最小作用量原理完全解读_物理_自然科学_专业资料
最小作用量原理及其应用 院 专 年 作 系 业 级 者 物理学院 物理学 2008 级 秦 伟 www.Qwein.net 个人网站 二○一二 年 五 月 最小作用量原理及其应用 目 录 内容摘要 ............................................................. 1 关 键 词 ............................................................. 1 Abstract ............................................................. 1 Key words ............................................................ 1 1. 最小作用量原理的提出 .............................................. 2 1.1 极值思想的产生 ................................................ 2 1.2 “作用量”的概念 ............................................. 2 2. 自然界的最小作用量原理 ............................................ 4 2.1 光的最短时间原理 .............................................. 4 2.2 光的作用量——光程 ............................................ 5 2.3“最小作用量原理”的确切含义 .................................. 6 3. 变分法与分析力学 .................................................. 8 3.1 变分法的创立 .................................................. 8 3.2 泛函的极值问题 ................................................ 8 3.3 力学与光学的类比 ............................................. 10 3.4 最速路径问题的泛函表达式 ..................................... 11 3.5 作用量的其它形式 ............................................. 12 3.6 欧拉与变分法的创立 ........................................... 14 3.7 拉格朗日与分析力学的创立 ..................................... 16 3.8 拉格朗日函数 ................................................. 17 3.9 拉格朗日方程与牛顿第二定律的等价性 ........................... 17 最小作用量原理及其应用 4. 对称、守恒与最小作用量 ........................................... 20 4.1 对称性与作用量的关系 ......................................... 21 4.2 时间平移对称性与能量守恒 ..................................... 22 4.3 空间平移对称性与动量守恒 ..................................... 23 4.4 空间各向同性与角动量守恒 ..................................... 24 5.最小作用量原理与近代物理 .......................................... 26 5.1 光学与力学的又一次类比 ....................................... 26 5.2 赫兹的《力学原理》 ........................................... 28 5.3 作用量与量子力学的路径积分法 ................................. 30 5.4 对最小作用量原理的讨论 ....................................... 32 6.从最小作用量原理谈中学物理教育 .................................... 33 参考文献： .......................................................... 35 最小作用量原理及其应用 内容摘要：寻找物理的大统一理论，是众多物理学家的最终目标。 “最小作用量原 理”的出现虽然还不能完成此任务，但其具有高度的统一性，灵活性，以及其优美的形 式和哲学意义，已经成为最有可能统一所有物理理论的最高原理。它几乎可以覆盖整个 物理学，只需找到合适的作用量，就能得出所有物理定律。本文从最简单的极值思想开 始， 按照历史的线索， 深入浅出地， 详细讲解了最小作用量原理的含义、 应用及其发展。 最后结合最小作用量原理的历史发展过程及其特点，讨论了我国物理教学上的一些问题。 关 键 词：费马原理 最小作用量原理 分析力学 对称 守恒 路径积分法 Abstract：Finding a grand unified theory of physics, is the ultimate goal of many physicists. Though "Principle of least action" can not accomplish this task, it has become the most likely principle to unify all physical theories. Because it has a high level of uniformity， flexibility，graceful form and philosophical sense. It can cover almost the whole theories of physics, only to find the right action. This article starts from the extremum idea, and explains the meaning， application and development of The Least Action Principle in layman's language with the historical clues. Finally, according to the historical development and its characteristics of The Least Action Principle, I discussed some problems of physics teaching in China. Key words：The Least Action Principle Fermat principle Analytical mechanics Symmetry Conservation Path integral method 1 最小作用量原理及其应用 1. 最小作用量原理的提出 1.1 极值思想的产生 最小作用量原理的思想之源，来自与生活中的各种极值的思想，以及自然界中的 各种极值现象。 通俗来说， 比如： 一根两端固定的悬链， 其自然下垂的时候重心最低； 热力学系统平衡时，熵值最大；水珠尽可能的保持球形，在失重的空中，水珠可以保 持完美的球形，因为相同体积的物体，球形表面积最大，等等。 以上种种现象表明，造物主似乎是个精明的经济学家，他总是尽心设计物理定律 使得“成本”最小。很久以前，人们认为这些极值问题仅仅是一些物理定律的偶然结 果，可是随着理论的发展，人们似乎慢慢认识到极值才是宇宙中最本质的定律。在今 天，物理学家们已经找到了一种以统一的形式和精确的数学去描述这些极值问题的原 理——最小作用量原理。 而人们从心理上也往往比较喜欢极值，比如学生都想得最高分；买电脑要买性价 比最高的；上班坐公交要坐最省时间的；做生意要求利润要最高，等等。而最小作用 量原理也正是人们在这样的社会背景下提出的，17 世纪末至 18 世纪初，随着资本主 义的发展，经济因素在人们的思想和行动上产生了很多影响。人们总想让社会的生产 效率达到最高，经济效益达到最好。 这使得很多哲学家将自然界的极值与人类社会的极值联系起来， 自然界的极值性 和人类的经济理论，进而发展为自然界的经济原理。致使很多大哲学家和科学家开始 运用这一思想，寻求自然界的存在形式。包括牛顿、莱布尼兹、欧拉等人，正是在这 样的时代背景下，促成了最小作用量原理的创立及其规范化[1]。 1.2 “作用量”的概念 之前人们所提出的自然经济原理，仅仅是一种感性的、直觉性的认识，没有数学 的表述，仅仅这样，极值思想不能够发展为一门科学——最小作用量原理。其原因， 就是我们无法定量的描述作用量，甚至，也没有对作用量有一个明确的认识和定义。 大多数人刚开始接触最小作用量原理时，也都有这样一个疑问，什么是“作用量” ， 既然最小作用量原理在各个物理领域都可以运用，那么这个“作用量”又是怎样定义 的，怎样寻找的呢？ 最初，作用量的提出完全来自于人们的猜测和实验验证。但随着最小作用量原理 2 最小作用量原理及其应用 的发展， 以及守恒律、 对称性的理论研究， 三者之间的关系也渐渐明朗起来， 1918 年， E·诺特在题为“变分问题的不变量”论文中提出著名的“诺特定理” ，至此，我们已 经可以从理论上寻找作用量的数学形式，通过对称、守恒与最小作用三者之间的关系 有效地写出正确的作用量函数，这种方法进而发展为规范场论（三者之间的关系将在 论文的后面再做阐述） 。 那么人们最初是怎样认识作用量的呢？下面我们先看一个简单的例子： 例题 1.1 如图： 一个落水者向岸边的人求救, 假设恰好跨栏冠军刘翔在此时经过， 救人者刘翔此时往往有两个选择：1、经过 A 点，选取最短路径，直奔落水者实施救 援。2、经过 B 点，首先迅速跑到离落水 者较近的岸边，然后游泳到落水地点。 那么，这两种路径有什么区别呢？ 首先，我们要明确一个目的，就是要尽 快的将人救出，也就是要求到达落水者 地点的时间尽可能的短。在这里，如果 说我们运用最小作用量原理来研究此问 D 落水者 C 救人者 图 1.1 题，这里的最小“作用量”就是“时间” 。那么为什么不是最短的路程呢？难道最短 路程不等于最短时间么？ 在人们看来，救人肯定是要求时间最短，而不是路径最短，所以这里选取时间为 作用量，而到达落水点的路径只有一条是时间最短的，对刘翔来说，其跑步速度肯定 远大于游泳速度。所以，在陆地上奔跑更省时，刘翔尽可能的先跑到离落水者最近的 岸边，再选择游泳，能更快的到达落水点。所以此时，时间是作用量，而选择直线的 最短距离，花费的时间反而更长。也就是由时间最短原理，我们可以得出刘翔唯一的 一条运动路径。 这样，我们就得出了作用量的概念，并从以上例子中，我们由最小作用量原理得 出了唯一的一条满足时间最短原理的路径。那么，联想到自然经济原理，如果自然界 也存在这样的作用量，那么我们是否也能找到这样一个作用量，并计算出自然界中物 体的运动路径呢？ 3 最小作用量原理及其应用 2. 自然界的最小作用量原理 2.1 光的最短时间原理 通过图 1.1， 我们发现， 救人者的运动路径很像光的折射路径 （如图 2.1） 由此， ， 我们容易类比，难道光也是选择了时间最短的运动路径么？其实，很早之前，古代科 学家（如公元前 2 世纪的埃及人 Hero）就开始猜想光的传播遵从最短时间法则。 最小作用量原理的第一个成功范例，是 1650 年法国数学家费马对光的传播原理 作了一个概括性的叙述：光从空间一点 A 到另一点 B, 光沿着所需的时间为极值的 路径传播。但是，其折射的角度究竟是否对应着最短时间的路径，还要结合折射定律 以及光在介质中的速度公式进一步计算。折射定律早在 1620 年，就由荷兰科学家斯 涅耳在实验的基础上得出了，又由笛卡尔在其《折射光学》中将其表述为： sinβ 1/ sinβ 2=n2/n1（n 为折射率） 介质中的光速与折射率的关系是由惠更斯在其光的波动理论上给出的， 即介质折 射率之比等于光在这两种介质中的速度之比，这也使费马原理第一次得到了证明，下 面是具体证明方法。 例题 2.1，如右图，设有水上和水下的 A、B 两 点，其相对位置固定，由 A 点发出光线，在水面 C 点 发生折射，到达 B 点（其中 A、B、C 三点一定在同一 平面内，可以由最小作用量原理得出，这里对此不作 证明）根据光在介质中的速度 v1=c/n1 、v2=c/n2，可 以得到光从 A 点到达 B 点的时间为 t=LAC/ v1+ LCB/ v2， 即： （n1·LAC+ n2·LBC） 因此， t= /c 只需证明 n1·LAC+ n2·LBC 为最小值即可： 即 B · 图 2.1 O · A β C β 2 1 n1≈1 D n2≈1.33 n1 ? AO ? CO ? n2 ? BD ? CD ? min 2 2 2 2 由于 A、B 两点固定，即AO、BD、OD为常数，建立如图直角坐标系，设 C 点坐 标为 x，则CD=OD-x,则(1)式可写为： n1 ? AO ? x 2 ? n2 ? BD ? OD ? x 4 2 2 ? ? 2 ? min 最小作用量原理及其应用 根据数学中求极值的方法，令上式对 x 的微分等于零可得： 2? 2 2 ? d ? n1 ? AO ? x 2 ? n2 ? BD ? OD ? x ? ? ? ?0 dx ? ? n1 ? x AO ? x 2 2 ? 2 n2 ? x BD ? OD ? x ? ? 2 ?0 sinβ 1/ sinβ 2=n2/n1 即， 根据费马原理， 只有当 C 点的位置在满足 sinβ 1/ sinβ 2=n2/n1 时， 光走过 A、 B 两点的路径才能满足时间最短，这正符合了斯涅耳的实验事实，证明了费马提出的 最短时间原理，这个证明，最早是由莫泊丢（P.L. MdeMaupertuis）完成的。 2.2 光的作用量——光程 对于光的最短时间原理，而从另一个角度来讲，又可以看作最短“光程”原理， 只是对光所取的作用量不同。在例题 2.1 中，光所走的时间 t=（n1·LAC+ n2·LBC ）/c ， 式子中真空中光速 c 是常数，t 取最小值相当于 n1·LAC+ n2·LBC 取最小值。显然，在欧 几里德平直空间中，光的路程为 LAC+ LBC，但将 t=（n1·LAC+ n2·LBC）/c 与 t=s/v（时间 =路程/速度）相比较，光的路程 s 不能用 s=LAC+ LBC 表示，而是 s = n1·LAC+ n2·LBC 这里的“光程”不再是三维平直空间中，两点之间线段最短了，而是由几何空间 距离乘以折射率来计算，相当于进入了一种非平直空间，在这样的空间里我们仍可看 作光选择了最短距离的直线进行传播（这正是广义相对论的基本思想） ，即定义光程 为: 折射率 n 与路程 L 的积。 光程 s=n·L 即， 如果取时间为作用量， 则时间取最短； 如果取光程为作用量， 则光程取最短， 二者本质上是等价的。而费马原理的数学表达式，正是以光程的积分形式来表示的： 最短时间原理：δ B A c dt=0 或 最短光程原理：δ B A n dL=0 5 最小作用量原理及其应用 2.3“最小作用量原理”的确切含义 在以上的例子中，都是作用量取最小的情况，但是，在费马原理的表述中，并没 有说光是沿着作用量取最小的路径传播的，而是用“极值”代替了“最小” 。这里涉 及到了另一个问题，更准确的来讲，最小作用量原理，本就应该是极值原理。因为在 1.1 中我们就谈到了极值思想的产生，这里除了极小值还有极大值。进一步，学过数 学中利用导数求极值的方法后就知道，利用函数的一阶导数等于零就能得到极值点。 而这个极值点还有可能既不是最大也不是最小，而是曲线的拐点。只是人们在研究此 类问题时，遇到的情况更多的是涉及到最小值的，也就有了“最小作用量原理” [2] 。 值得一提的是费马于 1657 年提出他的原理时 ,也是基于 “最小”这一观念提 出的，而上面举例所谈的 Fermat 原理 ,只是修正以后的费马原理。 所以，最小作用 量原理的叫法不是那么准确，也是有历史原因的。但我们应该认识到，最小作用量原 理不仅仅只是包涵极小值的情况，只要满足作用量积分函数的变分为零，就满足实际 情况。例如利用凸透镜成像就是一种作用量为常量的情况： 如图 2.2，由从透镜二倍焦距处的 A 点发出的光，经过凸透镜，在透镜的另一侧 二倍焦距处汇聚于 B 点，这个实验现象早在 初中课本中就有所介绍。但是根据最小作用 量原理，A、B 两点之间的光只有满足作用量 取极值时才能从 A 点到达 B 点。一般来讲， 作用量函数的最小值或者最大值只有一个， 也就意味着 A、B 之间的光路有且只有一条 与最小作用量相对应。 但是，实验事实告诉我们，凸透镜成像时有无数条光路从 A 点到达了 B 点，也使 得凸透镜获得了聚光成像的功能，这就是作用量取常量的情况，原理并不复杂。 取图中 a、b 两条光路为例，已知玻璃相对于空气的折射率为 1.5 左右，如果没 有透镜，作用量只与路径长度有关，光路 b 的作用量一定小于光路 a 的作用量，即： ? ndl < ? ndl ，但由于透镜宽度不均匀的缘故，使得 a、b 两条路径具有相同的光程 成为了可能，所以，满足光程为常量 ? ndl 的光路都是光的实际路径。 a b a 6 最小作用量原理及其应用 几何光学中，还有很多类似的例子，例如在光的反射情况中也有极大、极小、 常量的情况： 例 1：平面镜的反射取作用量为极小值 的情况，如右图： 光从 A 点发出，在 O 点反射经过 B 点， 光程 LAOB 取极小值，做 AO 的镜像 A’O 容易 看到 A’B 为一条直线段， 两点之间线段最短。 如果从 A 到 B 的光路不经过 O 点， 而是 O’点， 那么 A’B 变为折线， 此时光路 LA O’B 一定大于 LAOB，即得光反射的最小作用量原理。 平面镜反射光路图 例 2：如果将镜面换成椭圆镜面，将光源放在椭圆的一个焦点 Q 上， Q’点位置 为椭圆的另一个焦点，如图： 根据椭圆的性质，我们 知道，从 Q 点发出的光，如 果要到达 Q’点，其光路的长 度为椭圆长轴的二倍 2a，即 每一条光路都具有相同的光 程，这种情况即为常做用量 的情况，其光路的变分为 0。 进一步推导可知，上面 例题中，在椭圆任意处选择 一反射点 M，在此处放置一 曲率更大的弧形镜面，在 M 处于椭圆相切，切点 M 处的反射光路应该不变。但是对 于曲率更大的镜面来说，光程 LQMQ’取得最大值，在曲率更大的镜面上取任意偏离 M 的一点 M’处，其光程 LQM’Q’ > LQMQ’ 。在 M 点，对于曲率更大的镜面只有 QMQ’才是真 实光路，M’处的反射光不经过 Q’，此时即为光程取极大值的情况。 总之， 真实的光路， 是光程满足变分δ B A 椭球面镜反射光路截面图 n dL=0 的所有可能情况， 有极小值、 极大值、常量三种情况，基于费马原理，可以导出所有的几何光学定律[3]。 7 最小作用量原理及其应用 3. 变分法与分析力学 3.1 变分法的创立 在讨论光的最小作用量时，用到了一个重要的方法——变分法，变分法作为数学 的一个分支，其创立与物理学是分不开的。 科学史上第一个变分原理正是几何光学中的最短时间原理,由法国学者费马于 1662 年提出。费马认为“自然界以最容易的可允许的方法起作用” 。他根据对以前由 斯涅耳（Snell) 发现的光的折射定律而提出了这个原理,并证明了折射定律满足时间 最短原理，这在上一节中已做了详细介绍。 而把光的运动与力学中运动问题的首先进行比较的是伯努利（J.Bernoulli） ，他 所提出的最速降线问题，是变分学发展的标志。变分研究的主要内容是泛函的极值， 求泛函极值有关的问题通称为变分问题。在其工作中，J.Bernoulli 试图将力学与光 的运动联系起来，并由此建立折射率的力学理论，尽管他没有取得令人满意的结果， 但这种思想为以后的 Hamilton 理论及其在其它不同领域的推广开辟了道路，由此而 揭示了最小作用量原理与费马原理之间惊人的相似（提出费马原理时，最小作用量原 理还没有得到更广泛的推广，后来最小作用量原理多用来描述动力学的原理，费马原 理特指几何光学上的原理） 。 而后，莫培督最早于 1744 年提出了最小作用量原理，同年，欧拉发表了《寻求 具有某种极大或极小性质的曲线的方法》 ，该书为变分法的创立奠定了基础。而通过 把最小作用量原理看作物理学基本原理并进而导出运动方程的杰出工作则主要归功 于 Lagrange 和 Hamilton。在此之后亥姆霍兹等人对最小作用量原理与能量守恒之间 的关系进行了进一步的研究。由此从最初的极值思想到最小作用量原理的引入，体现 了人们对于自然界本质规律的不断追求。 3.2 泛函的极值问题 泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数 概念的推广。仅仅用公式表示泛函，概念过于抽象，用数形结合以及路径积分来描述 泛函就清晰多了。 在讨论光的作用量一节中， 我们就已经用到了泛函极值的思想。 平面解析几何中， 每一条曲线都可表示为函数，如果将右图的每一条光路都用函数式来表示，即折射率 8 最小作用量原理及其应用 的分布 n(x,y)，一条路径对应光程 s(泛函)即为 n(x,y)在该条光路上的积分: s[n(x, y)] ? ? n ? x, y ?dl B A 如何找出积分为最大、最小、常量的那一条光路 n(x,y)，就是求泛函 s 极值的 变分问题了，用变分符号 ? 表示为: ? s[n(x, y)] ? ? ? n ? x, y ?dl ? 0 B A 变分的运算与微分类似，只是意义不同，如果用求光程的极值来举例说明，则变 分求极值的对象是从 A 点到 B 点的所有光 路的解析函数系{n(x,y)}， 相当于 s 的定 义域， 即求极值的目的不是为了得出满足 n(x,y)取极大或者极小的坐标点 （x、 ； y） 而是求出满足 s[n(x,y)]取极值的 n(x,y) 这条曲线——真实光路， 也就是费马原理 δ B A n (x, y)dL=0。 在讨论凸透镜成像时， 推导过程并没有用到变分法， 而仅用到常作用量原理。 2.3 节中列举的 a、b 两条光路，由于凸透镜的作用，作用量可以相等，所以 a、b 都为真 实路径。但根据此原理，图中的路径 c 也可以与路径 b 的作用量相同，但显然，光不 可能走路径 c。因为虽然 b、c 作用量也有可能相等，但用变分法求得的路径，任意一 小步都应取得极值，而不仅仅是 A、B 之间所有 作用量为常量的路径皆可，这也反映了变分法 的微分性质。当只考虑路径 c 的折点处时，已 经不再符合泛函的极值要求，因为在折点处折 射率空间分布均匀，光程应满足两点之间线段 最短。所以 2.3 节中用的方法并不严密，而变 分法严格的数学基础给予了最小作用量原理新 的发展空间。 9 最小作用量原理及其应用 3.3 力学与光学的类比 通过求泛函极值的方法——变分法，我们很容易得出费马原理，或者说费马原理 彻彻底底就是变分原理。但是，将光学的费马原理拿来推广，进而解决力学的问题， 却不是一件容易的事情，即不容易联想到用光路的方法解决力学的问题，也不容易在 力学中建立泛函方程。因为在那时，光学与力学似乎是毫不相干的东西，而对于光来 说，介质的折射率函数很容易写出，而粒子运动路径对应的泛函又是怎样的呢？ 把光路与力学系统中物体运动进行比较的 研究，最早源于 J.伯努利(J.Bernoulli)，他首 先认识到虚功原理是静力学的普遍定律，由这 一原理可以解决所有的平衡问题。1696 年，他 在“数学中的某些新问题”以征答的方式提出 了最速落径问题。该问题如左图所示，物体 A 沿某一绝对光滑的路径滑落至 B， 那么沿着什么 形状的路径可以最快到达 B 点呢？1697 年 1 月 29 日，牛顿从法国的来信中知道这件 事，他用自己的方法几个小时就解决了：摆线。匿名发表在《哲学会刊》上。伯努利 看后惊呼“从这支锋利的爪，我认出了背后的雄狮。 ” 其实早在 1638 年，伽利略就已研究过该问题，并得出了沿圆弧比沿直线降落更 快的结论， 这个问题与论文前面 提到的最快到达落水点或光的 最小时间原理相类似， 即都不是 沿直线时间最短， 但该问题能否 也用类似的方法来解答呢？从 光学到力学， 很难让人进行类比， 直到 1697 年五月， 《教师学报》 上刊登了包括牛顿、莱布尼兹、 伯努利等人的解法， 但最值得研 究的还是伯努利将其与光学的 类比。 图 3.1 o B (p,q) 如图 3.1 所示，伯努利在每隔很小的高度 h 上取一段路径为一个下落层，由于 h 10 最小作用量原理及其应用 足够小， 可将每一层的运动近似看作沿直线的匀速运动， 但下落高度对应的速度不同， 在速度不同的层之间，只有满足类似于斯涅耳定律的运动规律时，即物体下落方向与 水平的角度α 跟下落速度 v 的比值满足“光的折射定律”sinα 1/ sinα 2=v2/v1 时，物 体的下落时间最短。如果 h 趋于 0，满足此规律的曲线正好为正确答案——圆弧，或 者称为摆线。实际上,这是非常特殊情况下光学和力学类比的第一个例子，伯努利的 解答在理论上并不严密，因为这是一个变分问题。但毫无疑问，他将引力场中的力学 问题与光学进行的类比，带给人们以极大的启发性，该问题本身也导致了变分法的创 立，从而为泛函极值的求解提供了普遍方法。 3.4 最速路径问题的泛函表达式 在研究光的运动路径时，其作用量的被积函数很容易写出，为折射率 n 的空间分 布，非常形象与直观。但粒子的作用量又该如何选取呢？经过与光学的类比，伯努利 对最速落径问题的解答方式与折射定律非常相似。 而光速是由介质折射率决定的， 即， 作用量与决定速度的物理因素有关，光的作用量——光程为： s[n( x)] ? ? n(x)dl ? c ? A B B A 1 dl v( x) 2?? ?? （1） 而对于粒子来说，在最速落径的问题中，设路径函数为 y(x)，由于粒子初速度和 初位移均为 0，那么决定每一层粒子速度的就只有重力势能 U，即?? = 中的 y 轴表示已下落的高度， 则速度可表示为?? = ，用坐标系 2????， 如果完全类比光程的表达式， 不难得到粒子下落的时间应为一个依赖于 y ( x) 的泛函 t[ y( x)] ，对于： t[ y ( x)] ? ? B A B 1 1 dl ? ? dl A v( x) 2 gy ( x) （2） 2 将 dl ? 1 ? y( x) ' dx 代入（2）式得： t[ y ( x)] ? ? B A 1 ? y '( x)2 dx 2 gy ( x) 1+??′ (??)2 2???? (??) [ y(0) ? 0 ， y( p) ? q ] （3） 设被积函数为?? x, ??, ??’ = ，则?? ??, ??, ??’ ????相当于光学中的?? ?? ????，那么 最速落径问题就转化为了求泛函极值的问题，其作用量为时间 t，这样由变分法就可 以解得最速落径的函数式 y(x)。 11 最小作用量原理及其应用 不同的路径函数 y(x)给出不同的时间，t[y(x)]是函数的函数。伯努利在《教师 学报》上提出的这一问题，未有回音。1697 年元旦，能够解决这一非凡问题的人寥寥 无几， 即使对自己的方法自视清高的人（指牛顿）也不例外。而真正解决此问题的人， 是 1755 年，年仅 18 岁的拉格朗日，求积分极值的一种纯分析的普遍方法——变分法。 （说明：最速落径问题变分解法可参考相关文献，这里不做解答， ?? = 2????公式来自 机械能守恒定律，我们现在已经相当熟悉，但事实上，直到 1847 年，赫姆霍兹在柏林 物理学会上宣读了著名论文《论力的守恒》 ，提出了能量转化与守恒定律的哲学基础、 数学公式和实验依据，并把它演绎到物理学的各个分支才得以广泛应用）[6] 在优酷网搜“数学变分法” ，有个老师讲的很不错哦?? 3.5 作用量的其它形式 之前，无论是光程、最速落径问题，还是最初将光路与最速落径的类比，其极值 都是以最小时间为作用量，从而引出的泛函极值问题。而物理学上之所以称极值原理 为最小作用量原理，而不是统称为最短时间原理，是因为并非所有的路径问题都是以 时间最短为基础的。但是，最小作用量的求解问题却与最短时间原理相同，都可归结 为求解泛函极值的问题。 那么有哪些问题不是以时间为作用量的呢，作用量又是怎样选取的呢？本文的 1.2 节中提到，在诺特定理提出之前，作用量的形式只能来自于人们的猜测。而力学 中的作用的第一个定义由莱布尼兹提出，运动的形式上的作用，比例于质量、这些物 质经历的距离与速度的乘积，即mvs或mv 2 ?t。莱布尼兹认为“自然界总存在着一个决 定原理，它的探寻要通过极大极小方法，也就是说，最大的效益应通过最小的付出而 达到” 。显然，莱布尼兹已经形成了作用量的思想，但作用量究竟怎样支配了自然界的 规律，他并没有得出明确的结论。 真正提出著名的最小作用量原理（不仅仅是最小时间原理） ，并赋予它以极大的 普遍性的人，是法国物理学家莫泊丢（P.L. MdeMaupertuis,1698—1759） 。1744 年 4 月 15 日,莫泊丢向法国科学院提交了题为“论各种似乎不和谐的自然律间一致性”论 文， 他在费马原理的基础上提出了适用于各种物理现象的 “最小作用量原理” 他指出: 。 体系实际发生的真正运动是使某一个作用量取最小值的运动,并表示为mvs = min。 莫 泊丢提出的观点似乎意味着，只要能在某种物理现象中找到合适的作用量，令其取的 最小值，那么所有的物理现象都可以得到解释。而莫泊丢的另一个重要贡献在于，基 12 最小作用量原理及其应用 于这样的思想，他在研究碰撞问题过程中，首次将最小作用量原理与守恒定律联系起 来。但也仅仅是通过选取碰撞过程中的物体动能为作用量，通过极值运算，导出了动 量守恒，并没有揭示最小作用量原理与守恒律更深一层的联系。 其出发点在于， “自然界发生的一切现象中，作用量的变化时最小的” 。 例 1、对于完全非弹性碰撞，设有两个刚体 A、B，质量分别为??与??′，各以速度 ??0 和??0 ’ 沿同一方向运行，碰后二者合为一体，以速度??运行：其中??0 < ?? < ??0 ′。 莫泊丢认为碰撞过程中作用量的变化取最小值为： m(v ? v0 )2 ? m '(v '0 ? v)2 ? min 令（1）式对 v 求导等于 0 可得： （1） 2m(v ? v0 ) ? 2m '(v '0 ? v) ? 0 即 （2） （3） v? mv ? m ' v '0 m ? m' 这样由物体动能为作用量，通过极值运算得出的结论，与动量守恒一致。 例 2、对于完全弹性碰撞，设两个刚体 A、B 质量分别为m1 、m2 ，碰撞前速度分 别为v1 、v2 ，分离速度分别为u1 、u2 ，碰撞后作用量的变化为： m1 (u1 ? v1 )2 ? m2 (u2 ? v2 )2 ? min 对于完全弹性碰撞，两物体碰撞后与碰撞前相对速度不变： （4） u2 ? u1 ? v2 ? v1 ? a (a 为常数) 即： du2 ? du1 进而有（4）式两边分别对 u2、u1 求导相等，得： d [m1 (u1 ? v1 )2 ? m2 (u2 ? v2 )2 ] d [m1 (u1 ? v1 ) 2 ? m2 (u2 ? v2 ) 2 ] ? du1 du2 ? m1v1 ? m2v2 ? m1u1 ? m2u2 （5） 其结果仍然与动量守恒一致， （4）式与（5）式联立即可解得u1 、u2 。 在莫泊丢研究碰撞问题过程中，选择活力（动能）为作用量，得出了与动量守恒 13 最小作用量原理及其应用 完全一致的结论，无疑是极具启发性的。 至此，我们可以总结，选择光程或时间为作用量，可以得出费马原理，进而推得 几何光学的所有规律；选择动能为作用量，可以得出动量守恒定律。似乎在最小作用 量原理中，只要选择合适的作用量，就可以推得不同物理学领域的各种规律，那么， 这意味着什么呢？ 莫泊丢还发现，莱布尼兹的活力守恒（动能守恒）只适用于弹性碰撞，不适用于 非弹性碰撞。而莱布尼兹的活力守恒又是在他认识到笛卡尔的动量守恒定律不完全正 确之后，于 1686 年在题为“关于笛卡尔和其他人在自然定律方面的显著错误”一文中 提出的。 因此，活力守恒和动量守恒很可能都不是最为普遍的定律，似乎还有更深一层的 物理定律在支配着这两条守恒定律，那么宇宙中最基本的、最普遍的原理是什么呢？ 莫泊丢认为这个支配一切物理规律的原理就是最小作用量原理。直到 1918 年，诺特定 理的提出才解开了这层神秘的面纱，但莫泊丢的贡献是值得肯定的，他的思想给最小 作用量原理的发展以极大的推动作用。 3.6 欧拉与变分法的创立 欧拉(Lconhard Euler 1707 一 1783) 是莫泊丢的学生之一，从 1728 年起, 他便 开始了在变分法领域的研究。其在经典力学发展中的历史功绩，在于将数学分析方法 应用于力学问题。因此，欧拉理应被认为是分析力学的奠基人之一。力学的变分原理 是分析力学的基础，也就是数学上用变分关系的形式表示的基本的、原始的规则，力 学的全部运动微分方程和定律都是作为变分原理的逻辑结果。 变分原理在形式上可分成表征任何给定时刻运动性质的微分原理（比如拉格朗日 方程） ，和表征任何有限时间间隔运动性质的积分原理（泛函极值原理） 。欧拉以基本 微分原理为基础，首先在数学上给出了最小作用量积分原理的微分表述，并发表了一 系列文章,这些文章奠定了数学新领域一变分学的基础。 在 1744 年莫泊丢发表最小作用量相关论文之后不久，欧拉于同年发表了变分学 的著名论文《曲线的变分法》 ，接着又出版了著名数学史上第一本变分法专著《求某种 具有极大或极小性质的曲线或解最广义的等周问题的技巧》 （以下简称《技巧》)。书 中, 欧拉首次给出了变分问题的清晰而一般的表述, 确认了变分问题的解所满足的一 些基本方程的标准形式, 并提供了推导这些方程的一般方法, 将变分法从对一些具体 14 最小作用量原理及其应用 问题的讨论转变为非常一般的问题的讨论。 在欧拉的变分学论文中，特别给出了定积分： J [ y( x)] ? ? F ( x, y, y ')dx a b y(a) ? ? ， y(b) ? ? （1） 取极值的必要条件。 为了得到极值条件， 欧拉将区间[a,b]分成， 横坐标为 x0 ? a, x1 , x2 , x3 ,......xn , xn?1 ? b 相等的带状小区间，用带纵坐标 ys ? f ( xs ) 的折现代替未知曲线 y ? f ( x) ，用有限差之 比 f '( xs ) ? ( ys ?1 ? ys ) / ( xs ?1 ? xs ) 代替导数 f '( xs ) ，用有限和 s ' ? ? F ( xs , ys ?1,y 's )( xs ?1 ? xs ) s ?0 n 代替积分（1） 。 为了确定??′的极值，取其对????+1 的导数，并让它等于 0，得方程 ? ?F ? ?F ? ? ?y ? ?x ( ?y ' ) ? =0 ? ? x=xs (s ? 0,1, x2 ,......, n, n ? 1) 且 ?x ? xs ?1 ? xs ，在 ?x ? 0 的极限下，得到欧拉方程： ?F ? ?F ? ( )=0 ?y ?x ?y ' a? x?b （2） 由此方程就能解决最速落径中的泛函极值问题了，但欧拉给出的对方程(2)的推 导并不是十分严格的，因为包含毫无根据的极限过程，后来拉格朗日给出了方程(2) 的严格推导。 （2）式称为欧拉方程的第一种形式，对于 F 如果不显含 x 时的情况，经 过数学变换， （2）式还可以化为欧拉方程的第二种形式： F ? y' ?F =0 ?y ' 欧拉方程是泛函极值的必要条件，由欧拉方程求得的函数，即为使泛函取得极值 的函数。 那么对于最速落径问题，物体初速度为 0，我们可以从 A、B 两点之间找到时间最 短的路径， 但是并不代表物体不能从其它路径到达 B 点， 而且路径是可以人为改变的， 15 最小作用量原理及其应用 通过改变路径的形状， 这实际上相当于轨道给物体附加了外力的作用。 如果只有重力， 物体会从 A 点做自由落体运动，但是，如果给物体一个确定的初速度，让其只受到重 力场的作用，那么物体的运动轨迹是不是也会像光在介质中的运动一样，满足某种最 小作用量原理呢？ 欧拉在 1744 年变分学论文的第二个附录中，还发表了《用最大和最小方法确定 抛体在无阻力介质中的运动》的一篇文章，欧拉在这个著作开头写道“因为一切自然 现象都应遵守某个最大或最小定律，所以，对于在某些力作用下抛体的轨迹，毫无疑 义地也应具有某种最大或最小的性质，那么抛体运动的最小作用量又是什么呢？ 欧拉认为，真实的抛物线应该是满足 ? mvds 取极值，欧拉称其为作用量。由于质 量 m 为常数，也可以等价为 ? vds 取极值，又因为 ds ? vdt ，于是： vds ? ? v 2 dt ? 根据这个原理，欧拉研究了物体在均匀重力情形下的运动，并应用变分法求出了 抛体的真实路径，即抛物线方程。 3.7 拉格朗日与分析力学的创立 事实上，欧拉方程的推导并不严密，其方法依赖于几何直观, 出发点和推导过程 中的每一步都用到了几何分析，欧拉只要求极值曲线上一点处的纵坐标发生改变，并 不能真正将每一条可能的路径（函数）都包含在内。 1755 年，年仅 18 岁的拉格朗日提出了一种纯数学分析的方法，定义了函数变分 的概念，并发明了变分符号 ? ，用更加严密的方法重新推导了欧拉方程： ?F d ?F ? [ ]?0 ?y dx ?y 1756 年，拉格朗日把此方法写信寄给了欧拉，并称此方法为"变分方法"(the method of variation)，获得了欧拉的肯定。1760 年拉格朗日发表了“关于确定不定 积分式的极大极小的一种新方法”这是用纯数学分析方法建立变分法的代表作，论文 中正式将此方法命名为“变分法” ，变分法这个分支才真正建立起来[4]。 可以说 18 世纪中期，基于最小作用量原理，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法研 究力学，但是拉格朗日在力学的数学分析方面最出色的。 1788 年，拉格朗日出版了《分析力学》一书，称为分析力学这门学科建立的代表 16 最小作用量原理及其应用 作。他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中。他的研 究目的是使力学成为数学分析的分支。他在《分析力学》的序言中说： “?我在其中阐 明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正 规的程序的代数(分析)运算。喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分 支，并将感激我扩大了它的领域。 ”实际情况正是这样，拉格朗日在这方面的最大贡献 是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方 法。 3.8 拉格朗日函数 拉格朗日另一个伟大的贡献，在于他首先引入了广义坐标概念，故广义坐标又称 为拉格朗日坐标。一个力学系统可用有限个坐标qj (j=1，2，?，N)表示；qj = dqj /dt 为相应的广义速度。力学系统总动能 T(拉格朗日称之为活力)表为qj ?qj 和时间 t 的函 数后， 定义 s ? ? q j 2 dt 为作用量， 并应用变分法 ? s ? 0 导出了力学系统的普遍运动方程， 即达朗贝尔-拉格朗日原理： ?( f j j ? mrj ) ? ? rj ? 0 上式是达朗贝尔原理和虚位移原理的结合，在一定条件下，由这一原理可 以导出动量定理、动量矩定理、动能定理，如力 f j 为保守力，则存在势函数 U， 上式还可进一步导出拉格朗日方程： ?L d ?L ? [ ]?0 ?q j dt ?q j 后来泊松(Poisson)等人引入函数 L=T-U，L 就取名为拉格朗日函数。对于 一个给定的系统， 包括有约束条件的力学系统， 只需要写出系统的拉格朗日函数， 即动能减去势能，代入拉格朗日方程中，即可得到系统的运动方程。 但是，拉格朗日的理论具有高度抽象的数学形式，使得 18 世纪的后半个时 期，分析力学的思想来源——最小作用量原理渐渐的被人忽视，甚至 1837 年， 泊松曾把这一原理看作“一条无用的规则” 。直到哈密顿的出现，将力学与光学 再次进行了类比，建立了哈密顿光学 和哈密顿力学。 3.9 拉格朗日方程与牛顿第二定律的等价性 17 最小作用量原理及其应用 从更深一层的物理意义来讲，牛顿力学可以被看作是分析力学的一种特殊情况， 拉格朗日力学由路径积分得来，研究的是整个运动的过程，而牛顿力学是将运动的过 程微分化，研究物体在路径中每一点、每一时刻的变化情况[5]。 那么既然两种力学具有一定的等价性，我们就能从分析力学中导出牛顿力学，如 右图： 对于重力场中， 具有初速度 V 的粒子， 从固定位置 q1 点运动到固定位置 q2 点时， 系统的拉格朗日函数为： 1 L=T-U= mv 2 ? U ( x) 2 取粒子运动的作用量为： 1 s= ? Ldt= ? [ mv 2 ? U ( x)]dt 2 t1 t1 根据最小作用量原理，粒子的真实路 径应该使作用量 s 取极值。对于泛函 s，可 以表述为 s 的变分为 0： t2 t2 ? s=? ? Ldt=0 t1 t2 （1） 满足上式的方程论文中已经给出过，为欧拉方程，此处被积函数有所不同，L 为 时间 t，速度 v 和坐标 x 的函数，由于 q1 点、q2 点位置固定，变分符号可写入积分号 以内，即： ? s= ? ? L[x(t),x(t),t]dt=0 t1 t2 （2） ? s= ? ( t1 t2 ?L ?L ? x ? ? x)dt=0 ?x ?x （3） 由于变分是在每一时刻分别做出的，变分符号可以与积分号交换： ?x ?? dx d ? ?x dt dt 18 （4） 将（4）式代入（3）式括号内第二项，并对此项分部积分，得： 最小作用量原理及其应用 2 2 ?L d ?L ? ?L ? ? s= ? ? x ? ? ? ( ? )? xdt=0 ?x ?x dt ?x ? ? t1 t1 t t （5） 由于 q1 点、q2 点位置固定，即两端点变分为 0： ? x(t1 ) ? ? x(t2 ) ? 0 所以（5）式变为： t2 （6） ? s= ? ( t1 ?L d ?L ? )? xdt=0 ?x dt ?x （7） 由于对于任意的变分路径 ? x 都要求上式为 0，所以只有（7）式括号中式等于 0 才能满足作用量极值为 0，即： ?L d ?L ? ?0 ?x dt ?x （8） 上式即为拉格朗日方程， 也就是实际运动 x(t)满足的微分方程， 推导过程较欧拉 的方法更加严密。为了导出牛顿运动定律，现在，将拉格朗日函数 L=T-U 代入拉格朗 日方程，得： d ?T d ?U ?T ?U ? ? ? dt ?x dt ?x ?x ?x 由于重力场 U 为保守场，其形式不依赖于速度，所以： （9） ?U ?0 ?x （9）式变为： （10） d ?T ?T ?U ? ?? dt ?x ?x ?x （11） 将 T ? mx2 / 2 代入（11）式得： m d ?x 2 ?x 2 ?U ( ? )?? 2 dt ?x ?x ?x m d ?U ( 2 x ? 0) ? ? 2 dt ?x 19 （12） （13） 最小作用量原理及其应用 mx ? ? ?U ?x ?U ?x （14） 在保守场中，势能为 U(x)，根据定义可知： F ?? （15） F 为质点在保守场中的受力，将（15）代入（14）时得到： mx ? F （16） 上式即为牛顿第二定律 F=ma，所以，拉格朗日力学可以说是包含了牛顿力学。式 中的坐标 x 不仅限与笛卡尔坐标，在拉格朗日力学中，x 代表广义坐标，力学系统的 每一个自由度都可以表示为一个维度的广义坐标，以上推导仅仅涉及到一维情况，对 于具有多个自由度的系统，可以分别在每一个维度中应用拉格朗日方程。 总之， 分析力学的思路是根据最小作用量原理， 运用变分法求解粒子的真实运动， 拉格朗日力学给力学一种全新的研究思路与方法，也可以说最小用量原理在拉格朗日 手中变为一种真正具有可计算的、形象化的物理思想，拉格朗日证明了物体系统的绝 大多数结论都能从一个根本性的公式推导出来。这种追求普遍性、简单性、更深层物 理意义的思想也正是科学源自于西方的根本原因。而中国人注重技术、技巧，没有将 更深层的科学规律，用更加普遍的方法进行表达，从而使得中国在近代科学的发展中 远远落后于西方。 4. 对称、守恒与最小作用量 根据最小作用量原理，力学系统的作用量 s，全部性质都集中在其拉格朗日函数 上，要找到作用量的表达式只需确定拉格朗日函数 L 即可，将 L 代入拉格朗日方程就 能求出运动方程，但是 L 的函数形式是如何确定的呢？ 在诺特尔定理发现之前， 物理学家们在寻找守恒量的时候需要经过不知多少次尝 试，甚至连所研究的物理过程究竟有多少守恒量都不知道，如果这样，最小作用量原 理就不能成为一种很好的物理学研究思想。 幸运的是，对称与守恒有着一种深刻而神秘的联系，这一联系是 19 世纪的一位 20 最小作用量原理及其应用 女数学家——艾米·诺特尔（Emmy Noether）发现的，后人将其命名为诺特尔定理： 作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。通过三者之间的关系，可以进 行互相推导，进而获得作用量的表达式。 时间或者空间的均匀性（对称性）具体的表示出来就是拉格朗日函数 L 在时间轴 平移变换或空间坐标上的变换不变性。拉格朗日函数 L 反映了力学系统的全部性质， 拉格朗日函数 L 在时间或者空间坐标上的变换不变性， 称为系统对这种变换的不变性， 同时有一个守恒量与之对应。 4.1 对称性与作用量的关系 我们先看一下由对称性与作用量的关系，然后再研究对应的守恒量。以自由质点 的拉格朗日函数为例，应用力学系统的对称性（即在一些时空变换下的不变性）即可 确定自由质点的拉氏函数。 首先，为了描述自由质点的全部特性，我们可以确定拉格朗日函数应该与坐标、 速度、时间有关，即?? = ?? ??, ??, ?? 。 1、根据时间的对称性。拉格朗日函数在不同时刻是对称的，不随时间的改变而 改变，或者说 L 中不显含时间变量，?? = ?? ??, ?? 。 2、根据空间平移对称性。拉格朗日函数不随坐标的变化而变化，因为自由质点 要求空间均匀，否则不会是自由质点，那么 L 也不能显含坐标x，即?? = ?? ?? 。 3、根据空间转动对称性。拉格朗日函数不随坐标系的转动而改变，即不依赖于 质点运动的方向，而只依赖与速度的大小，则?? = ?? ?? ?? 。 4、根据不同惯性系中物理规律的对称性，即物理方程式的不变性。现在考虑相 对于惯性系 ??以无穷小速度??运动的另一惯性系??′，由于力学规律在两惯性系中应该相 同，则在这两个参考系中的拉格朗日函数最多只能相差一个坐标的任意函数的时间全 导数，因为两参考系之间的差别仅为坐标随时间的改变： L ' ? L(v '2 ) ? L(v2 ) ? df ( x, t ) / dt dL 2v ? ? 2 dv （1） 按照伽利略变换， = ?? + ??。 ??’ 将?? ??′2 = ??((?? + ??)2 )对小量ε展开保留到ε的一次： L(v '2 ) ? L(v 2 ) ? 比较（1）（2）两式可得： 、 21 （2） 最小作用量原理及其应用 dL dx ?f dx ?f 2v ? ? ? ? dv 2 dt ?x dt ?t 相等，且右边第二项为 0。 即： （3） 因为速度?? = dx/dt可以取任意大小和方向，要满足上式需要使?? = dx/dt的系数 dL ?f 2? ? dv 2 ?x 上式左边不含x，右边不含v，所以d??/dv2 是一个不依赖于速度 v 的常数，令其等 于d??/dv2 = m/2，积分得： L ? mv 2 / 2 上式即为通过对称性得出的拉格朗日函数，即自由质点的势能项为 0，所以其拉 格朗日函数形式为质点动能的函数表示式。 4.2 时间平移对称性与能量守恒 对于非保守场， 往往还要考虑外力 F （t） 此时拉格朗日函数 L 将会因外力 F ， （t） 随时间改变，即 L 显含时间 t，这种情况比较复杂，要得出能量守恒还要考察外力 F 的性质， 或者说质点与保守场构成的力学系统， 会与外力场有能量交换， 不便于分析， 我们以保守系统的能量守恒为例。 保守系统中 L 不显含时间 t，即只与坐标和速度相关，但 L 间接与时间 t 相关。 假设我们目前不知道由时间守恒可以对应得到什么样的力学量或者函数式等等，但所 谓相对于时间守恒就是要研究什么物理量不会随时间改变，这就要求守恒量对时间的 全导数为 0，只要找到对时间求全导为 0 的方程即可： dL ?L ?L ? x? x dt ?x ?x ?L d ?L ? ?x dt ?x 将（2）式代入（1）式得： （1） 在保守系统中，质点的运动满足拉格朗日方程，由拉格朗日方程可得： （2） dL d ?L ?L dx d ?L ? ( )x ? ? ( x) dt dt ?x ?x dt dt ?x 22 （3） 最小作用量原理及其应用 将上式左边移到右边得： d ?L (L ? x) ? 0 dt ?x （4） 由（4）式可知，括号内的量对时间的全微分为 0，所以括号内的表达式为一个守 恒量。我们定义它为机械能，简称能量，用符号 E 表示 E? ?L x?L ?x （5） 设系统具有 n 个自由度，则系统的总能量应该表示为： E?? i ?1 n ?L xi ?L ?xi （4） （5）两式表明，保守系统的能量守恒，如果将 L=T-U 代入（5）式，即可得 到 E=T+U，这就是我们熟悉的机械能表达式了。 4.3 空间平移对称性与动量守恒 在 4.2 节中，得出了保守场中的能量守恒，保守场实际上就是一种空间的不均匀 或者不对称，能量场的存在造成了空间曲率，使得空间不均匀。如果在时间对称的基 础上，空间也是均匀的，我们就可以导出动量守恒定律。 在中学时期所学的动量守恒，只有当系统不受外力或者合外力为 0 时才满足动量 守恒，选择空间均匀时的质点为一个系统，那么外力场的存在就相当于是系统受到了 外力的作用，所以系统不能保持动量守恒。我们仍以一维情况为例，空间的均匀对称 性意味着拉格朗日函数不随坐标 x 的平移变换而改变，即应有： ?L ?0 即： （1） （2） ?L ? ?L ?L ?? x ? ?? x ? 0 ?x ?x ?L ?? x ? 0 ?x 因为 ? x 是与时间无关的变换， 所以速度 x 不变， ? x ? 0 ， 即 因此 （2） 式可变为： ?L ? （3） 如果空间均匀，则对任意矢量空间变换 ? x 都有 ? L ? 0 ，可得： ?L ?0 ?x 23 （4） 最小作用量原理及其应用 由拉格朗日方程可知： d ?L ?0 dt ?x 上式等价于 （5） dp ?0 dt 即，动量不随时间改变，系统的动量守恒。 （6） 4.4 空间各向同性与角动量守恒 在无外场的有心力场中，以场源为中心，空间的各个方向是等效的，或者说空间 是各向同性的，比如一个孤立电荷产生的静电场，在此情况下，将系统转动，拉格朗 日函数形式不变，则空间具有中心对称性，其所对应的守恒量为角动量。 研究中心对称的问题，将拉格朗日函数的变分δL用球坐标表示比较方便， ?L ? ?L ?L ?? r ? ?? r ? 0 ?r ?r （1） 上式中，坐标向量 r 为 r、?、? 的函数， 定义一个角度旋转矢量， 一般按照右手螺旋关系， 如右图所示，?? 为绕轴转动的角度，矢量 ?? 满 足右手螺旋关系，代表这一转动。球坐标中，系 统转动某一角度 ?? ，坐标 r (r ,? ,? ) 的改变为 ? r ，当 ?? 很小时，? r 垂直于 ?? 和 r ，其大小 关系可以表示为： ? r ? ?? ? (r ? sin ? ) 即，满足矢量才叉乘关系： ? r ? ?? ? r 上式对时间的 t 求导为： （2） d dr ? r ? ?? ? dt dt 由于空间转动变换与时间无关，所以 ? 与 d / dt 是相互独立的，可以交换次序， 24 最小作用量原理及其应用 则上式可写为： ? r ? ?? ? r 将(2)、(3)代入(1)式得： （3） ?L ? ?L ?L ? (?? ? r ) ? ? (?? ? r ) ? 0 ?r ?r ?L ?L ?r? )?0 ?r ?r d ?L dr ?L ? ? )?0 dt ?r dt ?r d ?L (r ? ) ? 0 dt ?r d ?L (r ? ) ? 0 dt ?r （4） 由矢量运算关系 a ? [b ? c ] ? b ? [c ? a ] 上式可写为： ? L ? ?? ? (r ? （5） 将拉格朗日方程代入上式可得： ? L ? ?? ? (r ? （6） 即 ? L ? ?? ? （7） 若要满足系统在任意转动下，拉格朗日函数不变，即对任意 ?? 都有 ? L ? 0 ： 应使 （8） 将 L=T-U 代入上式可知， ?L / ?r ? mv 即为系统的动量 p ， r ? p 即为角动量，因 此由空间的中心对称性可得系统的角动量守恒。 此外，还有很多对称、守恒关系，比如镜像对称与宇称守恒；规范场与粒子数守 恒等等。这样，最小作用量原理、对称、守恒，就联系起来了：世界的运行满足最小 作用量原理，作用最量的形式受对称性的约束，对称性又与某个守恒定律等价。 这不是巧合，这是正是物理美的所在，也许总有一个最高的物理准则在统治着所 有的物理规律，最小作用量原理的出现给了我们一个很好的启示。那么能否从最小作 用量原理的角度来解读整个物理学，似乎还存在着一些困难。但是，在现代物理的发 展过程中，最小作用量原理在各种物理学领域中更广泛的应用，使其变为最有可能解 读一切物理规律的最高理论。 25 最小作用量原理及其应用 5.最小作用量原理与近代物理 5.1 光学与力学的又一次类比 W．R．哈密顿（1805-1865）是爱尔兰最伟大的科学家之一，他从少年时期就对 几何光学产生了浓厚的兴趣，并致力于按照解析几何学或者拉格朗日分析力学的优美 方法去构建几何光学，并在光学和力学方面取得了巨大才成就。 1826 年，哈密顿完成了“光线系统的理论”一文。该文被看作是理论物理学的经 典和几何光线的基石，该文中还包含了导致哈密顿完成著名动力学理论的思想萌芽。 该文目标在于，建立一种解决所有光学问题的统一性方法去重建几何光学。 哈密顿引入了特征函数 V，并将自己的研究方法推广到非均匀介质中，把特征函 数定义为： V ( x ", y ", z ", x ', y ', x ') ? ? vds 点坐标和终点坐标，其变分为： （1） 其中??为介质的折射率，ds 为路径元，（x ′ , y ′ , z′）、（x ′′ , y ′′ , z′′）分别为光学起 ? (??",??",??") ?????? (??′ ,??′,??′ ) =0 （2） 1830-1832 年，哈密顿相继完成了“论光线系统理论”一文的三个附录。把以前 提出的光程进一步发展为更具普遍意义的特征函数理论，不再只限于费马原理中规定 的起点与终点固定，而是起点和终点的函数。特征函数不仅对给定点的光线成立，而 是对任意的起点与终点都成立。 1835 年，哈密顿发表了具有深远影响的论文《变分作用原理》与《波动力学的一 般方法》 。在这两篇论文中，哈密顿首先从费马原理出发，发展了几何光学的定律，进 而证明，光线轨迹可以利用对单一数学量——特征函数的计算得出来。他发现，这一 特征函数与对应单粒子动力学作用量函数的特征非常相似，而几何光学中光线轨迹又 与牛顿力学单粒子的轨迹十分相似，这使哈密顿受到启发。他猜想，一定可以找到一 种与几何光学类似的形式表述力学规律，只要从力学的最小作用量原理出发，把它变 换为与费马原理相似的形式，就一定可以找到力学与光学的统一表示。 哈密顿用具有动力学意义的正则变量（广义动量 p 和广义坐标 q）代替了只有运 动学意义的广义速度q和广义坐标q，把拉格朗日函数和拉格朗日方程变换到哈密顿函 数: 26 最小作用量原理及其应用 ??(??, ??) = ?? + ?? 和哈密顿正则方程: q? ? ?H ?p? p? ? ? ?H ?q? 对比费马原理提出了等时最小作用量原理，即哈密顿原理，由它可以导出全部力 学的基本定理和运动方程，不仅适用于完整保守系，而且还可以推广到非保守系和非 完整系。哈密顿方程与拉格朗日方程具有一定的等价性，哈密顿函数实际上就是系统 能量用坐标和动量表示出的函数形式，可以从拉格朗日函数经过勒让德变换得出。 经典力学哈密顿理论的建立，代表着分析力学发展的顶峰。但哈密顿将光学与力 学的类比还有更加深远的意义，考虑到几何光学的费马原理与动力系统的莫培丢最小 作用量原理之间的相似性，早在 1834 年，哈密顿就以他犀利的洞察力，指出在这两大 领域中存在有相似的数学结构：确定光线轨迹特征函数的特性与对应单粒子动力学作 用量函数的特性有惊人的相似。 除了最速落径问题中将光与力学的类比，还有一种比较形象的类比方式，就是几 何光学中的光线轨迹与牛顿力学中单粒子的轨 迹间也有相似性，下面我们来看一个单粒子经过 势能场边界时“粒子的折射现象” 。 如右图所示：质量为 m 的质点在三维空间 中运动，势能是： ?? = 0 ?? > 0 ???0 ?? ≤ 0 粒子在 z>0 区域中的势能为 0，动能为 E ? mv 2 / 2 当粒子经过 z=0 的平面时，将会像光一样发生折射，这个现象非常容易理 解，因为该势能场的分布仅在 z 轴方向上有变化，因此当粒子进入 z<0 区域时，粒子 在 z 轴方向的动能会突然增大 U 0 ， z 轴速度分量会突然增大， x 方向上速度不变， 即 而 所以粒子的速度矢量的方向在 z=0 处会突然改变，这与光的折射现象非常类似。而一 般的势能场都是连续变化的， 所以一般像重力场中的粒子轨迹也是连续变化的。 当然， 如果光进入介质的折射率也是连续变化的，那么光线也将是一条平滑的曲线。 又因为光是一种电磁波，那么由此，哈密顿引导出一个粒子的行为可以用一种波 27 最小作用量原理及其应用 动力学来描述的思想。他证明了具有一定总能的粒子与具有适当折射率的介质中的光 线是一致的。由于光线只是光的波动描述的一种近似，因而，牛顿的粒子轨迹只是粒 子的波动描述的一种近似就是完全可能的。 根据这一思想，本来不难进一步找到具有波动性质的力学方程。然而在哈密顿所 处的时代，经典力学被认为是绝对正确的，粒子具有波动性被认为是不可思议的事， 直到量子力学兴起以前，哈密顿方程的深刻意义在长达近一个世纪的时间里，一直被 人们所忽略[8]。 波动力学的创立者薛定谔曾在诺贝尔奖演讲中说： “哈密顿原和费马原理之间的 密切相似性几乎被忘记了。如果还记得的话，也只是记住了数学理论的奇妙性。 ”直到 20 世纪，在德布罗意和薛定谔创建立量子力学之后，两原理间的相似性及深刻的物理 内涵才被充分地阐明了出来。 5.2 赫兹的《力学原理》 赫兹(Heinrieh Rudolf Hertz)的名字更多的是在电磁理论中出现的，然而，从 1890 年开始，赫兹除了继续自己的电学实验研究外，又重新从事理论问题的研究。但 是当时的力学理论已经有了相当成熟的牛顿力学和分析力学，赫兹的《力学原理》又 是为了解决什么问题呢？ 由于深受马赫(E．Mach)、基尔霍夫，尤其是亥姆霍兹的统一性思想的影响，赫 兹坚信“物理学的任务在于把自然现象归结为简单的力学定律” ，进而努力寻找支配自 然界的统一原理的数学表达式。在这种信念的驱动下，赫兹着手对传统的力学，并对 分别建立在力和能量这两个基本概念基础上的力学，进行了深入的剖析和批判 。 对于力，赫兹指出，在力学中“力”这个概念是蒙昧时代的观念的遗迹， “力” 的实质是什么，本是一个“含糊不清”的问题，物理学家并不十分了解“力”的真正 含义。以它作为力学的原始概念，无助于我们去精确地进行推理，从而演绎出美的科 学理论来。或者，简单的来讲，从中学时期，教科书上力的定义就表述为：物体间的 相互作用，仅此而已，至于怎样相互作用，谁也说不清楚，只能通过相互作用的效果 来认识力，这个作用效果一个是从有形物体的形变，另一个是从物体的加速度来认识 力，这两个效果分别对应量纲为 N 和 kg·m/s2 。而牛顿的单位又离不开诸如和克定律 给出的力与坐标的关系，所以力不是一个可直接测量的，或者说不是一个基本的物理 量，只能间接的理解它。因此，赫兹认为，用这种表述构建的科学理论显然不严密、 28 [9] 最小作用量原理及其应用 不简洁。 对于基于能量的分析力学，在赫兹看来，这样做的结果， “力”只是一个辅助性 的、被定义的概念，可取之处在于回避了力的概念的不精确性。与此同时，因为能量 是由位置与速度所决定的，而这两者是完全可以直接观测到的。即便如此，赫兹仍认 为，对能量的这种表述用来表示势能就存在着很大的困难，特别是当必须把一个力学 系统的势能取作负值，或者把一个有限物质的势能看作无穷大时，这就无法摆脱逻辑 上的矛盾。于是，赫兹认定用这种表述方法创立的科学理论不可能是自洽的。 基于对传统的力学的批判，赫兹认为，他所创立的《力学原理》 ，既要显示经典 力学的系统性，又要提高它的严密性，完全遵循着演绎法的形式规则和思维经济的原 则，把必要的假设减到最小的程度。 于是，在赫兹的力学中，与经验相联系的，严格可观测的时间、空间和质量这三 个概念成了原始的基本概念。此外，赫兹还引入了亥姆霍兹提出的隐质量(concealed mass)概念作为补充， 而势能(力)则源于隐质量的隐运动， 亦即势能起源于动能。 此后， 赫兹还提出了一条力学短程线原理， 作为他的力学的一条基本定律[10]。 根据这一原理， 平直空间中受力物体的运动就等价于弯曲空间中自由物体的运动，从而使动力学问题 变成了运动学的问题，这正是广义相对论的基本思想。 赫兹的力学短程线原理完全继承了费玛(Fermat)、欧拉(Euler)、拉格朗日等人 关于最小作用量原理的科学美学传统。因为，最小作用量原理???? = 0是以其特有的简 单性之美所发射出的真理之光，立足于物理学的最高原理之中。而力学短程线原理— —任何自由系统均保持其静止或沿最直轨道匀速运动的状态， 同样以高度简洁的形式， 将牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学包含在内。 赫兹所要建立的是一种没有“力”的力学，追求的是一种比分析力学更深层次的 理论。尽管赫兹的力学理论 就物理学的范围而言，没有得到广泛的发展。但赫兹的精 神与思想，被爱因斯坦、薛定谔所关注、继承和发扬，它对广义相对论和量子力学的 创立产生了重要的影响。如 1916 年爱因斯坦提出的广义相对论，正是以类似于《力学 原理》 的方式， 把万有引力这一自然界中最基本的力的作用解释为空间的弯曲。 此后， 薛定谔进一步探讨了赫兹力学和爱因斯坦引力理论间的联系，并结合最小作用量原理 和光学的类比，于 1926 年建立了波动力学。而始终贯穿其中的，一直都是最小作用量 的思想，从光学到到力学，最小作用量原理已经渗透到了物理学的每一个角落。 29 最小作用量原理及其应用 5.3 作用量与量子力学的路径积分法 然而，最小作用量原理还有一个神奇之处，就是费曼先生曾在他的“最小作用量 原理”中做过的阐述：从微分的观点，粒子的运动是容易理解的。由于粒子受到力的 作用，所以它的速度发生了变化，又由于粒子有速度，所以位置也改变了。换言之， 每一时刻当粒子获得一加速度时仅仅知道在该时刻应该做什么。可是如果你讲粒子会 做出决定以选取将能给出最小作用量的那条路线，这就完全是另一回事了。粒子怎么 能知道周围其他的路线作用量来得要更大呢？或者说粒子会对不同路线的作用量进行 比较吗？答案是肯定的！就像光的衍射一样，当你在光的路径中放置一些障碍物，以 至于光子不能实验出每一条路径时，光就无法算出该走哪一条路，也就出现了光的衍 射，但这必须用量子力学的观点来解释。 量子力学中的路径积分法是由狄拉克于 1933 年在一篇“量子力学的拉格朗日函 数”的文章中提出，之后由美国科学家理查德·费曼 Richard Feynman（1918 年 5 月 11 日-1988 年 2 月 15 日）进一步发展而来。费曼是一个天才，他对任何事情都不想当 然的认为，总是以自己的方式去理解问题的本质，然后对自然界的行为得出一种新颖 而深刻的解释，他讨厌死板的灌输式教育，认为学习就像是一种快乐的游戏，同时他 自己又不失幽默感，有人评价他是一个天才，也是一个滑稽的演员。 关于费曼还有这样一个小故事，早在中学时代，费曼就对最小作用量原理产生了 浓厚的兴趣。有一次物理课后，他的物理老师巴德尔（Bader）先生看到费曼一副不满 足的神态，就把他叫住说： “看来你有点厌烦，我要给你讲点有趣的东西” 。巴德尔所 讲的就是经典力学中的最小作用量原理，即质点的真实路径为质点的拉格朗日函数对 时间的积分为 0。对当时的费曼来说，这个理论是如此的新颖与神奇，以至于再后来 的学习与研究中，每当这一课题出现，他总是抓住不放，进而费曼提出了与最小作用 量原理相关的量子力学路径积分法。 那么什么是路径积分法呢？我们知道量子力学已经有了比较成熟的两种表示方 式，一是薛定谔的波动力学，一是狄拉克的矩阵力学。传统的量子力学正是在它否定 了粒子的轨道运动之后建立起了自己的完美的理论形式的，在波动力学里，粒子一会 儿是波，一会儿又成了粒子，虽然符合了实验现象，但这使人完全无法理解。路径积 分法可以说是量子力学的第三种表示方法，并且比前两种方法更具优越性。当然，路 径积分法也并非完全是粒子形态的路径积分，而是场论形式的泛函积分方法[11]。那么 30 最小作用量原理及其应用 这种方法与“粒子会对不同路线的作用量进行比较”有什么关系呢？ 当然首先， 我们要了解什么是几率幅和几率， 这是基于波的叠加现象引出的概念， 那么按照费曼的路径积分法，粒子从点 1 到点 2 时，由于不确定性关系的影响，将不 再只有一条和作用量有关的路径，而是具有无 穷多可能的路径[12]。 如图，一个粒子从时刻 t1 所处的点 1 出 发，在时刻 t2 到达点 2 的几率，等于一个几率 幅的平方。两点间每一个可能路线都会对几率 幅有贡献，而总的几率幅则是所有这些贡献之 和。对于每个能想象出的轨迹 x(t)，就能得到一个几率幅，将每条路径所对应的几率 幅都相加起来，就是粒子到达点 2 的几率幅，其平方就是粒子在该点出现的概率。而 其中任意一条路径对几率幅的贡献与量子化的传播子有关，即： eis[ x (t )]/ 其中??[??(??)]为作用量，与经典力学的拉格朗日函数相对应，?是由不确定性关系 引出的常量,代表了量子力学的特征，那么所有可能路径的几率幅之和可表示为： K ? A?1 ? eis[ x (t )]/ 上式中的 A 为归一化常数，K 的平方即为粒子在终点的几率，这就是费曼所创立 的量子理论的崭新表述——路径积分法。将量子力学完全表述为几率幅的叠加原理， 几率幅作为量子力学的基本特征，而不是非对易关系。 它所描述的粒子运动具有这样的特征：几率幅与exp(is/?)相关，is/?即为几率幅 的相位，作用量 S 和?的取值对相位的影响很大，也就是对几率幅叠加的影响很大。假 设对所有路线，S 都比?大很多，每一路线贡献一定的几率幅，对于临近的一些路径， 相位的变化就以非常巨大与繁多，因此，对于这些路径贡献的几率幅，相互叠加之后 都互相抵消了。除了一个区域以外，这个区域就是当一条路径与其临近路线在第一次 近似上全都会给出同一个相位时（更准确的说，在?范围内的同一个作用量） 。只有这 些路线才不会相互抵消。 因此，在宏观世界中，由于?近似为 0，量子现象就过渡到了经典的运动轨迹，这 就是最小作用量原理与量子力学的关系， 为作用量， S 而?被称为作用量子。 也就是说， 31 最小作用量原理及其应用 宏观世界里，粒子不是没有嗅探所有路径，而是由于作用量子趋于 0，其它路径都很 容易被叠加抵消了， 只有作用量 S 取得最小值的那一条， 没有其它路径将其抵消而已。 这与光学中的惠更斯原理相似，不同的是路径积分法中几率幅的大小都是相等的，而 惠更斯原理中的振幅大小是与距离相关的。 可以说，路径积分法中“量子力学的几率概念并没有改变”,在《量子力学与路 径积分》这本著作中,费曼开门见山地指出：“所改变了的,并且根本地改变了的,是计 算几率的方法。 但对于几率幅究竟是怎么一回事，就无人知晓了，对此费曼发出感 ” 叹“几率幅几近不可思议” [13]。 5.4 对最小作用量原理的讨论 在最小作用量原理中，通过选择不同的作用量几乎可以建立全部的理论物理学。 最小作用量原理的形成历史是曲折的， 给予 S 以作用量命名,也反映了物质世界的统一 性，更揭示了物理学不同分支之间的统一性。 从最小作用量原理出发,在时问均匀的前提下可以得到能量守恒定律。若时间不 均匀,能量守恒定律的成立问题仍处于研究之中，这种情况在广义相对论中尤为突出。 在广义相对论中，时空弯曲、时间非均匀、引力能无法局域化，广义相对论中能量守 恒问题至今还未得到解决。作用量 S 或许比能量概念更为重要。能量反映了各种运动 之间相互转化的共同量度， 作用量则反映各种运动过程必须满足的共同性质,作用量的 量纲是[能量·时间]，是能量与时间的统一。为此，我们可以认为能量仅反映了作用 量中的一部分联系。 在量子力学中,有一个作用量常数(即普朗克常数)h,给出了粒子性与波动性之间 的联系，成为物理世界统一性的桥梁。在规范场(或相位因子场)路径积分表达式中, 常数 h 起着重要作用，它决定波函数相角的大小。物理学中的任何一种基本力总是对 应着相应的规范场，可见，力与常数 h 相关联。我们认为，将 S 命名为作用量就是因 为 S 将力、能量两概念联系起来了，成为描写物质世界相互作用的一个最为重要的物 理量。 然而，尽管人们做出了艰苦努力，但仍未从最小作用量原理满意地推导出热力学 定律。其原因可能是，热力学是研究大量微观粒子组成的宏观系统，存在热效应。热 力学过程是不可逆过程，存在耗散因素，时间具有不对称性。正如普朗克断定，作为 建立统一的世界物理图景之基础的最小作用量原理，是所有可逆过程的普遍原理。本 32 最小作用量原理及其应用 世纪 60 年代以来，非线性科学(如混沌学)成为举世瞩目的科学热点。混沌学揭示出系 统固有地存在内在随机性，它给牛顿力学又加以新的限制，事实上牛顿力学对多体问 题无从下手。如此看来，最小作用量原理在非线性科学中将会受到限制。 爱因斯坦指出，一切科学发现的伟大目标在于“寻找一个能把观察到的事实联系 在一起的思想体系，它将具有更大可能的简单性。 ”最小作用量原理不仅几乎把已知的 事实，而且也将未知的事实纳入到一个思想体系中，其简单、优美，其具有高度的抽 象性，又不失各种形象化的案例，在物理规律总又具有高度的统一性，最小作用量原 理无疑已成为物理学的最高理论。 6.从最小作用量原理谈中学物理教育 在哈密顿看来，追求普遍化和抽象化的东西，比寻求具体的、实用性结果更有价 值，进而哈密顿创立了哈密顿力学。而赫兹仍然不感到满意，要寻求一种更加基本的 力学理论。 当然，这点也是东方与西方科学的巨大差异，中国历史上不乏非常有名的科学工 作者，并有《天工开物》《齐民要术》等著作。但是，中国的科学注重技术性和实用 、 性，对于抽象化、普遍化的理论不加重视，而西方人更倾向于寻求用最简单道理概括 所有科学规律的普遍方法。也许这其中有着不解的历史与文化渊源，但这无疑就是科 学起源于西方而不是东方的原因。然而这个道理并没有被中国的现代教育系统很好的 理解，至今的中学考题中，仍然代有浓厚的技巧性色彩，以至于很多研究生、博士， 甚至教授也无法将高考题做的轻松自如。而西方人对最小作用量原理的追求，同时最 小作用量原理给人极致的艺术美感，却使得西方科学家对普遍理论更加重视。 我认为，科学教育虽然应该注重技巧与方法，但不应该进行过度的训练。数学大 师陈省身生前为中科大少年班题词：不要考 100 分。朱清时解释，原生态的学生一般 考试能得七八十分， 要想得 100 分要下好几倍的努力， 训练得非常熟练才能不出小错。 要争这 100 分，就需要浪费很多时间和资源，相当于土地要施 10 遍化肥，最后学生的 创造力都被磨灭了。高中的理科教学，基于给定的公式与有限的知识，进行过多的、 高强度的训练，将科学知识的美感完全抹除掉了，学生的兴趣完全被扼杀了，没有了 兴趣就更不必去谈创造力。 现在的中学教育也在不断改革，探索物理教学的新思路，但主要是把实验探究这 33 最小作用量原理及其应用 一教学方式重点推广。我认为这种方式不一定是个好方法，尤其是对于物理教育，实 验探究在一定程度上能够提升学生的学习兴趣， 但在应试教育高考题型不变的情况下， 学生仍然只有通过大量的练习才能取得好成绩。目前教育出现的主要弊端不在于授课 方式，而在于考试试题的内容上，因为要真正做到物理教学的改革，只要从考试内容 下手，教学方式自然会为了适应考试而改变。 中学试题过于标准化、技巧化的特点，不利于学生对学习物理的正确认识，比如 有些电子在电磁场中的偏转问题，用到的物理知识很简单，只需要知道偏转方向和洛 伦兹力公式进行受力分析即可，但是考题却可以出的很难，因为其中涉及到很多平面 几何的关系，甚至需要做辅助线进行几何分析，这完全是一种数学技巧，这就偏离了 物理的学习思想和方法。中学考试中，真正用到的物理知识并不多，所有的题目都是 围绕着几个物理公式不断变换。 所以，我认为中学物理应该进一步拓宽知识面，重在对物理思想与方法理解，对 新知识的接受与理解能力，削弱技巧题在物理试题中的比重，更可以增加部分开放性 试题。试想，牛顿力学已在中学生心中根深蒂固，所有有关动力学的中学物理题，除 了少部分可以用守恒思想解决外，基本都离不开牛顿力学。牛顿力学是中学物理中动 力学的全部，哪个学生能想到还有分析力学的存在呢？或者说，既然有了牛顿力学， 为什么还要学习分析力学呢？ 最后，如果可以的话，将最小作用量原理的部分知识或思想，放到中学的物理的 内容中去，也许是个不错的选择。 34 最小作用量原理及其应用 参考文献： [1]许良.最小作用量原理与物理学的发展.四川教育出版社,2001. 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