许多常见的泛函,例如伊藤积分或伊藤随机微分方程的解,相对于Wiener空间的任何一种范数(或准范数)来说,未必都是连续的,当然更谈不上它们的Fr6chet微分了.直到1976年,Malliavin【1】建立了一套对Wiener泛函的“相对微分”运算,使这些重要的泛函在某种意义下是“光滑”的,因而获得了一个重大突破.由于这种微分是对Wiener泛函进行的,所以Malliavin称之为“随机变分运算”,现在则一般称之为Malliavin Calculus.应用这种运算,Malliavin第一次用概率方法证明了偏微分方程理论中关于亚椭圆算子的著名的HSrmander定理.这一成就是当今随机分析领域中最瞩目的成果之一
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2拟连续和径向连续设E是R上的局部凸拓扑向量空间。定义Tk(Z):=z一七,Z∈E固定k∈E满足以下条件:(c)p是k一拟不变的,即;对所有的s∈R,肛0 Ts_1k垒灿且有Radon(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])—Nikodym导数。‰:=掣,s∈R,密度有如下性质:(C1)a:k∈ng≥l工4(E;肛),8∈R,且对所有的q∈{1,oo),函数8 r_IlⅡ‰‰是R上局部有界的.(c2) R厶赤拈<o。厶西两拈<。。这里如为兄上的Lebesgue测度.假设存在一个可分的Hilbert空间(日,(,)),稠密连续地嵌入到E中,那么有如下定理:定理3;固定P>q>1,0<r≤1,T>0,h=(hi,…,h。)∈H“.那么存在一常数C=G(p,口,r,h,T),使得对每一个f∈睇,且f【o,r1.[ECI/(‘+s,h·+≤c)Lfl[;。,(I小炉斋二卅。二即陋(f,(‘+旬^1 q--"+翰‰)一,(·+t-^,+..·+￡。^。)f4)]2F_=;菁集丽s Ollfll';∥II华中科技大学博士学位论文定理4:假设,∈蛾,pa>礼.那么对于任意的h=∞1,·一,h。)∈H“,一定存在,的再定义函数,,(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])使得函数【0,TP弓8卜÷/(z+sh)∈R,对于所有的z∈E是连续的.上述有关分数次正则函数的连续性结论可以应用到局部时和遍历性问题中,有关这方面的内容本文有详细的结果.火2、扩散过程停时的光滑性所谓停时的光滑性指的是它属于某个分数次Sobolev空间壤(或D:).f设(Ⅳ,彬p)是经典的Wiener空间,彬日分别是c铲((o,∞),Rd)关于范数、删咿一p炒,和r∞ l…日2【上II。(t)J12dt]5,的完备化.其中¨ll表示Rd上的通常范数,肛是与(H,彬p)上d_维Brown运动相联的Wiener测度.考虑Rd上的二阶椭圆微分算子L如下:1 d dL=;∑a+j(x)OiOj+∑6t(z)岛。i=lJ=l i=l假设口蚶,阢∈CP,即∥上的无穷次可微有界函数.如果盯是d×d矩阵使得a=盯盯T且仃∈曙。那么与L相联的起点为z的扩散过程x(t,X)可由It6随机微分方程给出ddXi(t,。)=∑吼,k(x(t,z))d‰(t)+6t(x(t,x))dt,k(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])=li=1,2,…,d,x(o,X)=X.令0为剧上的有界连通开集且有G00边界00,Xo∈0.定义r∞,zo)=inf{t≥0使得x(t,X0)管O).可得到下面的结论;。定理5:如果盯是单位矩阵,那么当pa<1时r∈蛾.吵3、平方协变差的存在性与推广的It6公式III华中科技大学博士学位论文经典的It5公式具有较好的形式,但是它要求F∈G2(R),这一条件较为苛刻,这一部分定义了另一种类型的平方协变差,并把It5公式推广到了一个较弱的条件下.令五是连续半鞅,f是R上Borel可测且局部可积函数,记研为五在口点的局部时.陡义如下形式的平方协变差:\、if(x),x】t:=2fi,凰x‘,(s)ds~Z‘,(.磁)d墨】,t∈R+.很显然当且仅当厝f(Xs)dX.存在时,【,忧),x】￡存在.定理6:对每个￡∈R+,只要随机积分詹.f(X,)dXs存在则积分如f(4d。i。a存在,并且我们有If(X),x】产一厶伽)dnE·和如下推广的It6公武tF(Xt)一F(Xo)=fo。(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])f(x,)dX,+;f,(x),圈。.其中F是f的原函数.如果X是一个特殊的连续半鞅,即d维Brown运动,则有如下形式的平方协变差:If(x),X‘】产撬。.莓。【,(如+。)一,(如)】(磁+,一戤),￡,∈Dn,0<如<￡’。其中,是R8上的可测函数,极限依概率收敛,推广的It5公式为:<‘剐=Fm)+妾Z‘^(托)dx:+;妾帆(x),x%,其中F∈川1。,2(础),^=丽aF.对于上式最后一项我们有如下的结论:定理7:∑2:tf,七(x),X‘】c是一个拟处处的零能量连续过程.≮、关键词:Sobolev空间;拟连续i扩散过程;停哦伊藤公式?平方协变差Ⅳ.、华中科技大学博士学位论文AbstractIn this thesis,we mainly study two problems:one is the continuity of fune—tions with fractional regularity and fractional regularity of so(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])me Wiener func—tionals,and the other is existence of the quadratic covariation under some con—ditions,it’S quasi—sure character,and an extension of the It5 formula.1.Three kinds of continuties of functions with fractionalregularityThis part is aimed at investigating the relations between the quasi continu—ity,path continuity and ray continuity of functions with fractional regularity.1.1 Quasi continuity and path continuityLet(E,B,p)be a measure spac(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])e where E is a topological space satisfyingthe second countability,p a positive,finite and tight measure on召which is theBorel仃一algebra of E,supp[#】=E.Let LP(E;肛),P≥1,be the correspondingreal/2一space equipped with the usual norm㈣p,and D:=(I-L)一e(护(E;肛)).The bilinear form on D}×D}assoiated to￡is denoted by E(f,g).We shall make the following assumptions:(A.I)E is local and admits a carrd du champ F,i,e.,1 ^E(f,g)=;/r(,,g)咖,,,g∈D}.(A.2)For anyP>(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])1,there exists a constant q>0 such thatfor“f f∈Drcil[11/11,十IIr{(/)ll,】S jJ,IJ,,z冬c;[11/11,+IIF{(f)ll,】.(A.3)The Dirichlet lor,n(￡,D2)is quasi—regular.Under the conditions(A.1),(A.2)and(A.3),there exists a continuousMarkov process(Xt)t>o—defined,say,on a probability space(n,,,P)一associated to(￡,D2)and the following result holds.Theorem 1 zff∈研,0<r≤1 and pr>2,then t卜+,’(咒)is almostsurely口一H61der continuous/or Og<§一;1,where,+is n(p(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html]),r)一redefinition of,.We now state a generalization of the results of the proceeding result to themultiparameter process:‘V华中科技大学博士学位论文Theorem 2盯,∈D},0<r≤1 and pr>2n,then t卜÷,+(Xt)is almostsurely locally Q-H61der continuous.tor a<;一:.1.2 Quasi continuity and ray continuityWe assume that E is a locally convex topological vector space over R.For%∈E define飞(z):=z一%,z∈E.Fix k∈E satisfying the following condition:(C)p is k-quasi—invariant,i.(来源：淘豆网[http://www.taodocs.com/p-6167790.html])e,,p 0嚎1型肛for all S∈R,and the Radon—Nikodym derivatives啦=氅≯艇冗have the following properties:(c1)o氛∈nq2lL。(E;p),for all S∈R,and for all q∈【1,oo)the functionS H lla‰ll口is locally bounded on R.(C2)For R, 1Ie南如<引01妒&8挺EHere ds denotes Lebesgue measure on R.We assume that there exists a real separable Hilbert space(日,(,))denselyand continuously embedded into E.We have the following results:Theorem 3 Fix P>q>1,0<r曼1,T>0 and h=(hi,…,h。)∈日“.There exists a constant C=c(v,q,r,h,T)such that二巾吲|,(.+s·¨≤c11￥11;。+sn^。)一”)阱两dsand二”不”㈣Ⅲ.+s-^·扣.+s^)一,(·+t,h+···+kh。)14)】;F!;菁‰≤Cllfll;,,VI华中科技大学博士学位论文}0r every|∈By.Theorem 4 Suppose,∈E暑,with po>n.Thenfor any h=(hl,…,hn)∈胛,there exists口redefinition f such that the function[0,卅”弓8 H/(z+sh)∈R is continuousIor all z∈E.The above—mentioned conclusion can be applied to the quasi everywhereexistence of local times of smooth martingales and the ergodicity problem,seethe thesis for details.2.Smoothness of stopping times of diffusion processesSmoothness of a stopping time will be defined as its membership to somefractional spaces D:or醒.Let(H,W p)be the classical Wiener space.Thespaces W and H are respectively pletion of四。(【o,oo),R“)with respecttothe norms’㈣W溯0锹,￡> 1十Land||u11H=【Z。Il。(t)||2d￡]{,where¨0 stands for the usual norm in R8,and“is the Wiener measureassociated to the d-dimensional Brownian motion{u(t),t≥o)on(日,彤p).Westudy in this part the case of a diffusion associated to a second order ellipticdifferential operator工on兄d written as1 d dL=;∑ai,j(z)aaJ+∑如(z)B..。i=lJ=l i=1We assume that ai。J,以∈曙,i.e.are infinitely differentiable bounded functionsonRd.If口is a,d×d matrix such that a=盯盯r and盯∈c苫o,the diffusion processx(t,z)associated to L and starting at X0 is given by the system of It5 stochasticdifferential equationsdX|i(t,z)=∑以,k(x(t,z))d呲(t)+bi(x(t,x))dt,VII华中科技大学博士学位论文i=1,2,…,d,x(o,正)=z.Let O be a bounded connected open set in R“witha COO boundary 00 and let。o∈O.Define.r(w,zo)=inf{t 2 0such thatX(t,X0)掣D}We have the following results:Theorem 5盯盯is unit matrix,then f∈嚣罢provided that pa<1.3.Quadratic covariation and an extension of It6’s formulaThe classical It6 formula has a good form only for F∈e2(咒)which issometimes a very restrictive condition.In this part,we define another type ofquadratic covariation and extend the It5 formula under a loose condition,Let义t be a continuous semimartingale,f a Borel measurable and locallyintegrable function on R。Denote by毋the local time of Xt at level a.We define the quadratic covariation as following:,^l ft[,(x),x】萨2眨f(s)ds一/o f(Xs)dX,]t￡∈R+tIt is obvious that f,(x),xk exists if and only if E,(咒)dX。exists.Theorem 6 For every t∈R+,the integral厶f(a)dd研exists矿the stochasticintegral建f0X0dXs exists,In this case we haveif(x),x】产一厶m)4nE-and the following extended It右:8 10rraula holds."F(—‰)一F(Xo)2上,(xa)dx。+争,(x),zlt·where F ts the primitive function o||;Suppose X is a special continuous semimartingale.i.e.:d—dimensional Brownmotion,we have the following quadratic covariation,f,(x),x‘】t2舰自。聂归【-,(如+t)一,(如)】(磁+,~磁)华中科技大学博士学位论文existing as a limit in probability along a sequence of partitions Dn of the timeinterval【0,司,where,is a measurable function on R8.The extended It6 formulareads as follows:F(托)=F(‰)+苫上A(xAa d霹+;善帆(x),x‘】t,^, 1 dwhereF∈W1。,c2(∥),^=瓦OF.For the last term of above formula we havethe following conclusion:Theorem 7∑2:1Ilk(X),X‘jt isⅡquasi-sure continuous process ol zero en.Key words:Sobolev space,quasi continuity,diffusion process,stopping timeIt6’S formula,quadratic covariationIX华中科技大学博士学位论文1.1 引言1绪论概率论在它的发展早期和分析是两个迥然不同的领域,直到1933年Kolmogorov建立了概率论的公理基础,才使得它成为一个严密的数学分支.本世纪四十年代到五十年代间,概率与分析这两个领域之间的关系发生了一个戏剧性的变化:如果说以前人们关心的是如何用分析方法来解答概率问题,那么在这以后更感兴趣的是如何用概率方法来解决分析问题,在它们之间迅速地发展着--fl新的学科一一随机分析学,按照伊藤清的说法,是“增添了随机风趣的分析学”.一方面伊藤随机分析提供了直接构造L一扩散过程轨道的方法,因而得到了与二阶椭圆微分算子L有关的许多问题的概率解,在处理具有退化、无界或不光滑系数的椭圆、抛物型方程时,更显出它的优越性.此外他还创立了一套随机微积分中复合函数的微商公式,即: It6公式.另一方面,自从Wiener 1923年构造了Brown运动的数学模型以来,许多人试图对Wiener泛函建立一套分析理论.不幸的是,许多常见的泛函,例如伊藤积分或伊藤随机微分方程的解,相对于Wiener空间的任何一种范数(或准范数)来说,未必都是连续的,当然更谈不上它们的Fr6chet微分了.直到1976年,Malliavin【1】建立了一套对Wiener泛函的“相对微分”运算,使这些重要的泛函在某种意义下是“光滑”的,因而获得了一个重大突破.由于这种微分是对Wiener泛函进行的,所以Malliavin称之为“随机变分运算”,现在则一般称之为Malliavin Calculus.应用这种运算,Malliavin第一次用概率方法证明了偏微分方程理论中关于亚椭圆算子的著名的HSrmander定理.这一成就是当今随机分析领域中最瞩目的成果之一,并且得到广泛的应用.为了建立Malliavin的随机分析的严格数学理论,许多学者从不同的途径进行了研究.Stroock【2113】和Kusuoka【4】4系统地发展了Malliavin关于Wiener空间上的0.U半群理论;Bismut应用更为直接的Girsanov变换方法,得到了Wiener空间上的分部积分公式;1936年,S.L.Sobolev从数学物理方程的求解出发拓广了函数和微分的概念,引进了广义函数与广义导数,建立了Sobolev空间理论;Shigekawa 15】和Stroock f2】提出了Wiener泛函的Sobolev空间概1
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