积分- 维基百科，自由的百科全书
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缺少字詞： weiner
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由 王少英 著作 - 2013
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数值积分则是利用被积函数在积分区间中的若干离散点处的函数值构造定积分的近似 ... 本文主要讨论了常见的梯形求积公式、抛物线型求积公式在Wiener测度空间的 ...@Lifschitz
希望本篇的读者了解测度论（实分析/概率论）的一些基本知识：常见的sigma代数（Borel代数），测度拓张定理，Borel测度，Lebesgue积分，作为Banach空间的L^p空间等等。
历史上，函数空间上的积分跟物理中的路径积分差不多是同一时期发展起来的，而前者又受了后者很多影响。数学家的路径积分大体上来源于下面几个人的工作：Weiner（定义了函数空间上的Weiner测度），Kac（Feymann-Kac公式，相当于量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程），Ito（伊藤清，随机微分方程），Gross（抽象Weiner空间），郭辉熊（伊藤清的学生，Hilbert空间上的势论和PDE）。他们的许多发现同物理中的路径积分有相当大的平行性。
作为科普，首先来回顾一下量子力学里面用路径积分解Schrodinger方程的做法：
但是这个定义中有一点微妙的问题如果我们认为函数空间（路径空间）跟普通的有限维实数空间没有区别的话，自然就会把上面的积分测度Dx当成某种“无穷维的Lebesgue测度”——换句话说，具有平移和旋转不变性的Borel测度的拓张。然而仔细想想就会发现这种Borel测度在无穷维空间中根本不可能存在。理由很简单：如果有这样的一个测度，那么我们就必须要求每一个球都具有正的测度。这样根据平移不变性，势必导出每个球的测度都是无穷大的结论。这显然是不能接受的。另一方面，出现在指数上的虚数单位可能会导致收敛性的问题。
为了暂时避开第二个问题，可以使用一下Wick rotation，变成所谓的Eclidean路径积分。但是第一个问题还是没有解决。
如何才能在函数空间上定义一个良好的测度？Weiner给出了一个比较令人满意的解答。这就是Weiner测度。
考虑函数空间C[0,1]，加上一个一致收敛模。在这个模之下它自然是可分的Banach空间。仿照路径积分的做法，可以在区间[0,1]上取一系列的“窗口”来“测量”函数的值。记B_n为n维Euclidean空间的Borel代数。下面在区间[0,1]上面取n个“观察点”，观察某个函数族E的函数值。如果这些函数值在n维Euclidean空间中构成一个Borel集，那么就称E是C[0,1]中的一个Cylinder. 很容易看出Cylinder的全体是一个代数，而又容易证明这个代数生成的sigma代数就是C[0,1]的Borel代数。
下面可以仿照路径积分的做法在Cylinder代数上定义一个测度W。假若取了“窗口”t1,..., tn, 观察的函数族为E，它们在经过“观察”之后形成n维空间里面的一个Borel集I，则定义E的Weiner测度W(E)如下：
不难证明这个测度在Cylunder的代数上具有可数可加性。这样就可以把它拓张成为C[0,1]上的Borel测度。这个拓张就是C[0,1]上的Weiner测度。显然它是个概率测度。对这个测度的Lebesgue积分就称作Weiner积分。将区间的右端点换成一个可变的t之后，所有的讨论都可以照搬到C[0,t]. 下面都以C[0,t]作为所考虑的函数空间。
这个定义跟路径积分的联系是什么？如果在上面的式子中形式地令n无限增大，而观察的“窗口”取得无限密集，则积分号下指数部分的求和正好就是自由粒子的Euclidean作用量。所以直观上，Weiner积分是将自由粒子作用量“吸收”进积分测度的一种积分。
Kac受到Feymann启发证明了下面的Feymann- Kac公式：
这跟虚时Schrodinger方程在形式上完全一样。但是这里的定义完全是严格的（不是物理学家“泛函积分可以严格积出来”的严格，而是真正的严格）。这个公式还有高维推广。微扰论也可以在这里很好地展开（我原来试过一个最简单的情形，见http://tieba.baidu.com/p/2923817158；当然只是很平凡的讨论）。
当然，这些讨论中跳过了Wick rotation的问题。Wick rotation的定义基于方程的解对于时间t的解析性。如果这个不能保证，那么Wick rotation的数学基础依旧是一个问题。
Gross还定义过所谓抽象Weiner空间，并且考虑了上面的势论。这也许可以为量子场论的泛函积分提供一个严格的数学表述。
无耻伸手求科普物理上的路径积分
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这种“科普”没“普”，理论欠严谨的东西楼主也好意思放上来- -
上次看到楼主把 矩阵运算 说成 可除代数的一种 时就知道楼主差不多是什么水平了。
对于把这种东西置顶的吧务，我仍然无语。
无限维上有关路径积分的严谨的理论可见如下链接：
http://pan.baidu.com/share/link?shareid=1365575599&uk=184799136
上面的论著可算是比较完整的体系。（比较高级的泛函分析，要看懂需要一定数学基础。）
楼主对自己的一些判断完全不加引证，一些明显是楼主自己猜想的东西却被以“这是既定事实”的方式描述。完全是在误导大众！
上次看到楼主把 矩阵运算 说成 可除代数的一种 时就知道楼主差不多是什么水平了。
对于把这种东西置顶的吧务，我仍然无语。
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上面的论著可算是比较完整的体系。（比较高级的泛函分析，要看懂需要一定数学基础。）
楼主对自己的一些判断完全不加引证，一些明显是楼主自己猜想的东西却被以“这是既定事实”的方式描述。完全是在误导大众！
我个人觉得这种东西做科普意义不大，而且这个科普也还是很专业，很多专业名称必须去查才知道…而且楼主写的嘛…就我个人而言，从物理上讲，路径积分只能微扰用一用，可以证明有限个Feynman 图做微扰，扔掉的高阶总会有贡献大的，这个证明早就有了，所以人们考虑强耦合场论才会开发格点的办法。从数学上来说，关注这个的数学家也很少，他们早就证明了路径积分的不严谨性，对于发散的出现也是他们没法严格处理的。路径积分量子化或者重整化这套量子场论技术最大的意义在于告诉你怎么做有效场论，肯定会有不严格的地方
伊藤積分- Wikiwand
www.wikiwand.com/zh-hant/伊藤积分
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2011年11月16日 - Riesz-Fisher 定理和20 世纪20-30 Nobert Wiener Brown 运动理论. .... 的确, 他也证明了这一定理, 条件是积分区间有限而被积函数fn 一致有界.
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