间一阶导数，在各项同性空间中密度守恒方程就是时间一阶导数加上current的散度也就是Laplacian。
很好的问题.
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.
MO 上也有一些讨论: http://mathoverflow.net/questions/54986/why-is-the-laplacian-ubiquitous
好像很多物理现象最后的数学描述都是拉普拉斯方程或者双调和方程。作为力学生，我只说说在力学里面的一些东西：流体力学中速度势和流势都满足拉普拉斯方程；弹性力学中平面问题的艾里应力函数满足的是双调和方程……除了很多物理现象的数学描述的最后形式是拉普拉斯方程外，在拉普拉斯方程出现的初期，数学家们由这个方程推出了很多重要的函数：贝塞尔函数，勒让德函数等等。反正在我看来吧，拉普拉斯方程真挺重要的。
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