简谐振子和简谐振子激发的能量量子（这一点季兄也在前面说过。不过有一点需要说明：简谐振子激发的能量量子，不一定是Bose粒子，比如激发电子场的“简谐振子”，所激发的能量量子是Dirac电子
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to 星空浩淼:
不是以是否有单粒子波动方程作为“标准”，而是以是否满足简谐振子方程作为“标准”。
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实在不能认同。历史上的二次量子化就是指把一次量子化得到的单粒子波函数视为算符吧？
对于简谐振子而言，它的一次量子化理论和二次量子化理论是重合的。
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谈不上是重合，根本就是在同一个空间中讨论问题。“重合”似乎有个暗含前提，即它们首先是不同的，然后发现是相同的或等价的。
对简谐振子采用一次量子化方法时，其坐标和动量是位置本征态构成的Hilbert空间中的算符；采用二次量子化方法时，坐标和动量则是Fock空间中的算符。这两种量子化方法，给出同一个物理内容。
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你这里的“Hilbert空间”和“Fock空间”根本就是同一个空间，就是量子谐振子的态空间。我认为顶多只能把|n>称为Fock基，它们是谐振子Hilbert空间中的一组基。空间还是同一个空间。
在量子力学水平上，一次量子化和二次量子化的区分还是用得着的。毕竟，一次量子化下，波函数是c数；二次量子化下，原来的c数波函数进一步变成了Fock空间中的算符。
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那么用产生、湮灭算符处理谐振子时，是哪个c数波函数进一步变成了Fock空间中的算符？
blackhole兄原来的理解也不算错，
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只能说不算很错，但肯定不是学理上的准确理解。
简谐振子的所谓一次量子化和二次量子化方法，其实是对同一对象的量子化在不同表示空间中的不同表示而已。前者是在位置本征态张成的Hilbert空间中的表示，后者是在粒子数本征态张成的Hilbert空间中的表示（粒子数本征态张成的Hilbert空间，常称作Fock空间）。
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还是如我前面所说，这两个空间就是同一个空间，位置本征态和粒子数本征态（或Fock态）只是这个空间中的两套基矢而已。
to 季候风：
看来，“场是无穷多个谐振子” 的观点，反而是建立在把二次量子化（更一般的，场量子化）视为谐振子量子化的观点之上。星空兄和我都有一点逻辑问题，星空兄持后一观点而反对前一观点，而我反对后一观点但支持前一观点。
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没看懂。为什么“反而”？“前一观点”、“后一观点”指什么？再就是：二次量子化和场量子化有什么不同吗？ |
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to 季候风：
看来，“场是无穷多个谐振子” 的观点，反而是建立在把二次量子化（更一般的，场量子化）视为谐振子量子化的观点之上。星空兄和我都有一点逻辑问题，星空兄持后一观点而反对前一观点，而我反对后一观点但支持前一观点。
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没看懂。为什么“反而”？“前一观点”、“后一观点”指什么？再就是：二次量子化和场量子化有什么不同吗？
嗯，不应该用 “反而”。 二次量子化和场量子化的确只是在形式化上有所区别，从场论的观点看， “二次量子化” 已经是历史名词，不过我记得星空兄曾多次强调，在凝聚态，固体理论等其他分支，二次量子化也许仍然是一个独立概念。 |
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回复 40# 的帖子
简谐振子的所谓一次量子化和二次量子化方法，其实是对同一对象的量子化在不同表示空间中的不同表示而已。
不同意，一次量子化是对谐振子本身做的，二次量子化是对不同的对象，自由玻色子做的，怎么是对 “同一对象” 的量子化呢？
我觉得你看贴的时候不够仔细，我已经在更正我自己的多个帖子中指出谐振子的态空间跟二次量子化的态空间非常不同。
[ 本帖最后由 季候风 于 2008-11-29 05:05 编辑 ] |
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我想，我应该能用一个帖子统一地回答以上几个帖子。当你们从1）到5）一路看下去，会豁然开朗的
为了避免讨论中因为术语不统一而产生的彼此误解，先区分一下基本概念：
1）我们前面的讨论中，其实涉及到两种对象：简谐振子和简谐振子激发的能量量子（这一点季兄也在前面说过。不过有一点需要说明：简谐振子激发的能量量子，不一定是Bose粒子，比如激发电子场的“简谐振子”，所激发的能量量子是Dirac电子）。
2）由于1）的原因，涉及到二次量子化的内容时，会有两种不同切入点：从简谐振子满足的Schrodinger方程出发；从简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程出发。后者就是季兄强调的“单粒子波动方程”，这个单粒子波动方程，就是简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程，而不是简谐振子满足的那个Schrodinger方程。例如，对于机械振动中的简谐振子，如果要寻求对应的“单粒子波动方程”，那个方程，就是声子所满足的波动方程，这个方程跟自由电磁场满足的波动方程一样，只是要把光速改成声速。顺便说一句：“单粒子波动方程”的叫法是不可取的，还是称为经典场满足的波动方程，更有普遍性，因为有些波动方程，没有单粒子意义上的解释，比如Klein-Gordon方程。
3）从简谐振子满足的Schrodinger方程出发的二次量子化内容，即是我在主楼提到的；而从简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程出发的二次量子化内容，就是常见的场量子化内容。将波函数（经典场）进一步变成场算子，这就是“二次量子化”这个词语的来历。由于从分析力学角度看，在广义坐标广义动量的描述下，场量子化跟一次量子化本质上属于同一个结构框架，所以后来人们抛弃“二次量子化”这个词语。在二次量子化中，是把简谐振子所激发的能量量子的波函数变成场算子，而不是把简谐振子本身的波函数变成场算子。
需要指出的是，从简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程出发完成二次量子化之后（即完成场量子化之后），可以反过来再给出简谐振子满足的Schrodinger方程（对于量子场而言，这是一个泛函方程）；反之，从简谐振子满足的Schrodinger方程出发完成二次量子化之后，可以反过来再给出简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程。
4）我前面说简谐振子的一次量子化和二次量子化，是对同一对象的量子化在不同表示空间中的表示，在这里，“同一对象”指的是简谐振子，因为我主楼谈论的是从简谐振子满足的Schrodinger方程出发的二次量子化内容，而不是从简谐振子激发的能量量子所满足的波动方程出发的二次量子化内容。而季兄的思路是同时在简谐振子和简谐振子激发的能量量子之间来回跳跃。简谐振子的一次量子化，是在位置空间表象中给出的；简谐振子的二次量子化，是同一个量子力学内容在Fock空间中给出的。这就是为什么我说“是对同一对象（即简谐振子）的量子化在不同表示空间中的表示”
5）好了，第五点，我不得不用数学公式才能说明，我只有用图像文件了。 |
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It seems to me that a lot of the discussion is about what secondary quantization is. I would not comment on that since I think it is not useful to discuss names of things. And, secondary quantization by itself is a very misleading and almost completely useless concept. You just quantize a system using appropriate method.
But in case there is actually a disagreement in physics, let me say my understanding of this problem and see whether people agree.
A harmonic oscillator (let me take an one dimensional one for simplicity) is a one degree of freedom system. By no means it can be somehow equivalent to a quantum field, which by definition has infinite degree of freedom.
Now, we can either quantize harmonic oscillator using p and q, or a and a^dagger. They are completely equivalent. The only difference is that in p and q, Hamiltonian looks more like the classical one. On the other hand, in a and a^dagger, the Hamiltonian looks more like a occupation number. However, they are completely equivalent in the sense they have identical eigenstates and give identical evolution of states.
Now, we can also consider another system with n phonons (or a particular kind of boson) with SAME energy, equal to hbar*omega, where omega is the fundamental frequency of the simple harmonic oscillator. We can show that this system's dynamics is the same the simple harmonic oscillator, since the Hamiltonian of this system (now naturally written in a and a^dagger) is the same as the simple harmonic oscillator written in a and a^dagger. However, these are in principle different systems. The phonons, for example, can just be a collection of particles. a and a^dagger actually create or annihilate particles. However, in the case of simple harmonic oscillator, there is no particle to create or annihilate. One just exit higher mode on the spring. In practice, one often think of these two systems interchangeably, but there is in principle a difference in the interpretation of a and a^dagger.
A simple harmonic oscillator can never be equivalent to a free bosonic field, since the later contain infinite degrees of freedom. A free bosonic field, on the other hand, can be regarded as an infinite COLLECTION of simple harmonic oscillators with a full spectrum of DIFFERENT fundamental frequencies. |
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| The analogy between simple harmonic oscillator and dirac particle can be especially misleading. The simple harmonic oscillator as we know it in quantum mechanics strictly corresponds to bosonic particles since many particles can have the same energy, which is of course not true for fermions. The only way to generalize to fermions is to introduce anti-commutation relations, which does not have a quantum mechanics analogy. |
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我们前面的讨论中，其实涉及到两种对象：简谐振子和简谐振子激发的能量量子（这一点季兄也在前面说过。不过有一点需要说明：简谐振子激发的能量量子，不一定是Bose粒子，比如激发电子场的“简谐振子”，所激发的能量量子是Dirac电子）
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你大概把谐振子时的能量量子实体化了。其实此时没有什么能量量子，能量量子只是一种等效的说法，指的只是谐振子的能量是一份份加上去的。此外，“能量量子”没有什么意义。 |
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你大概把谐振子时的能量量子实体化了。其实此时没有什么能量量子，能量量子只是一种等效的说法，指的只是谐振子的能量是一份份加上去的。此外，“能量量子”没有什么意义。
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你这个说法真是把我雷到了
你不用只停留在本科量子力学阶段看这个，要从凝聚态物理和量子场论的角度看这个。照你这么说，声子是子虚乌有的事情，那样的话，超导也就不存在了。超导是电子之间通过交换声子产生微弱的吸引力而形成库泊电子对，这种电子对不受Pauli不相容原理限制，且传播起来没有电阻。推而广之，一些准粒子、元激发都是能量量子。量子场论中，每个场量子，其实都可以看作是能量量子，只是它们比准粒子显得更“实在”一些而已。正因为这样，有人曾经尝试把我们这个宇宙的真空背景当作一个理想晶体，而宇宙中的基本粒子，被看作是这个晶体中激发的准粒子。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 13:49 编辑 ] |
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A harmonic oscillator (let me take an one dimensional one for simplicity) is a one degree of freedom system. By no means it can be somehow equivalent to a quantum field, which by definition has infinite degree of freedom.
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我觉得sage兄没有仔细看我们前面的帖子内容。前面反复说过，简谐振子与场量子是两回事，场量子只能跟简谐振子激发的声子相提并论。其实我在44楼已经说得很清楚了。
The analogy between simple harmonic oscillator and dirac particle can be especially misleading.
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同理，我没有把简谐振子跟Dirac粒子相提并论。Dirac粒子作为场量子，只对应某个广义的简谐振子所激发的能量量子。
简谐振子，和简谐振子所激发的能量量子是两码事。就如同固体中的一个简谐振动的原子（它是简谐振子），与这个原子传递的声子，是两回事。量子场的地位，是跟声子类似，而不是跟产生声子的那个原子类似。
我在另一栋楼“电磁场对应的简谐振子方程（泛函方程）”里，以单模电磁场为例，讲述了这个问题。在那里，广义简谐振子的运动是由泛函Schrodinger方程描述；而这个简谐振子激发的能量量子，也即电磁场（光子场），则是由Maxwell方程描述。假设单模电磁场是由简谐振动的电偶极矩天线所产生的辐射场，那么，那个广义简谐振子，其实就是这个电偶极矩天线振子。这一点可以通过计算看出。对于简谐振动而言，用正弦函数描述振幅随时间的变化，它的二阶导数仍然是它本身，只是多乘以一个常数因子而已。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 13:46 编辑 ] |
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我觉得sage兄没有仔细看我们前面的帖子内容。前面反复说过，简谐振子与场量子是两回事，场量子只能跟简谐振子激发的声子相提并论。其实我在44楼已经说得很清楚了。
For you, what is the difference between 简谐振子 itself and 简谐振子激发的声子? To me, there is no difference. |
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比如说，简谐振子只有一个，且只固定在空间某个固定位置附近来回振动，但是声子却可以有任意多个，被简谐振子激发出来之后，可以在固体中任意传播，不会跟振子一样只固定在某个地方。
推而广之，电偶极矩天线产生辐射场，电偶极矩天线是一个简谐振子，（电流密度）只固定在天线所在处来回振动，它只有一个，而这个简谐振子所激发的光子，可以有任意多个，且可以在真空中以光速运行。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 13:58 编辑 ] |
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| 其实我50楼重新编辑之后，已经说明了这个疑问，52楼进一步说明一下 |
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你不用只停留在本科量子力学阶段看这个，要从凝聚态物理和量子场论的角度看这个。照你这么说，声子是子虚乌有的事情，那样的话，超导也就不存在了。
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是我原话没说清楚。我是说，在一维量子谐振子时谈论能量量子没有更多的意义，只是一种等效说法。因为这里从头到尾，其实只是一个谐振子和它的各种可能的本征态。 |
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比如说，简谐振子只有一个，且只固定在空间某个固定位置附近来回振动，但是声子却可以有任意多个，被简谐振子激发出来之后，可以在固体中任意传播，不会跟振子一样只固定在某个地方。
Suppose we have only one harmonic oscillator, there is only one degree of freedom, energy level. The corresponding phonon also only have one degree of freedom, the number of phonon, since all of the them have the same frequency determined by the original harmonic oscillator.
In a solid, you are allowed to talk about a lot of phonons propagating everywhere in the solid precisely because there are a lot of oscillators everywhere in the solid. The number of different phonons precisely equal to the number of effective "spring"s (or bonds between atoms or molecules) in the solid. If there is only one molecule is oscillating in the solid, there is only one kind of phonon, localized precisely where that molecule is.
That molecule can of course excite others to oscillate, and then there more different phonons and not localized. However, this is precisely because OTHERS are also oscillating. Therefore, a phonon field is equivalent to a collection of oscillators, not the one excited it, not only one of them, and not only the phonon associated with one of them.
Phonon and harmonic oscillator are just different language of looking at the same thing. No difference at all.
推而广之，电偶极矩天线产生辐射场，电偶极矩天线是一个简谐振子，（电流密度）只固定在天线所在处来回振动，它只有一个，而这个简谐振子所激发的光子，可以有任意多个，且可以在真空中以光速运行。
Same as above. Source radiates. But the radiation is not equivalent to the source. The radiation is a (special) free field. However, this does not mean the physics of the source is the same as the field.
Let me repeat my point:
1) one type of phonon with fixed energy, no matter how many of them, is totally equivalent to one simple harmonic oscillator.
2) A phonon field, however, is equivalent to a collection of an infinite number of oscillators with different frequencies.
1) and 2) are different.
I am sorry if I am just repeating what you want to say. But this is the way I like to say it. |
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“电磁场对应无穷多个谐振子” 的意思，应该是说在每个空间点有一个振子，
 = A(\mathbf{x})\,e^{iEt} "A(\mathbf{x},t) = A(\mathbf{x})\,e^{iEt}")
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似乎有问题。通常是把场量用具有确定动量的各种平面波展开，一种动量就对应一种mode，应该也就是一种谐振子。你的话应该也是有道理的，但通常来说，模式是用动量而不是坐标来标记的吧？
[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-11-29 16:27 编辑 ] |
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同理，我没有把简谐振子跟Dirac粒子相提并论。Dirac粒子作为场量子，只对应某个广义的简谐振子所激发的能量量子。
简谐振子，和简谐振子所激发的能量量子是两码事。就如同固体中的一个简谐振动的原子（它是简谐振子），与这个原子传递的声子，是两回事。量子场的地位，是跟声子类似，而不是跟产生声子的那个原子类似。
By the way, if you want to say a general quantum field is equivalent to the radiation from a harmonic oscillator, 简谐振子所激发的能量量子, this is not right. A harmonic oscillator can only excite very special kind of quantum field, certainly not the most general one. |
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“电磁场对应无穷多个谐振子” 的意思，应该是说在每个空间点有一个振子，
A(mathbf{x},t) = A(mathbf{x}),e^{iEt}
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似乎有问题。通常是把场量用具有确定动量的各种平面波展开，一种动量就对应一种mode，应该也就是一种谐振子。你的话应该也是有道理的，但通常来说，模式是用动量而不是坐标来标记的吧？
Well, it is correct to think there is an oscillator at every point in space. On the other hand, the mode are the collective motions of those oscillators, therefore starts much lower.
If this is unclear to you, please use phonon in solid as an example, which is finite. Roughly speaking, there is an oscillator everywhere (up to lattice spacing). An the phonons are collective motions of all those oscillators. The lowest mode: everything moves to the same direction, etc. |
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| 我前面有一个地方说得不准确（至少面前来看）：Fermi场不能看作是简谐振子激发的能量量子，只是Bose场才可以这样看。Fermi场的产生，更像是一种能级跃迁，就象Dirac的电子－空穴图像（虽然空穴图像似乎过时了，但并不妨碍它在固体物理中的应用，而且，把正电子看作负电子的逆时空运行，其实是正电子的空穴图像的直接推导）。事实上，为了描述二能级原子的能级跃迁，人们引入的上升算符和下降算符，正好相当于Fermi粒子的产生和湮灭算符。 |
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回sage兄的55楼：
首先需要纠正一下，简谐振子的能量，对应它所激发的所有声子的能量总和。即
一个简谐振子的能量＝∑ħω(n+1/2)，其中n=0,1,2,...是声子的数量，而不是振子的数量，振子只有一个。
一个声子的能量＝ħω
简谐振子的质量为m（出现在Hamiltonian算符之中），
声子的质量为零
声子的数量为零的时候，简谐振子仍然还在那里，只是停留在中间的平衡位置没有振动而已。
其他方面，你说的跟我说的不矛盾：我前面仅仅是一种简化说法，而实际上，声子在固体中运动，相当于一种弹性形变在固体中传播，是一种运动的传播，运动有能量，能量是离散的，每一份这样的离散能量（能量量子），我们等效地看作是一个粒子，即声子。因此声子的传播，其实是一份份的离散能量在介质中各个简谐振子之间传播的等效观点。这种传播，需要介质，介质就是由多个简谐振子组成的。这就像电磁波在介质中传播一样，电磁场在介质中传播时，传播到每一处，就引起该处的介质极化，形成极化的简谐振荡，这个简谐振荡，可以看作是介质中的一个简谐振子，这样。能量就在介质中各处的简谐振子之间传播。当然，光子是实实在在的粒子，而不仅仅是准粒子，因此可以在真空中自己运动
你57楼说的我完全同意。
[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-11-29 21:32 编辑 ] |
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江西省南昌市
发表于 2008-11-29 01:57:24 
Astoria
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