考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？
万门大学数学系
2013-07-13 09:49
Make it easy: 历史求和 及 拓扑量子场论
一些参考文献见 wikipedia Topological quantum field theory 条目。
另外，给一些适合数学系看的文章
1 C.Teleman, Five lectures on topological field theory
2 D.S.Freed, Lectures on topological field theory.
3 M.Atiyah, topological quantum field theories, 1989.
4 P.Van Baal, An introduction to topological Yang-Mills theory,1990.
拓扑量子场论的核心就是对于路径积分（历史求和）的数学结构和可能的应用的探索。
对于数学系的学生，最难的地方在于理解路径积分所隐含的代数结构，理解量子物理的数学结构，最关键的一点就是理解路径积分。
历史求和又称路径积分，是量子物理中计算转移振幅的核心方法。本文将强调历史求和和纤维积分（fibre integration），反转映射（Umkehr map），基森映射（Gysin map），傅里叶变换以及Kan extension等常见的重要概念的一致性。
量子物理的核心要素是量子态和量子态之间的关联振幅。历史求和是确定量子态之间的动力学关联强度（转移振幅）的核心方法。系统的量子态总是生活在希尔伯特空间之中，给定系统的动力学，用路径积分的方法可以计算不同时刻不同量子态之间的动力学关联振幅。
首先我们要先明确和区分一些基本的物理概念：
经典位形空间-----------场或者物理对象所有可能的位形状态的集合
经典的态空间---------场或者物理对象所有可能的运动学状态的集合，不仅包括位形还包含动量的信息
量子的态空间---------经典位形空间上的波函数全体构成的希尔伯特空间
讨论经典力学合适的范畴是集合或者流形的范畴
讨论量子力学合适的范畴是希尔伯特空间的范畴
在集合范畴和线性空间范畴有对伴随函子:自由向量空间函子和忘却函子，
自由向量空间函子把一个集合变为这个集合中的元素自由生成的向量空间。
在态空间的层次上，量子化或者说从经典到量子的过程类似于这个自由向量空间函子，量子态空间相当于经典位形空间自由生成的向量空间。所以说经典的状态其实对应的是量子态空间的一组基。
上面说的三个空间都是在某一个确定时刻，系统的可能状态或者位形的全部可能性，现在我们说说和时间段有关的概念
历史空间--------给定两个时刻t_1 和 t_2,任意两个分别在两个时刻的经典态X_1和X_2，任意一个可能的从X_1到X_2过程（或者说路径）都是历史空间的一个元素，用H（t_1,t_2）表示所有从时刻t_1到t_2的历史，这个空间有一个双纤维化结构（bi-fibration structure），记C（t_1）和C（t_2）表示两个时刻的状态空间（可以不一样）。
C（t_1）<---------H(t_1,t_2)---------->C(t_2)
向左这个箭头表示取 过程的起点，向右的箭头表示取过程的终点，这两个箭头都是纤维化。
上面这个图是数学中非常重要，非常常见的图，我们叫它 屋顶（roof），如果把中间的H画的高一点这个名字还是蛮恰当的。其实它有一个更专业的名字：span（参看nLab span 词条）。在这个图中如果把箭头都反过来，我们叫做cospan。这个图的重要性在于表达了两个集合之间二元关系的推广，几乎所有的对偶性和等价性的背后都有这么一个图像。比如傅里叶变换，朗兰兹对偶，森田等价等等。
如果把其中的一个箭头反过来，就是我们熟悉的可以复合两个函数的图像。但是span的箭头有一个方向不对，所以不能符合，但是span和span之间可以符合（做纤维积）。
在上面这个例子中，两个态之间的历史就刚好是这两个态的公共纤维，对这个纤维积分，得到的数就是两个态之间的关联振幅。所以历史求和或者路径积分的数学结构本质上是纤维积分。其实我们按照刚才自由向量空间的说法，我们可以把C(t_1)和C(t_2)中的元素作为指标比如用i，j 表示，历史空间中的公共纤维就可以用i，j标记，i和j的公共纤维记为P（i，j）（path or process）我们可以把这些纤维排成一个“矩阵”，对这个“矩阵”中的各个元素积分就得到一个真正的矩阵(我们还没有说这些纤维上有什么积分测度，我们后面再讲这些，先假设存在一个积分测度)，我们记为S（t_1,t_2）这个矩阵就是传说中的S矩阵（S矩阵是量子物理的主要的也是最基本的观察量，S矩阵的系数叫做关联函数，共形场论中的S矩阵和黎曼面模空间上的conformal block，高斯-马宁联络也是有关的，这些S矩阵实际上构成一个Hopf algebra，这些都是后话）。所以量子化在态空间的层次上就是自由向量空间函子，在历史空间的层次上就是双纤维化+纤维积分。因为积分运算是线性算子所以这两个层次的操作是一致的。另外从上面的过程我们可以大致体验到categorical quantum field theory 就是S矩阵（Dyson-Schwinger formalism）的范畴化表述。
现在我们考虑三个相继时刻的情形。考虑三个相继时刻t_1,t_2,t_3, 对应的三个状态空间为C（t_1），C（t_2），C(t_3)，其中的元素分别用i，j，k指标标记，这个时候我们有三个历史空间H（t_1），H（t_2），H(t_3)，我们还有三个span（历史空间的双纤维化结构）
C（t_1）<------H(t_1,t_2)------->C(t_2),
C(t_2)<-------H(t_2,t_3)-------->C(t_3)
以及
C(t_1)<-------H(t_1,t_3)-------->C(t_3)
和前面的分析类似，由这三个span 我们可以得到三个散射矩阵S（t_1,t_2），S（t_2，t_3）和S（t_1，t_3）。
那么现在一个自然的问题就是所有的这些数据之间的关系是什么？
答案是H（t_1,t_2）和H（t_2,t_3）的关于C（t_2）纤维积（fiber producnt or pull back）刚好是H(t_1,t_3). 我们用span的语言来形式化这个结果就是前两个相继地span的复合是第三个span，这个不需要任何别的假设，只需要你承认我们的世界在时间的流逝下不会出现矛盾，就会自然的得到这个结果。学习这些东西其实不需要太多的数学和物理背景，真正本质的东西都是很简单很自然的。
我把上面的过程在解释一下，考虑t_1和t_3时刻的态i和k，他们之间的历史P（i，k）具有什么样的结构？如果我们在中间时刻t_2做一个观察，可以发现从i到k的过程可以根据在t_2时刻所经历的状态来划分，也就是说P（i,k）这个集合是所有的形如P（i，j）和P（j，k）的笛卡尔积 这样的集合的无交并(j取遍所有C（t_2）的元素)。现在我们开始做纤维积分，P（i，k）得到的积分是矩阵S（t_1,t_3）的i，k分量s_{ik},但是上面说到P（i，k）是一系列笛卡尔积的无交并，在笛卡尔积上做积分我们有富比尼定理（化重积分为累次积分），笛卡尔积P（i，j）P（j，k）的积分就是s_{ij}s_{jk},而在无交并空间上的积分就等于在各个子空间积分的和，
所以 我们得到s_{ik}=\sum_j s_{ij}s_{jk},这恰恰是矩阵乘积的公式，
所以S（t_1，t_3）=S(t_2,t_3)S(t_1,t_2).
在上面的证明中我忽略一些细节，就是历史空间上的测度问题。
其实要注意到量子场论的局部性对于上面的证明是非常要紧的，也就是说历史求和（路径积分）之所以有如此好的代数性质，关键的一条就是作用量的局部性。那么局部性到底什么意思呢？
局部性是指作用量对于过程的可加性（作用量对于时空是广延量）。也就是一个过程的作用量是它的各段中间过程的作用量的和。如果作用量是拉格朗日密度在时空上的积分的话，可加性自然成立。更精确一点，如果过程X=AB（A过程和B过程的复合），那么作用量S（X）=S（AB）=S(A)+S(B).
在做路径积分的时候，作用量是在指数上，所以exp^{S（X）}=exp^{S(A)}exp^{S(B)},
这一个性质保证了历史空间的乘积的测度等于历史空间测度的乘积。
强调一点： 作用量的可加性或者局部性是历史求和具有好的代数结构的先决条件。
一切都非常完美！
on shell-----------------我们上面介绍的东西其实都是在没有物理的一般情况的setting。这里物理指的就是作用量和历史空间上的测度。稍微懂点物理的都知道作用量是历史空间上的函数（通常叫做泛函，因为实际的例子中历史空间都是无限维的）。如果这个系统的物理不是很坏（nondegenerate），作用量实际上是一个莫尔斯函数。on shell 就是历史空间上作用量的极值点，它的物理意义就是经典的可以真实发生的过程（最小作用量原理）。微扰量子场论就是对on shell 进行形变量子化。如果假设作用量非退化，on shell 上会有一个自然的辛结构，这个辛结构是从作用量继承来的，基本上只要有非退化的变分结构，on shell 上都会有辛结构。如果退化我们只能得到预辛结构（pre-sympletic structure）。
通常遇到的例子，它们的状态空间都是同一个也就是和时间没有关系，而且由于on shell 是系统欧拉-拉格朗日方程的解空间，由于微分方程初值问题解的唯一性，所以可以把历史空间的on shell 部分和状态空间等同起来。
off shell-----------------历史空间上不在on shell上的点成为off shell， on shell 上的点都是可以真实发生的，或者满足物理约束的，比如它们满足能量守恒，动量守恒等等，但是off shell上的点不满足物理的限制，但是量子场论中要求off shell 的过程也会对真实的过程产生贡献（路径积分就是 对off shell的量子涨落进行累积），这些off shell 过程通常叫做虚过程，中间涉及的场的激发态叫做虚粒子。量子场论和凝聚态中对粒子的定义为场或者体系的具有一定稳定的特性的激发态，这些激发态通常是是场或者体系在某些相或者量子序下的低级激发态或者基态。
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这一部分我们来回答以下一些问题。
拓扑量子场论中的拓扑到底意味着什么？ 为什么要研究拓扑量子场论？拓扑量子场论又有现实的物理意义？
首先这些答案没有标准答案，数学家和物理学家的答案也不一样。
量子场论的主要的观察量就是散射矩阵或者叫S-matrix，当然如果是多个粒子到多个粒子的散射过程，这个矩阵实际上是一个高阶张量，当然高阶张量和张量空间之间的线性映射是一样。所以我们就不在精细的区分术语。散射矩阵的各个分量或者系数称为散射振幅或者转移振幅，通常物理学家把它们打包成生成函数，叫做所谓的关联函数。 除了一系列的散射矩阵之外，其他的一些主要要观测量就是一些算子的本征值本征态问题，即谱问题，还有系统的各种特殊态的对称性，能谱的研究。那么拓扑场论中的拓扑是什么意思呢？答案就是 拓扑的意思就是散射矩阵是拓扑不变量，或者说关联函数的系数或者散射矩阵的系数都是拓扑数。这是从数学的角度来说，从物理的角度就是，在拓扑场论中所有的粒子都是没有质量的，或者说有效质量为零。这一点和共形场论是一致的。拓扑场论和共形场论中的粒子都是没还有质量的，因为质量的定义是时空对称群的生成元的本征值，如果我们的理论和时空度规没有关系，那就是说是时空对称群的平凡表示，所以就不存在质量。更一般的判断拓扑性的方法（物理学家定义拓扑场论的方法）是看关联函数关于时空度规的变分是否为零，这一点比较接近S矩阵是拓扑不变量的解释。关联函数是拓扑的这个事情的物理图像是什么呢？
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？ 这里涉及到主动和被动的描述的问题，改变顶点算子的位置可以等效的认为我改变了时空度规。或者说我可以通过一个微分同胚来实现顶点算子的位移，这个微分同胚可以诱导一个新的度规（比如可以通过pull back），顶点算子在原来的位置上的关联函数如果何在这个新的度规上的定点算子的关联函数是一样的话，那就必须对这个量子系统有一定的限制。这样的限制在共形场论中称为Ward恒等式。这个说法和改变顶点算子的位置而让关联函数不变是一样的。这个不变性不是必然要满足（不是逻辑必然的），如果要满足就说明这个系统是要受到约束的。
从上面的讨论我们也可以看出，相比较于经典场论，量子场论更像是一个黑箱子或者一台机器或者一块材料，为了了解量子场论的结构，我们给它一些刺激，看看它如何反映。这里的刺激就是我们在时空中插入一些顶点算子，来测量一些关联函数，通过这些关联函数我们来反推这个系统应该具有的结构。所以关联函数更像是控制系统的响应函数，知道了足够多的响应函数，我们基本上就了解了这个系统的行为模式。
说明这个事情一个比较好的例子就是黎曼流形上的hodge理论，有了黎曼度量之后我们可以定义调和形式，调和形式的空间和德拉姆上同调空间作为线性空间是同构的（不是作为弗洛比纽斯代数或者结合代数，调和形式上没有外积）。当我们改变黎曼度规的时候，调和形式空间会在微分形式空间转动和伸缩，但是调和形式空间的维数是不会变的，都等于Bitti numbers，说明他们是拓扑不变量。这个Hodge理论被威腾解释成一个超对称的量子力学，这个量子力学的波函数就是复值的微分形式全体（也可以考虑完备化的版本）
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1989年，M.Atiyha 受到Segal 公理化定义共形场论的方法的启发，给出了范畴化版本的拓扑量子场论的定义，指出了历史求和 与 流形的协边范畴的关联，揭示了量子场论的内在的数学结构。
拓扑量子场论的主要想法就是把时空解释成空间的定向协边。
时空=空间的定向协边
先解释一下什么是定向协边范畴。我们固定一个维数k，讨论k+1维定向协边范畴，k是空间维数，1表示时间维数。
这个范畴的对象是k维定向（闭）流形，比如M，我们+M和-M表示M的两个定向，它的物理意义就是量子场所生活的空间。两个定向相容的流形-M_1和+N_2（两个对象）之间的协边(协边范畴的态射)是一个k+1维定向流形L（定向反映的是时间方向），这个流形的定向要满足它在拓扑边界上诱导的定向是和M的定向相反和N的定向相同（统一用右手法则定义边界的诱导定向）。
我们可以把这个定向协边简单的写为
L=[-M]----->[+N],
中间的箭头表示时间的方向，L定义域-M表示的是过去的空间，+N表示未来的空间，因为时间是有确定方向的，所以在讨论两个k维闭流形之间的协边的时候 只需要给定L的定向那么定义域和值域的定向就自然确定了，也就是定义域的定向总是和诱导定向相反，值域的定向总是和诱导定向相同。
所有上面的协边可以更加简化为
L=M---->N 而不会引起歧义。
那么定向有什么物理意义呢？实际上，可以这样理解：
协边的定义域上生活的量子态对应于反粒子的激发态，协边的值域上生活的量子态对应于激发态，这是因为费曼把反粒子解释为沿反时间方向运动的粒子，把粒子解释为沿时间方向运动的粒子。这里正反的粒子的区分类似于 狄拉克的刀态（bra）和刃态（ket）的关系，说的更数学些就是 线性空间中的向量和其对偶空间 中的向量的关系。 当然更深刻的解释和CPT定理之类的物理有关，我们不必涉及这么复杂。
如果感觉协边的定向比较绕的话可以先不管这个东西。反正定向协边就是时空演化图，是量子场相互作用的舞台。和普通映射的复合一样，如果一个定向协边L_1的值域的定向和另一个定向协边L_2的值域有相同的定向，我们可以把L_1的值域和L_2的定义域等同起来而得到一个新的定向协边L，这个构造在拓扑上叫做空间的粘贴，在我们这里则把这个操作叫做定向协边的复合记做L=L_2L_1,这个复合和映射的复合满足相同的规律，即存在单位，满足结合律等等。其实这些规律是保证时空的因果结构所必须的。
阿提亚的伟大创见就在于发现时空的演化图（定向协边）和 量子物理中的 历史求和是相容的，换句话说 时空演化的代数结构（定向协边范畴）和量子场的转移振幅所满足的代数结构是一致的或者说 我们可以把定向协边看做是量子场的高维的 费曼图。 所以阿提亚把拓扑量子场论定义为定向协边范畴的线性表示。在粒子物理中，我们可以把量子场论定义为费曼图的表示，从费曼规则的意义上，阿提亚的拓扑量子场论是量子场论中费曼规则的高维推广或者说的更物理一些就是膜（相互作用)的费曼图。
一些简单的类比：
量子力学--------李群/李代数的表示
产生湮灭算子---------李代数的三角分解
（微扰）量子场论----------费曼图的表示
阿提亚的拓扑量子场论----------流形协边范畴的表示
总结一点： 阿提亚的拓扑量子场论是高维膜的量子场论。
下面我们讨论两类模型，来看看为什么历史求和会有如此好的代数结构。限于表达的限制，我只是提炼一些要点，详细的推导在推荐的材料里都有，很详细，很容易follow。
一类是规范模型，一类是sigma模型，这两类模型都可以看做是广义的上同调模型，区别于通常的广义上同调，拓扑量子场论是乘法的，而通常的广义上同调都是加法的。
另外，给一些适合数学系看的文章
1 C.Teleman, Five lectures on topological field theory
2 D.S.Freed, Lectures on topological field theory.
3 M.Atiyah, topological quantum field theories, 1989.
4 P.Van Baal, An introduction to topological Yang-Mills theory,1990.
拓扑量子场论的核心就是对于路径积分（历史求和）的数学结构和可能的应用的探索。
对于数学系的学生，最难的地方在于理解路径积分所隐含的代数结构，理解量子物理的数学结构，最关键的一点就是理解路径积分。
历史求和又称路径积分，是量子物理中计算转移振幅的核心方法。本文将强调历史求和和纤维积分（fibre integration），反转映射（Umkehr map），基森映射（Gysin map），傅里叶变换以及Kan extension等常见的重要概念的一致性。
量子物理的核心要素是量子态和量子态之间的关联振幅。历史求和是确定量子态之间的动力学关联强度（转移振幅）的核心方法。系统的量子态总是生活在希尔伯特空间之中，给定系统的动力学，用路径积分的方法可以计算不同时刻不同量子态之间的动力学关联振幅。
首先我们要先明确和区分一些基本的物理概念：
经典位形空间-----------场或者物理对象所有可能的位形状态的集合
经典的态空间---------场或者物理对象所有可能的运动学状态的集合，不仅包括位形还包含动量的信息
量子的态空间---------经典位形空间上的波函数全体构成的希尔伯特空间
讨论经典力学合适的范畴是集合或者流形的范畴
讨论量子力学合适的范畴是希尔伯特空间的范畴
在集合范畴和线性空间范畴有对伴随函子:自由向量空间函子和忘却函子，
自由向量空间函子把一个集合变为这个集合中的元素自由生成的向量空间。
在态空间的层次上，量子化或者说从经典到量子的过程类似于这个自由向量空间函子，量子态空间相当于经典位形空间自由生成的向量空间。所以说经典的状态其实对应的是量子态空间的一组基。
上面说的三个空间都是在某一个确定时刻，系统的可能状态或者位形的全部可能性，现在我们说说和时间段有关的概念
历史空间--------给定两个时刻t_1 和 t_2,任意两个分别在两个时刻的经典态X_1和X_2，任意一个可能的从X_1到X_2过程（或者说路径）都是历史空间的一个元素，用H（t_1,t_2）表示所有从时刻t_1到t_2的历史，这个空间有一个双纤维化结构（bi-fibration structure），记C（t_1）和C（t_2）表示两个时刻的状态空间（可以不一样）。
C（t_1）<---------H(t_1,t_2)---------->C(t_2)
向左这个箭头表示取 过程的起点，向右的箭头表示取过程的终点，这两个箭头都是纤维化。
上面这个图是数学中非常重要，非常常见的图，我们叫它 屋顶（roof），如果把中间的H画的高一点这个名字还是蛮恰当的。其实它有一个更专业的名字：span（参看nLab span 词条）。在这个图中如果把箭头都反过来，我们叫做cospan。这个图的重要性在于表达了两个集合之间二元关系的推广，几乎所有的对偶性和等价性的背后都有这么一个图像。比如傅里叶变换，朗兰兹对偶，森田等价等等。
如果把其中的一个箭头反过来，就是我们熟悉的可以复合两个函数的图像。但是span的箭头有一个方向不对，所以不能符合，但是span和span之间可以符合（做纤维积）。
在上面这个例子中，两个态之间的历史就刚好是这两个态的公共纤维，对这个纤维积分，得到的数就是两个态之间的关联振幅。所以历史求和或者路径积分的数学结构本质上是纤维积分。其实我们按照刚才自由向量空间的说法，我们可以把C(t_1)和C(t_2)中的元素作为指标比如用i，j 表示，历史空间中的公共纤维就可以用i，j标记，i和j的公共纤维记为P（i，j）（path or process）我们可以把这些纤维排成一个“矩阵”，对这个“矩阵”中的各个元素积分就得到一个真正的矩阵(我们还没有说这些纤维上有什么积分测度，我们后面再讲这些，先假设存在一个积分测度)，我们记为S（t_1,t_2）这个矩阵就是传说中的S矩阵（S矩阵是量子物理的主要的也是最基本的观察量，S矩阵的系数叫做关联函数，共形场论中的S矩阵和黎曼面模空间上的conformal block，高斯-马宁联络也是有关的，这些S矩阵实际上构成一个Hopf algebra，这些都是后话）。所以量子化在态空间的层次上就是自由向量空间函子，在历史空间的层次上就是双纤维化+纤维积分。因为积分运算是线性算子所以这两个层次的操作是一致的。另外从上面的过程我们可以大致体验到categorical quantum field theory 就是S矩阵（Dyson-Schwinger formalism）的范畴化表述。
现在我们考虑三个相继时刻的情形。考虑三个相继时刻t_1,t_2,t_3, 对应的三个状态空间为C（t_1），C（t_2），C(t_3)，其中的元素分别用i，j，k指标标记，这个时候我们有三个历史空间H（t_1），H（t_2），H(t_3)，我们还有三个span（历史空间的双纤维化结构）
C（t_1）<------H(t_1,t_2)------->C(t_2),
C(t_2)<-------H(t_2,t_3)-------->C(t_3)
以及
C(t_1)<-------H(t_1,t_3)-------->C(t_3)
和前面的分析类似，由这三个span 我们可以得到三个散射矩阵S（t_1,t_2），S（t_2，t_3）和S（t_1，t_3）。
那么现在一个自然的问题就是所有的这些数据之间的关系是什么？
答案是H（t_1,t_2）和H（t_2,t_3）的关于C（t_2）纤维积（fiber producnt or pull back）刚好是H(t_1,t_3). 我们用span的语言来形式化这个结果就是前两个相继地span的复合是第三个span，这个不需要任何别的假设，只需要你承认我们的世界在时间的流逝下不会出现矛盾，就会自然的得到这个结果。学习这些东西其实不需要太多的数学和物理背景，真正本质的东西都是很简单很自然的。
我把上面的过程在解释一下，考虑t_1和t_3时刻的态i和k，他们之间的历史P（i，k）具有什么样的结构？如果我们在中间时刻t_2做一个观察，可以发现从i到k的过程可以根据在t_2时刻所经历的状态来划分，也就是说P（i,k）这个集合是所有的形如P（i，j）和P（j，k）的笛卡尔积 这样的集合的无交并(j取遍所有C（t_2）的元素)。现在我们开始做纤维积分，P（i，k）得到的积分是矩阵S（t_1,t_3）的i，k分量s_{ik},但是上面说到P（i，k）是一系列笛卡尔积的无交并，在笛卡尔积上做积分我们有富比尼定理（化重积分为累次积分），笛卡尔积P（i，j）P（j，k）的积分就是s_{ij}s_{jk},而在无交并空间上的积分就等于在各个子空间积分的和，
所以 我们得到s_{ik}=\sum_j s_{ij}s_{jk},这恰恰是矩阵乘积的公式，
所以S（t_1，t_3）=S(t_2,t_3)S(t_1,t_2).
在上面的证明中我忽略一些细节，就是历史空间上的测度问题。
其实要注意到量子场论的局部性对于上面的证明是非常要紧的，也就是说历史求和（路径积分）之所以有如此好的代数性质，关键的一条就是作用量的局部性。那么局部性到底什么意思呢？
局部性是指作用量对于过程的可加性（作用量对于时空是广延量）。也就是一个过程的作用量是它的各段中间过程的作用量的和。如果作用量是拉格朗日密度在时空上的积分的话，可加性自然成立。更精确一点，如果过程X=AB（A过程和B过程的复合），那么作用量S（X）=S（AB）=S(A)+S(B).
在做路径积分的时候，作用量是在指数上，所以exp^{S（X）}=exp^{S(A)}exp^{S(B)},
这一个性质保证了历史空间的乘积的测度等于历史空间测度的乘积。
强调一点： 作用量的可加性或者局部性是历史求和具有好的代数结构的先决条件。
一切都非常完美！
on shell-----------------我们上面介绍的东西其实都是在没有物理的一般情况的setting。这里物理指的就是作用量和历史空间上的测度。稍微懂点物理的都知道作用量是历史空间上的函数（通常叫做泛函，因为实际的例子中历史空间都是无限维的）。如果这个系统的物理不是很坏（nondegenerate），作用量实际上是一个莫尔斯函数。on shell 就是历史空间上作用量的极值点，它的物理意义就是经典的可以真实发生的过程（最小作用量原理）。微扰量子场论就是对on shell 进行形变量子化。如果假设作用量非退化，on shell 上会有一个自然的辛结构，这个辛结构是从作用量继承来的，基本上只要有非退化的变分结构，on shell 上都会有辛结构。如果退化我们只能得到预辛结构（pre-sympletic structure）。
通常遇到的例子，它们的状态空间都是同一个也就是和时间没有关系，而且由于on shell 是系统欧拉-拉格朗日方程的解空间，由于微分方程初值问题解的唯一性，所以可以把历史空间的on shell 部分和状态空间等同起来。
off shell-----------------历史空间上不在on shell上的点成为off shell， on shell 上的点都是可以真实发生的，或者满足物理约束的，比如它们满足能量守恒，动量守恒等等，但是off shell上的点不满足物理的限制，但是量子场论中要求off shell 的过程也会对真实的过程产生贡献（路径积分就是 对off shell的量子涨落进行累积），这些off shell 过程通常叫做虚过程，中间涉及的场的激发态叫做虚粒子。量子场论和凝聚态中对粒子的定义为场或者体系的具有一定稳定的特性的激发态，这些激发态通常是是场或者体系在某些相或者量子序下的低级激发态或者基态。
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这一部分我们来回答以下一些问题。
拓扑量子场论中的拓扑到底意味着什么？ 为什么要研究拓扑量子场论？拓扑量子场论又有现实的物理意义？
首先这些答案没有标准答案，数学家和物理学家的答案也不一样。
量子场论的主要的观察量就是散射矩阵或者叫S-matrix，当然如果是多个粒子到多个粒子的散射过程，这个矩阵实际上是一个高阶张量，当然高阶张量和张量空间之间的线性映射是一样。所以我们就不在精细的区分术语。散射矩阵的各个分量或者系数称为散射振幅或者转移振幅，通常物理学家把它们打包成生成函数，叫做所谓的关联函数。 除了一系列的散射矩阵之外，其他的一些主要要观测量就是一些算子的本征值本征态问题，即谱问题，还有系统的各种特殊态的对称性，能谱的研究。那么拓扑场论中的拓扑是什么意思呢？答案就是 拓扑的意思就是散射矩阵是拓扑不变量，或者说关联函数的系数或者散射矩阵的系数都是拓扑数。这是从数学的角度来说，从物理的角度就是，在拓扑场论中所有的粒子都是没有质量的，或者说有效质量为零。这一点和共形场论是一致的。拓扑场论和共形场论中的粒子都是没还有质量的，因为质量的定义是时空对称群的生成元的本征值，如果我们的理论和时空度规没有关系，那就是说是时空对称群的平凡表示，所以就不存在质量。更一般的判断拓扑性的方法（物理学家定义拓扑场论的方法）是看关联函数关于时空度规的变分是否为零，这一点比较接近S矩阵是拓扑不变量的解释。关联函数是拓扑的这个事情的物理图像是什么呢？
考虑时空上两个点或者多个点上发生了一些量子事件，或者说量子场在时空的一些点处出现一些激发或者退激，这些量子事件通常被说成是在这些点处插入顶点算子，这些顶点算子诱导了量子场的激发和退激，物理上要考虑这些量子事件的关联，也就是说这些事件背后有没有什么物理的或者动力学的原因，计算的结果就是关联函数。所以说关联函数是时空坐标的函数（顶点算子实际上是场位形坐标或者场动量坐标的量子化，物理学家通常看做是时空上的delta函数或者场的位形空间上的delta函数）。现在的问题，如果我连续的改变（当然要保证算子之间的时序结构不变）这些顶点算子在时空上插入的位置，关联函数会有什么变化？ 答案是如果是拓扑场论的话，关联函数不会改变。那么为什么可以用对时空度规的变分为零来刻画关联函数的拓扑性呢？ 这里涉及到主动和被动的描述的问题，改变顶点算子的位置可以等效的认为我改变了时空度规。或者说我可以通过一个微分同胚来实现顶点算子的位移，这个微分同胚可以诱导一个新的度规（比如可以通过pull back），顶点算子在原来的位置上的关联函数如果何在这个新的度规上的定点算子的关联函数是一样的话，那就必须对这个量子系统有一定的限制。这样的限制在共形场论中称为Ward恒等式。这个说法和改变顶点算子的位置而让关联函数不变是一样的。这个不变性不是必然要满足（不是逻辑必然的），如果要满足就说明这个系统是要受到约束的。
从上面的讨论我们也可以看出，相比较于经典场论，量子场论更像是一个黑箱子或者一台机器或者一块材料，为了了解量子场论的结构，我们给它一些刺激，看看它如何反映。这里的刺激就是我们在时空中插入一些顶点算子，来测量一些关联函数，通过这些关联函数我们来反推这个系统应该具有的结构。所以关联函数更像是控制系统的响应函数，知道了足够多的响应函数，我们基本上就了解了这个系统的行为模式。
说明这个事情一个比较好的例子就是黎曼流形上的hodge理论，有了黎曼度量之后我们可以定义调和形式，调和形式的空间和德拉姆上同调空间作为线性空间是同构的（不是作为弗洛比纽斯代数或者结合代数，调和形式上没有外积）。当我们改变黎曼度规的时候，调和形式空间会在微分形式空间转动和伸缩，但是调和形式空间的维数是不会变的，都等于Bitti numbers，说明他们是拓扑不变量。这个Hodge理论被威腾解释成一个超对称的量子力学，这个量子力学的波函数就是复值的微分形式全体（也可以考虑完备化的版本）
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1989年，M.Atiyha 受到Segal 公理化定义共形场论的方法的启发，给出了范畴化版本的拓扑量子场论的定义，指出了历史求和 与 流形的协边范畴的关联，揭示了量子场论的内在的数学结构。
拓扑量子场论的主要想法就是把时空解释成空间的定向协边。
时空=空间的定向协边
先解释一下什么是定向协边范畴。我们固定一个维数k，讨论k+1维定向协边范畴，k是空间维数，1表示时间维数。
这个范畴的对象是k维定向（闭）流形，比如M，我们+M和-M表示M的两个定向，它的物理意义就是量子场所生活的空间。两个定向相容的流形-M_1和+N_2（两个对象）之间的协边(协边范畴的态射)是一个k+1维定向流形L（定向反映的是时间方向），这个流形的定向要满足它在拓扑边界上诱导的定向是和M的定向相反和N的定向相同（统一用右手法则定义边界的诱导定向）。
我们可以把这个定向协边简单的写为
L=[-M]----->[+N],
中间的箭头表示时间的方向，L定义域-M表示的是过去的空间，+N表示未来的空间，因为时间是有确定方向的，所以在讨论两个k维闭流形之间的协边的时候 只需要给定L的定向那么定义域和值域的定向就自然确定了，也就是定义域的定向总是和诱导定向相反，值域的定向总是和诱导定向相同。
所有上面的协边可以更加简化为
L=M---->N 而不会引起歧义。
那么定向有什么物理意义呢？实际上，可以这样理解：
协边的定义域上生活的量子态对应于反粒子的激发态，协边的值域上生活的量子态对应于激发态，这是因为费曼把反粒子解释为沿反时间方向运动的粒子，把粒子解释为沿时间方向运动的粒子。这里正反的粒子的区分类似于 狄拉克的刀态（bra）和刃态（ket）的关系，说的更数学些就是 线性空间中的向量和其对偶空间 中的向量的关系。 当然更深刻的解释和CPT定理之类的物理有关，我们不必涉及这么复杂。
如果感觉协边的定向比较绕的话可以先不管这个东西。反正定向协边就是时空演化图，是量子场相互作用的舞台。和普通映射的复合一样，如果一个定向协边L_1的值域的定向和另一个定向协边L_2的值域有相同的定向，我们可以把L_1的值域和L_2的定义域等同起来而得到一个新的定向协边L，这个构造在拓扑上叫做空间的粘贴，在我们这里则把这个操作叫做定向协边的复合记做L=L_2L_1,这个复合和映射的复合满足相同的规律，即存在单位，满足结合律等等。其实这些规律是保证时空的因果结构所必须的。
阿提亚的伟大创见就在于发现时空的演化图（定向协边）和 量子物理中的 历史求和是相容的，换句话说 时空演化的代数结构（定向协边范畴）和量子场的转移振幅所满足的代数结构是一致的或者说 我们可以把定向协边看做是量子场的高维的 费曼图。 所以阿提亚把拓扑量子场论定义为定向协边范畴的线性表示。在粒子物理中，我们可以把量子场论定义为费曼图的表示，从费曼规则的意义上，阿提亚的拓扑量子场论是量子场论中费曼规则的高维推广或者说的更物理一些就是膜（相互作用)的费曼图。
一些简单的类比：
量子力学--------李群/李代数的表示
产生湮灭算子---------李代数的三角分解
（微扰）量子场论----------费曼图的表示
阿提亚的拓扑量子场论----------流形协边范畴的表示
总结一点： 阿提亚的拓扑量子场论是高维膜的量子场论。
下面我们讨论两类模型，来看看为什么历史求和会有如此好的代数结构。限于表达的限制，我只是提炼一些要点，详细的推导在推荐的材料里都有，很详细，很容易follow。
一类是规范模型，一类是sigma模型，这两类模型都可以看做是广义的上同调模型，区别于通常的广义上同调，拓扑量子场论是乘法的，而通常的广义上同调都是加法的。
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