·秒(s)为能量单位则为 h=4.13566743(35)×10^(-15) eV·s 普朗克常数的物理单位为能... 计算角动量时要常用到h/2π这个数,为避免反复写 2π 这个数,因此引用另一个...
普朗克常数编辑
普朗克常数记为h，是一个物理常数，用以描述量子大小。在原子物理学与量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份地进行的，计算的结果才能和试验结果是相符。这样的一份能量叫做能量子，每一份能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率。
普朗克常数数值
约化普朗克常量编辑
由于计算角动量时要常用到h/2π这个数，为避免反复写 2π 这个数，因此引用另一个常用的量为约化普朗克常数（reduced Planck constant)，有时称为狄拉克常数(Dirac constant)，纪念保罗·狄拉克：
ћ=h/(2π)
约化普朗克常量（又称合理化普朗克常量）是角动量的最小衡量单位。
其中 π 为圆周率常数，约等于3.14，ћ(这个h上有一条斜杠)念为 "h拔" 。
约化普朗克常量数值
若以电子伏特(MeV)·秒(s)为能量单位则为ћ=6.5821220(20)×10^-22 MeV·s[1]
标题: 相空间杂谈
作者: 星空浩淼
量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源。直接的量子化不是能量或者动量，而是三角函数的角度量子化（即作用量、或者说相空间测度量子化），只有当时间间隔或空间距离给定时，才等效成能量或动量量子化(同理，角度给定时就有角动量量子化，等等）.
利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式：
假设相空间中有一个长方形，边长分别为A和B，分别平行于位置空间坐标轴和动量空间坐标轴。量子力学无非告诉我们，相空间是离散化的，是量子化的，是由一块块“面积”（或“体积”）大小固定的砖块组成，这样的砖块称作“相空间格子”或者“相格子”（这个名词在激光物理中使用，不是本人杜撰）。假定这个长方形就是这样的基本“相空间格子”，由于它大小固定，所以，当对它进行任意变形时，若边长A变长，则相应地边长B必然变短，反之亦然。当边长对应偏差时，这就是测不准关系的直观理解图象。
通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，相格子的“面积”等于h^(n/2),其中h是没有除以2Pi的那个Planck常数,n是相空间的维数。也许这种差异就是因子1/4Pi的来源（测不准关系中，有1/2因子，因此说“因子1/4Pi”而不是“1/2Pi”）。在量子统计中，经常要计算的某种量跟量子态数成正比。无自旋时，认为相空间中，每一个相格子占据一个量子态，因子积分测度Vd^3p中含有（Vd^3p/h^3）个量子态，其中V是位置空间体积，d^3p是对三维动量的三重积分，h是 Planck常数，在自然单位制下，h^3变成2Pi的三次方，这里体积因子V常被波函数中的归一化因子吸收了。如果存在自旋等内部自由度，则还要乘以自由度数量。
在激光物理中，相格子代表“相干体积”（不过如果你看到“相干体积”这个词可能不一定是我这里所说的含义。相格子在这里至少还有三重不同的有趣含义，可惜我忘了，我的笔记在家里），处于同一个相格子中的光子才是相干的。激光就是处于同一个量子态的光子集合，技术上要实现更大的激光强度，就需要更多的光子相干。激光技术的一个目的之一，就是拼命地保持相干，可惜自然界偏偏有N多个因素破坏这种相干。
理想的激光频谱是一根线，即宽度为零的单色光，前面说过，相格子面积是固定的，因此单色光的相干时间是无穷长的，相干长度等于相干时间乘以光速，也是无穷长的。同一个光源，不同时刻发出的光子不一定相干，这取决于相干时间长短；不同的地方放出的光子不一定相干，这取决于相干长度。当然经历不同路径、不同运行时间的光子是否相干，也是取决于这些。
在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。
傅立叶变换相当于相空间中的坐标旋转变换。人们已经将传统的傅立叶变换——旋转90度的变换，推广到分数阶傅立叶变换，即在相空间中旋转任意角度的坐标变换，然而关于它存在N多个等价的定义，每一个定义给出了它的不同角度的理解。所有这些以及小波变换，都是应用科学的成果。应用与实践，常常是理论的源泉。
傅立叶变换是一个数学上的东东，然而别说在物理上，就是在技术的意义上，它都可以变得很实在。对于工科学生而言，傅立叶变换跟一台设备没有分别，因为在技术上人们就用仪器设备来实现它，连分数阶傅立叶变换都在技术上实现了。例如让一个信号输入某台设备，输出的就是这个信号的傅立叶变换！傅立叶变换其实是可以描述成算子。算子是什么东西？就是一台机器，你给它喂一个东西，它加工后产下另一个东西。
在我眼里数学是实在的，尽管它的描述方式可能是有些主观随意。有人说，只要桌子板凳也满足那些数学公理也可以，所以数学纯属主观性的——问题是，你要那些桌子板凳满足那些公理才行啊！这个比方是很误导少年的。
物理规律和数学真理是分不开的。并不是物理规律才叫规律，而数学规律就不叫规律，就是trival。 有一点在我看来是绝对的：如果没有那样的数学规律，就没有那样的物理规律。如果没有“3的平方加4的平方等于5的平方”这样的数论真理，现实中由3，4， 5构成边长的平面三角形就不会是直角三角形。如果不是有类似于“要构成空间局域的波包，必须要无穷多不同动量成分的平面波来叠加”或者不是因为有类似于 “Dirac δ函数可以用指数函数展开（其中求和是连续求和的积分，积分变量是δ函数自变量的共轭动量）”这样的数学规律，就不会存在量子力学中的测不准关系
标题: 相空间杂谈
作者: 星空浩淼
量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源。直接的量子化不是能量或者动量，而是三角函数的角度量子化（即作用量、或者说相空间测度量子化），只有当时间间隔或空间距离给定时，才等效成能量或动量量子化(同理，角度给定时就有角动量量子化，等等）.
利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式：
假设相空间中有一个长方形，边长分别为A和B，分别平行于位置空间坐标轴和动量空间坐标轴。量子力学无非告诉我们，相空间是离散化的，是量子化的，是由一块块“面积”（或“体积”）大小固定的砖块组成，这样的砖块称作“相空间格子”或者“相格子”（这个名词在激光物理中使用，不是本人杜撰）。假定这个长方形就是这样的基本“相空间格子”，由于它大小固定，所以，当对它进行任意变形时，若边长A变长，则相应地边长B必然变短，反之亦然。当边长对应偏差时，这就是测不准关系的直观理解图象。
通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，相格子的“面积”等于h^(n/2),其中h是没有除以2Pi的那个Planck常数,n是相空间的维数。也许这种差异就是因子1/4Pi的来源（测不准关系中，有1/2因子，因此说“因子1/4Pi”而不是“1/2Pi”）。在量子统计中，经常要计算的某种量跟量子态数成正比。无自旋时，认为相空间中，每一个相格子占据一个量子态，因子积分测度Vd^3p中含有（Vd^3p/h^3）个量子态，其中V是位置空间体积，d^3p是对三维动量的三重积分，h是 Planck常数，在自然单位制下，h^3变成2Pi的三次方，这里体积因子V常被波函数中的归一化因子吸收了。如果存在自旋等内部自由度，则还要乘以自由度数量。
在激光物理中，相格子代表“相干体积”（不过如果你看到“相干体积”这个词可能不一定是我这里所说的含义。相格子在这里至少还有三重不同的有趣含义，可惜我忘了，我的笔记在家里），处于同一个相格子中的光子才是相干的。激光就是处于同一个量子态的光子集合，技术上要实现更大的激光强度，就需要更多的光子相干。激光技术的一个目的之一，就是拼命地保持相干，可惜自然界偏偏有N多个因素破坏这种相干。
理想的激光频谱是一根线，即宽度为零的单色光，前面说过，相格子面积是固定的，因此单色光的相干时间是无穷长的，相干长度等于相干时间乘以光速，也是无穷长的。同一个光源，不同时刻发出的光子不一定相干，这取决于相干时间长短；不同的地方放出的光子不一定相干，这取决于相干长度。当然经历不同路径、不同运行时间的光子是否相干，也是取决于这些。
在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。
傅立叶变换相当于相空间中的坐标旋转变换。人们已经将传统的傅立叶变换——旋转90度的变换，推广到分数阶傅立叶变换，即在相空间中旋转任意角度的坐标变换，然而关于它存在N多个等价的定义，每一个定义给出了它的不同角度的理解。所有这些以及小波变换，都是应用科学的成果。应用与实践，常常是理论的源泉。
傅立叶变换是一个数学上的东东，然而别说在物理上，就是在技术的意义上，它都可以变得很实在。对于工科学生而言，傅立叶变换跟一台设备没有分别，因为在技术上人们就用仪器设备来实现它，连分数阶傅立叶变换都在技术上实现了。例如让一个信号输入某台设备，输出的就是这个信号的傅立叶变换！傅立叶变换其实是可以描述成算子。算子是什么东西？就是一台机器，你给它喂一个东西，它加工后产下另一个东西。
在我眼里数学是实在的，尽管它的描述方式可能是有些主观随意。有人说，只要桌子板凳也满足那些数学公理也可以，所以数学纯属主观性的——问题是，你要那些桌子板凳满足那些公理才行啊！这个比方是很误导少年的。
物理规律和数学真理是分不开的。并不是物理规律才叫规律，而数学规律就不叫规律，就是trival。 有一点在我看来是绝对的：如果没有那样的数学规律，就没有那样的物理规律。如果没有“3的平方加4的平方等于5的平方”这样的数论真理，现实中由3，4， 5构成边长的平面三角形就不会是直角三角形。如果不是有类似于“要构成空间局域的波包，必须要无穷多不同动量成分的平面波来叠加”或者不是因为有类似于 “Dirac δ函数可以用指数函数展开（其中求和是连续求和的积分，积分变量是δ函数自变量的共轭动量）”这样的数学规律，就不会存在量子力学中的测不准关系
No comments:
Post a Comment