几何式的代数 当毕达哥拉斯派发现某些线段的比无法表达为整数的比时，希腊数学就遭遇了逻辑基础缺失的危机

当毕达哥拉斯派发现某些线段的比无法表达为整数的比时，希腊数学就遭遇了逻辑基础缺失的危机。为了确保逻辑严密性，希腊数学家不得不将代数重新建立在几何的基础之上，用几何定理的形式阐述代数问题的解。在这种几何式的代数中，几何量代表现代的正实数，量的合并分割代表了加减法，以两条线段为边的矩形或平行四边形代表线段的乘积，在一条给定线段上贴附一个给定大小的矩形或平行四边形则代表除法，正方形代表其边的平方，正方体代表立方，于是许多几何定理可以被翻译为代数命题，用现代的符号“更清晰地”表达出来。例如，欧几里得《原本》第二卷的全部14条关于矩形和正方形的定理都被翻译成类似 (a + b) a + (a + b) b = (a + b)² 这样的代数恒等式或方程，这种翻译被认为反映了欧几里得“真正的”想法，理由是这些定理从几何角度来看过于明显，没有什么几何意义，只能解读为代数命题。第五卷和第七卷阐述的比例理论也被翻译为代数语言，两个数或量的比被翻译成a / b，四个数或量成比例被翻译成等式a / b = c / d，比的复合（compounding）被理解为分数的乘法运算。第十卷关于不可公度量的讨论被视为无理数理论的一个繁琐、不完整的替代品。此外还有许多作图命题被视为用几何手段解代数方程。
请支持独立网站，转发请注明本文链接：http://www.guancha.cn/WenZhai/2014_08_09_253633.shtml

数学史：从辉格史到思想史

字号:小中大
2014-08-09 16:55:32




更多


15


关键字 >> 数学数学史辉格史思想史欧几里得原本希腊数学笛卡尔运算克莱因胡塞尔

（作者：张东林）
一、早期数学史中的辉格编史学
当代的数学史研究兴起于19世纪末20世纪初，在那之后相当长的一段时间里，一种明显的辉格编史学在数学史学科中占据着主导地位。数学史家习惯于从当下的数学概念出发去分析古代数学文本，认为这些文本的全部价值在于它们包含了一些数学思想，能够被纳入现代数学的逻辑结构。原始文本的表达方式被认为是“笨拙”和“累赘”的，掩盖了其中“真正的”数学内容，因此数学史家的任务就是从原始文本中把这些内容打捞出来，将原始的表述弃之不顾，采用更适合于表达数学概念的现代数学语言来重新表述它们，使之更加清晰和容易理解。在这种编史观念之下，一位古代数学家的贡献无非就是阐述了前人未知的“有意义的”数学概念和命题，或发明了“更好的”表述形式，从而成为某种现代数学理论或方法的先驱。
整个数学史被描写成数学知识的累积式发展，即数学概念和命题的不断积累，以及表述形式的逐渐优化，呈现为一个向着当下的数学体系不断进步的历程。凡是不符合这一发展方向的数学工作，都被视为倒退、停滞或误入歧途，数学史家有义务为这类异常提供一个解释，指出有哪些可能的因素阻止了古代数学家作出应有的发现或发明，数学中的史诗英雄们又是依靠什么新武器冲破了这些障碍，引导数学走向凯旋。按照这样的历史图景，当代数学处在进步阶梯的顶端，对数学的内容、结构、方法和语言拥有最为深刻和高屋建瓴的理解，因此，一位精通当代数学的数学家天然地就是撰写数学史的最佳人选。显而易见，由这一编史纲领产生的数学史只能是一部胜利者为胜利者书写的历史，一部典型的辉格史。
这种编史纲领的一项典型成果就是在希腊数学史研究中采取所谓的“代数解释”，即把欧几里得《原本》中的诸多内容和许多其它的希腊几何学命题解读为隐蔽的代数定理，声称这些内容“本质上”与今天的符号代数并无差异，只不过表述形式不同，是用几何语言表达的，可称为一种“几何式的代数”（geometric algebra）。这种解释方式可追溯到希腊数学史领域的开拓者法国科学史家塔纳里（Paul Tannery）和丹麦数学家措伊滕（Hieronymus Zeuthen）19世纪末的工作，后来被希思（Thomas Heath）和诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）等具有重大影响力的历史学家继承，从而成为一种标准解释，在很长时间里都没有受到挑战，直到上世纪六七十年代仍然处于主流地位[Unguru 1975, pp. 69–74; Saito 1986, pp. 25–26; Grattan-Guinness 1996, p. 356]。按照这种解释，希腊数学之所以给代数穿上几何的外衣，是因为希腊人的数系不完整，只包括了正整数和正有理数。
当毕达哥拉斯派发现某些线段的比无法表达为整数的比时，希腊数学就遭遇了逻辑基础缺失的危机。为了确保逻辑严密性，希腊数学家不得不将代数重新建立在几何的基础之上，用几何定理的形式阐述代数问题的解。在这种几何式的代数中，几何量代表现代的正实数，量的合并分割代表了加减法，以两条线段为边的矩形或平行四边形代表线段的乘积，在一条给定线段上贴附一个给定大小的矩形或平行四边形则代表除法，正方形代表其边的平方，正方体代表立方，于是许多几何定理可以被翻译为代数命题，用现代的符号“更清晰地”表达出来。例如，欧几里得《原本》第二卷的全部14条关于矩形和正方形的定理都被翻译成类似 (a + b) a + (a + b) b = (a + b)² 这样的代数恒等式或方程，这种翻译被认为反映了欧几里得“真正的”想法，理由是这些定理从几何角度来看过于明显，没有什么几何意义，只能解读为代数命题。第五卷和第七卷阐述的比例理论也被翻译为代数语言，两个数或量的比被翻译成a / b，四个数或量成比例被翻译成等式a / b = c / d，比的复合（compounding）被理解为分数的乘法运算。第十卷关于不可公度量的讨论被视为无理数理论的一个繁琐、不完整的替代品。此外还有许多作图命题被视为用几何手段解代数方程。
根据这样的解读，几何直观就成了希腊数学发展的障碍，因为几何无法超越三维，所以几何式的代数无法有效地处理三次以上的代数方程，只能求助于比例论，不但繁复累赘，而且只能处理极少数情形，这一障碍的突破有赖于数系的扩大，将无理数纳入数的集合之后才能用数表示几何量，使量的代数重新成为数的代数。
直到上世纪六七十年代，代数解释才开始遭到全面系统的批判，但事实上足以否定代数解释的思想资源早就存在。哲学家、思想史家克莱因（Jacob Klein）在1934–36年发表的《希腊数学思想与代数的起源》（Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra）‍[1]中已经揭示了代数学的一个根本特征，这一特征与数概念的演变有密切关系。
梵蒂冈教皇签字大厅壁画《雅典学派》
梵蒂冈教皇签字大厅壁画《雅典学派》，右下角为欧几里得给年轻人讲课
克莱因所讲的数概念的演变不是数系的扩张，而是数在“意向”方面的变化，他追问的是希腊人与现代人在谈论和使用数的时候所采取的意向样式有何差别，这种与众不同的追问方式使他能够揭示出代数学的独特意义。克莱因看到，希腊人的数（arithmos）总是指“被计数之物”，是由确定数目的确定之物组成的东西。在这样的概念下，数不但不包括无理数，也不包括分数，甚至“一”也不是一个数。希腊人始终认为，“一”是数的本原，是构成数的单元，是用于计数的尺度，它本身绝不能被视为一个数。
作为单元的“一”反映的是从日常生活世界中诞生的那种对于物的原初把握，即每个物都可以被称为“一个”，不同的物总能被归入同一类，从而能用相同的单元来对它们计数。与此相适应的是像自然史那样的分类式的研究，寻找每一个物所属的恰当类型是希腊人理解整个宇宙的基本方式。现代的数则完全丧失了原初的直接指向确定之物的“第一意向”，仅仅指向与物相分离的概念，成为一种抽空了意义的符号，正因如此，它才能够把一些最初仅由运算规则规定出来的对象（如负数、无理数、虚数等）纳入其中。只有在这种符号性的思想方式之下，一种普遍适用于数和量的代数学才是可能的，符号性的数的诞生和代数学的诞生实际上是一回事，它们都起源于韦达（François Viète）对丢番图（Diophantus of Alexandria）著作的重新阐释，最终由斯台文（Simon Stevin）、笛卡尔（René Descartes）和沃利斯（John Wallis）等人加以完成。
从克莱因的论述中我们可以看到，代数的符号语言不是单纯的“表达工具”，而是现代人的符号性思想方式的实现。希腊人的思想方式则基于对“物”的原初理解，每个物总是作为切身的“这一个”被直接把握，而不是在一个已经作为整体预先被理解的时空框架中定位出它的个体性。这一特点明显地反映在希腊数学的特定用词上，数学定理的陈述总是使用“这一个”和“每一个”，而从不说“某一个”或“任意一个”[希思1998，页179]。希腊几何学研究的是图形而不是几何空间，图形的位置（topos）是指它的摆放方式，而不是在某个背景空间中的定位，希腊人根本没有这种作为背景的空间概念，“欧氏空间”并不是欧几里得的创造[吴国盛2010，页46]。在这种思想方式下，数学家不可能拥有符号性的数或量的概念，不但数是指确定之物，量也是如此，希腊几何学的量始终指的是具有确定形状和边界的图形，而非长度、面积等，量的相等总是指两个特定图形的相等，即能够通过特定的作图将一个图形转化为另一个。
希腊数学没有真正意义上的“运算”概念，被代数解释视为加法、减法、除法运算的那些步骤从未被希腊数学家赋予专门的名称。例如欧几里得任意地使用suntithemi（放在一起）和sugkeimai（平放在一起）等十分日常的词汇来表示所谓的“加法”而从未加以定义[Fowler 1987, p. 142]。任何两个量摆放在一起的方式都不一样，依证明的语境不同而表现为不同的几何作图，这层意义是形式化的加法规则无法体现的[Grattan-Guinness 1996, p. 360]。量也没有相乘的概念，两条线段围成的是具有确定位置的矩形。
《原本》中唯有数的相乘有定义，但这定义也没有脱离“摆放”的含义，两数相乘的结果被称为一个“面”（卷七定义16），这也是乘法规则无法反映的。《原本》中的比也不能等同于分数，比是两个同类量的关系而非运算，欧几里得从不说两个比“相等”，而只说“相同”、“如同”，在《原本》中，比和比例从不脱离确定的图形，不会在没有具体图形的语境下把两个比复合在一起，抛开图形去考察比的复合的做法直到古代晚期才出现[Saito 1986, p. 58]。代数解释对以上所有这些特征视而不见，为了能够自圆其说，代数解释不得不经常忽略古代数学家的工作的某些方面，在无法忽略时就加以贬低，称之为平庸的、低效的或缺乏清晰性和普遍性的，这样它才能维持自身的一致性。代数解释把现代的符号性思考方式强加于希腊几何学，掩盖了希腊几何学家原本的纯粹几何学的思考方式，以及这种思考方式与对物的原初经验之间的联系，因此无法帮助我们理解希腊的数和量，也无法从根本上揭示现代的符号数学思想的深刻意义。不仅希腊数学史研究如此，对其他时代的考察也是如此，由于将现代数学的某些观念神圣化为永恒的、普适的，导致这些观念落入不能被反思的境地，这注定了辉格式数学史的贫乏。
二、数学史家摆脱辉格编史学的尝试
上世纪六十年代末，克莱因《希腊数学思想与代数的起源》的英译本（1968）和匈牙利数学史家绍博（Árpád Szabó）的《希腊数学的开端》（Anfänge der griechischen Mathematik, 1969）两书的出版，激发了一些数学史家重新审视流行的代数解释，并进而对它所代表的编史纲领提出批评。绍博的研究聚焦于长期受到忽视的“原始表述”，依据文字学和词源学的考察，从欧几里得的一些习惯用词出发，去追溯不可公度量和比例理论可能的起源。在书末的附录中，绍博论述了《原本》第二卷命题5的几何意义，指出代数解释将它理解为代数恒等式 (a − b) (a + b) = a² − b² 的替代表达是毫无根据的[Szabó 1978, pp.332–353]。
请支持独立网站，转发请注明本文链接：http://www.guancha.cn/WenZhai/2014_08_09_253633.shtml