Tuesday, March 17, 2015

green 向量微積分 兩重積分的定義, $\int \!\! \int_\Omega(div F)dA$ 的意義是:將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_2_01/page6.html


兩重積分的定義, $\int \!\! \int_\Omega(div F)dA$ 的意義是:將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊


從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介
(第 5 頁) 蔡聰明
 
.原載於數學傳播第二十一卷第二期
.作者當時任教於台大數學系
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5. 整裝待發
如何將 Green 定理推廣到三維空間?為此,我們要對於 Green 定理的形式與內涵兩方面作更詳細的考察。
  

 
5.1 形式上的觀察
Green 定理可以寫成兩個等價的形式:
\begin{displaymath}
\oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P
\over \partial y})dxdy
\end{displaymath}(15)


\begin{displaymath}
\oint_\Gamma Pdy-Qdx=\int \!\! \int_\Omega ({\partial P\over\partial x}+{\partial
Q\over\partial y})dxdy \end{displaymath}(16)

事實上,在(15)式中,將 P 改為 -QQ 改為 P,就得到(16)式;反過來,在(16)式中,將 P 改為 QQ 改為 -P,就得到(15)式。 進一步,採用向量記號將(15)與(16)改寫: 令向量場 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$, 及微分算子 $\nabla={\partial\over\partial x}\vec i+{\partial\over \partial
y}\vec j$。 模仿向量的內積與外積運算,我們定義:
$\displaystyle \nabla\cdot\vec F$=$\displaystyle ({\partial\over\partial x}\vec i
+{\partial\over\partial y}\vec j)\cdot(P\vec i+Q\vec j)$ 
 =$\displaystyle {\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y}$(17)



$\displaystyle \nabla\times\vec F$=$\displaystyle ({\partial\over\partial x}
\vec i+{\partial\over\partial y}\vec j)\times(P\vec i+Q\vec j)$ 
 =$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc}
\vec i & \vec j & \vec k\\
{\partia...
...l\over\partial y}&{\partial\over\partial z}\\
P & Q & 0
\end{array}\right\vert$ 
 =$\displaystyle ({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y})
\vec k$(18)


再令 s 表示曲線 Γ 之弧長參數,ds 表示無窮小線元,於是單位切向量為

\begin{displaymath}\vec T= \frac{dx}{ds} \vec i+\frac{dy}{ds}\vec j \end{displaymath}


向外單位法向量為

\begin{displaymath}\vec n=\frac{dy}{ds} \vec i-\frac{dx}{ds} \vec j \end{displaymath}





圖11

參看圖11。於是

\begin{eqnarray*}
& & \oint_\Gamma \vec F\cdot \vec T ds \\
& = & \; \oint_\G...
...\over ds}\vec j)ds \nonumber \\
& = & \; \oint_\Gamma P dx+Qdy
\end{eqnarray*}


以及

\begin{eqnarray*}
&&\oint_\Gamma \vec F\cdot\vec n ds \nonumber \\
& = & \; \o...
...x\over ds}\vec j)ds \nonumber \\
& = & \; \oint_\Gamma Pdy-Qdx
\end{eqnarray*}


從而(15), (16)兩式可分別改寫成:
\begin{displaymath}
\oint_\Gamma\vec F\cdot\vec Tds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\times\vec
F)\cdot\vec k dA
\end{displaymath}(19)


\begin{displaymath}
\oint_\Gamma\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\cdot\vec F)dA
\end{displaymath}(20)

其中 dA 表示無窮小的面積元。(19)式叫做切向式(tangential form),(20)式叫做法向式(normal form)。換言之,Green 定理有(15)、(16)、(19)與(20)四種化身。這四個式子都叫做 Green 公式。
  

 
5.2 內涵的掌握
$\nabla\cdot\vec F$$\nabla\times\vec F$ (即(17)與(18)兩式)代表什麼物理意義呢? 由於 Green 公式與 N-L 公式在形式與內涵上都具有相同的本質,所以 $\nabla\cdot\vec {F}$$\nabla\times\vec F$ 與函數 f' 應該具有密切關連。
問題5:
如何解釋 N-L 公式

\begin{displaymath}f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx\quad ?\end{displaymath}


我們採用流體流動的觀點來解釋。考慮一根直線管子,參見圖12,假設橫截面具有單位面積。


圖12

今想像有流體在管子中流動,其速度場為 $\vec v (x)=v(x)\vec i$,密度為 $\rho (x)$。令向量場

\begin{displaymath}
\vec F(x)=\rho (x)v(x)\vec i=f(x)\vec i
\end{displaymath}


這叫做流體的通量向量場 (the flux vector field of the flow)。因此,f(x) 表示單位時間流體通過 x 點處橫截面之通量 (flux)。由於 $\vec i$ 是向右之單位向量,故當 f(x)>0 時,表示流體向右流過 x 點處的截面;當 f(x)<0 時,表示流體向左流過 x 點處的截面。於是從大域的 (global) 眼光來看,f(b)-f(a) 表示在管段 [a,b] 中,單位時間流體的減少量,即單位時間流體流出 [a,b] 的通量。 另一方面,從局部的 (local) 眼光來看流速場的變化。考慮區間 $[\alpha,\beta] \subset[a,b]$$x\in (\alpha,\beta)$,那麼 $f(\beta)-f(\alpha)$ 表示在管段 $[\alpha,\beta]$ 中單位時間流體的減少量,從而,牛頓商 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ 表示單位時間單位長度管段 $[\alpha,\beta]$ 中流體的平均減少量。因此微分
\begin{displaymath}
f'(x)=\lim_{\beta\downarrow x,\alpha\uparrow x}{f(\beta)-f(\alpha)
\over\beta-\alpha}
\end{displaymath}(21)

表示單位時間單位長度流體在 x 點處的減少量,亦即在 x 點單位時間單位長度流散出的量,因此叫做散度 (divergence)。按積分的定義可知, $\int_{a}^{b} f'(x)dx$ 表示單位時間流體在 [a,b] 中的減少量。今因流體不會無中生有,也不會無故消失,所以 N-L 公式

\begin{displaymath}f(b)-f(a) = \int_{a}^{b}f'(x)dx \end{displaymath}


顯然成立。這是一種散度定理。 上述流體的觀點,推廣到兩維平面恰好也就是 Green 定理(20)式的解釋。為了說明這件事,我們必須推廣(21)式。 在(21)式中,分母可改為矩形的面積,但是分子較難推廣,不過並不絕望。我們重新整頓一下 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$:分母是區間 $I=[\alpha,\beta]$ 的長度,記為 |I|,而分子 $f(\beta)-f(\alpha)$ 改為

\begin{displaymath}f(\beta)-f(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{2}(-1)^i f(r_i)\end{displaymath}


其中 $r_1 = \alpha, r_2 = \beta$I 的邊界點,符號 (-1)i 表示在左端點取負號,右端點取正號,這樣才符合流體流出 $I=[\alpha,\beta]$ 的意思,即在 I 的端點流體是向外流出的。換言之,在邊界點都賦予向外法向之概念,即
\begin{displaymath}
f'(x)=\lim_{I\downarrow {x}} \frac{\sum f(r_i)\cdot \mbox{({...
...ily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 178})}}{\vert I\vert}
\end{displaymath}(22)

其中 $\sum\limits$ 是對 I 的邊界點來求和的。經過這樣的修飾,(22)式才適合推廣到高維空間。 設 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ 為兩維平面上的一個向量場,想像成流體的通量向量場。令 $S\subset \bf R^2$ 為平面上一塊領域,$(x,y)\in S$,將(22)式中的求和 $\sum\limits$ 改為沿邊界 $\partial S$ 作積分,即定義:
\begin{displaymath}
\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec n
ds\over \vert S\vert}=(div\vec F)(x,y)
\end{displaymath}(23)

叫做向量場 $\vec F$(x,y) 點的散度 (divergence),其中 |S| 表示 S 的面積,$\vec n$ 表示沿邊界的 $\partial S$ 的向外單位向量。這是一維導數(22)式的類推與推廣。 根據定義, $(div\vec F)(x,y)$ 代表在 (x,y) 點處單位時間單位面積流體向外流出的通量。這是局部變化率,是向量場 $\vec F$ 的一種「微分」概念。


圖13

按兩重積分的定義, $\int \!\! \int_\Omega(div F)dA$ 的意義是:將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊,參見圖13。於是 $(div\vec F)dA$ 表示單位時間流體流出 dA 的通量,然後對整個 Ω 連續求和,即作積分,就得到 $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 。由於在內部的邊界,流體的進出恰好抵消,整個合起來只剩下流出邊界 $\partial\Omega$ 的通量。因此, $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 代表單位時間流體流出 $\partial\Omega$ 的通量。另一方面,這個流出通量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds$,所以下式顯然成立:
\begin{displaymath}
\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA
\end{displaymath}(24)

此式跟(20)式還有一段距離,不過我們可以證明
\begin{displaymath}
div\vec F=\nabla\cdot\vec F={\partial P\over\partial x}+
{\partial Q\over\partial y}
\end{displaymath}(25)

代入(24)式就得到法向式的 Green 公式了。 另一方面,在上述(23)式的定義中,其分子是沿邊界 $\partial S$ 的向外單位法向作積分,現在如果改為沿邊界的切向 $\vec T$ 作積分,用循環量 (Circulation) 代替通量 (flux),就得到旋度 (Curl 或 rotation) 的定義:
\begin{displaymath}
 \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds\over
\vert S\vert} = (rot\vec F)(x,y)\cdot\vec k
\end{displaymath}(26)

換言之,$rot\vec F$ (有時也記為 $Curl\vec F$)為一個向量場,它在 z 軸的投影恰好就是流體在 (x,y) 點處單位時間單位面積的循環量。這也是局部變化率,是向量場 $\vec F$ 的另一種「微積分」概念。


圖14

按重積分的定義, $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 的意義是: 將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊,參見圖14。 於是 $(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 表示單位時間流體繞 dA 的循環量,然後對整個 Ω 作積分得到 $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 。由於沿內部的邊界之循環量恰好來回抵消, 整個合起來只剩下沿邊界 $\partial\Omega$ 的循環量。另一方面,這個總循環量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega} \vec F\cdot\vec T ds$,所以下式顯然成立:
\begin{displaymath}
\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec T ds=\int \!\! \int_\Omega (rot\vec F)\cdot\vec k dA
\end{displaymath}(27)

我們也可以證明
\begin{displaymath}
(rot\vec F)\cdot\vec k=(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k=
{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}
\end{displaymath}(28)

代入(27)式就得到切向式的 Green 公式了。


圖15

下面我們就來證明(25)與(28)兩式。 為了計算方便起見,我們作一矩形,以 (x,y) 點為中心,圍成領域 S,並且四邊跟 x 軸或 y 軸平行,參見圖15。設 $AB=\Delta x, BC=\Delta y$,於是四個頂點的坐標為

\begin{eqnarray*}
A=(x-{1\over 2}\Delta x,y-{1\over 2}\Delta y),\\
B=(x+{1\over...
...r 2}\Delta y),\\
D=(x-{1\over 2}\Delta x,y+{1\over 2}\Delta y),
\end{eqnarray*}


我們先證明(25)式。為此,必須估算流體流出 S 之通量。流體流出邊界 AB, CD, ADBC 的通量分別約為

\begin{eqnarray*}
&-Q(x,y-{1\over 2}\Delta y)\cdot\Delta x,\\
&Q(x,y+{1\over 2}...
...a x,y)\cdot\Delta y,\\
&P(x+{1\over 2}\Delta x,y)\cdot\Delta y,
\end{eqnarray*}


其中我們取四邊的中點當估值的代表點。因此,流出 S 的通量約為

\begin{eqnarray*}[P(x + {1\over 2}\!\Delta x,y)
- P(x - {1\over 2}\!\Delta x,y)]...
... {1\over 2}\!\Delta y)
- Q(x,y - {1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x
\end{eqnarray*}


由平均變率定理 (Mean value theorem),這個通量為
\begin{displaymath}[{\partial P\over\partial x}(x\!+\!\xi\Delta x,y) +
{\partial Q\over\partial y}(x,y+\eta\Delta y)]  \Delta x \Delta y
\end{displaymath}(29)

其中 $0<\xi,\eta<1$。顯然,當 $\Delta x$$\Delta y$ 越來越小時,近似估計就越來越精確。 今將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$,再讓 $\Delta x$$\Delta y$ 趨近於 0,則得

\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve...
...ial P\over \partial x}(x,y) + {\partial Q\over \partial y}(x,y)\end{displaymath}


亦即

\begin{displaymath}(div\vec F)(x,y) = (\nabla\cdot\vec F)(x,y)\end{displaymath}


於是(25)式得證。 其次證明(28)式,仍然參見圖15。我們要估算流體沿邊界 $\partial S$ 的循環量,即 $\vec F$ 沿 ABBCCDDA 的線積分,其總和約為
 $\textstyle [P(x,y\!-\!{1\over 2}\!\Delta y) - P(x,y\!+\!{1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x$  
 $\textstyle + [Q(x\!+\!{1\over 2}\!\Delta x,y) - Q(x\!-\!{1\over 2}\!\Delta x,y)]
\Delta y$  
=$\textstyle [{\partial Q\over\partial x}(x+\xi\Delta x,y)
- {\partial P\over \partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y$ (30)


其中 $0<\xi,\eta<1$。 將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$,再讓 $\Delta x$$\Delta y$ 趨近於0,得到

\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve...
...ial Q\over\partial x}(x,y) - {\partial P \over \partial y}(x,y)\end{displaymath}


亦即

\begin{displaymath}(rot\vec F)(x,y)=(\nabla\times\vec F)(x,y)\end{displaymath}


從而(28)式得證







雙重積分之應用                     
          講義                   教學影音檔   進階題-題目   進階題 答案     考古題-題目      考古題答案
 
                一、平面積
 
1. 卡式座標
(1)  求兩條曲線(,)間所圍面積
 
      依雙重積分概念列出面積積分計算式:
                                          
           其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,
           代入得計算式
                                           
 
(2)  求兩條曲線(,)間所圍面積
 
      依雙重積分概念列出面積積分計算式:
                                           
             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,
             代入得計算式
                                           
 
2.  極座標
 
(1)  求一條曲線所圍面積
 
      依雙重積分概念列出面積積分計算式:
                                           
             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,
              代入得計算式
                                           
 
(2)  求兩條曲線(,)間所圍面積
 
      依雙重積分概念列出面積積分計算式:
                                           
             其中為兩條曲線在間所圍面積,亦即 ,
              代入得計算式
                                           
 
 
                              

  
二、曲面積(Surface area)
 
(1)空間曲面(SurfaceS,其方程式為
          其面積分式為
                               
         (2)為定義在空間取面S之函數,且S上之單位法向量,
              則向量函數的面積分:
        
            
 
 
                   
        代回原曲面積分式,得
                                                   
 

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