众所周知在x空间里一维的Dirac函数势还有自由粒子对应的薛定谔方程的解无法归一化，有许多数学的解释可以使它归一化，但是物理上按照最基本的归一化条件去计算还是无法归一化的。这是为什么？
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3 个回答
就是一般数学上算子的本征函数都要求是平方可积的，但是物理上如果引入无穷大的空间的话就会出现一些不满足平方可积的波函数比如题主说的动量波函数。要归一化的话就是要么引入某种有限的空间来做箱归一化，要么把概率流密度“归一”。
只是举个例子，比如您看Cohen-Tannoudji的量子力学的话，一开始的公理里面ket都是平方可积的，但是bra不一定要这样，也就是一个L^2空间的对偶空间比原来的空间更加“大”。所有这些不能归一化的函数都是在上述意义下的对偶空间里，也就是说不是真实的物理态。
只是举个例子，比如您看Cohen-Tannoudji的量子力学的话，一开始的公理里面ket都是平方可积的，但是bra不一定要这样，也就是一个L^2空间的对偶空间比原来的空间更加“大”。所有这些不能归一化的函数都是在上述意义下的对偶空间里，也就是说不是真实的物理态。
Yanfei Tang、知乎用户、Qianyi Guo 赞同
我们更加倾向于说：可以归一化到
；也就是归一化到Dirac函数。
大家都知道，量子力学是在Hilbert空间中考虑问题，这Hilbert空间有无穷的维数，但是我们总可以找到一组基，使这空间中任意的态可以用这组基展开。这组基的编号，就可以拿来做为一个力学量。常见的例子是氢原子，我们用几个量子数
来表示氢原子的态，这几个量子数也是我们所取的基的标号。
不幸的是，如果我们使用标号，虽然可以让态归一化到
，但是这样得到的力学量全都是离散取值的。如果我们要表示连续取值的力学量，就没办法这样归一。所以，为了物理上的应用，我们给Hilbert空间附加了一部分，也就是可以归一化到Dirac函数的态。这两部分也可以这样理解：对于离散取值的基，展开任意态时用相加；对于连续取值的基，展开任意态时用积分；而这两种Dirac函数之于积分，恰恰等同于Kronecker delta之于求和。
总之，归一化并不是针对某一个态的问题，而是针对一组基的问题，我们针对连续基和离散基，采用了不同的方法而已，并非不可归一化。
大家都知道，量子力学是在Hilbert空间中考虑问题，这Hilbert空间有无穷的维数，但是我们总可以找到一组基，使这空间中任意的态可以用这组基展开。这组基的编号，就可以拿来做为一个力学量。常见的例子是氢原子，我们用几个量子数
不幸的是，如果我们使用标号，虽然可以让态归一化到
总之，归一化并不是针对某一个态的问题，而是针对一组基的问题，我们针对连续基和离散基，采用了不同的方法而已，并非不可归一化。
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