Thursday, October 29, 2015

gr 被积分的是几何上能够构造出的最低阶的标量场 曾博BBOC 泡利,我觉得路径积分一定还有更深刻的形式,因为这里的积分显然是不严格的。因为它不是一个测度,我们找不到这样一种测度路径。


Minglei Xiao物理宅
15/07/21更新:

知乎分享的不止是知识,还有观点。

告诉大家自己是有理解极限的,要知难而退,也是一种科普教育。这种科普有时比告诉大家一些用来装逼的小知识更重要,因为它能让人尊重这个学科。数学物理这种民科泛滥的领域尤其如此。

此外,说明一个问题不是一个好问题更是科普的一个非常重要的任务。我很反感有人科普的时候娓娓道来一些并不相关的知识,比如问为什么1+1=2的时候提什么皮亚罗公理,这就是卖弄风骚(见7/21评论),让提问者觉得自己问的问题还挺好,得到了热烈的回应。有的时候就应该指出是提问者概念上搞混了,有些问题就不该问。

写答案的时候语气是有些不好,不过我也懒得改了。这不是大问题。有些评论单说我语气不好的问题,我认了。有些评论不服气,说我啥都没讲,没有帮助,那就是自己悟性低了。很多人只看到我甩公式,然而我通篇最重要的观点是什么时候该问为什么(对理论作出怀疑的三类动机)。这点阅读能力都没有,还指望别人给科普,怪我喽?

(正文少数粗斜体也是这次更新的。)

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首先我们要理解题主的意思。当我们对一个理论作出怀疑时,通常有三类动机:
  1. 这个理论不符合某个实验,或者不自洽(不符合思想实验);
  2. 这个理论和另一个理论有冲突;
  3. 对这个理论的形式本身不满意。
第一种的例子很多,不符合实验的就不举了,不自洽的比如说亚里士多德的落体理论(重物更快);第二种的例子就是大家提到的量子和广相不相容;第三种的例子是当年爱因斯坦提出广相(后面会细说)。
那么题主是哪一种呢?我判断是第三种,因为题主是“觉得课本上说得很牵强”,说明它在意的是课本上介绍的引力理论自身的问题,而且不可能是自洽性的问题,只能是形式上不清楚,不够有说服力。所以我不会从量子引力的角度来说,因为那是答非所问。

有很多答案说这个问题学界没有确定的回答。这种答案一般分两种情况,一种是像高票匿名用户那样的,肚子里没多少货,自己搞不清楚,就说科学界也没搞清楚(TA的回答有两个严重问题,一是认为爱因斯坦引力理论和牛顿引力是“等价”的,二是认为弦理论甚至引力子是“不可证伪”的,不服来辩);还有一种情况就是懂得比较多的专业人士,他们的重点在于一个结合量子力学的引力理论还未完成,但是正如上面我的观点,这么答是有点答非所问的。


需要注意的是,「对理论形式的不满意」一定是站在了解理论及其相关数学语言的基础上问出来的,而不是在「我看不懂这个理论」的基础上问的。人们总是希望通过一些「日常的经验」来解释「引力」这种物理概念,这也是许多低等民科做的事情。比如评论中有人说「其实地球的中心是个超强力抽气机,把地球上所有的东西都吸住,由此产生了「引力」」,虽然他是开玩笑举的例子,但这就是他以及许多其他人所期待的答案。我本想通过归纳人们问为什么「应该有」的动机而间接批评这类「不应该有」的动机,可惜很多人不理解。所以我觉得必须加上第4点动机:


4. 这个理论不符合「日常经验」。


这个动机是「绝对错误」的。


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下面是我的回答(仅针对有第3类动机的人有效,其他人可以散了):

首先澄清几个问题:
1、对一个科学理论不要过分吹毛求疵,所有理论都是有适用范围的。对于引力理论,牛顿引力在低速弱场近似下足够好了;爱因斯坦引力理论在几乎所有情况下都足够好了,还不适用的地方只有这几处:
a)黑洞,
b)极高能量物理过程(这样的过程不管是自然还是人工都还达不到,只能说是理论上的挑战),
c)极早期宇宙。
2、当你问一个科学概念的逻辑起源的时候,你追求的一般是一个美学结论。任何科学理论都有假设,科学理论不可能无中生有。一个好的理论,可以让你从任何复杂现象开始追根溯源到几个简单的假设,只有当你对假设的美学不认同的话,你才可以继续问为什么,否则就是耍流氓。
什么叫基本假设的“美学”呢?举几个例子:
  • 托勒密的本轮均轮。托勒密的理论对于初期观测数据是有比较良好的解释力的,但是随着观测数据的增多,他开始修改自己的理论,加了很多无中生有的东西,叫“本轮”“均轮”(我没研究过,只知道这些历史事实)。最后被日心说推翻时,日心说对数据的符合程度并没有非常理想,但是由于假设极少,还是战胜了设定繁杂的地心说。直到开普勒的天体物理三定律和牛顿的万有引力理论,观测数据才能被极好的拟合。这个例子说明,一个好的理论参数不能太多。
  • 标准模型希格斯粒子质量的“精细调节”。具体的就不详述了,这个比较专业。概括起来,就是理论里需要有两个相互独立的参数,它们必须相差亿万分之一,才能解释观察到的现象(希格斯质量的值)。这就是提出“超对称”的一个重要动机。这个例子说明,一个好的理论的独立参数之间的关系不能太有“人为”的痕迹。
  • 爱因斯坦的相对论。相对论大师爱因斯坦,在提出狭义相对论的时候有一个抉择,那就是从以下三个东西中舍弃一个:相对性原理,光速不变,时空性质。当时的状况是,光速不变已经被证实,而时空不变几乎是先验的、不可动摇的。结果爱因斯坦力保相对性原理,把很直观的但是并没有严格验证过的时空性质给修改了,这才得到狭义相对论的时空观。这一步走得有一半是被逼的,因为当时的实验亟待一个解决方案。老爱成功了一次后,爱上了相对性原理,对它进一步拓展,得到广义相对论。值得注意的是,这一步是迄今为止极少有的(我能想起来的就这一例)人类没有理论或实验上的动机、纯从美学出发而得到的一个正确理论。这个例子说明,大师级的审美能力是怎样影响理论研究的。
好,回到题主的问题:引力是如何产生的?

回答一:F = -\frac{GMm}{R^2}
不满意?为什么?这样一个简单的公式就可以解释那么多引力现象了。这个公式告诉你引力是怎么实现的:它和产生引力的物体的质量成正比说明质量是它的源,它和自身的质量也成正比说明质量也是它的荷,它随空间成平方反比率这是一个符合实验的结果。
什么时候你可以对它不满意了呢?当你的审美能力达到了一定的程度,已经觉得这个公式满足不了你了的时候。比如,你可以具体地问:为什么引力和距离的平方成反比,而不是一次方或三次方?这和静电力是一样的,有什么联系?为什么引力总是吸引,不像静电力一样有排斥?你只有问了这些问题,我们才可以继续。

回答二:G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu}
经过长时间的学习,你终于弄懂了这个公式的意思。除了一个无关紧要的常数\kappa以外,这个公式比万有引力简单了一些,左边是一个几何张量,右边是一个物理张量,这个公式读作“物质弯曲时空”。你别问怎么弯曲的,不知道回去学去。
这个理论里,受引力影响的运动是“自由”的,不需要解释,是牛顿第一定律“物体在不受力的情况下沿直线匀速运动”的直接推广;这个公式告诉你引力是怎样通过物质产生的,右边是能够完整描述物质能量状态的张量,有“守恒”的性质,左边是一个由几何恒等式决定的也有“守恒”性质的几何量,从某种程度上来说,也是很简单的,并没有很多假设。相对于牛顿引力,它指出引力的源不是质量而是能动张量,其低速极限表现为质量;进而摒弃了引力作为「力」的描述,从而也不需要「荷」的概念(等效原理指出作为荷的质量和 F=ma 中的质量相等,说明这个力是几何效应),经过计算,这个公式在低速弱引力极限下表现为平方反比律。
什么?还不满意?你觉得这些张量构造起来太复杂?左边是微分几何中很基本的不依赖坐标的量,右边是狭义相对论自然引入的描述物质能量状态的量,觉得它们陌生只能是因为你姿势水平不够。
你说,这两个量我都熟悉,可是为什么要让它们相等?我们继续看:

回答三:S = \int \mathrm{d}vol\ R
用作用量阐述物理理论的方法,是分析力学以来理论物理的基本研究方法之一,不懂的回去学去。右边是一个体积分,测度就是整个时空的体积形式\mathrm{d}vol,被积分的是几何上能够构造出的最低阶的标量场。也就是说,在允许时空弯曲的前提下,不放进任何物质的理论里,这是最最简单的一个。这总够了吧,这从数学的角度都已经算是很完美了。当你问引力是怎样产生的,我把一个足够符合实验,并且如此简单的一个理论摆出来,你还有理由继续问吗?没有。
什么什么?还不服?为什么不能有高阶的几何标量场?我可以说因为那样就不纯粹不美了吗?当然,也有人做这样的模型的,一种是从几何的角度,找符合美学又不影响实验结果的高阶项,比如Gauss-Bonnet gravity;一种是弦论的低能有效理论,就是各种SUGRA。但是都没被实验验证呢。何况仅从低能有效理论的角度来说,它们都没有老爱的理论简单优雅。

最后,我猜题主并不是在理解了以上三个理论之一后觉得它不够好(如果是,那么上面的就是答案),而是根本没有理解其中任何一个理论。如果是那样,你不要指望有人在知乎上给你完整推导一遍。你有什么具体的问题就具体地说。你得具体说明你对以上哪个理论有意见,然后说出你的意见来,而不是上来就问「为什么」,这就像问「你为什么要出生在这个世界上」一样无礼。

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好了,最后,为了满足一些鸡蛋里挑骨头的读者,讲讲广相和量子的兼容性问题。是的,不兼容,而且由于物理理论一般是向上兼容的,所以我们要修改的是引力理论。但是,我们问这个问题的出发点并不是已有的经典引力理论如何不够好(参看上面几个回答后的斜体问题),而是它在实际操作层面上与另一个理论冲突。也就是说,这个修改并不是问题“引力是怎样产生的”或“引力为什么是这样的”的答案。
不过作为题外话,我还是想澄清一些大家关于量子引力理论的误解。
首先,这种理论,无论是弦论还是圈量子引力,都不是“不可证伪”的。就算以目前的理论程度,暂时没有实验可以验证哪怕一点它们的推论,它们也是可证伪的,这些概念是不依赖于实验技术水平的。
其次,这样的理论并不是拍脑袋想出来的,虽然它们没有实验的佐证,但是它们有更强大的东西使得人们相信它,那就是理论的自洽性。我们说,当两个成熟的理论产生矛盾的时候,首先肯定它们都是(近似)正确的,这对于一个统一的理论来说有着非常大的限制,即这个统一理论在两种极限下确实可以得到这两个成熟的理论。在寻找这样的统一理论的过程中,我们要不断地debug,因为很多理论会有自身逻辑上的矛盾性,必须要避免。这样一来,可供选择的理论本来就不多了。而弦论是迄今为止比较成功的一个,这相当不容易。
最后,也是大家误解最多的,并不是实验上发现了什么极端现象,由于没考虑量子效应经典引力理论解释不了,而单单是理论上它们不相容。也就是说,目前并没有发现什么引力现象无法用现有引力理论解释。所以说,就“引力现象”而言,物理学已经给出了足够完美的解释了,解释不了的那些都没发现。这难道还不够吗


百度文库搜“费曼量子力学”,全是用路径积分讲的


这套由费曼想出的方法,对于理解量子力学是有利的,但是对于一些简单计算和了解量子力学发展历史确实不利的。

如果一个粒子从A点运动到B点,那么原则上,它可以选择无穷多种路径,当量子效应显著的时候,粒子的确是走过无穷多的路径。如果在A点的粒子状态是ψ(x0,t0),运动到B点时的离子状态是ψ(x,t),那么应当有这样一个函数K(x,t;x0,t0),粒子状态通过它传播到ψ(x,t),这过程只需要一个积分来完成,而它并不是很难理解:

ψ(x,t)=∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0…………(1)

K(x,t;x0,t0)也应当是一个波函数,一般的平面波是这个样子的:Cexp[i(px-Et)/h](我们只考虑最简单的一维运动,此处的h是约化plank常数),如果仔细观察它指数的量纲,应该与能量×时间的相同。作用量S=∫Ldt不是正好有这样的量纲吗?我们受到这个东西的启发,把指数做替换:i(px-Et)/h→iS/h。当然,既然将路径积分引入到了传播函数中,那么对所有路径求和的步骤也应当在这里完成,我们把传播函数写成:

K=∑Cexp[iS/h]…………(2)

而且我们还知道S=∫Ldt=∫(p^2/2m-U(x))dt……(3)

现在将(1)两侧式对时间t求偏导数,并且利用(2)和(3):

∂ψ(x,t)/∂t=∫i/h(p^2/2m-U(x))·K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
            =i/h(p^2/2m-U(x))·∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
             =i/h(p^2/2m-U(x))·ψ(x,t)…………(4)

我们早就知道,由于不确定性原理,在求动量平均值<p>时,是不能写成<p>=∫ψ(x,t)pψ*(x,t)dx的,因为在x确定的状态前乘以一个确定的动量p是没有意义的——动量和位置不能同时确定,所以就引入了一个动量算符p~=-ih∂/∂x来代替动量。也就是说,作用在ψ(x,t)前的动量算符必须是p~=-ih∂/∂x。所以应当把(4)式中的p换为p~=-ih∂/∂x,然后在式子两侧都乘以ih,我们就得到了schrodinger方程:

ih∂ψ(x,t)/∂t=-h^2/2mψ(x,t)+U(x)ψ(x,t)

好了,下面让我们再来谈谈,既然粒子实际上走过无穷多的路径,那么为什么经典粒子只走过一条?啊哈,这完全是传播子的相位在捣鬼!我们现在选择一条路径的传播子exp[iδ/h],此处我们忽略了不重要的常系数,因为我们总是可以通过选取合适的单位来保证系数为1,在此不必过多考虑这些细节。好了,假设它就是经典粒子选择的那一条唯一的路径,那么此时退化到经典情况,h已经小得无足轻重,所以δ稍稍改变一些,相位都会产生很大变化,从而把相差较多的相位的相都抵消掉,而全部向exp[iδ/h]靠拢。现在让我们取那些变化的相位来参与运算,比如,一些可以是δ+ε或δ-ε的变化,其中ε只是一个小量:

……+exp[i(δ-ε)/h]+exp[iδ/h]+exp[i(δ+ε)/h]+……
=……+(1+2cosε)exp[iδ/h]+……(用到三角函数的欧拉定理)
≈……+3exp[iδ/h]+……

你们看,这简直是戏剧性的效果,在h小到无足轻重的时候,一些相位会趋向于同一个值,而其它相差过多的则抵消掉了。

好了,我已经讲的够多了,现在我要停下来了。虽然我在前面说它并不利于计算一些简单问题(只有高斯型积分可以手算出来),但当分析技术得到改观时,这应当能更多地得到应用。



这并不是严格的推导,我们只是半定量的研究了一下这个东西。对于整个推导过程我只能说,为了降低理解的难度,我们做了弊,但原则上它是正确的。希望能对希望了解这方面知识的初学者有有所帮助。





回复:4楼
是么……可这方法(作弊的方法)是我自己想出来的……


给给路径积分的详细资料呗!谢谢了!


LS可以去百度文库搜“费曼量子力学”,全是用路径积分讲的


注:当初写文的时候有一个错误,就是按照这计算步骤最后得到的薛定谔方程右侧第一项系数不是负的,而应当是正的,但这是不对的,错误的原因是S对t求偏导数而不是全导数,这样,还要利用哈密顿-雅可比方程才能得到争取的薛定谔方程。


这贴的目的是什么。



泡利,我觉得路径积分一定还有更深刻的形式,因为这里的积分显然是不严格的。因为它不是一个测度,我们找不到这样一种测度路径。


我的ID不错吧。哈哈。你说这里不是一个测度是什么意思?



不是一个测度,简单来说,就是它并不满足一个积分所具备的数学前提。


我不明白你的意思,你所说的一个积分所具备的数学前提具体是指什么?
物理学中很多积分是物理学家造出来的,数学家不承认没关系。而且我觉得单就路径积分理论而言没有什么不正常的积分行为。你指的是不是希尔伯特空间完备性条件?



物理学家可以造出积分,但是一个很大的问题就是,可能不严格。比如路径积分,尽管可以借助其形式推导,但是一个显然的缺陷是“连最基本的氢原子解都算不出”,而这早已被薛定谔方程解决。
路径积分的积分区域是实数域,但是其有效测度确实复数域。只有维克旋转之后才能转化为维纳测度,而维纳测度就是一个勒贝格意义下的测度,是严格的。所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的。
但路径积分不是。


好吧,我只是个初涉量子场论的小小本科生。不过我会关注这个问题的。



大家互相学习,共同进步:)


希望您在本吧能有一定甄别能力。


只要认真就能甄别出来。。。你懂的


感谢楼主分享,不过对于最后一个式子“=……+(1+2cosε)exp[iδ/h]+……(用到三角函数的欧拉定理)”中的cosε函数是不是应该写为cos(ε/h)?这样还能约等于1吗?ε在很大的时候也能抵消掉吗?


这再次印证了鲁迅说的话:世上本没有自然规律,发生这种现象多了,也就成了规律




【量子】费曼路径积分_理论物理吧_百度贴吧

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泡利我觉得路径积分一定还有更深刻形式因为这里积分显然是不严格的。因为它不是一个测度我们找不到这样一种测度路径。 沃尔夫冈泡利 · 理论斗士. 1.


路径积分的积分区域是实数域,但是其有效测度确实复数域。

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2013年6月18日 - 所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的。 路径积分积分区域是 .... 这贴的目的是什么。 泡利我觉得路径积分一定还有更深刻形式因为这里积分显然是不严格的。因为它不是一个测度我们找不到这样一种测度路径。


我们现在选择一条路径的传播子exp[iδ/h],此处我们忽略了不 ...

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2013年11月13日 - 这贴的目的是什么。 泡利我觉得路径积分一定还有更深刻形式因为这里积分显然是不严格的。因为它不是一个测度我们找不到这样一种测度 ...


phymath999: 路径积分的积分区域是实数域,但是其有效测度 ...

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2015年3月16日 - 所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的, 但路径积分不是. 如果一个粒子 .... 泡利,我觉得路径积分一定还有更深刻形式因为这里积分显然是不严格的。因为它不是一个测度我们找不到这样一种测度路径。 回复收起回复.


飞贼克斯- 收藏夹- 知乎

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右边是一个积分测度就是整个时空的体积形式<img ... 15/07/21更新:知乎分享的不止是知识,还有观点。告诉大家自己是有理解极限的,要知难而退,也是一种科普教育。这种科普有时比告诉大家一些用来装逼的小知识更重要,因为它能让人尊重这个学科。数学物理这种民科泛滥 ...... 我随便举几个我觉得有点意思的例子...首推当然 ...


理论物理- 话题精华- 知乎

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我们不知道。 .... <br>(我还没来得及读这本《对称》就离开物理系了,但是觉得应该很精彩吧,毕竟是另一位的大神 ... 看闲书能直接看到大师们的深刻思想的话,何必听普通人的杂烩呢。 ... 光锥的存在正是因为光速有限。 .... 一)首先解释一个关键的概念,什么是「光锥」。简单地说,光锥就是光的时空路径——注意是「时空」,而不是「空间」


借谈书的名义八卦着(但愿能更新)(第5页)_闲闲书话_天涯论坛

bbs.tianya.cn › 闲闲书话
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2006年3月10日 - 为了皮卡尔,我们的人会是一支军队".1899年6月13日,皮卡尔获释,所受指控一律撤消. .... 这平静本身就是德雷福斯事件深刻影响法国历史的见证. .... ryneMM,下一个还没想好呢,向来都是想到哪八到哪的. ... 费曼那个“历史路径积分”是不是就是所谓“多历史解释”? ..... 而且一定在农民的平均水平之上,因为我们有知识。


对海森伯不确定关系式的理解 - 360Doc个人图书馆

www.360doc.com/content/10/.../84590_35079936.shtml
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2010年6月25日 - 讨论了不确定关系式与量子态的叠加性的关系,指出这种不确定性是态叠加性的后果。 .... 年5月发表,其脚注中说:“我完全不觉得开始与海森伯的理论有任何关系。 .... 同时也表示那波函数不是这体系的实在情况的穷尽描述,是一种不完备的描述。 .... 泡利未做这种区别,在他的书《波动力学的一般原理》中写道:“在量子 ...


约翰·冯·诺伊曼传- 丁香园专家信息版-丁香园论坛

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2004年6月6日 - 约翰·冯·诺伊曼(在美国大家都知道他的爱称是约翰尼)于1903年12 ... 他的第一篇论文是和菲克特合作写的一篇注记,那时他不到18岁。 ..... 身的课题,在测度论和实变函数理论中获得了有趣的结果。 ... 当然,后者是一种更加冒险的事业,因为最 .... 有一件事我觉得很奇妙,许多次谈论数学中属于集合论或类似的课题 ...


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2013年6月20日 - 由此我们不难得到,在LC震荡电路中,电容和电感所储存的能量必须相等(假定harmonic solution): ... 这是一种电磁波借助电子的震荡,沿着金属表面传播的现象(注意,入射 ... 其中2k+1是因为入射电磁波是odd偏振(一个有方向的电场的对称性是奇 ..... 显然,该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子。






引力是如何产生的?
如果有高人,请您说的透彻一点,我总觉得课本上说的东西都很牵强。
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